07 第二章 第7课时 函数的单调性与最值课件-2027届高三数一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数的单调性与最值专题，依据考试要求梳理了单调性定义、单调区间判断、最值求法等核心考点，通过教材真题改编和2024新高考Ⅰ卷等真题分析，明确比较大小、解不等式、参数范围求解等常考题型，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题引路+方法归纳+素养提升”策略，如以典例5（2024新高考Ⅰ卷）为例，用导数法和定义法突破分段函数单调性问题，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。特设“易错点警示”和“二级结论速记”，帮助学生掌握“同增异减”等技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

第7课时　函数的单调性与最值 第二章 函数的概念与性质 [考试要求]　 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值． 2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 第7课时　函数的单调性与最值 2 以题引理·激活思维 1．(湘教版必修第一册P82练习T2改编)函数y＝－在区间[1，2]上的最大值为(　　) A．－ C．－1 D．不存在 √ A　[y＝－在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－在区间[1，2]上单调递增，所以ymax＝－．] 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 3 2．(多选)(人教A版必修第一册P86习题3.2T3改编)下列函数在(0， ＋∞)上单调递增的是(　　) A．f (x)＝－2x＋1 B．f (x)＝x2＋1 C．f (x)＝1－ D．f (x)＝|x| √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 4 BCD　[对于A，f (x)＝－2x＋1是一次函数，所以f (x)在R上是减函数，故A错误；对于B，因为f (x)＝x2＋1图象的对称轴为y轴，所以 f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，因为y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，函数f (x)＝|x|＝ 函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故D正确．] 5 3．(多选)(人教A版必修第一册P86习题3.2T9改编)如果函数f (x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论正确的是 (　　) A．>0 B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0 C．f (a)<f (x1)<f (x2)<f (b) D．>0 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 6 ABD　[因为f (x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f (x1)－f (x2)的符号相同，所以A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f (a)≤f (x1)<f (x2)≤f (b)．] 7 4．(北师大版必修第一册P64练习T2改编)若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[5，20]上具有单调性，则实数m的取值范围是___________________． (－∞，5]∪[20，＋∞)　[函数f (x)的图象的对称轴是直线x＝m，当m≤5或m≥20时，f (x)在[5，20]上具有单调性，所以实数m的取值范围为(－∞，5]∪[20，＋∞)．] (－∞，5]∪[20，＋∞) 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 8 5．(苏教版必修第一册P122习题5.3T4改编)函数y＝f (x)是定义在 [－2，2]上的减函数，且f (a＋1)<f (2a)，则实数a的取值范围是________． [－1，1)　[由条件知解得－1≤a<1．] [－1，1) 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 9 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有____________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有_____________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 f (x1)<f (x2) f (x1)>f (x2) 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 10   增函数 减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 11 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f (x)在区间I上________或_________，那么就说函数y＝ f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，______叫做y＝f (x)的单调区间． 单调递增 单调递减 区间I 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 12 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有_______； ②∃x0∈D，使得_________ ①∀x∈D，都有____________； ②∃x0∈D，使得_____________ 结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值 f (x)≤M f (x0)＝M f (x)≥M f (x0)＝M 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 13 [二级结论] 最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处． 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 14 1．判定函数单调性的四种方法：定义法、图象法、导数法和性质法． 2．复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”． 3．借助函数的单调性实现函数值与自变量间的转换 (1)f (x1)<f (x2) x1<x2； (2)f (x1)<f (x2) x1>x2． 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 15 考点一　确定函数的单调性(单调区间) 考向1　图象法、性质法确定函数的单调性 [典例1]　(1)函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) (2)(北师大版必修第一册P65习题2-3B组T2改编)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是______________________________． 精研考点·提升素养 √ [－1，2]，[5，＋∞) 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 16 (1)D　(2)[－1，2]，[5，＋∞)　[(1)由x2－2x－8>0，解得x<－2或x>4，所以函数y＝ln(x2－2x－8)的定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞)． 令u＝x2－2x－8，则函数u＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，而函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可得，y＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D． 17 (2)函数y＝|－x2＋4x＋5| ＝ 由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5， 函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示， 由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的 单调递增区间为[－1，2]，[5，＋∞)．] 18 (－∞，－2]，[0，2]　[f (x)＝ 即f (x)＝ 画出函数f (x)的图象如图所示， 可知函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递 增区间为(－∞，－2]，[0，2]．] 【拓展变式】　函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为________________________． (－∞，－2]，[0，2] 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 19 考向2　定义法、导数法确定函数的单调性 [典例2]　试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)内的单调性． [解]　法一(定义法)：令∀x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， f (x)＝a，f (x1)－f (x2)＝a，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0， 即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1，1)内单调递减； 当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)，函数f (x)在(－1，1)内单调递增． 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 20 法二(导数法)：f '(x)＝＝． 当a>0时，f '(x)<0，函数f (x)在(－1，1)内单调递减； 当a<0时，f '(x)>0，函数f (x)在(－1，1)内单调递增． 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 21 名师点评：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2)函数在两个不同的区间上单调性相同，区间要分开写，用“，”“和”连接，不要用“∪”． 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 22 [巩固迁移] 1．函数f (x)＝的单调递减区间为(　　) A． C． √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 23 D　[因为函数y＝2x2－3x＋11在上单调递增， y＝是减函数，根据复合函数的单调性，可得f (x)的单调递减区间为． 故选D．] 24 2．下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，使得<0”的是(　　) A．f (x)＝－x2－2x＋1 B．f (x)＝x－ C．f (x)＝x＋1 D．f (x)＝log2(2x)＋1 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 25 A　[根据题意，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减． 对于选项A，f (x)＝－x2－2x＋1为二次函数，图象的对称轴为直线x＝－1，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，符合题意； 对于选项B，f (x)＝x－，则f '(x)＝1＋，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 对于选项C，f (x)＝x＋1为一次函数，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 对于选项D，由复合函数的单调性知，f (x)＝log2(2x)＋1在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．故选A．] 26 【教用·备选题】 已知函数y＝f (x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f (x)＋x是增函数 B．y＝f (x)＋x是减函数 C．y＝f (x)是增函数 D．y＝f (x)是减函数 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 27 A　[不妨令x1<x2，∴x1－x2<0， ∵>－1⇔f (x1)－f (x2)<－(x1－x2)⇔f (x1)＋x1<f (x2)＋x2， 令g(x)＝f (x)＋x，∴g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，∴g(x)＝f (x)＋x是增函数． 故选A．] 28 考点二　函数单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 [典例3]　已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时， [f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 29 D　[因为f (x)的图象关于直线x＝1对称，可得f ．当x2>x1>1时， [f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，可知f (x)在(1，＋∞)上单调递减． 因为1<2<<e，所以f (2)>f >f (e)，所以b>a>c．] 30 考向2　解不等式 [典例4]　(1)已知函数f (x)＝若f (a＋1)－f (2a－1)≥0，则实数a的取值范围是____________． (2)设f (x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，则不等式f (x)＋f (2)>1的解集为_____________． 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 31 (1)　[(1)因为当x∈(0，2]时，f (x)＝log2x单调递增，此时f (x)≤f (2)＝1， 当x∈(2，＋∞)时，f (x)＝2x－3单调递增， 此时f (x)>f (2)＝1， 函数f (x)的图象如图所示． 所以f (x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以若f (a＋1)－f (2a－1)≥0，即f (a＋1)≥f (2a－1)， 则a＋1≥2a－1>0，解得<a≤2，故实数a的取值范围是． 32 (2)由条件可得f (x)＋f (2)＝f (2x)，又f (3)＝1， ∴不等式f (x)＋f (2)>1，即为f (2x)>f (3)， ∵f (x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， ∴2x>3，解得x>，故不等式f (x)＋f (2)>1的解集为．] 33 考向3　求参数的取值范围 [典例5]　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) (2)(2026·江苏盐城模拟)已知f (x)＝x2－(2a－1)x＋1，∀x1，x2∈[1，＋∞)都有≥1成立，则实数a的取值范围是__________． √ (－∞，1] 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 34 (1)B　(2)(－∞，1]　[(1)因为f (x)在R上单调递增，且x≥0时， f (x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增， 则需满足解得－1≤a≤0， 即a的取值范围是[－1，0]．故选B． 35 (2)由≥1，得－1≥0， 则≥0， 设函数g(x)＝f (x)－x，则∀x1，x2∈[1，＋∞)，都有≥0成立， 所以函数g(x)＝x2－2ax＋1在区间[1，＋∞)上单调递增， 所以≤1，解得a≤1，则实数a的取值范围是(－∞，1]．] 36 名师点评：应用函数单调性解题的注意事项 (1)比较函数值的大小，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)对于分段函数的单调性，除了保证每一段单调外，还要注意衔接点的函数值，在衔接点处需建立一个不等式． 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 37 [巩固迁移] 3．(2026·福建漳州模拟)已知函数f (x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，－2] B．[－3，0] C．(－∞，－2] D．(－∞，0) √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 38 A　[由于函数f (x)＝是定义在R上的减函数， 所以函数y＝x2＋ax＋5在区间(－∞，1]上单调递减，函数y＝－在区间(1，＋∞)上单调递减，即 解得－3≤a≤－2．故选A．] 39 4．已知函数f (x)＝x|x|，则关于x的不等式f (2x)>f (1－x)的解集为__________________． 　[由f (x)＝x故f (x)在R上单调递增，由f (2x)>f (1－x)，有2x>1－x，即x>．则不等式f (2x)>f (1－x)的解集为．] 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 40 【教用·备选题】 1．已知减函数f (x)的定义域是R，m，n都是实数．如果不等式f (m)－f (n)>f (－m)－f (－n)成立，那么下列不等式成立的是(　　) A．m－n<0 B．m－n>0 C．m＋n<0 D．m＋n>0 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 41 A　[设F(x)＝f (x)－f (－x)， 由于f (x)是R上的减函数， ∴f (－x)是R上的增函数，－f (－x)是R上的减函数，∴F(x)是R上的减函数， ∴当m<n时，有F(m)>F(n)， 即f (m)－f (－m)>f (n)－f (－n)成立． ∴当f (m)－f (n)>f (－m)－f (－n)成立时，不等式m－n<0一定成立，故选A．] 42 2．(多选)已知函数f (x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　　) A．a＝－1，b＝2 B．a＝2，b＝1 C．a＝1，b> D．0<a≤1，b＝2 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 43 CD　[根据题意， f (x)＝＝． 若函数f (x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则①a＝0时，b>0；②a>0时，－≤－2，3－<0，即0<a≤1且>3，据此分析选项C，D符合．] 44 考点三　求函数的值域或最值 [典例6]　(1)已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1，2，3}＝3，若函数f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，则 f (x)的最小值为(　　) A．2.5 B．3 C．4 D．5 (2)若函数f (x)＝在区间[0，1]上的最大值为3，则实数m＝________． √ 3 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 45 (1)B　(2)3　[(1)在同一平面直角坐标系中画出函数y＝－x2＋4，y＝－x＋2，y＝x＋3的图象， 因为f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}， 所以f (x)的图象如图中实线部分所示， 由x<0，可得A(－1，3)， 由x>0，可得B， 46 由图知f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)内单调递增，在上单调递增， 所以f (x)的最小值为3．故选B． (2)因为函数f (x)＝，由反比例函数的单调性知，当m>2时，f (x)＝在[0，1]上单调递减，最大值为f (0)＝m＝3；当m<2时，f (x)＝在[0，1]上单调递增，最大值为f (1)＝＝3，即m＝4，与m<2矛盾，舍去．故实数m＝3．] 47 名师点评：求函数最值的五种常用方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数法和换元法． 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 48 [巩固迁移] 5．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－ D．函数y＝，＋∞) √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 49 ACD　[对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图1所示)，可得函数的值域为[2，6)，故A正确； 对于B，(分离常数法)y＝≠0， ∴y≠2．故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，故B错误； 对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2， 50 由t≥0，再结合函数的图象(如图2所示)，可得函数的值域为，故C正确；对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增， ∴y＝在[1，＋∞)上单调递增， ∴当x＝1时，ymin＝ ，＋∞)，故D正确．故选ACD．] 51 【教用·备选题】 1．函数y＝1＋x－的值域为(　　) A． C． √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 52 B　[法一：设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2．因为t≥0，所以y≤． 所以函数y＝1＋x－． 法二：因为y＝1＋x－上单调递增，所以y＝1＋x－．] 53 2．已知函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}，若M(x)的最小值为－，则实数a的值为(　　) A．0 B．±1 C．± D．±2 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 54 B　[函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，根据题意，当a>0时，函数M(x)的图象如图所示， 由图象可知，在点A处M(x)取得最小值，为－， 故2x2－1＝－，解得x＝±， 由图象可知x＝－ 代入g(x)＝ax得－， 解得a＝1． 55 同理如果a<0，则2x2－1＝－，解得x＝±，∴x＝代入g(x)＝ax，得，解得a＝－1．当a＝0时，M(x)的最小值为0，不符合题意． 综上所述，a＝±1． 故选B．] 56 一、单项选择题 1．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是 (　　) A．f (x)＝－ln x B．f (x)＝ C．f (x)＝－ D．f (x)＝3|x-1| 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 课后作业(七)　函数的单调性与最值 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 57 C　[对于A，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，A选项错误； 对于B，y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，B选项错误； 对于C，y＝在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，C选项正确； 对于D，f (x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不单调，D选项错误．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．函数f (x)＝－2x在区间(－2，－1]上的最小值为(　　) A．1 B． D．－1 √ A　[因为y＝，y＝－2x在区间(－2，－1]上都单调递减，所以f (x)＝－2x在区间(－2，－1]上单调递减，因此f (x)min＝f (－1)＝－1＋2＝1．故选A．] 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 59 3．函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A． C．[1，＋∞) D．∪[1，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 60 B　[g(x)＝x|x－1|＋1＝ 画出函数图象如图所示． 根据图象知函数g(x)的单调 递减区间为．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 61 4．(2025·广东茂名一模)已知函数f (x)＝在区间(a， ＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，3] C．[3，＋∞) D．[5，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 62 D　[由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5， 即函数f (x)的定义域为(－∞，1]∪[5，＋∞)， 又因为t＝x2－6x＋5在[5，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减， y＝在[0，＋∞)上单调递增， 由复合函数的单调性可知f (x)＝在区间[5，＋∞)上单调递增，所以a≥5．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 63 5．(2026·安徽阜阳模拟)函数f (x)＝<0成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[－4，－1] B．[－4，－2] C．(－5，－1] D．[－5，－4] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 64 A　[因为对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，都有<0成立， 所以f (x)在R上是减函数， 则 解得－4≤a≤－1．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 65 6．(2026·江苏扬州模拟)已知函数f (x)在[1，＋∞)上单调递减且对任意x∈R满足f (x)＝f (2－x)，则不等式f (2x－3)>f (x)的解集是(　　) A．∪(3，＋∞) B． C． D．(3，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 66 B　[因为对任意x∈R满足f (x)＝f (2－x)，所以f (x)图象的对称轴为直线x＝1．又函数f (x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f (x)在(－∞，1)上单调递增，所以f (2x－3)>f (x)⇒(2x－3－1)2<(x－1)2，解得x∈．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 67 二、多项选择题 7．已知函数f (x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　) A．当a>0时，f (x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a>0时，f (x)的值域为R 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 68 BCD　[当a>0时，f (x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，当x→0+时，f (x)→－∞，故f (x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时， f (x)＝x＋为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确；当x>0时，x＋＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x<0时，x＋＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 69 8．函数f (x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f (x1)＋x2f (x2)>x1f (x2)＋x2f (x1)，下列结论正确的是(　　) A．函数f (x)是减函数 B．f (－5)<f (0)<f (1) C．f (0)＝0 D．不等式f (2x－1)<f (3－x)的解集为 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 70 BD　[由x1f (x1)＋x2f (x2)>x1f (x2)＋x2f (x1)， 得(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0， 因此f (x)是增函数，A错误； 由－5<0<1，得f (－5)<f (0)<f (1)，B正确； 不一定有f (0)＝0，如f (x)＝2x在R上为增函数，f (0)＝1，C错误； 由f (2x－1)<f (3－x)，得2x－1<3－x，解得x<，D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 71 三、填空题 9．已知函数f (x)＝则f (x)的最小值是_________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2－6 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 72 2－6　[因为函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f (x)min＝f (0)＝0．当x>1时，y＝x＋，当且仅当x＝时，等号成立，此时f (x)min＝2－6．又2－6<0，所以f (x)min＝2－6．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 73 10．函数f (x)的定义域为A，若x1，x2∈A且当f (x1)＝f (x2)时总有x1＝x2，则称f (x)为单函数．例如，函数f (x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题： ①函数f (x)＝x2(x∈R)是单函数； ②指数函数f (x)＝2x(x∈R)是单函数； ③若f (x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f (x1)≠f (x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 ②③④ 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 74 ②③④　[①若函数f (x)＝x2(x∈R)是单函数，则由f (x1)＝f (x2)得，即x1＝－x2或x1＝x2，不满足单函数的定义，故①错误； ②若指数函数f (x)＝2x(x∈R)是单函数，则由f (x1)＝f (x2)得，即x1＝x2，满足单函数的定义，故②正确； ③若f (x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f (x1)≠f (x2)，故③正确； ④在定义域上具有单调性的函数一定满足当f (x1)＝f (x2)时总有x1＝x2，所以是单函数，成立，故④正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 75 四、解答题 11．已知函数f (x)＝(a>0)． (1)当a＝2时，试判断x∈[1，＋∞)时f (x)的单调性，并证明； (2)当x∈(0，1]时，f (x)单调递减；当x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，试求a的值及当x∈(0，＋∞)时f (x)的最小值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 76 [解]　(1)f (x)在[1，＋∞)上单调递增，证明如下： 当a＝2时，f (x)＝x＋＋2， 当x≥1时，f '(x)＝1－>0， 所以函数f (x)在[1，＋∞)上单调递增． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 77 (2)因为f (x)＝x＋＋2，所以f '(x)＝1－． 因为当x∈(0，1]时，f (x)单调递减； 当x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增， 所以f '(1)＝1－＝0，所以a＝1． 经检验，a＝1符合题意． 因为f (x)＝x＋＋2在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f (x)取得最小值4． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 78 12．已知a，b∈R，记max{a，b}＝函数f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)． (1)写出f (x)的解析式，并求出f (x)的最小值； (2)若函数g(x)＝x2－kf (x)在(－∞，－1]上具有单调性，求实数k的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 79 [解]　(1)因为|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3， 当x≥时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3≥0， 则f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x＋1|＝x＋1； 当x<时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3<0， 则f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x－2|＝2－x． 所以f (x)＝故函数f (x)在 上单调递增，所以函数f (x)的最小值为f ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 80 (2)当x≤－1时，f (x)＝2－x，则g(x)＝x2－kf (x)＝x2＋kx－2k，因为函数g(x)在(－∞，－1]上具有单调性，且二次函数g(x)的图象开口向上，故函数g(x)在(－∞，－1]上只能单调递减，所以－≥－1，解得k≤2，因此，实数k的取值范围是(－∞，2]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 81 13．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1，且当x>0时，f (x)>－1． (1)求f (0)的值，并证明f (x)在R上是增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x的不等式f (x2＋2x)＋f (1－x)>4． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 第7课时　函数的单调性与最值 82 [解]　(1)令x＝y＝0，得f (0)＝－1． 在R上任取x1，x2且x1>x2，则x1－x2>0， 所以f (x1－x2)>－1． 又f (x1)＝f ((x1－x2)＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＋1>f (x2)，所以函数f (x)在R上是增函数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 83 (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5． 由f (x2＋2x)＋f (1－x)>4，得f (x2＋x＋1)>f (3)． 因为函数f (x)在R上是增函数， 所以x2＋x＋1>3， 解得x<－2或x>1， 故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 84 谢 谢 ！ $