2027年中考数学压轴题专题10：隐形圆（适用各种版本）

**基本信息** 以点圆最值为基础，系统构建隐形圆四大模型（定点定长、定边对直角、定边定角、四点共圆）的判定原理与构造方法，形成从原理到应用的完整解题体系，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识储备|4类模型（含原理推导）|模型判定（定义法/定边定角等）、轨迹构造（圆心确定方法）、最值转化（点圆距离）|从圆的基本性质（圆周角定理）延伸到隐形圆判定，通过原理推导建立模型应用逻辑链| |典型例题|4道（覆盖折叠/定角轨迹等考法）|折叠问题转化定点定长、直角顶点轨迹定位直径、定角对应圆弧圆心构造|以具体图形为载体，示范模型识别与轨迹应用的解题步骤| |巩固练习|19道（综合矩形/菱形等图形）|动态问题轨迹分析、最值计算（点到圆距离）、跨模型综合应用|结合中考高频图形，强化模型迁移能力，提升抽象能力与应用意识|

专题 十: 隐形圆 一：基础知识储备 【点圆最值模型】如图，A为圆外一点，点 P 为圆O 上一动点, 求 AP 的最小值和最大值？ 分析：如图，连接 OP，连接 OA 延长交圆于 P1、P2，在△AOP中, AO－OP ≤ PA ≤ AO＋ OP， ∴ PA 的最小值为 AO － OP ＝ AP1，PA 的最大值为 AO ＋ OP＝ AP2. 结论：AP2 为穿心线，一边交点（P1)取最小，另一边 (P2) 交点取最大 . 【隐形圆中考常考模型】 隐形圆模型 “隐形圆”类型 内容 定义法 动点到定点距离等于定长 直径的性质（属于定边定角的一种） 直角所对的弦是直径 定边定角 同弧所对的圆周角相等 四点共圆 圆的内接四边形对角互补 一、定点定长模型 (1)若点 O 是定点，点 A 是动点，且点 A 到点 O 的距离为定值，则点 A 的运动轨迹是圆； (2)折叠出定点定长，如图下图，四边形 ABCD 是矩形，M 是 AD 的中点，F 是 AB 上动点，将 △AMF 沿 MF折叠得到 △MFE，则点 E 在以点 M 为圆心，MA 为半径的圆上. (3) 隐形圆三要素：1. 定点 (圆心)，2. 动点 (运动轨迹)；3. 动定(距离始终保持不变）. 二、定边对直角模型 知识回顾: 直径所对的圆周角是直角,90° 圆周角所对的弦是直径。 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以该定边为直径的圆或圆弧;如上图，若 AB 是一条定线段, 且 ∠APB = 90°, 则P点轨迹是以AB为直径的圆。 三、定边对定角模型 定义：在一个三角形中，若一条边的长度固定（定边），这条边所对的角的大小也固定（定角），这个角的顶点是一个动点，则称此三角形符合定边定角模型； 特点与性质:(1) 轨迹为圆弧, 定边所对的顶点的轨迹是一个圆. 当定角为直角时，定边是圆的直径；当定角为锐角时，圆心在三角形外；当定角为钝角时，圆心在三角形内；(2) 通常这个定角为特殊角，比如 30°、45°、 60°、90°、120° ,下面分别作对应的轨迹. (1) 若 ∠P = 30° ,以 AB 为边，同侧构造等边三角形AOB，O 即为圆心 . 原理：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可知 ∠AOB = 60° ,因为 OA = OB（半径），所以在 ∠P 的同侧构造等边三角形 AOB，点O即为圆心. (2) 若 ∠P = 45° ,以 AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O 即为圆心. 原理：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可知 ∠AOB = 90° ,因为OA = OB（半径），所以在 ∠P 的同侧构造等腰直角三角形 AOB，点O即为圆心. (3) 若 ∠P = 60° ,以 AB 为底，同侧构造顶角为 120° 的等腰三角形 AOB，O 即为圆心. 原理：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可知 ∠AOB = 120° ,因为 OA = OB（半径），所以在 ∠P 的同侧构造顶角为120°的等腰三角形 AOB，点 O 即为圆心. (4) 若 ∠P = 90° ,因为 90° 圆周角所对的弦是直径，所以 AB 中点为圆心，这也是上面所讲的定边对直角. 原理：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可知 ∠AOB = 180° ,所以 AB 为直径，AB 中点即为圆心. (5) 若 ∠P = 120° ,以 AB 为底，异侧为边构造顶角为 120° 的等腰三角形 AOB，O 即为圆心. 原理：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可知 ∠AOB = 240° ,因为 OA = OB（半径），所以在 ∠P 的异侧构造顶角为 120° 的等腰三角形 AOB，点 O 即为圆心. 四、四点共圆模型 四点共圆模型① : 若动角 ∠A + 动角 ∠C = 180° , 则 A、B、C、D 四点共圆原理：圆内接四边形对角互补（备注：点 A 与点 C 在线段 BD 异侧） 四点共圆模型② : 固定线段 AB 所对同侧动角 ∠D = ∠C, 则 A、B、C、D 四点共圆 原理: 弦 AB 所对同侧圆周角恒相等（备注：点 D 与点 C 需在线段 AB 同侧） 总结：四点共圆条件：同侧角相等，异侧角互补。 二：典型例题分析 例题1：如图，在RtΔABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，点 F 在边 AC 上，并且 CF = 2，点E 为边BC 上的动点，将 ΔCEF 沿直线EF 翻折，点 C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 . 答案： 例题2：如图，RtΔABC 中，AB 丄 BC，AB = 6 ，BC = 4 ，P是 ΔABC内部的一个动点，且满足 ∠PAB = ∠PBC，则线段 CP 长的最小值为 。 答案：2 例题3：在 ΔABC 中，∠ABC = 90°，AB = 2，BC = 3 ．点D 为平面上一个动点，∠ADB = 45°，则线段 CD 长度的最小值为 。 答案： 例题4：如图，已知 △ABC 中，AB = 2，AC = 3，BC = ，动点D 在边BC 上运动，过点D 作DE 丄AB，DF 丄AC，垂足分别为E、F，则EF 的最小值为 。 答案： 三：巩固练习 练习1：如图，在RtΔABC 中，∠ABC = 90°，BC = 2，点D 在 AC 边上运动，将 ΔBCD 沿BD 翻折，点 C 的对应点为 C,，在点D 从点 C 到点A 的动过程中，点 C, 运动的路径长为 。 答案：2Π 练习2：如图，在 ΔABC 中，∠C = 90° , AC = 8，AB = 10，D 是AC 上一点，且 CD = 2，E 是BC 边上一点，将ΔDCE 沿DE 折叠，使点 C 落在点F 处，连接BF，则BF 的最小值为 . 答案： 练习3：如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A = 60° , M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将 △AMN沿MN所在的直线翻折得到 △A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是 。 答案： 练习4：如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB = 3，BC = 4，点 P 是 BC 边上一动点(点 P 不与B，C 重合)，连接AP，作点B 关于直线AP 的对称点M，则线段MC 的最小值为 . 答案：2 练习5：如图，矩形 ABCD 中，AB = 4，BC = 8，P，Q 分别是直线BC，AB 上的两个动点，AE = 2，△AEQ沿EQ 翻折形成 △FEQ，连接PF，PD，则PF + PD 的最小值是 。 答案：8 练习6：有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC = 90° ,点M，N 分别在射线BA，BC 上，MN长度始终保持不变，MN = 4，E 为MN 的中点，点D 到BA，BC 的距离分别为4 和2 ．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为 . 答案： 练习7：如图，点 A，B 的坐标分别为 A(2,0)，B(0,2)，点 C 为坐标平面内一点，BC = 1，点M为线段 AC 的中点，连接 OM，则 OM 的最大值为 . 答案： 练习8：如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 DC、AD 边上的动点，且 AE 丄 BF，垂足为 P，连接 CP．若正方形的边长为 1，则线段 CP 的最小值为 . 答案： 练习9：如图，在正方形 ABCD 中，AB = 4 2 ，E，F 分别为 BC，AD 上的点，过点 E，F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，过点A 作AG 丄 EF 于点 G，连接DG，则线段DG 的最小值为 . 答案： 练习10：如图，RtΔABC 中，AC = ，∠CAB = 30° ,点D 和点B 分别在线段 AC 的异侧，且 7ADC = 30° ,连BD，则BD 的最大值为 . 答案： 练习11：如图，在边长为 6 的等边 ΔABC 中，点E，F 分别是边 AC，BC 上的动点，且 AE = CF，连接BE，AF交于点P，连接 CP，则 CP 的最小值为 . 答案： 练习12：如图，在矩形 ABCD 中，AD = 5，AB = ，点 E 在 AB 上 ，在矩形内找一点 P，使得∠BPE = 60° ,则线段PD 的最小值为 . 答案： 练习13：如图，在矩形 ABCD 中，AB = 5，AD = 4，M 是边 AB 上一动点 )不含端点(，将 ΔADM沿直线 DM 对折，得到 ΔNDM ．当射线 CN 交线段 AB 于点 P 时，连接 DP，则 ΔCDP 的面积为 ； DP 的最大值为 ． 答案：10； 练习14：如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD = 60° , AB =，E，F 分别是边 AD，BD 上的两个动点，满足 AE = DF，AF 与 BE 交于点P ． ∠APE 的度数为 ；当 ∠PCB 最大时，线段 CP 的长是 ． 答案：60°； 练习15：在矩形 ABCD 中，AB = 10，AD = 8，点N是线段BC 的中点，点E，G 分别为射线DA，线段AB 上的动点，CE 交以DE 为直径的圆于点M，则 GM + GN 的最小值为 ． 答案：8 练习16：如图，在 ΔABC 中，AB = 2，BD 是高．若BDAC，则BC 的长的最小值为 ． 答案： 练习17：如图，在 RtΔABC 中，∠ACB = 90° , CA = CB = 3，线段 CD 绕点 C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若 CD = 1，则AE 的最大值为 ，最小值为 ． 答案： 练习18：如图，已知两条平行线 l1、l2，点 A 是 l1 上的定点，AB ⊥ l2 于点B，点 C、D 分别是 l1，l2上的动点，且满足 AC = BD ，连接 CD 交线段 AB 于点 E ，BH ⊥ CD 于点 H ，则当 ∠BAH 最大时， sin∠BAH 的值为 ． 答案： 练习19：如图，在正方形 ABCD 中，AB = 8 3 ，点 E 为边 AD 上一点，连接BE，点 G 在BE 上，以 GE 为边作等边 △EFG，点 F 落在 CD 上，M 为 GF 中点，连接 CM，则 CM 的最小值为 ． 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 十: 隐形圆 一：基础知识储备 【点圆最值模型】如图，A为圆外一点，点 P 为圆O 上一动点, 求 AP 的最小值和最大值？ 分析：如图，连接 OP，连接 OA 延长交圆于 P1、P2，在△AOP中, AO－OP ≤ PA ≤ AO＋ OP， ∴ PA 的最小值为 AO － OP ＝ AP1，PA 的最大值为 AO ＋ OP＝ AP2. 结论：AP2 为穿心线，一边交点（P1)取最小，另一边 (P2) 交点取最大 . 【隐形圆中考常考模型】 隐形圆模型 “隐形圆”类型 内容 定义法 动点到定点距离等于定长 直径的性质（属于定边定角的一种） 直角所对的弦是直径 定边定角 同弧所对的圆周角相等 四点共圆 圆的内接四边形对角互补 一、定点定长模型 (1)若点 O 是定点，点 A 是动点，且点 A 到点 O 的距离为定值，则点 A 的运动轨迹是圆； (2)折叠出定点定长，如图下图，四边形 ABCD 是矩形，M 是 AD 的中点，F 是 AB 上动点，将 △AMF 沿 MF折叠得到 △MFE，则点 E 在以点 M 为圆心，MA 为半径的圆上. (3) 隐形圆三要素：1. 定点 (圆心)，2. 动点 (运动轨迹)；3. 动定(距离始终保持不变）. 二、定边对直角模型 知识回顾: 直径所对的圆周角是直角,90° 圆周角所对的弦是直径。 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以该定边为直径的圆或圆弧;如上图，若 AB 是一条定线段, 且 ∠APB = 90°, 则P点轨迹是以AB为直径的圆。 三、定边对定角模型 定义：在一个三角形中，若一条边的长度固定（定边），这条边所对的角的大小也固定（定角），这个角的顶点是一个动点，则称此三角形符合定边定角模型； 特点与性质:(1) 轨迹为圆弧, 定边所对的顶点的轨迹是一个圆. 当定角为直角时，定边是圆的直径；当定角为锐角时，圆心在三角形外；当定角为钝角时，圆心在三角形内；(2) 通常这个定角为特殊角，比如 30°、45°、 60°、90°、120° ,下面分别作对应的轨迹. (1) 若 ∠P = 30° ,以 AB 为边，同侧构造等边三角形AOB，O 即为圆心 . 原理：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可知 ∠AOB = 60° ,因为 OA = OB（半径），所以在 ∠P 的同侧构造等边三角形 AOB，点O即为圆心. (2) 若 ∠P = 45° ,以 AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O 即为圆心. 原理：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可知 ∠AOB = 90° ,因为OA = OB（半径），所以在 ∠P 的同侧构造等腰直角三角形 AOB，点O即为圆心. (3) 若 ∠P = 60° ,以 AB 为底，同侧构造顶角为 120° 的等腰三角形 AOB，O 即为圆心. 原理：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可知 ∠AOB = 120° ,因为 OA = OB（半径），所以在 ∠P 的同侧构造顶角为120°的等腰三角形 AOB，点 O 即为圆心. (4) 若 ∠P = 90° ,因为 90° 圆周角所对的弦是直径，所以 AB 中点为圆心，这也是上面所讲的定边对直角. 原理：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可知 ∠AOB = 180° ,所以 AB 为直径，AB 中点即为圆心. (5) 若 ∠P = 120° ,以 AB 为底，异侧为边构造顶角为 120° 的等腰三角形 AOB，O 即为圆心. 原理：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可知 ∠AOB = 240° ,因为 OA = OB（半径），所以在 ∠P 的异侧构造顶角为 120° 的等腰三角形 AOB，点 O 即为圆心. 四、四点共圆模型 四点共圆模型① : 若动角 ∠A + 动角 ∠C = 180° , 则 A、B、C、D 四点共圆原理：圆内接四边形对角互补（备注：点 A 与点 C 在线段 BD 异侧） 四点共圆模型② : 固定线段 AB 所对同侧动角 ∠D = ∠C, 则 A、B、C、D 四点共圆 原理: 弦 AB 所对同侧圆周角恒相等（备注：点 D 与点 C 需在线段 AB 同侧） 总结：四点共圆条件：同侧角相等，异侧角互补。 二：典型例题分析 例题1：如图，在RtΔABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，点 F 在边 AC 上，并且 CF = 2，点E 为边BC 上的动点，将 ΔCEF 沿直线EF 翻折，点 C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 . 例题2：如图，RtΔABC 中，AB 丄 BC，AB = 6 ，BC = 4 ，P是 ΔABC内部的一个动点，且满足 ∠PAB = ∠PBC，则线段 CP 长的最小值为 。 例题3：在 ΔABC 中，∠ABC = 90°，AB = 2，BC = 3 ．点D 为平面上一个动点，∠ADB = 45°，则线段 CD 长度的最小值为 。 例题4：如图，已知 △ABC 中，AB = 2，AC = 3，BC = ，动点D 在边BC 上运动，过点D 作DE 丄AB，DF 丄AC，垂足分别为E、F，则EF 的最小值为 。 三：巩固练习 练习1：如图，在RtΔABC 中，∠ABC = 90°，BC = 2，点D 在 AC 边上运动，将 ΔBCD 沿BD 翻折，点 C 的对应点为 C,，在点D 从点 C 到点A 的动过程中，点 C, 运动的路径长为 。 练习2：如图，在 ΔABC 中，∠C = 90° , AC = 8，AB = 10，D 是AC 上一点，且 CD = 2，E 是BC 边上一点，将ΔDCE 沿DE 折叠，使点 C 落在点F 处，连接BF，则BF 的最小值为 . 练习3：如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A = 60° , M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将 △AMN沿MN所在的直线翻折得到 △A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是 。 练习4：如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB = 3，BC = 4，点 P 是 BC 边上一动点(点 P 不与B，C 重合)，连接AP，作点B 关于直线AP 的对称点M，则线段MC 的最小值为 . 练习5：如图，矩形 ABCD 中，AB = 4，BC = 8，P，Q 分别是直线BC，AB 上的两个动点，AE = 2，△AEQ沿EQ 翻折形成 △FEQ，连接PF，PD，则PF + PD 的最小值是 。 练习6：有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC = 90° ,点M，N 分别在射线BA，BC 上，MN长度始终保持不变，MN = 4，E 为MN 的中点，点D 到BA，BC 的距离分别为4 和2 ．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为 . 练习7：如图，点 A，B 的坐标分别为 A(2,0)，B(0,2)，点 C 为坐标平面内一点，BC = 1，点M为线段 AC 的中点，连接 OM，则 OM 的最大值为 . 练习8：如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 DC、AD 边上的动点，且 AE 丄 BF，垂足为 P，连接 CP．若正方形的边长为 1，则线段 CP 的最小值为 . 练习9：如图，在正方形 ABCD 中，AB = 4 2 ，E，F 分别为 BC，AD 上的点，过点 E，F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，过点A 作AG 丄 EF 于点 G，连接DG，则线段DG 的最小值为 . 练习10：如图，RtΔABC 中，AC = ，∠CAB = 30° ,点D 和点B 分别在线段 AC 的异侧，且 7ADC = 30° ,连BD，则BD 的最大值为 . 练习11：如图，在边长为 6 的等边 ΔABC 中，点E，F 分别是边 AC，BC 上的动点，且 AE = CF，连接BE，AF交于点P，连接 CP，则 CP 的最小值为 . 练习12：如图，在矩形 ABCD 中，AD = 5，AB = ，点 E 在 AB 上 ，在矩形内找一点 P，使得∠BPE = 60° ,则线段PD 的最小值为 . 练习13：如图，在矩形 ABCD 中，AB = 5，AD = 4，M 是边 AB 上一动点 )不含端点(，将 ΔADM沿直线 DM 对折，得到 ΔNDM ．当射线 CN 交线段 AB 于点 P 时，连接 DP，则 ΔCDP 的面积为 ； DP 的最大值为 ． 练习14：如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD = 60° , AB =，E，F 分别是边 AD，BD 上的两个动点，满足 AE = DF，AF 与 BE 交于点P ． ∠APE 的度数为 ；当 ∠PCB 最大时，线段 CP 的长是 ． 练习15：在矩形 ABCD 中，AB = 10，AD = 8，点N是线段BC 的中点，点E，G 分别为射线DA，线段AB 上的动点，CE 交以DE 为直径的圆于点M，则 GM + GN 的最小值为 ． 练习16：如图，在 ΔABC 中，AB = 2，BD 是高．若BDAC，则BC 的长的最小值为 ． 练习17：如图，在 RtΔABC 中，∠ACB = 90° , CA = CB = 3，线段 CD 绕点 C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若 CD = 1，则AE 的最大值为 ，最小值为 ． 练习18：如图，已知两条平行线 l1、l2，点 A 是 l1 上的定点，AB ⊥ l2 于点B，点 C、D 分别是 l1，l2上的动点，且满足 AC = BD ，连接 CD 交线段 AB 于点 E ，BH ⊥ CD 于点 H ，则当 ∠BAH 最大时， sin∠BAH 的值为 ． 练习19：如图，在正方形 ABCD 中，AB = 8 3 ，点 E 为边 AD 上一点，连接BE，点 G 在BE 上，以 GE 为边作等边 △EFG，点 F 落在 CD 上，M 为 GF 中点，连接 CM，则 CM 的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $