湖北省2026-2027学年高三上学期开学考模拟数学试卷

**基本信息** 高三开学考数学试卷覆盖集合、复数、立体几何等核心知识，通过分层设计（如统计应用、函数导数综合题）检测数学思维与应用能力，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、立体几何基础|注重概念辨析，如空间线面关系判断| |多选题|3/18|统计、函数性质、抛物线|选项分层，如结合抛物线定义与几何性质| |填空题|3/15|函数奇偶性、数列通项、立体几何动态问题|四棱锥中菱形截面计算，考察空间观念| |解答题|5/77|数列求和、统计应用（独立性检验与分布列）、圆锥曲线、函数导数综合|以体育运动时间调查为情境，体现数学语言表达现实世界；函数零点问题考察逻辑推理与创新意识|

Sheet1 2026—2027学年高三上学期开学考数学试卷 双向细目表 考查范围：等式与不等式、集合与常用逻辑用语、复数、空间向量与立体几何、函数与导数、数列、三角函数与解三角形、平面解析几何、计数原理与概率统计 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 解不含参数的一元二次不等式,交集的概念及运算 2 适中 复数的除法运算,共轭复数的概念及计算 3 容易 线面关系有关命题的判断,面面关系有关命题的判断 4 容易 基本初等函数的导数公式,导数的运算法则,求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 5 适中 等比数列片段和性质及应用 6 适中 用和、差角的余弦公式化简、求值,用和、差角的正弦公式化简、求值,用和、差角的正切公式化简、求值,已知弦（切）求切（弦） 7 较难 双曲线定义的理解 8 难 实际问题中的组合计数问题,计算古典概型问题的概率,分步乘法计数原理及简单应用,涂色问题 二、多选题 9 容易 指定区间的概率,总体百分位数的估计,决定系数的计算及分析,解释回归直线方程的意义 10 适中 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心,辅助角公式,求正弦（型）函数的奇偶性,求sinx型三角函数的单调性 11 较难 抛物线中的三角形或四边形面积问题,与抛物线焦点弦有关的几何性质,抛物线定义的理解 三、填空题 12 容易 由奇偶性求参数 13 适中 利用an与sn关系求通项或项,由递推关系证明等比数列 14 困难 空间向量与立体几何综合,证明线面平行,证明面面平行 四、解答题 15 适中 正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,二倍角的正弦公式,余弦定理解三角形 16 适中 利用an与sn关系求通项或项,利用定义求等差数列通项公式,错位相减法求和,裂项相消法求和 17 适中 超几何分布的分布列,超几何分布的均值,完善列联表,独立性检验解决实际问题 18 困难 根据离心率求椭圆的标准方程,求椭圆中的最值问题,椭圆中的直线过定点问题,根据韦达定理求参数,根据a、b、c求椭圆标准方程 19 困难 利用导数证明不等式,用导数判断或证明已知函数的单调性,利用导数研究不等式恒成立问题,利用导数研究方程的根 Sheet2 Sheet3 $ 2026—2027学年高三上学期开学考数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数z满足，则（   ） A．2 B． C．2i D． 3．已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．已知内角A，B，C满足，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．9 7．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若， 则的值为（   ） A． B． C． D． 8．现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题中，真命题的是（        ） A．数据的第70百分位数是23 B．若回归方程为，则变量与成负相关 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 10．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．若周期是，则其对称轴方程为， C．若，则在区间单调递增 D．若方程在上有三个根，则 11．已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作的垂线，垂足为Q，线段与C相交于点M，若，则（    ） A．直线的斜率为 B．为的平分线 C．的面积为 D．H，M，P三点共线 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数是偶函数，则______. 13．数列的前项和为，已知，，则数列的通项公式____________________． 14．在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，. (1)求的值； (2)若为非直角三角形，且满足，，求a的值. 16．已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式及数列的前n项和. (2)求数列的通项公式，并证明其前n项和 17．为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，，，，经统计得下表： 男生 人数 4 5 27 21 3 女生 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． (1)根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 (2)从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于两点． ①若过点，求的最大值； ②设直线，的斜率分别为，，且．问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 19．已知函数，若方程有三个不同的实数根. (1)求的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)证明：. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高三上学期开学考数学试卷（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助一元二次不等式解法得到两集合后利用交集定义即可得. 【详解】，解得或， 即， ，解得， 即， 则. 故选：C. 2．若复数z满足，则（   ） A．2 B． C．2i D． 【答案】B 【分析】利用复数的四则运算及共轭复数的定义计算即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以 所以 故选： 3．已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】若，，，则或m，l异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误． 故选：C． 4．曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先对函数求导，再把代入导函数计算即得切线斜率. 【详解】因为，所以， 则曲线在点处的切线的斜率为. 5．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】应用等比数列片段和的性质有，，成等比数列，列方程求即可. 【详解】由题意及等比数列前n项和的性质，得，，成等比数列， 则，即，解得或（舍）. 故选：A 6．已知内角A，B，C满足，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据三角形内角和为，把转化为，把转化为，利用两角和的正余弦公式展开整理，再进行弦切互化，结合两角和的正切公式求解即可. 【详解】在中，, 故有， ， 又， ，两边同除以， 可得; , ， 可得 根据两角和的正切公式可得 因为在中，， 故， 则， 故选：. 7．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若， 则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的内切圆半径为，由，得到，结合双曲线的定义，求得，再由，得到，即可求解. 【详解】设的内切圆半径为，因为， 所以，可得， 因为点为双曲线右支上一点， 所以，可得，解得， 又因为，可得，整理得， 即，解得或（舍去）. 故选：D. 8．现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据排列组合方法计算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，结合古典概型的概率公式可求相应的概率. 【详解】先涂底面，有种涂法，再涂4个侧面， 如果4个侧面用2种颜色，则不同的涂法有种； 如果4个侧面用种颜色，则不同的涂法有； 故相邻（有一条公共边）的两面不同色，共有种不同的涂法. 若相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色， 则这两个面只能是平面、平面或平面、平面. 则此时不同的涂法有种， 设为随机事件“恰有两个面涂了红色”， 则. 二、多选题 9．（多选）下列命题中，真命题的是（        ） A．数据的第70百分位数是23 B．若回归方程为，则变量与成负相关 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 【答案】AB 【分析】利用百分位数的计算方法判断A，利用回归方程的相关性的性质判断B，利用正态分布的对称性判断C，利用线性回归方程中决定系数的定义判断D. 【详解】对于A，数据共8个数， ，所以第70百分位数是第个数，说法正确； 对于B，回归方程中，所以变量与成负相关，说法正确； 对于C，因为随机变量服从正态分布，， 所以，所以，说法错误； 对于D，在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越大，越接近1，则模型的拟合效果越好，说法错误； 故选：AB 10．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．若周期是，则其对称轴方程为， C．若，则在区间单调递增 D．若方程在上有三个根，则 【答案】ACD 【分析】根据两角差的正弦公式化简可得的表达式，结合奇函数定义可判断A；根据正弦函数的对称性可判断B；根据正弦函数的单调性判断C；解三角方程，根据根的个数列出相应不等式，可求出的范围，判断D. 【详解】, 由于,，故是奇函数，A正确； 若周期是，则，即， 令，则 则的对称轴方程为，B错误； 若，则，在区间单调递增，C正确； ，即，即， 则或， 解得或， 当时，或；当时，或；当时，或； 由于，在上有三个根，故，解得，D正确， 故选：ACD 11．已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作的垂线，垂足为Q，线段与C相交于点M，若，则（    ） A．直线的斜率为 B．为的平分线 C．的面积为 D．H，M，P三点共线 【答案】ABD 【分析】先根据及抛物线的性质求出P点的坐标，对于A，可根据P点坐标直接求出PF的斜率；对于B，求出FQ的斜率，并结合PF的斜率分别求出、，据此可判断为的平分线；对于C，联立直线QF和抛物线C的方程，求出M的坐标，再结合点到直线的距离即可求解的面积；对于D，比较HM、HP的斜率即可判断是否三点共线． 【详解】如图所示， 抛物线的焦点为，准线为， 已知，所以的横坐标为，解得， 所以，解得，因此， 对于A，直线PF的斜率，故A正确； 对于B，是到准线的垂足，所以，又，， 所以FQ的斜率，故， 由得，所以， 所以为的平分线，故B正确； 对于C，QF的方程为，联立抛物线， 得，解得或（舍去），所以， PF的方程为， 点到直线PF的距离, 面积，故C错误； 对于D，，，， 则，，斜率相等， 所以H，M，P三点共线，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．已知函数是偶函数，则______. 【答案】1 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 13．数列的前项和为，已知，，则数列的通项公式____________________． 【答案】 【分析】构造等比数列，利用等比数列的通项公式求出，再利用与的关系求解即可. 【详解】因为且， 所以， 令，则，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以①， 当时，②， ①②得， 当时代入上式得，符合条件， 综上， 故答案为： 14．在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 【答案】 【分析】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，建立空间直角坐标系，求出，，利用求解即可. 【详解】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，如图建系 令，则，，，，， E,F,G分别在PB,PC,PD上，令，， ，， ， ，， ，，， ，， 即. 故答案为： 四、解答题 15．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，. (1)求的值； (2)若为非直角三角形，且满足，，求a的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理计算即可. （2）根据正弦定理对等式进行化简，然后求出，进而得到，利用正弦定理求出. 【详解】（1）因为，所以， 即， 由余弦定理得，于是. （2）因为，所以， 又， 故. 因为，所以， 于是，即或. 因为不为直角三角形，故，即或. 因为，所以， 若，则，而已知，则，两者矛盾， 故应舍去，故. 又，， 故， 因此. 16．已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式及数列的前n项和. (2)求数列的通项公式，并证明其前n项和 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意得，由等差数列定义可得数列的通项公式，再由错位相减法求； （2）利用（1）可得，当时，，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）根据题意，数列的前n项和为，且， 即，也就是， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列，则， 则， 所以， 可得， 两式相减得， 所以； （2）由（1）可得数列的前n项和， 则， 当时，， 所以数列的前n项和， 当时， ， 所以. 17．为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，，，，经统计得下表： 男生 人数 4 5 27 21 3 女生 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． (1)根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 (2)从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析，认为是否喜欢体育运动与性别有关联 (2)X的分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）根据时间分组统计表，完成列联表，根据参考公式计算，对照附表作出相应判断. （2）根据(1)中的列联表，求出分层随机抽样抽取的8人中的男女人数，并求出随机变量X的可能取值及对应的概率，写出相应分布列，求得数学期望. 【详解】（1）列联表如下： 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 24 36 60 女 8 32 40 合计 32 68 100 零假设为：是否喜欢体育运动与性别无关联． 根据列联表可得， 所以，根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为是否喜欢体育运动与性别有关联． （2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人， 则男生抽取人数为，女生抽取人数为． X的所有可能取值为0，1，2，其中，，. 则X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望． 18．已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于两点． ①若过点，求的最大值； ②设直线，的斜率分别为，，且．问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ；②是，定点为 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）（i）分直线l斜率为0和不为两种情况，斜率为0时，直接求出，斜率不为时，设直线，再利用根与系数间的关系及弦长公式可得，即可求解；（ii）法一，结合条件，利用椭圆的第三定义，建立等量关系，从而可得，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，得到，又，得到，则， 所以椭圆方程为. （2）（ⅰ）若直线l斜率为0，此时，解得M，N两点坐标为，此时， 若直线斜率不为0，不妨设直线，，， 由，消整理得到， 则，，， 又直线过点，故， 此时，易知点在椭圆外，则，正负号一致， ， ， 综上所述，的最大值为． （ⅱ）利用椭圆的第三定义可知，，得， 此时， 即，将，代入， 得到， 整理化简可得，解得或， 当时，直线l经过点，不符合要求，舍去；所以，即直线l恒过定点． 且定点在椭圆内部，直线l与椭圆恒有两个交点，经检验成立． 19．已知函数，若方程有三个不同的实数根. (1)求的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3) 由（1）知.先证，即证明：， 由于在内单调递增，即证，又， 即证， 设， ， 设，， 在区间内存在零点，设为在区间上单调递减， 在区间上单调递增，，. 所以在上存在零点，在， 在所以在上单调递减，在上单调递增， ， 所以时，，即有对恒成立. 成立． 下证，由题意知，又， 故，解得， 所以成立． 【分析】（1）求导，得到函数单调性和极值，结合时，，得到； （2）先得到的对称中心为，先由得，再证时，恒成立，结论成立； （3）由（1）知.先利用构造差函数法证明出，再由题意知，又，故，解得，所以成立． 【详解】（1）， 令得或，令得， 故在内单调递增，在内单调递减，内单调递增， 的极大值为的极小值为，且时，， 方程有三个不同的根，所以； （2）设，则， 故的对称中心为，恰好是点和点所连线段的中点. 对，都有， 由可得，，解得，需要满足. 下证时，恒成立，即证. 即证，即， 即证， 设，令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， ，从而成立， 所以当且仅当时，恒成立； （3）略 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $