4.3.1 对数的概念 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“对数的概念”核心知识点，通过景区游客人次变化的实际问题导入，从已知底数和幂求指数的需求出发，关联指数运算，类比开方符号引入对数符号，构建前后知识脉络的学习支架。 此资料特色在于以实际问题抽象数学概念培养数学眼光，通过指数与对数互化推导性质发展数学思维，融入数学史感受化归思想，任务驱动分层目标且例习题强化互化与方程求解。帮助学生理解抽象符号，培养转化能力，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 4.3.1 对数的概念 设计时间 授课时间 课标要求 理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 教材分析 研究函数必先掌握运算.指数幂运算和对数运算是学习指数函数与对数函数的基础.在中，当已知指数与幂求底数时，需要引入开方运算；当已知底数和指数求幂时，需要引入指数幂运算；当已知底数和幂求指数时，则要引入对数运算.因此这三种运算是相互联系的一个整体. 欧拉指出“对数源出于指数”，也就是说对数与指数之间存在必然的联系：当>0，且≠1时利用这一关系，可以实现对数式与指数式之间的互化.这是理解对数概念，掌握对数运算的基础. 按照这样的理解，在教科书中，先提出需要解决的实际问题，将之抽象为：在，且≠1)中，已知、N，求.引入对数概念，给出对数定义，并用符号表示.并给出特殊的对数，比如常用对数和自然对数. 定义了一个对象，接下来就要研究其性质，研究对数的性质，就是从涉及的元素的特殊关系(N=)、特殊取值(N=1)入手发现的. （1）负数和0没有对数 当对数中的真数N为负数或者0时，对数没有意义．这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数.因而中的N总是正数. （2），且≠1) 指数式中存在着诸如以及的性质，将这两个指数式化为对数式即可得到对数的上述性质. 以上性质是借助于对数与指数关系论证的.代数学的根源在于运算，“运算中的不变性、规律性”是发现“代数性质”的指导思想，利用这种思想通过观察实例也可以得到对数的性质. 学情分析 对数运算的定义是一种关系定义，是借助于指数幂运算提出问题并进行抽象得到一般性问题：在，且≠1)中，已知、N，求x. 为此引入一个符号表示上式中的x，即 可见，对数运算是一个抽象的符号，不像加减乘除运算那样直观，造成了学生理解上的困难. 为突破这个难点，一方面，可以类比理解.类似的情况是，为解决“在中，已知n、，求x”引入了符号.目前学生已经非常理解这个符号的含义，可以直接计算求值.符号的引入意义也是一样的.另一方面，在应用中理解.在形成定义之后可以通过应用理解符号，在应用中注意依据定义，加强指数式与对数式的转化.事实上，依据定义可以得到 ，且≠1).只要合理引导，学生是容易理解这个式子的含义的. 单元教学目标 1.从“已知底数和幂求指数”的问题出发，经历基于指数幂运算定义对数运算的过程，知道指数式与对数式的对应关系，知道对数是一个符号，表示的是指数幂中的指数，能熟练地进行指、对数式的互化.通过两式的互化，能够得出和证明对数的性质. 2.能依据指数幂的运算性质推导出对数的运算性质，并会用对数的运算性质进行对数的化简、运算．能利用指、对数关系推导出对数换底公式，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数求解问题.在应用性质和公式的过程中能结合数学史的相关内容体会对数运算的降级特征，理解数学家发明对数的初衷. 单元教学重点 难点 1.教学重点：对数的概念及其运算性质. 2.教学难点：对数符号的理解；对数运算性质的得出及换底公式的推导. 单元课时分配 本单元分2课时： 第1课时，对数的概念； 第2课时，对数的运算． 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，能从具体问题中抽象出对数的概念. 拓展性目标：★★ 通过任务二，学生能说出对数与指数的关系，由指数的性质得到对数的性质. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，学生能熟练转化对数式与指数式、求解对数方程，并能初步感受对数发明的思想. 课时学习重难点 教学重点：对数的概念． 教学难点：对数符号的理解． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 在景区游客人次变化的问题中，通过指数幂运算，我们利用，可以求出经过年后 B地景区的游客人次相对于2001年的倍数 y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年2倍，3倍，4倍，......这个问题该如何求解呢？ 二、目标一：学生能从具体问题中抽象出对数的概念. 任务一：学生能从情境中抽象出数学问题 在景区游客人次变化的问题中，要求经过多少年游客人次是2001年2倍，3倍，4倍，......？ 问题1：（1）将这些问题抽象成数学问题分别是什么？ （2）若，则等于几？若，则等于几？据此，你能说说如上3个方程中的分别表示哪个数吗？这个数存在吗？你能把它们表示出来吗？ 答： （1）已知1.1.分别求x的值. 追问1： （2）=2 ;=3 ;令，那么方程,,⋯的解就是函数当y=2,3,4,⋯时对应的自变量的值.根据指数函数的知识我们知道，这样的数是唯一存在的. 教师讲解: 这样的数称之为对数． 评估一：阅读课本，书写对数的概念. 问题2：（1）请你阅读教科书第122页，并默写对数的定义，与特殊的对数：常用对数与自然对数的定义. （2）你能用对数的符号表示追问1中的吗？请解释其含义． 答：（1） 1.对数的定义：一般地，如果(>0，且≠1)，那么数叫做以为底N的对数，记作=，其中 叫做对数的底数，N叫做真数. 2.常用对数:以10为底的对数称为常用对数，我们把记为N 3.自然对数:以无理数e=2.71828...为底的对数称为自然对数，我们把记为N. （2） :是指数，表示2的次方等于4,（即等于4,; 是指数，表示2的次方等于8,（即等于8， 是指数，表示1.11的次方等于2，（即等于2,。 教师强调：结合以上例子，根据定义可知：对数是一个数，而且，且≠1,b>0). 三、目标二：学生能说出对数与指数的关系，由指数的性质得到对数的性质. 任务二：学生能说出对数与指数的关系. 问题3: 18世纪，瑞士数学家欧拉首先使用来定义.他指出：“对数源出于指数”.结合定义，你是如何理解这句话的？利用这种关系，你可以得出对数的哪些性质？ 答： 指数、对数之间的关系：当>0,≠1时，可见，两者在形式上有所不同，在字母名称上也有差别，如表4.3-1所示．它们的对应关系如图4.3-1所示． 表4.3-1 表达式 名称 x N 指数式 底数 指数 幂 对数式 底数 对数 真数 图4.3-1 评估二：学生能由指数的性质得到对数的性质. 问题4:（1）,log20有意义吗？利用指数、对数的关系，结合指数函数的性质，请你谈谈是否所有的实数都有对数？据此你能得到什么结论？ （2）指数具有如下两个性质：及(>0且≠1)，据此，你能得到对数的什么性质？ 答： （1）假设，则 因为不存在实数，使得，以及，所以对数中的真数N>0，即负数与零没有对数. （2）因为，依据且≠1)，可得，同理，因为，故可得 4.对数的性质： （1）对数中的真数N>0，即负数与零没有对数. （2）且≠1); 且≠1). 四、目标三：学生能熟练转化对数式与指数式、求解对数方程，并能初步感受对数发明的思想. 任务三：学生能熟练转化对数式与指数式、求解对数方程. 例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) ; (2) ; (3) (4); (5)lg0.01=-2 ; (6)ln10≈2.303. 解: (1); (2) (3) (4) (5) (6) (小组合作)例2. 求下列各式中x的值： (1) (2) (3)lg100=x (4) 解： （1）因为，所以 （2）因为，所以因为x>0，所以 （3）因为lg100=x，所以，即，于是，x=2. （4）因为，所以，于是，x=-2. 思考: （1）本题与例1的异同是什么？如何求解？ （2）请梳理出求解对数方程的步骤． 答： （1）本题与例1一样：利用对数式与指数式的互化求解．关键是要理解其中的意义．转化之后再根据新的形式确定接下来的解法. （2）求解步骤： 第一步，依据指、对数关系进行转化； 第二步，针对转化之后的新问题，依据指数幂运算性质求解. 教师讲解，提问： 观察练习中的式子，你发现了哪些有规律的关系式？ 答： 评估三：学生能初步感受对数发明的思想. 问题5: 阅读教科书第128页“阅读与思考：对数的发明”．了解对数的发明史，请你谈谈为何“对数的思想方法在今天仍然具有生命力”. 答： 对数的思想意义在于将高级别运算转化为低级别运算，表现在把乘方、乘法运算分别转化为乘法、加法运算，体现了化归的数学思想. 教师追问： 对数是如何把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算的？根据表4.3-2中的数据，计算8388608×128，你是否有好的计算方案呢？ 表4.3-2 2与 (）的对应关系 答： 教师讲解： 观察上面的式子，我们原本进行的是乘法运算，利用表4.3-2中的数据转化成了加法运算，这种运算方式帮我们把较大数字的乘法运算转化为较小数字的加法运算，这一思想恰恰是当年数学家发明对数的指导思想.“对数”的意义也是由此而来的. 学生独立完成 学生可以求出前两个答案，在此基础上，通过类比，并在老师的指导下，能认识到1．中的x是一个数，这个数作为1.11的指数，经过指数幂运算之后其结果是2，其他同理． 学生在阅读教科书之后回答. 学生根据定义写出相应的.学生在解释其含义时可能会出现不会表述或表述不准确的情况，教师予以帮助. 让学生尝试用表格或者图来描述． 学生自主完成，之后展示交流，教师予以完善. 学生根据定义，依据对数的意义，结合指数函数性质进行分析. 学生自主完成，交流展示. 教师提示： 转化的依据是什么？各部分的名称在不同表达式中是什么？ 学生在追问的启发下自主完成.之后互相检查，教师予以点拨，加强规范. 学生先自主思考，再小组合作，核对答案，彼此讨论，形成最后答案，回答思考的问题。 学生先分析本题与例1的异同，如果有必要，教师可以借助于其中一道题目帮助学生分析，然后由学生独立完成. 学生观察，教师提问 学生阅读之后，交流讨论，教师予以点拨提升. 学生会有不同的思路，有的学生直接算，有的学生则通过观察表4.3-2中数据的对应关系，利用指数运算快速求解 通过对具体问题的研究，了解学习对数概念的必要性，知道对数的意义.在此基础上，通过阅读获得对数定义的严谨、简洁的表达，并初步学会利用定义进行表示，知道特殊的对数. 根据指数、对数的关系，探索发现对数的性质，深化对数概念的认识，从对数的性质中感受数学性质所要研究的问题. 在简单情境的应用中初步理解对数定义，根据指数、对数的关系进行转化，形成程序化的思维，在这样的过程中具体地看到对数的运算结果是什么. 通过在较复杂的情境中应用定义，进一步熟练对数式与指数式的互化，加深对数式中各字母意义的理解，引导学生在明确运算对象的基础上，选择恰当的路径进行转化，并能解决转化之后的新问题，养成程序化思考问题的习惯，提升数学运算素养. 融入数学史的内容，使得学生初步感受对数发明的思想，“对数”这个名称的意义，感受数学的魅力. 课堂小结 1.对数的定义； 2.特殊对数：常用对数与自然对数的定义； 3.对数的性质； 4.指数式与对数式的关系. 学生作业 1.基础性作业：教科书第123页练习第1、2、3题； 答案：1.(１)＝3.(２)ｍ＝.(３) ＝- . (４)＝９. （5）=n. (６)＝. 2.(１)∵＝25 ∴＝2.(２)∵＝１∴＝0. (３)∵＝ ∴＝-１(４)∵＝0.001∴lg0.001=-3 3.(１)＝-3∴ ｘ＝＝27. (２)∵＝4∴＝49 又 >０且≠１∴＝. (３)∵lg0.00001= ∴ ＝lg＝-5. (４)∵＝- ∴＝-＝-. 2.提升性作业：教科书第126页习题4.3第1、2题； 答案：1.(１)＝.(２)＝.(３)lg6＝ . (４)＝. （5）＝27. (６)＝. (7)＝.（8）＝. 2.(１)Ｄ　 (２)Ｃ 3.拓展性作业:思考指数幂的运算性质有哪些，根据指数与对数的关系，可以推导出对数运算的什么性质？请你尽可能多地写出来. 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $