精品解析：贵州北京师范大学贵阳附属中学2026-2027学年高三上学期第二次模拟考试数学试卷

北京师范大学贵阳附属中学2027届第二次模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题有四个选项，其中只有一个选项是正确的，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 数据3，7，9，10，16，18的第三四分位数为（ ） A. 5 B. 7 C. 13 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】数据3，7，9，10，16，18共个数， 因为， 所以第三四分位数为第个数，即 3. 若向量分别表示复数，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B 4. 若正三棱台上底面边长为，下底面边长为，高为，则该棱台的体积为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式，即可求得答案. 【详解】依题意，该三棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 故该棱台的体积为. 故选：C. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式，可求出和的值，再计算即可. 【详解】，， ，， ，化简得，， . 故选：C. 6. 过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】联立焦点直线与抛物线方程求出两交点的横坐标，再结合抛物线定义的焦半径公式，将线段长转化为横坐标的代数式直接计算比值. 【详解】由题意得焦点为，直线的斜率， 所以直线的方程为， 代入到抛物线方程得， 整理得，解得，， 由题意得，，， 所以. 7. 记为数列的前项和，设甲：是等差数列，乙：成等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】当是等差数列时，设该等差数列的公差为， ， 因为， ， 所以， 所以成等差数列； 当成等差数列时， 假设， 因为， 所以成等差数列，但是显然不是等差数列， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 8. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，．若，则（ ） A. 0 B. 6 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性，得到对称性，结合解析式求解，，再求解. 【详解】由是偶函数得，所以，故函数关于直线对称， 由是奇函数，的定义域为，故， 令，代入， 即，函数关于点中心对称， 由对称得，而，所以， 已知，得， 由中心对称，令， ，则，， 解得，，所以， 由，令，得,即， 由，令，得， 于是，所以. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．） 9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可. 【详解】设公比为，则，解得，故， 则，. 对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，为常数，故C正确； 对D，，，故为等比数列，故D正确； 故选：ACD 10. 已知，是双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线交双曲线的右支于点，且，则（ ） A. 原点到直线的距离为 B. 双曲线的离心率为 C. D. 双曲线的两条渐近线夹角余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可求得直线的方程，根据点到直线距离公式，即可判断A的正误；根据中位线的性质及双曲线定义，可判断C的正误；根据勾股定理及离心率公式，可判断B的正误；根据两角差的正切公式，计算求值，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】由题意得直线的斜率为，且， 所以直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离，故A正确； 因为O为的中点，且， 所以到直线的距离为O到直线距离的2倍，即， 根据双曲线定义可得， 所以，故C错误； 因为，且， 所以，整理得，即 所以双曲线的离心率，故B正确； 设渐近线的倾斜角为，渐近线的倾斜角为，所求为， 则， 因为，且， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以双曲线的两条渐近线夹角余弦值为，故D正确； 故选：ABD 11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面正方形内的一个动点（含边界），，分别是棱，上的中点，则以下结论中正确的是（ ） A. 平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值是 D. 若动点始终保持，则动点在上底面正方形内运动路径的长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合题意作出对应的图形，即可判断A；利用面面平行以及等体积法判断B；把空间问题转化为平面距离，三点共线距离最短判断C；把空间中的长度转化为平面内的长度，得出轨迹为圆弧，求出圆心角、弧长，即可判断D. 【详解】A选项，如图，取的中点，连接，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 由正方体性质可知，，且，所以，且，即四边形ABMF为平行四边形，所以， 因为分别为中点，所以，即有， 所以四点共面， 所以平面截该正方体所得的截面图形是梯形， 因为，， ，故梯形不是等腰梯形，故A错误； B选项，，由于点在上底面正方形内运动，平面平面，则点到平面的距离为定值，而也为定值，则为定值，故B正确； C选项，如图，延长，使得，连接交上底面于点， 则，当，，三点共线时， 其和最小为，且，， ∴，的最小值是，故C正确； D选项，如图，取中点，连接，由正方体性质可知，， 因为，， 所以由可得， 所以点在上底面内运动路径是在正方形内以为圆心，2为半径的一段圆弧， 如图，由，可得，同理 所以圆弧的长度为，故D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．请你将答案填写在答题卷的相应位置上．） 12. 已知向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，， 得 13. 的展开式中的常数项为______． 【答案】49 【解析】 【分析】分类讨论利用多项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式中得到常数项的方法分类如下： （1）4个因式全取1，相乘得到常数项.常数项为； （2）4个因式中有1个取，则再取1个，其余因式取，相乘得到常数项.常数项为； （3）4个因式中有2个取，则再取2个，相乘得到常数项为， 合并同类项，所以展开式中常数项为. 14. 在半径为1的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径的最大值为_________ 【答案】－2## 【解析】 【分析】根据给定条件，确定4个小球球心为一个正四面体的4个顶点，该正四面体的外接球球心与给定球球心重合，再列式计算作答. 【详解】半径为1的球O内放入大小相等的4个小球，当小球半径取最大值r时，4个小球两两相切，都内切于球O， 由球的对称性知，4个小球的球心是棱长为的正四面体的顶点， 球O的球心O是正四面体的外接球球心，如图， 作平面，垂足为，则为正的中心，且点O在线段上，有， ， 由得：，即， 因此，解得，于是，解得， 所以小球半径的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角差的余弦展开式化简后再利用特殊角的正切值求出即可； （2）由正弦定理和余弦定理结合题意求解即可； 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 化简得，又因为，所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得，即， 所以，所以， 所以，所以周长为. 16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 期望 （3）该系统会得到推广，，符合推广要求. 【解析】 【分析】（1）用全概率公式，结合问题清晰、不清晰两种场景的采纳概率计算总采纳概率； （2）判断服从二项分布，计算各取值概率列分布列，用二项分布期望公式求期望； （3）先求个问题采纳次数的期望，推导总得分期望后与阈值比较得结论. 【小问1详解】 记事件为“智能客服的回答被采纳”，事件为“输入的问题表达清晰”，则为“输入的问题表达不清晰”. 由题意得：，所以. 又，. 由全概率公式得： . 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 由（1）知每次回答被采纳的概率，且各次是否被采纳相互独立，故测试个问题中被采纳的次数服从二项分布，即，的可能取值为. ， ， ， . 则的分布列为： 0 1 2 3 期望. 【小问3详解】 抽取10个问题，设被采纳的次数为，则，总得分. 由期望的性质得：. 因为，满足推广条件，所以该系统会得到推广. 17. 如图（1），在梯形中，，，，为中点，现沿将折起，如图（2），其中分别是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接， 为中点，，，又， 四边形为平行四边形，，， 分别为中点，，， 又为中点，，，，， 四边形为平行四边形，； ，为中点，，； ，，，四边形为正方形， ，，又，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，易证得四边形为平行四边形，从而得到，利用等腰三角形三线合一性质可分别得到，结合平行关系和线面垂直的判定可证得结论； （2）根据长度关系可证得两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，，又，； ，为中点，， ，，， ，又，平面，平面， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量， ，令，解得：，； 平面，平面的一个法向量为， ， 由图形知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为. 18. 设椭圆的方程为，点为坐标原点，点、的坐标分别为、，点在线段上，满足，直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）若动直线与椭圆交于、两点，且恒有，是否存在一个以原点为圆心的定圆，使得动直线始终与定圆相切？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，且圆的方程为 【解析】 【分析】（1）设点的坐标，根据已知条件求出点的坐标，根据可求得的值，进而可得出椭圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线斜率不存在时，设直线的方程为，求出的值，可得出求出原点到直线的距离；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可求得原点到直线的距离.综合可得出定圆的方程. 【小问1详解】 解：设点的坐标，点在线段上，满足， ，，故，， 因为，，解得：，∴椭圆的方程. 【小问2详解】 解：当直线斜率不存在时，设直线的方程为， 所以，，此时原点到直线的距离为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、，原点到直线的距离为，所以， 整理得， 由可得， ， 由韦达定理可得，， ， ， 所以，， 所以，所以. 综上所述，定圆的方程是 所以当时，存在定圆始终与直线相切，且定圆的方程是. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，，证明：． 【答案】（1） （2）当时，在上是减函数， 当时，在，上是减函数， 在区间上是增函数． （3）由（2）知， 则 ， 则，则问题转为证明即可， 即证明，则， 即证在上恒成立， 设，其中， 求导得0， 则在上单调递减，则，即， 故，则成立． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出； （2）求出导函数，设，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出； （3）结合（2）将问题转为证明1，根据韦达定理转化为考虑的单调性，证出即可. 【小问1详解】 因为，所以，， 当时，，则， 则在处的切线方程为． 【小问2详解】 函数的定义域为，函数的导数， 设，注意到， ①当时，恒成立，即恒成立，此时函数在上是减函数； ②当时，判别式， （i）当时，，即，即恒成立，此时函数在上是减函数； （ii）当a＞2时，令，得：； 令得：或； 则当时，在区间单调递增，在，单调递减； 综上所述，当时，在上是减函数， 当时，在，上是减函数， 在区间上是增函数． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学贵阳附属中学2027届第二次模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题有四个选项，其中只有一个选项是正确的，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 数据3，7，9，10，16，18的第三四分位数为（ ） A. 5 B. 7 C. 13 D. 16 3. 若向量分别表示复数，则=（ ） A. B. C. D. 4. 若正三棱台上底面边长为，下底面边长为，高为，则该棱台的体积为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 记为数列的前项和，设甲：是等差数列，乙：成等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，．若，则（ ） A. 0 B. 6 C. D. 5 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．） 9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 10. 已知，是双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线交双曲线的右支于点，且，则（ ） A. 原点到直线的距离为 B. 双曲线的离心率为 C. D. 双曲线的两条渐近线夹角余弦值为 11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面正方形内的一个动点（含边界），，分别是棱，上的中点，则以下结论中正确的是（ ） A. 平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值是 D. 若动点始终保持，则动点在上底面正方形内运动路径的长度为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．请你将答案填写在答题卷的相应位置上．） 12. 已知向量，，若，则______． 13. 的展开式中的常数项为______． 14. 在半径为1的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径的最大值为_________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求的周长. 16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由． 17. 如图（1），在梯形中，，，，为中点，现沿将折起，如图（2），其中分别是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 18. 设椭圆的方程为，点为坐标原点，点、的坐标分别为、，点在线段上，满足，直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）若动直线与椭圆交于、两点，且恒有，是否存在一个以原点为圆心的定圆，使得动直线始终与定圆相切？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $