5.7 三角函数的应用 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦三角函数模型应用，核心是从周期现象中确定y=A sin(ωx+φ)的参数A、ω、φ。通过潮汐、摩天轮等周期现象图片动画导入，激活学生对周期性的认识，以已学三角函数图象性质为基础，构建从数据/图象到模型的学习支架。 特色在于情境驱动与问题链设计，以弹簧振子数据分析、交变电流图象识别为实例，落实数学建模、数学运算、直观想象核心素养。通过分组讨论参数确定、概念匹配物理量等活动提升学生建模能力，为教师提供可操作的讲练结合教学流程，助力突破实际问题建模难点。

高一 数学 5.7 三角函数的应用 教学设计-2026-2027学年 必修第一册 人教A版 一、课型 课题 三角函数的应用 课型 学科内容复习课□ 教材 人教A版 必修第一册 第五章 5.7 授课对象 高一学生 课时 1课时 授课人 授课时间 教学方式 情境引入、问题驱动、讲练结合 教学手段 多媒体课件、散点图与图象展示 学习方式 自主探究、合作交流 重点落实 由数据或图象确定参数A、ω、φ 难点突破 实际问题的三角函数建模过程 学情分析 已掌握y=A sin(ωx+φ)图象与性质 前置知识 三角函数图象变换、诱导公式 核心素养 数学建模、数学运算、直观想象 作业来源 教材习题与配套补充 预计进度 第五章第7节（全章倒数第2节） 备注1 备注2 备注3 二、教学内容分析 本节课是人教A版必修第一册第五章5.7的内容。现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。教材以弹簧振子和交变电流为背景，引导学生经历从实测数据或图象中提取信息、确定参数A、ω、φ并建立y=A sin(ωx+φ)模型的全过程，是三角函数图象与性质知识的综合应用。通过本节学习，学生能体会数学建模的基本步骤，感受三角函数在刻画物理现象中的价值，提升数学建模与数学运算素养。 三、学习目标确定 1. 能从弹簧振子、交变电流等实际情境中识别周期性变化规律，说明三角函数是刻画周期现象的有效模型，提升数学建模能力。 2. 能根据实测数据表或图象，按步骤求出y=A sin(ωx+φ)中的参数A、ω、φ，写出函数解析式，提升数学运算能力。 3. 能说明振幅、周期、频率、相位、初相等物理量与解析式中常数的对应关系，并能用解析式解决简单的求值问题。 4. 能归纳三角函数模型应用的一般思路，在合作交流中表达建模过程与依据，提升逻辑推理与直观想象能力。 四、学习重点难点 1. 学习重点：用三角函数模型刻画具有周期性的实际现象，由数据或图象确定y=A sin(ωx+φ)中的参数A、ω、φ。 2. 学习难点：把实际问题抽象为三角函数模型的建模过程；振幅、周期、频率、相位、初相等概念与解析式中常数的对应关系；初相φ的确定。 五、【教学重点】 1. 情境引入：教师呈现潮汐涨落、摩天轮转动、弹簧振子等周期现象的图片或动画，引导学生观察这些现象的共同特征。教师提问：这些现象有什么共同的变化规律？能否用我们学过的函数来描述？预设学生回答：它们都是周而复始、循环往复的，可以用三角函数来描述。设计意图：从直观现象切入，激活学生对周期性的已有认识，为建立三角函数模型做铺垫。 2. 探究新知——弹簧振子问题：教师给出弹簧振子位移y（单位：mm）随时间t（单位：s）变化的实测数据表，并指出由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=A sin(ωt+φ)来刻画。教师引导学生分组讨论：如何从数据中确定A、ω、φ？师生共同分析：由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20 mm，因此A=20；振子振动的周期为0.6 s，即=0.6，解得ω=；再由初始状态（t=0）振子的位移为−20，得sin φ=−1，可取φ=−，所以振子位移关于时间的函数解析式为y=20sin( t−)，t∈[0，+∞)。设计意图：让学生经历从数据到模型的关键建模步骤，突破由数据确定参数这一重点。 3. 概念归纳——简谐运动：教师指出，在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为简谐运动。可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=A sin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0。教师引导学生对照解析式，逐一说明：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；周期T=，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；频率由公式f==给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相。设计意图：建立物理量与数学常数的对应关系，化解概念理解难点。 4. 变式应用——交变电流问题：教师给出实验测得的交变电流i随时间t变化的图象，引导学生识图。教师提问：从图象中能读出哪些信息？如何确定A、ω、φ？预设学生回答：从图象最高点读出振幅A，从相邻最大值间距离读出周期T，由ω=求ω，再利用图象上的已知点代入求φ。教师补充演示完整求解过程，并求出指定时刻的电流值。设计意图：从数据到图象，提升识图建模能力，巩固参数确定方法。 5. 归纳总结：教师引导学生回顾弹簧振子与交变电流两个问题的解决过程，提炼出三角函数模型应用的一般思路：观察实际问题的周期性→收集数据、作散点图→选择y=A sin(ωx+φ)类模型→由数据或图象确定参数A、ω、φ→用解析式解决问题。设计意图：形成可迁移的方法框架，提升数学建模素养。 6. 巩固练习：某简谐运动的函数解析式为y=5sin(2πt+)，t∈[0，+∞)。教师请学生独立求该运动的振幅、周期和频率，并求t=0.5 s时的位移y。学生完成后口述过程：振幅A=5；周期T===1 s；频率f==1 Hz；当t=0.5时，y=5sin(π+)=5sin()=5×(−)=−。设计意图：及时检验学生对振幅、周期、频率概念及求值方法的掌握情况。 7. 课堂小结：教师请学生回答：本节课学习了哪些内容？三角函数建模的一般步骤是什么？预设学生回答：学习了用三角函数刻画弹簧振子、交变电流等周期现象，掌握了由数据或图象确定A、ω、φ的方法，知道了振幅、周期、频率、相位、初相的含义。设计意图：梳理核心知识与思想方法，完善认知结构。 8. 布置作业：教材课后练习题及补充题：已知某交变电流i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的图象如图，请写出i关于t的函数解析式，并求t=0.025 s时的电流值。参考答案：由图象读得A=10，T=0.02 s，ω==100π，由t=0时i=0且上升可得φ=0，故i=10sin(100πt)；当t=0.025 s时，i=10sin(2.5π)=10sin()=10 A。设计意图：课后巩固识图建模与求值技能。 六、学习活动设计 1. 观察活动：学生观察教师呈现的潮汐、摩天轮、弹簧振子等周期现象，归纳共同特征，回答教师提问，体会周期性是引入三角函数模型的现实依据。 2. 数据分析活动：学生阅读弹簧振子位移数据表，在教师引导下作散点图，分组讨论如何确定参数A、ω、φ，各组派代表汇报思路与计算过程，全班共同修正并得出解析式y=20sin( t−)，t∈[0，+∞)。 3. 概念匹配活动：学生对照简谐运动解析式y=A sin(ωx+φ)，将振幅、周期、频率、相位、初相等物理量与A、ω、φ等常数进行连线匹配并口头说明依据，教师点评纠错。 4. 识图建模活动：学生观察交变电流i随时间t变化的图象，独立提取振幅、周期、初相信息，写出函数解析式，再在小组内核对、互评，教师选取代表展示并讲解求指定时刻电流值的过程。 5. 归纳交流活动：学生回顾两个实际问题的解决过程，用自己的语言归纳三角函数模型应用的一般思路，并在班级中交流补充，教师板书完善一般步骤。 七、板书设计 1. 课题：5.7 三角函数的应用 2. 弹簧振子模型：y=20sin( t−)，t∈[0，+∞)；参数确定：A=20，=0.6 ⇒ ω=，sin φ=−1 ⇒ φ=−。 3. 简谐运动概念：y=A sin(ωx+φ)，A>0，ω>0；振幅A，周期T=，频率f=，相位ωx+φ，初相φ。 4. 应用一般思路：观察周期性→作散点图→选模型→定参数→用解析式解决问题。 八、教学反思与改进 1. 本节课以弹簧振子和交变电流两个真实情境为载体，学生参与数据分析与识图建模的积极性较高，多数学生能正确确定振幅A和周期T，但在由初始条件求初相φ时，部分学生对取值方向判断不准，后续应增加不同初始位置下的对比练习，帮助学生巩固φ的确定方法。 2. 课堂时间分配上，交变电流问题的识图环节略显紧凑，部分学生未能当堂完成解析式书写，下次教学可适当精简概念讲解时间，将更多时间留给识图建模的独立练习与展示。 学科网（北京）股份有限公司 $