第3章位置与坐标典例精讲与强化训练-2026-2027学年北师大版 数学八年级上册

**基本信息** 以坐标概念为核心，通过典例精讲与分层训练，系统整合坐标特征、变换规律及几何综合应用，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道|坐标特征应用（平行坐标轴点的坐标关系）、平移规律（坐标加减）、割补法求面积、全等构造证位置关系|从点的坐标概念→坐标变换（平移/对称）→几何图形与坐标结合（三角形/网格）→综合应用（动态问题/位置关系证明）| |强化训练|18道（单选8/填空6/解答4）|象限判断、对称点坐标规律、坐标规律探究、面积公式应用|覆盖基础巩固（坐标计算）、能力提升（规律探究）、综合拓展（新定义“长距”/动态面积），形成完整知识链|

第3章位置与坐标典例精讲与强化训练 典例精讲 1．在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当轴时，求A，B两点间的距离． (2)当轴于点D，且时，求点C的坐标． 2．如图，在边长为1的正方形网格中，中任意一点经平移后对应点为．已知，，将作同样的平移得到． (1)画出平移后的； (2)直接求出的面积为___________； (3)已知点在轴上，且的面积等于面积的一半，求点的坐标． 3．如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上．且； (1)如图，直接写出点的坐标：________； (2)如图，点在轴负半轴上，且，连接交轴于点，求点坐标． (3)如图，若，，试判断、位置关系，并说明理由． 强化训练 一、单选题 1．若点在第一象限，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．七巧板是源自中国的传统智力玩具，历史悠久，如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标分别为，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．若一个点的横坐标不变，纵坐标乘后得到一个点，则（　　）． A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于原点对称 D．点向轴的负方向平移个单位长度得点 6．已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于轴对称，那么点的对应点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 7．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（   ） A． B． C．1 D．0 8．如图，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则____________． 10．下面是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②关于轴对称的点的坐标为_______． 11．已知点，，若轴，且线段的长为8，则___________． 12．在平面直角坐标系中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点B在x轴上运动时，连接，则的最小值为______． 13．小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角，其中，，如图，点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你帮助小明，点B的坐标为___________． 14．如图，，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为___________ 三、解答题 15．在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)分别写出各个顶点的坐标； (2)分别写出顶点A关于x轴对称的点的坐标和顶点B关于y轴对称的点的坐标； (3)求的面积． 16．已知：点，根据下列条件，解答下列各题． (1)当时，写出点的坐标为___________，点在第___________象限； (2)若点在轴上，求点坐标； (3)若的坐标是，且轴，求点坐标． 17．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)的“长距”为____________；的“长距”为____________． (2)若是“完美点”，求的值； (3)若的长距为5，且在第三象限内，的坐标为，试说明：点是“完美点”． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且a，b满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，，分别平分，，求（用含的代数式表示）； (3)如图3，在y轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1)3 (2)C点坐标为或 【分析】（1）根据轴得出A、B点的纵坐标相同，由此求出的值，即可得出结果； （2）由题意可得，求出的值即可得出结果． 【详解】（1）解：∵轴， ∴A、B点的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴，， ∴A，B两点间的距离； （2）解：∵轴于点D，， ∴， 解得或， ∴C点坐标为或． 2．(1) (2) (3)或 【分析】（1）由点的坐标可知，三角形向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，依次连接，即可； （2）直接利用割补法求出三角形面积，即可； （3）以为底，高为点到轴的距离，则，再根据的面积等于面积的一半，即可． 【详解】（1）略 （2）． （3）∵以为底，高为点到轴的距离， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∵点， ∴或． 3．(1) (2) (3)证明：垂直，理由如下： 如图，连接、交于点， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 在与中， ， ∴， ，， ∴， ， ∴， 在与中， ， ， ∴， ∴． ． 【分析】（1）由偶次幂及算术平方根的非负性可得，过点作，由题意易得，则有，，然后问题可求解； （2）过点作，过点作，由题意易得，，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （3）连接、交于点，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ； （2）解：如图，过点作，过点作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； ， ； （3）略 强化训练解析 1．D 【分析】本题先利用第一象限点的坐标特征得到的正负，再结合绝对值的性质得到目标点横纵坐标的正负，最后根据不同象限点的坐标特征判断点所在的象限． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，， ∵，正数的绝对值是它本身， ∴， ∵， ∴， 第四象限点的坐标特征为横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴点在第四象限． 2．B 【分析】先根据点，的坐标确定原点并建立平面直角坐标系，再结合图形得出点的坐标即可． 【详解】解：∵机器人，的坐标分别为，， ∴原点在点的左边个单位，下边个单位处． 建立平面直角坐标系如图所示， 由图可知，点在轴正半轴个单位，轴负半轴个单位处， ∴机器人的坐标为． 3．A 【分析】平面直角坐标系中，点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 4．C 【分析】本题考查坐标系的建立及表示点的坐标，数形结合是解决问题的关键． 先由已知点的坐标分别为，，在图中建立平面直角坐标系，然后数形结合写出点的坐标即可得到答案． 【详解】解：由点的坐标分别为，，将图放入平面直角坐标系中，如图所示： 点的坐标为， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查坐标系中对称点的坐标特征，关键掌握关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 先设点的坐标为，再求点，最后判断点与点的关系即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点的纵坐标乘得到点， ∴点的坐标为， ∴点与点关于轴对称． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查坐标系中对称点的坐标特征，关键掌握关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 先与关于轴对称推出点和点也关于轴对称，再通过平面直角坐标系得到点坐标，然后求解点的坐标即可． 【详解】解： ∵与关于轴对称， ∴点和点也关于轴对称， ∵由图可知点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查坐标与图形变化-对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型，利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，可得结论． 【详解】解：∵，关于y轴对称， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 8．A 【分析】由图象与点坐标可知，每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现，由，可得，求解作答即可． 本题考查了点的坐标规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 【详解】解：由题意知：每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，，循环出现，得即， 故选：A． 9．2 【分析】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，根据关于x轴对称的点的坐标变换规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，列出方程求解m和n的值，再计算它们的乘积即可． 【详解】解：∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴，， ∴． 故答案为：2． 10． 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，关于x轴对称的点的坐标，正确建立直角坐标系成为解题的关键．先根据黑棋①和白棋③的坐标建立坐标系，得到黑棋②的位置的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：根据题意可建立如下所示的平面直角坐标系： ∴黑棋②的坐标是， ∴黑棋②关于x轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 11．12或 【分析】本题考查了点的坐标，由平行于x轴，得点A与点B纵坐标相等，即；再由线段的长为8，得，求解即可． 【详解】解：∵轴，且，， ∴． ∵线段的长为8， ∴ ∴或． 解得或． 故答案为：12或． 12． 【分析】本题考查坐标与轴对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、，证明，得到，进而得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、，则四边形是矩形， ∵点，以为直角边在左侧作等腰直角，， ∴，，, ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 如图，作点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时，的值最小， ∴最小值为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 作，作，证明，根据相等的线段推出坐标． 【详解】如图，作，作， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴点B的横坐标，纵坐标为： ∴B点的坐标为 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律． 本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得的点在的正半轴上（为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴的点在轴的正半轴上（为正整数）， 且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2， ∵， ∴在轴的正半轴上， ∴的横坐标为， ∴的坐标为， 故答案为：． 15．(1) (2)， (3) 【详解】（1）观察网格：； （2）关于轴对称点， 关于轴对称点： （3）用框住三角形的最小矩形减去周围3个直角三角形面积， ． 16．(1)；四 (2) (3) 【分析】本题主要考查点与坐标轴的特点，掌握点在坐标轴上点的横纵坐标的特点以及两直线平行的性质是解题的关键． （1）把代入，即可求解． （2）根据点在轴上，横坐标为零，即可求解； （3）根据平行与轴，则纵坐标相等，可求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 点的坐标为， ∵， ∴点在第四象限； 故答案为：；四 （2）解：∵点在轴上， ∴， 解得：， 此时， ∴点的坐标为； （3）解：∵点，的坐标是，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 17．(1)4；3 (2)2或3 (3) 解：∵的长距为5，且在第三象限内， ∴， 解得：， ∵的坐标为， ∴点D坐标为， ∴点D到x轴和y轴距离均为8，即点D到x轴和y轴距离相等， 故点D是“完美点”． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义可得，求出答案； （3）先根据的“长距”是5，求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵点A到x轴的距离数4，到y轴的距离是2， ∴点的“长距”为4； ∵点B到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴的“长距”为3 故答案为：4；3 （2）解：∵是“完美点”， ∴， 解得：或2； （3）略 18．(1)， (2) (3)存在．P点坐标为或 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性，求出、的值，即可得到点A、B的坐标； （2）过点作，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可得，，再根据即可表示出； （3）连接，根据、、三点坐标，求出的面积，设，根据列方程求出的值，设，分别表示出的面积，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）解：如图，过点作，交轴于点， ， 又， ， ， ，， ， 又，分别平分，，， ，， ，， ； （3）解：存在．连接，如图3． 设， ， ， 解得， 点坐标为，， 当点在轴上时，设， ， ， 解得或， 此时P点坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $