4.2.2等差数列的前n项和公式同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册（北京专用）

**基本信息** 聚焦等差数列前n项和公式及性质，通过基础梳理-分层训练-综合应用的路径，实现从概念理解到问题解决的递进，适配新授课知识巩固与能力初步培养，体现数学思维的推理能力与数学语言的模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|公式直接应用、基本性质|单选题1-5题直接考查求和公式计算，填空题12题基础量求解，强化运算能力| |能力提升|性质综合、函数关系|单选题6-9题结合等差数列性质与前n项和函数特征，填空题13-14题涉及最值判断，培养推理意识| |综合应用|实际情境、开放探究|解答题16题需选择条件确定数列，单选题2题以塔群为背景，体现数学眼光的抽象能力与应用意识|

4.2.2等差数列的前项和公式同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．等差数列的前项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 ______ ______ 2．等差数列的常用性质 （1）若为等差数列，且，则_______. （2）若是等差数列，公差为，则是公差为______的等差数列. （3）等差数列的前项和为，为等差数列，数列也是等差数列. （4）若等差数列的项数为，则_____an，且，，，______. 若等差数列项数为，则______，______. 3．等差数列与函数的关系 （1）等差数列的通项公式可变形为，当时，它是关于n的一次函数，它的图象是上横坐标为正整数的等间隔的点. 当时，是____数列；当时，是_____数列；当时，是常数列. （2）前项和公式可以变形为，当时，它是关于的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的等间隔分布的一系列孤立的点. 4．等差数列的前n项和的最值 在等差数列中，，，则存在最______值；若，，则存在最______值． 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二下·北京·期中）已知是等差数列，且，则数列前12项和（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．（2026·北京房山·二模）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏，是我国现存规模最大、布局最规整的藏传塔群．塔群依山而建，共行，呈等腰三角形整齐排列，总数恰为座，自上而下数量依次构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（ ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 4．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 5．（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高二下·北京海淀·期中）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·北京·阶段检测）设为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A．为递减数列 B．数列为递减数列 C．为递增数列 D．数列为递增数列 8．（2026·北京大兴·三模）已知等差数列，，，则的最大值为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 9．（25-26高二下·北京·期中）等差数列的前n项和为，若当且仅当时最大，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知等差数列的公差，前项和为，且，则（   ） A．，或， B．， C．， D．， 11．（24-25高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（23-24高二下·北京·期中）等差数列的前n项和为，，，则______． 13．（25-26高二下·北京昌平·期末）若等差数列满足，，则当________时，数列的前项和最大． 14．（2026·北京昌平·一模）已知为等差数列，为其前项和．若，则______． 三、解答题 15．（24-25高二下·北京顺义·阶段检测）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 16．（21-22高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答． （条件①：；      条件②：；    条件③：.） 选择条件　　　　和　　　　　． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，并求数列的前项的和 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2等差数列的前项和公式同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．等差数列的前项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 ______ ______ 【答案】 2．等差数列的常用性质 （1）若为等差数列，且，则_______. （2）若是等差数列，公差为，则是公差为______的等差数列. （3）等差数列的前项和为，为等差数列，数列也是等差数列. （4）若等差数列的项数为，则_____an，且，，，______. 若等差数列项数为，则______，______. 【答案】 3．等差数列与函数的关系 （1）等差数列的通项公式可变形为，当时，它是关于n的一次函数，它的图象是上横坐标为正整数的等间隔的点. 当时，是____数列；当时，是_____数列；当时，是常数列. （2）前项和公式可以变形为，当时，它是关于的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的等间隔分布的一系列孤立的点. 【答案】 递增 递减 4．等差数列的前n项和的最值 在等差数列中，，，则存在最______值；若，，则存在最______值． 【答案】 大 小 【详解】等差数列的前n项和，当，，则，且，该函数图像为开口向下的抛物线，所以存在最大值；当，，则，且，该函数图像为开口向上的抛物线，所以存在最小值. 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二下·北京·期中）已知是等差数列，且，则数列前12项和（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质和前项和公式求解. 【详解】由等差数列的性质可知：， 因此：， 所以得，由等差数列前项和公式可得： . 2．（2026·北京房山·二模）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏，是我国现存规模最大、布局最规整的藏传塔群．塔群依山而建，共行，呈等腰三角形整齐排列，总数恰为座，自上而下数量依次构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用等差数列求和公式，得到与的关系，再求的值. 【详解】因为数列从第5项开始是等差数列， 所以， ， . 3．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（ ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 【答案】D 【详解】已知等差数列，，， 由等差数列前项和公式可得， ，解得， ， ，是开口向上的二次函数， 对称轴为， 由于是正整数，离对称轴最近的整数为7和8， 当取最小值时，7或8． 4．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，由奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以 故选：B. 5．（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求解，并检验的情况即可求得答案. 【详解】因为数列的前项和， 所以，当时，; 当时，，， 故， 当时，不满足， 所以. 6．（21-22高二下·北京海淀·期中）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质、前n项和公式推理计算作答. 【详解】两等差数列，，前n项和分别是，，满足， 所以. 故选：B 7．（25-26高三下·北京·阶段检测）设为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A．为递减数列 B．数列为递减数列 C．为递增数列 D．数列为递增数列 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以. 所以，， 所以数列为递增数列，故A错，C正确； 又当时，所以当时，单调递减； 当时，，单调递增，故B，D错误. 8．（2026·北京大兴·三模）已知等差数列，，，则的最大值为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以当或时，的值最大，最大值为. 9．（25-26高二下·北京·期中）等差数列的前n项和为，若当且仅当时最大，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由仅在取最大值，推得数列递减且，再利用等差数列下标和性质，将选项转化为单一项，最后结合项的正负直接判断即可. 【详解】因为等差数列的前项和，当且仅当时取得最大值， 所以数列是递减等差数列，公差， ，（若，则，不满足“仅当时最大”） 选项A：数列递减，，故，A错误； 选项B：，由，，无法直接判断是否为0，不一定成立，B错误； 选项C：由等差数列性质：，而，故，C正确； 选项D：由等差数列性质：，D错误； 10．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知等差数列的公差，前项和为，且，则（   ） A．，或， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】分，，三种情况结合等差数列性质求解即可. 【详解】因为等差数列的公差，且， 所以等差数列单调递减， 当时，成立； 当时，，， 若此时等号成立，即，此时； 当时，， 若此时等号成立，即，此时； 综上，，或，. 故选：A 11．（24-25高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列通项可证明数列为等差数列，再由恒成立即可得，解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意令， 显然为常数； 所以为等差数列，首项为， 由对任意的恒成立,可知数列为递减数列，且从第11项起开始小于等于0， 所以，即，解得， 故选：A 二、填空题 12．（23-24高二下·北京·期中）等差数列的前n项和为，，，则______． 【答案】 【分析】根据等差数列前项和的性质，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】根据等差数列前项和的片段和性质可知：也构成等差数列，也即构成等差数列， 则，解得. 故答案为：. 13．（25-26高二下·北京昌平·期末）若等差数列满足，，则当________时，数列的前项和最大． 【答案】9 【详解】设，则，解得. 又，所以，由此可知. 所以， 时，，时，， 所以时，数列的前项和最大. 14．（2026·北京昌平·一模）已知为等差数列，为其前项和．若，则______． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 由， 由， 由， 所以. 三、解答题 15．（24-25高二下·北京顺义·阶段检测）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 【答案】(1) (2)；最大值为 【分析】（1）设公差，得出关于的方程组即可求； （2）利用等差数列的前项和公式求，再结合二次函数的单调性即可求最值. 【详解】（1）设数列的公差为， 则，，解得， 则数列的通项公式为. （2），， 因二次函数在处取最大值，故的最大值为. 16．（21-22高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答． （条件①：；      条件②：；    条件③：.） 选择条件　　　　和　　　　　． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，并求数列的前项的和 【答案】(1) (2)当时，当时 【分析】（1）根据可知数列是以公差的等差数列，然后求出首项，即可得通项. （2）由，分情况讨论即可得 【详解】（1）选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故 选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知 ， 选①③，无法确定数列. （2），其中, 当，时， 当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $