4.3.2 对数的运算教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“对数的运算”核心知识点，通过类比指数幂运算学习过程导入，以复习指数幂运算性质为支架，引导学生利用指数与对数关系推导对数运算性质及换底公式。 特色在于任务驱动探究，通过小组讨论类比推导性质、从特殊到一般推导换底公式，培养逻辑推理和数学运算素养，结合数学史让学生感悟数学眼光，提升知识迁移能力，为教师提供可操作的探究式教学路径。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 4.3.2 对数的运算 设计时间 授课时间 课标要求 理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 教材分析 定义了一种运算，紧接着就要研究其运算性质.对数是指数幂中指数的等价表示形式，因此，利用指数幂运算性质可以得出相应的对数运算性质： 如果>0，且≠1，M>0，N>0，那么 (1) (2) (3) 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，通过查表就能求出任意正数的常用对数和自然对数．再利用对数的换底公式可将其他底的对数转化为以10或e为底的对数，从而方便地求出这些对数.可见对数换底公式是进行对数运算的重要基础.因此接下来研究对数的换底公式. 对数概念的提出，进一步完善了数学运算体系.在算术运算中，运算有等级之分，加法、减法为一级运算，乘法、除法为二级运算，乘方、开方、对数为三级运算.从对数运算性质中，我们可以清晰地认识到对数在处理运算中的降级特征：对数中真数的乘、除、乘方运算，可以转化为对数的加、减、乘法运算.当然，对于这一特征的理解，还是要结合指、对数的关系进行：在指数式中，真数即为幂，对数即为指数，指数运算中的“同底数幂相乘”即为“真数相乘”，“指数相加”即为“对数相加”. 事实上，对数的发明与指数无关，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求，其关键是利用对应关系 建立起如下对应法则： (1) (2) (3) (4) 18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，他首先使用来定义.至此，人们彻底揭示了对数本质，完善了指数、对数的知识体系和数学运算体系. 由上可知，对数的学习是提升学生数学运算、逻辑推理素养的载体；同时，也是培养学生用类比的方法设计研究框架并实施、学会数学学习、培养缜密的思维品质、提升理性精神的载体. 学情分析 学生已经学习了指数幂的运算，了解了研究一个代数对象的基本路径，因此容易构建本单元的研究路径，在获得研究对象给对数下定义之后，能够提出进一步要研究对数的运算性质等，但是运算性质的推导、特别是换底公式的推导有一定难度，原因是结论未知，类似于结论开放性题目，这是学生不习惯的. 突破该难点的办法是，用数学探究的理念引导学生探索发现.探索的基础是指数运算性质，探究工具是对数的定义，即指数式与对数式之间的关系，探究的目标就是将指数运算性质转化为对数运算性质，在表达方面用数学的简洁美引领学生. 单元教学目标 1.从“已知底数和幂求指数”的问题出发，经历基于指数幂运算定义对数运算的过程，知道指数式与对数式的对应关系，知道对数是一个符号，表示的是指数幂中的指数，能熟练地进行指、对数式的互化.通过两式的互化，能够得出和证明对数的性质. 2.能依据指数幂的运算性质推导出对数的运算性质，并会用对数的运算性质进行对数的化简、运算．能利用指、对数关系推导出对数换底公式，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数求解问题.在应用性质和公式的过程中能结合数学史的相关内容体会对数运算的降级特征，理解数学家发明对数的初衷. 单元教学重点 难点 1.教学重点：对数的概念及其运算性质. 2.教学难点：对数符号的理解；对数运算性质的得出及换底公式的推导. 单元课时分配 本单元分2课时： 第1课时，对数的概念； 第2课时，对数的运算． 第二课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，经历利用指数与对数的关系，推导出对数的运算性质. 拓展性目标：★★ 通过任务二，初步应用对数的运算性质解决问题，提升数学运算核心素养. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，利用指数与对数的关系,推导出对数运算的换底公式，体会对数运算的降级特征. 课时学习重难点 教学重点：对数运算性质及换底公式． 教学难点：对数运算性质及换底公式的推导． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 比指数幂运算的学习过程，在定义了指数幂运算之后就要研究其运算性质，并初步进行应用.上一节课定义了对数，接下来就研究其运算性质. 二、复习回顾： 问题1: 在引入对数之后，自然就应研究对数的运算性质．我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？为此，请你先默写实数指数幂的运算性质. 答：能，实数指数幂的运算性质： 对于任意实数r、s，均有： ① ② ③ 三、目标一：学生经历利用指数与对数的关系，推导出对数的运算性质. 任务一：学生能理解对数的运算性质1推导思路. 问题2: 由指数运算性质，你能得出对数的运算性质吗？你的求解思路是什么？ 解:设, 因为，所以 根据对数与指数间的关系可得 于是得到对数运算性质： 如果>0，且≠1,M>0,N>0，那么 评估一：类比性质1的推导，学生能推导出对数的运算性质2、3. (小组讨论)问题3: 类比问题2，利用指数式和对数式之间的关系，由指数幂的如下运算性质能得到对数运算的什么性质？ (1) (2) 解（1）设, 因为，所以 根据对数与指数间的关系可得 （2）设 因为，所以 根据对数与指数间的关系可得 于是得到对数运算性质： 如果>0，且≠1,M>0,N>0，那么 1.对数运算性质： 如果>0，且≠1,M>0,N>0，那么 (1) (2) (3) 四、目标二：学生能初步应用对数的运算性质解决问题，提升数学运算核心素养. 任务二：学生能初步应用对数的运算性质解决问题. 例3.求下列各式的值： (1) (2) 解： (1) (2) 评估二：提升学生的数学运算核心素养. 例4. 用x,y,x表示 解: 五、目标三：学生利用指数与对数的关系,推导出对数运算的换底公式，体会对数运算的降级特征. 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数，将之一般化. 任务三：学生利用指数与对数的关系，推导出对数运算的换底公式. 问题4:(1)先研究一个具体的问题．根据对数的定义，你能利用、表示吗？首先应该对哪个数进行变形？变形的方向是什么？ (2)根据对数的定义，你能用,表示，且≠1；b>0；c>0，且c≠1)吗？ 解：(1) 设，则 于是，即xln2=ln3 则 (2) 设，则，于是 ，即, 则 ，且 ≠1；b>0；c>0，且c≠1) 2.对数换底公式： ，且 ≠1；b>0；c>0，且c≠1) 追问1：（1）如果我们通过查表或者利用计算工具得知、的值，能否求得的近似值呢？ （2）你现在能利用公式求解本单元一开始提出的问题了吗？即经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，也即的值. 答：（1） 教师讲解：由此可见，在没有计算工具的时代，只要能将任意一个对数转化为用常用对数或者自然对数表达的形式，就可以通过查表进行计算.所以法国著名的数学家拉普拉斯曾说：“对数，可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”. （2）由换底公式，可得 利用计算工具，可得 由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍． 类似地，可以求出游客人次变为2001年的3倍，4倍，···所需要的年数． 评估三：学生能体会对数运算的降级特征. 例5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为E=4.8+1.5M. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1)？ 教师启发：本题要解决的问题是什么？先用符号将题目中涉及的各个量表示出来，确定已知和待求对象，再思考其求解方法. 分析：里氏级和级地震的能量分别为和.已知.0，求 解: 设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和 由E=4.8+1.5M.，可得 于是， 利用计算工具可得， 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅差1级，但前者释放出来的能量约是后者的32倍． 追问2：想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？ 教师讲解：地震中能量是很大的数值，进行对数运算后，其数值就变得非常小.这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数上，也就是说，在以10为底的指数幂运算中，指数每增加1，其幂的值就是原来的10倍；每增加2，其幂的值就是原来的100倍；反之，在以10为底的对数运算中，真数是原来的10倍，对数值就增加1；真数是原来的100倍，对数值就增加2．所以，在指数幂运算中，“指数增长”的变化非常快；在对数运算中，“对数增长”的变化就比较慢. 学生应该给出肯定的猜想，之后完成默写. 这个问题的目标不确定，引导学生利用指数式和对数式之间的关系进行化简，直到将之转化为对数表达的关系即可. 学生类比性质1的推导，学生自主思考，尝试对指数幂的两个性质进行变形，再小组讨论推导过程中的困惑点，形成小组结论，上台展示. 教师总结对数的运算性质，形成结论 教师提示学生观察题目中运算对象的特点，从而确定选择哪条运算性质 学生自主完成，上台展示答案. 学生根据具体数值换底的启发，将变换过程由特殊到一般进行推导． 学生观察目标式，需要应用对数运算的多条性质才能求解，在化简过程中，依据变形后的具体形式进行选择. 学生利用换底公式可求解 学生在教师的启发下思考，写出已知和求解对象，之后独立完成． 学生尝试回答，教师讲解. 引导学生在数学运算的研究路径指引下提出问题，并利用数学知识之间的联系进行猜想，为本课的研究做好规划. 通过类比获得研究思路，再从对数的定义出发，利用对数与指数的关系以及指数的运算性质得出对数的运算性质，培养学生的探索研究能力，提升学生的逻辑推理素养. 在较简单的情境中应用对数运算的性质，理解对数运算的性质的作用，提升数学运算素养. 在较复杂的情境中应用对数运算的性质，合理规划，有序求解，提升数学运算素养. 先提出问题，再引导学生从特殊情况开始探究，并采用相同的方法解决一般问题，得出对数换底公式，使学生领悟数学探究的方法.通过初步应用，感悟对数换底公式在计算方面的便捷性，感受数学史上数学家的创造性思维. 学以致用，利用对数的知识解决实际问题.积累解决实际问题的经验：通过阅读，将文字语言符号化，将实际问题转化为一个数学问题，再求解.并了解指数、对数刻画同一对象时的不同. 课堂小结 1.对数运算的性质； 2.对数的换底公式； 3.初步应用性质与换底公式解决问题. 学生作业 1.基础性作业：教科书第126页练习第1、2、3题； 答案：1.(１)7. (２)1. (３)0 . (４)-1. 2.(１) (２) (３) (４) 3.(１)1. (２) 2.提升性作业：教科书第127页习题4.3第5、6、7题； 答案：5.(１) (２) (３) .(４). 6.(１) 　 (２) 2 7.证明:(1)左边＝ =1 ∴ (2)左边＝ = = 3.拓展性作业:教科书第127页习题4.3第8、9、10题. 8.设年后该地GDP会翻两番. 由题意知, =4, ∴＝2.01 ∴23年后该地GDP会翻两番. 9.(1) 1480.66 (2)=10×,115.13 ∴ 大约经过116天后“进步”的是“落后”的10倍.同理可得,大约经过231天、346天后“进步”的分别是“落后”的100倍、1000倍. 10.设经过个小时才能驾驶，由题意，得 100× ∴4.5， ∴ 至少经过5个小时才能驾驶. 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $