第五章 三角函数（思维导图+知识清单+四大易错点总结）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

该高中数学三角函数单元复习讲义以思维导图统领知识体系，知识清单分模块梳理5.1至5.7节内容，通过表格对比象限角集合、弧度角度换算等易混点，结合单位圆、函数图象等图形辅助理解，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于四大易错点专项突破，针对同角三角函数关系忽略角范围等问题设典例及跟踪训练，结合“五点法”作图、辅助角公式等方法指导，培养数学思维与运算能力。不同层次题目满足分层需求，助力学生自主复习，为教师提供精准教学依据。

第五章 三角函数（思维导图+知识清单+四大易错点总结） 【人教A版】 5.1 任意角和弧度制 【知识点1 任意角】 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. (3)角的分类 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向——顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. (4)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且 旋转量相等，那么就称α=β. (5)角的加、减法 ①角的加法 设α，β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. ②相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α. ③角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(-β).这样，角的减法可以 转化为角的加法. 2．象限角与终边相同的角 (1)终边相同的角 若角α，β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 ③轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 (3)区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. 【知识点2 弧度制】 1．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 3．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 5.2 三角函数的概念 【知识点1 三角函数的定义】 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示. 3．诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： 【知识点2 同角三角函数的基本关系】 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 5.3 诱导公式 【知识点1 诱导公式】 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 5.4 三角函数的图象与性质 【知识点1 三角函数的图象与性质】 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上 的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 【知识点2 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性】 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 5.5 三角恒等变换 【知识点1 两角和与差的三角函数公式】 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”， 两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 6．辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【知识点2 二倍角公式】 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 【知识点1 函数y=Asin(ωx+φ)】 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 4．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【知识点2 匀速圆周运动的数学模型】 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 5.7 三角函数的应用 【知识点1 三角函数的简单应用】 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2)三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【知识点2 用拟合法建立三角函数模型】 1．用拟合法建立三角函数模型 数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化. 【易错点1 同角三角函数的基本关系中忽略角的范围】 易错点分析：求sinα+cosα或sinα-cosα的值时，需要根据α的范围判断它们的符号，如果忽略角的范围，容易导致结果错误. 【注】：sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”. 【典例1】（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.1】（2025·江西萍乡·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.4】（24-25高一上·山东淄博·期末）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【易错点2 诱导公式变名出错】 易错点分析：没有完全掌握各类诱导公式，对诱导公式记忆错误，使用错误的诱导公式导致结果错误. 【典例2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.1】（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）（    ） A． B．－ C． D．－ 【跟踪训练2.2】（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.3】（24-25高一下·贵州黔西·期末）已知，且是第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.4】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知，则（ ） A． B． C． D．2 【易错点3 三角函数的图象变换出错】 易错点分析：没有掌握三角函数图象的平移变换和伸缩变化规律，进行图象变换时没有按照正确的变换规律来进行变换，导致错误. 【注】：解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；(2)变同名：函数的名称要变得一样；(3)选方法：即选择变换方法. 【典例3】（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【跟踪训练3.1】（25-26高三上·河北保定·月考）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.2】（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【跟踪训练3.3】（24-25高一下·河北承德·期末）把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.4】（2025高一上·全国·专题练习）如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【易错点4 三角函数中的参数范围问题】 易错点分析：根据三角函数的各类性质（单调性、对称性、最值、周期性、极值以及零点等）求解参数的取值范围时，没有合理转化各类关系式，导致计算结果错误. 【注】：①对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. ②若已知三角函数的周期性，则利用三角函数的周期与对称轴、最值的关系，列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 【典例4】（24-25高一下·贵州·月考）已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.1】（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．8 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.3】（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数，则下列命题中错误的是（   ） A．若在上单调递增，则的取值范围是 B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C．若在上的值域为，则的取值范围是 D．若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 【跟踪训练4.4】（2025·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数（思维导图+知识清单+四大易错点总结） 【人教A版】 5.1 任意角和弧度制 【知识点1 任意角】 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. (3)角的分类 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向——顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. (4)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且 旋转量相等，那么就称α=β. (5)角的加、减法 ①角的加法 设α，β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. ②相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α. ③角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(-β).这样，角的减法可以 转化为角的加法. 2．象限角与终边相同的角 (1)终边相同的角 若角α，β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 ③轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 (3)区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. 【知识点2 弧度制】 1．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 3．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 5.2 三角函数的概念 【知识点1 三角函数的定义】 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示. 3．诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： 【知识点2 同角三角函数的基本关系】 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 5.3 诱导公式 【知识点1 诱导公式】 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 5.4 三角函数的图象与性质 【知识点1 三角函数的图象与性质】 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上 的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 【知识点2 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性】 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 5.5 三角恒等变换 【知识点1 两角和与差的三角函数公式】 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”， 两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 6．辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【知识点2 二倍角公式】 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 【知识点1 函数y=Asin(ωx+φ)】 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 4．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【知识点2 匀速圆周运动的数学模型】 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 5.7 三角函数的应用 【知识点1 三角函数的简单应用】 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2)三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【知识点2 用拟合法建立三角函数模型】 1．用拟合法建立三角函数模型 数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化. 【易错点1 同角三角函数的基本关系中忽略角的范围】 易错点分析：求sinα+cosα或sinα-cosα的值时，需要根据α的范围判断它们的符号，如果忽略角的范围，容易导致结果错误. 【注】：sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”. 【典例1】（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【解答过程】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 【跟踪训练1.1】（2025·江西萍乡·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件求出的值，再结合的取值范围判断与的正负及大小关系，进而求出的值. 【解答过程】因为， 所以，又，所以， 则，. 故选：D. 【跟踪训练1.2】（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用之间关系求解即可. 【解答过程】因为，所以， 因为,又， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 【跟踪训练1.3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将已知条件平方，得，从而得，再将平方，求解即可. 【解答过程】解：因为， 平方得：， 所以， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以. 故选：A. 【跟踪训练1.4】（24-25高一上·山东淄博·期末）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用与之间的关系式，再由平方关系计算可得A错误，B错误，联立方程组并由商数关系可得C错误，代入计算可得D正确. 【解答过程】由可得，即； 所以，即，即A错误； 又，所以，因此 所以，即B错误； 联立，可得， 所以，即C错误； 代入计算可得，即D正确. 故选：D. 【易错点2 诱导公式变名出错】 易错点分析：没有完全掌握各类诱导公式，对诱导公式记忆错误，使用错误的诱导公式导致结果错误. 【典例2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由诱导公式计算即可. 【解答过程】由得． 故选：A. 【跟踪训练2.1】（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】C 【解题思路】先用诱导公式进行化简，再求值即可. 【解答过程】， 故选：C. 【跟踪训练2.2】（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式化简求值即可. 【解答过程】由题意，. 故选：A. 【跟踪训练2.3】（24-25高一下·贵州黔西·期末）已知，且是第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意得，结合诱导公式逐一验算各个选项即可求解. 【解答过程】已知，且是第一象限角，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【跟踪训练2.4】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】利用诱导公式化简，再将弦化切，代入计算可得. 【解答过程】因为， 所以. 故选：D. 【易错点3 三角函数的图象变换出错】 易错点分析：没有掌握三角函数图象的平移变换和伸缩变化规律，进行图象变换时没有按照正确的变换规律来进行变换，导致错误. 【注】：解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；(2)变同名：函数的名称要变得一样；(3)选方法：即选择变换方法. 【典例3】（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】D 【解题思路】利用三角函数的伸缩平移变换规律即得. 【解答过程】因，则可把函数的图象向左平移个单位，即得函数的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即得函数的图象. 故选：D. 【跟踪训练3.1】（25-26高三上·河北保定·月考）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式. 【解答过程】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得，即. 故选：C. 【跟踪训练3.2】（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【解题思路】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【解答过程】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A. 【跟踪训练3.3】（24-25高一下·河北承德·期末）把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由函数平移伸缩变换法则求解即可. 【解答过程】把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 则. 故选：B. 【跟踪训练3.4】（2025高一上·全国·专题练习）如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解题思路】根据图像求出正弦型函数，再结合平移的内容判断. 【解答过程】由题图象知， 所以．所以， 又图象过点，由五点法知，所以， 所以． 故将函数的图象先向左平移个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不度），可得函数的图象． 故选：A. 【易错点4 三角函数中的参数范围问题】 易错点分析：根据三角函数的各类性质（单调性、对称性、最值、周期性、极值以及零点等）求解参数的取值范围时，没有合理转化各类关系式，导致计算结果错误. 【注】：①对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. ②若已知三角函数的周期性，则利用三角函数的周期与对称轴、最值的关系，列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 【典例4】（24-25高一下·贵州·月考）已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据自变量的取值范围求解出的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得的取值范围. 【解答过程】因为，所以， 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 根据函数的图像：    所以，整理得：． 故选：A． 【跟踪训练4.1】（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【解题思路】由函数的图象过点求得，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得的范围，即可得解. 【解答过程】因为函数的图象过点，所以， 因为，所以，所以， 当时，， 因为在区间上具有单调性， 所以，， 即且，， 则，， 因为，得， 因为，所以时，，则； 当时，， 综上，，即的最大值为. 故选：C. 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题设可得，即，再由及区间最值、余弦型函数的图象列不等式求参数范围. 【解答过程】由函数的图象经过点， 所以，由于，则，则． 由，可得， 因为在上有且只有两个最值点，则， 所以. 故选：A. 【跟踪训练4.3】（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数，则下列命题中错误的是（   ） A．若在上单调递增，则的取值范围是 B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C．若在上的值域为，则的取值范围是 D．若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 【答案】B 【解题思路】把的范围求出来，看成一个整体，再利用正弦曲线的性质，即可得到不等式，四个选项一一进行求解，求出的范围. 【解答过程】对于A，当时，，又在上单调递增， 所以，又，解得，故A正确； 对于B，当时，，若在上恰有3个零点， 则，解得，故B错误； 对于C，时，， 由题意得，解得，故C正确； 对于D，时，， 由题意得，解得，故D正确． 故选：B． 【跟踪训练4.4】（2025·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【解答过程】因为函数在区间上单调， 且满足，而，, 即的一个对称中心为，故； 而，故在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则； 函数在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期， 故，即， 解得，结合， 可得的取值范围为， 故选：B. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $