3.2 函数的基本性质教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的单调性、最值与奇偶性三大核心性质，通过复习初中一次函数、二次函数图象及气温变化实例，引导学生绘制y=x与y=1/x（x>0）简图直观感知趋势，以“如何精确描述图象上升”的追问衔接初中直观认知与高中符号定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 本资料亮点在于以数形结合为主线，通过图象观察（数学眼光）、作差法证明（数学思维）、符号语言刻画（数学语言）深化性质理解，如例1用定义严谨证明单调性，例2结合定义域判断奇偶性。采用启发引导与讲练结合的教学方法，分层作业设计兼顾基础与提高，助力学生提升逻辑推理与抽象素养，为教师提供清晰的教学实施路径。

数学 人教A版 高一 必修第一册 教学设计-2026-2027学年 3.2 函数的基本性质 案例名称 案例名称：3.2 函数的基本性质。 案例名称 3.2 函数的基本性质 提供者 — 教材分析 本节系统研究函数的单调性、最大（小）值与奇偶性，是函数概念的应用与深化。 教学目标 掌握单调性、最值与奇偶性的定义，能用作差法证明并判断函数性质。 教学重难点 重点为三大性质的符号定义与证明；难点为任意性的理解及定义域优先原则。 教学方法 采用图象观察、启发引导与讲练结合的方式展开教学。 教学准备 多媒体课件、直尺及供学生演示的坐标纸。 教学过程 含复习导入、新授探究、巩固练习与课堂小结四个环节。 作业布置 分基础题与提高题两层布置课后作业。 教材分析 本节位于人教A版必修第一册第三章第二节，系统研究函数的单调性、最大（小）值与奇偶性，是函数概念建立后的核心内容。教材遵循从直观到抽象的认知路径，引导学生先观察图象特征，再以符号语言严谨刻画。单调性刻画了函数值随自变量增大而变化的趋势，最值刻画了函数值能达到的上、下界限，奇偶性刻画了图象的对称性。三大性质为后续研究基本初等函数提供了通用的分析框架。 教学目标 （1）知识与技能：掌握函数单调递增、单调递减的符号定义，理解最大值、最小值与奇偶性的概念，能用作差法证明简单函数的单调性并判断其奇偶性。 （2）过程与方法：经历从图象直观感知到代数严格证明的完整探究过程，体会数形结合与从特殊到一般的思维方法，提升逻辑推理与数学抽象素养。 （3）情感态度与价值观：在严谨的代数推证中养成缜密思考的习惯，感受数学语言的精确性，增强探究函数规律的意识。 教学重难点 教学重点：用符号语言定义并证明函数的单调性（作差法），最大值、最小值的定义，奇偶性的定义与判断。 教学难点：单调性定义中“任意”的理解与证明中的符号运算，奇偶性判断须先考察定义域是否关于原点对称，奇偶性与单调性结合研究函数。 教学方法 本课以图象观察为先导，辅以启发式引导与讲练结合。借助函数图象让学生直观感知性质，再通过设问驱动学生将直观特征转化为符号定义。证明与判断环节采用教师示范、学生独立演算与小组互评相结合的方式，确保逻辑推理落地。 教学准备 教师准备多媒体课件，包含函数图象动态演示与例题板书；学生准备直尺、坐标纸与练习本，以便课堂作图与演算。 一、复习导入 教师引导学生回顾初中所学的一次函数与二次函数图象，观察气温随时间变化的生活实例，引出函数值随自变量变化而呈现的趋势差异。学生在坐标纸上快速画出y=x与y=（x>0）的简图，直观感受上升与下降。 教师追问：能否用精确的数学语言描述“图象从左往右上升”这一现象？预设学生回答：当自变量变大时，函数值也变大。教师指出，这种描述仍不够严谨，需要引入“任意”加以限定，由此导入本节课题。 教学过程 二、新授探究——函数的单调性 教师在课件上展示函数y=x²的图象，引导学生观察其在区间(−∞，0]与[0，+∞)上的变化趋势。预设学生回答：图象在y轴左侧从左往右下降，在y轴右侧从左往右上升。 教师给出教材原文口径：一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x₁，x₂∈I，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增。特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 教师继续给出：如果∀x₁，x₂∈I，当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减。特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间。 教师强调定义中“∀x₁，x₂∈I”的任意性：不能用个别特殊值替代。以一次函数f(x)=kx+b（k≠0）为例，当k>0时是增函数，当k<0时是减函数。 例1 用定义证明函数f(x)=在区间(0，+∞)上单调递增。 证明：任取x₁，x₂∈(0，+∞)且x₁<x₂，计算f(x₁)−f(x₂)=−()=−=。因为x₁<x₂，所以x₁−x₂<0；又x₁>0，x₂>0，故x₁x₂>0。因此{f(x₁)−f(x₂)}<0，即f(x₁)<f(x₂)。所以函数f(x)=在(0，+∞)上单调递增。 三、新授探究——最大（小）值与奇偶性 教师展示函数y=−x²+4的图象，引导学生观察其最高点。预设学生回答：当x=0时函数值最大为4。教师给出教材口径：一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：（1）∀x∈D，都有f(x)≤M；（2）∃x₀∈D，使得f(x₀)=M，那么称M是函数y=f(x)的最大值。最小值定义类似，将f(x)≤M改为f(x)≥M。 教师指出，利用单调性可求闭区间上的最值：单调函数在区间端点处取得最大值与最小值。例如函数f(x)=在[1，3]上单调递增，故最小值为f(1)=−1，最大值为f(3)=。 教师展示y=x²与y=x³的图象，引导学生观察对称性。预设学生回答：y=x²关于y轴对称，y=x³关于原点对称。教师给出教材口径：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果∀x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 教师强调：奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域。y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；y=f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称。利用奇偶性可简化函数研究，只需研究y轴一侧（或原点一侧）的图象与性质，另一侧由对称性得到。 例2 判断函数f(x)={x³−x}的奇偶性。 解：函数定义域为R，∀x∈R都有−x∈R。f(−x)=(−x)³−(−x)=−x³+x=−(x³−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数。 四、巩固练习 （1）用定义证明函数f(x)=x²+1在区间(0，+∞)上单调递增。 参考答案：任取x₁，x₂∈(0，+∞)且x₁<x₂，f(x₁)−f(x₂)=x₁²+1−(x₂²+1)=x₁²−x₂²=(x₁+x₂)(x₁−x₂)。因x₁<x₂故x₁−x₂<0，又x₁+x₂>0，所以f(x₁)−f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)，故在(0，+∞)上单调递增。 （2）判断函数f(x)=的奇偶性。 参考答案：定义域为{x|x≠0}，关于原点对称。f(−x)===f(x)，故f(x)为偶函数。 五、课堂小结 教师引导学生回顾本课核心：单调性定义中“任意”的作用是什么？最值定义中两个条件缺一不可的原因何在？判断奇偶性为何要先看定义域？预设学生回答：“任意”保证区间内所有点都满足上升或下降趋势；最值两个条件分别保证M是上（下）界且能达到；定义域关于原点对称是f(−x)有意义的前提。 作业布置 （1）基础题：用定义证明函数f(x)=2x+1在R上的单调性，并求其在[0，2]上的最大值与最小值。 参考答案：任取x₁，x₂∈R且x₁<x₂，f(x₁)−f(x₂)=2x₁+1−(2x₂+1)=2(x₁−x₂)<0，故f(x₁)<f(x₂)，f(x)在R上单调递增。因此在[0，2]上最小值为f(0)=1，最大值为f(2)=5。 （2）提高题：判断函数f(x)={x²−1}在区间[−2，2]上的奇偶性，并利用单调性求其最大值与最小值。 参考答案：定义域为[−2，2]，关于原点对称。f(−x)=(−x)²−1=x²−1=f(x)，故为偶函数。f(x)在[0，2]上单调递增，在[−2，0]上单调递减。最小值为f(0)=−1，最大值为f(2)=3。 学科网（北京）股份有限公司 $