贵州北京师范大学贵阳附属中学2026-2027学年高三上学期第二次模拟考试数学试卷

北京师范大学贵阳附属中学2027届第二次模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题有四个选项，其中只有一个选项是正确的，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．数据3，7，9，10，16，18的第三四分位数为（ ） A．5 B．7 C．13 D．16 3．若向量，分别表示复数，，则（ ） A．5 B． C． D． 4．若正三棱台上底面边长为，下底面边长为，高为，则该棱台的体积为（ ） A． B．2 C． D． 5．若，，则（ ） A． B． C． D． 6．过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于、两点，则的值等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．记为数列的前项和，设甲：是等差数列，乙：，，成等差数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，．若，则（ ） A．0 B．6 C． D．5 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．） 9．设是公比为正数等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C．为常数 D．为等比数列 10．已知，是双曲线：（，）的左、右焦点，过作直线：的垂线交双曲线的右支于点，且，则（ ） A．原点到直线的距离为 B．双曲线的离心率为 C． D．双曲线的两条渐近线夹角余弦值为 11．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面正方形内的一个动点（含边界），，分别是棱，上的中点，则以下结论中正确的是（ ） A．平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值是 D．若动点始终保持，则动点在上底面正方形内运动路径的长度为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．请你将答案填写在答题卷的相应位置上．） 12．已知向量，，若，则__________． 13．的展开式中的常数项为__________． 14．在半径为1的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径的最大值为__________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，，求的周长． 16．（本小题15分）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达下清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由． 17．（本小题15分）如图（1），在梯形中，，，，为中点，现沿将折起，如图（2），其中，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题17分） 设椭圆的方程为（），点为坐标原点，点、的坐标分别为、，点在线段上，满足，直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）若动直线与椭圆交于、两点，且恒有，是否存在一个以原点为圆心的定圆，使得动直线始终与定圆相切？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由． 19．（本小题17分）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $