第26章 二次函数 培优测试卷 2026—2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册二次函数单元培优卷，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识点，通过基础题与综合题梯度设计，培养抽象能力、推理意识与模型观念，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/约30分|二次函数定义、顶点坐标、图像与坐标轴交点|结合图像辨析系数关系，如由对称轴和交点判断结论正误，强化几何直观| |填空题|6题/约18分|对称轴、顶点坐标、实际应用（拱桥问题）|设置动态水位变化求水面宽度，体现数学眼光观察现实世界| |解答题|6题/约52分|解析式求解、配方法、利润与几何面积最值|设计商店利润最大化、矩形花圃面积最值等情境，突出模型观念；综合题含动态点与面积计算，培养推理能力与创新意识|

第章 二次函数 培优测试卷 —学年人教版九年级数学上册 （范围：第二十六章 二次函数　　时长：分钟　　满分：分） 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．下列函数中，是二次函数的是（　　） ．　　．　　．　　． ．抛物线 的顶点坐标是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．抛物线 与 轴的交点个数为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为 ．下列结论：；；；．其中正确结论的个数是（　　） ．　　．　　．　　． ．将抛物线 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） ．　　．　　．　　． ．二次函数 中，自变量 与函数值 的部分对应值如下表，则该二次函数的解析式为（　　） ．　　．　　．　　． ．已知二次函数 ，当 时， 的最大值与最小值分别为（　　） ．　　．　　．　　．，不存在 ．抛物线 与 轴交于 两点，则线段 的长为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为 ，与 轴交于负半轴．下列结论：；；；．其中正确结论的个数是（　　） ．　　．　　．　　． ．已知抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左侧）， 为抛物线上一动点．当 的面积为 时，符合条件的点 共有（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．抛物线 的对称轴为直线，当 时， 有最大值． ．抛物线 与 轴的交点坐标为． ．抛物线 的顶点坐标为． ．某抛物线形拱桥的桥洞为抛物线状．以拱顶为原点、水平直线为 轴建立平面直角坐标系，桥洞所在抛物线的解析式为 （长度单位：）．正常水位时水面宽 ；当水位上升 后，水面宽度为． ．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为 ，与 轴交于点 ，则该抛物线的解析式为． ．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是． 三、解答题（本大题共小题，共分） ．（分）已知一个二次函数的图象经过点 ，求这个二次函数的解析式． ．（分）用配方法将二次函数 化为 的形式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及 的最小值． ．（分）某商店销售一种纪念徽章，进价为 元/枚．当售价为 元/枚时，每天可售出 枚．市场调查发现：售价每上涨 元，每天销量减少 枚．设售价上涨 元，每天销量如下表（部分）： 上涨 元 … 每天销量/枚 … 用含 的代数式表示每天的销售量； 若每枚售价定为多少元时，每天销售该徽章的利润最大？最大利润是多少元？ 若规定每枚售价不得超过 元，则每天销售该徽章的利润能否达到 元？若能，求出此时每枚的售价；若不能，请说明理由． ．（分）如图，用长为 的篱笆围成一个矩形花圃 ，一边 靠墙（墙的可用长度足够长，篱笆只围 三边），并用一道平行于 的隔栏 把花圃隔成两个小矩形．设垂直于墙的边 的长为 ． 用含 的代数式表示 的长； 当 为何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ ．（分）如图，抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 ，对称轴与 轴交于点 是对称轴上的一个动点． 求点 的坐标； 当 的周长最小时，求点 的坐标及周长的最小值； 点 在抛物线上（异于点 ），当 的面积为 时，直接写出点 的坐标． ．（分）已知抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ． 求该抛物线的解析式与顶点 的坐标（用配方法）； 点 是直线 上方抛物线上的一个动点，连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标； 点 在抛物线上（异于点 ），且 是以 为直角边的直角三角形，求点 的坐标． 第章 二次函数 培优测试卷 —学年人教版九年级数学上册（参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ．　【分析】按定义判断：形如 （）的函数才是二次函数． 【详解】 是一次函数； 含分式 ，不是二次函数； 中 ，是二次函数； 化简得 ，是一次函数．故选 ． ．　【分析】顶点式 的顶点为 ． 【详解】 中 ，顶点坐标为 ．故选 ． ．　【分析】令 ，转化为一元二次方程，用判别式或求根判断交点个数． 【详解】令 ，方程有两个不相等的实数根，故抛物线与 轴有两个交点 ．故选 ． ．　【分析】结合图象的开口方向、对称轴与 轴的交点情况逐一判断． 【详解】抛物线开口向下，，正确；对称轴 ，且 ，得 ，正确；抛物线与 轴有两个交点，，正确；由对称轴 及一个交点 得另一交点为 ，故 时 ，即 ，正确． 个结论都正确，故选 ． ．　【分析】按“左加右减、上加下减”平移． 【详解】向左平移 个单位：；再向下平移 个单位：．故选 ． ．　【分析】把表格中任意三组对应值代入 解方程组，或先验证是否为二次函数． 【详解】把 代入得 ；把 代入得 ，即 ，解得 ．检验： 时 ，与表格相符．故选 ． ．　【分析】抛物线开口向下，在对称轴处取最大值；最小值在区间端点处产生，需比较两端点的函数值． 【详解】对称轴 在 内， 时 取最大值 ； 时 时 最小值为 ．故选 ． ．　【分析】先求抛物线与 轴交点的横坐标（即方程的两根），再求距离． 【详解】令 ，因式分解得 ．故选 ． ．　【分析】由图象开口、对称轴、与 轴交点及 轴交点确定 的符号与关系式． 【详解】开口向上，；由一个交点 与对称轴 得另一交点为 ，故 ，即 ，与 轴交于负半轴（）相符．，正确；图象与 轴有两个交点，，正确； 即 时的函数值，错误；对称轴 ，得 ，即 ，正确．共 个正确，故选 ． ．　【分析】设 到 轴的距离为 ，由面积公式求出 ，再转化为解方程并数点． 【详解】令 得 ，解得 ．，得 ，即 ．当 时，，即 ，解得 或 ，有 个点；当 时，，无实数解，不存在这样的点． 符合条件的点 共有 个．故选 ． 二、填空题（每小题分，共分） ．；；　【分析】顶点式 中对称轴为直线 时在顶点处取最大值 ． 【详解】对称轴为直线 ； 当 时， 取最大值 ． ．　【分析】令 解一元二次方程． 【详解】，因式分解得 ，解得 交点为 ． ．　【分析】用配方法或顶点坐标公式． 【详解】 顶点坐标为 ． ．　【分析】由水面宽求出 的取值，再算出对应 值确定水位变化，最后反向求新水面宽． 【详解】正常水位水面宽 ，即水面在拱顶下方 处；水位上升 后，水面在拱顶下方 处，令 ，得 水面宽度为 ． ．　【分析】由对称轴与一个交点求另一交点，用交点式设解析式． 【详解】设另一交点坐标为 ．由对称轴 得 ，解得 ．设 ，把 代入得 ，解得 ． ．　【分析】抛物线开口向上，在对称轴右侧 随 增大而增大． 【详解】 的对称轴为直线 ．由“当 时 随 的增大而增大”得对称轴不都在 的右侧，即 ． 的取值范围是 ． 三、解答题（共分） ． 【分析】图象过三点，设一般式 ，代入解方程组． 【详解】设这个二次函数的解析式为 ． 把 代入，得 ； 把 代入，得 ，即 ； 把 代入，得 ，即 ． 联立解得 ． 这个二次函数的解析式为 ． 【评分标准】设一般式得 分；分别代入得 组关系得 分；解出 得 分；写出解析式得 分（共 分）． ．；开口向上；对称轴为直线 ；顶点坐标 ； 的最小值为 【分析】配方时加上并减去一次项系数一半的平方． 【详解】． 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ， 当 时， 取最小值 ． 【评分标准】配方正确得 分；开口方向、对称轴、顶点坐标各得 分；最小值得 分（共 分）． ． 枚；售价 元时利润最大，最大利润 元；能达到，此时售价为 元 【分析】由表格规律：售价每上涨 元，销量减少 枚；每枚利润为 元，销量与利润相乘得二次函数，配方求最值；在 范围内求 的解，需结合对称轴判断． 【详解】由表格可知，售价上涨 元时，每天的销售量为 枚． 每枚的利润为 元． ． 当 ，即每枚售价为 元时，利润最大，最大利润为 元． 能．由售价不超过 元得 ．由 可知，当 时， 随 的增大而增大， 当 时， 取最大值 元． 故售价定为 元时，每天利润恰能达到 元． 【评分标准】写出销量得 分；列出 的解析式得 分，配方求得最值与售价得 分；得出 得 分，求出 并验证 元得 分（共 分）． ． ； 时面积最大，最大面积 【分析】篱笆总长；面积 ，配方求最值，注意 的取值范围． 【详解】由题意， ，篱笆总长 ， （）． 花圃的面积 ． 当 时， 取最大值 ． 此时 （），符合实际（ 且 ，即 在范围内）． 答：当 为 时，花圃的面积最大，最大面积是 ． 【评分标准】表示出 得 分；列出 与 的函数关系式得 分，配方求出最大值得 分，写明 的取值检验得 分（共 分）． ．；，周长最小值为 ； 【分析】令 分别求交点； 为定长，只需 最小，由对称性把 转化为 ，利用“两点之间线段最短”；由面积求 到 轴的距离，注意 在 轴下方且异于 ． 【详解】令 ，得 ，解得 ； 令 ，得 ． 抛物线的对称轴为直线 ． 关于直线 的对称点恰为 对于对称轴上的点 ，恒有 ． 的周长 ，当且仅当 在线段 上时取等号． 设直线 的解析式为 ，把 代入得 ， ． 当 时， ． ， 周长的最小值为 ． ，得 ，即点 到 轴的距离为 ． 当 时，，解得 （即点 ，舍去）或 ； 当 时，，解得 ，此时 在第一、二象限（ 轴上方）， 或 ． 点 的坐标为 或 ． 【评分标准】求出 各得 分；说明 及转化得 分，求出 坐标得 分，求出周长最小值得 分；求出 得 分，写全上方两解得 分（共 分）． ．； 的最大值为 ，此时 ； 或 【分析】已知顶点设顶点式；过 作 轴的垂线交直线 于点 ，把 的面积化为铅垂高与水平宽乘积的一半；分 与 两种情形，利用互相垂直的两直线斜率乘积为 求直线，再与抛物线联立． 【详解】 顶点 的横坐标为 ，设抛物线为 ．把 代入得 ． 由图象开口向下及对称性，把 代入：，即 ，解得 ． ，顶点 ． ．设直线 的解析式为 ，代入得 ， ． 设 （），过 作 轴于点 交直线 于点 ， 则 ． ． 当 时， 取最大值 ，此时 ． 直线 的斜率为 ，则与 垂直的直线的斜率为 ． 当 时，直线 过 且斜率为 ，其解析式为 ． 联立 与 ：，整理得 ，解得 （点 ，舍去）或 ， ． 当 时，直线 过 且斜率为 ，其解析式为 ． 联立 与 ：，整理得 ，解得 （点 ，舍去）或 ， ． 综上，点 的坐标为 或 ． 【评分标准】设顶点式并求出 得 分，写出解析式与 坐标得 分；求出直线 得 分，表示出 得 分，面积函数及配方得 分，最大值与 坐标得 分；每种情形各 分（其中求垂直直线解析式 分、求出 坐标 分）（共 分）． 学科网（北京）股份有限公司 $