第3章勾股定理分层特训2026-2027学年数学八年级上册苏科版

**基本信息** 分层设计勾股定理特训，基础巩固概念应用，思维拓展综合探究，融合抽象能力与推理意识 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础达标|17题|勾股数定义、分类讨论、网格计算、方程建模|从勾股数概念到定理应用，覆盖直角三角形判定、折叠与最短路径| |思维达标|3题|勾股数规律探究、动点问题分类、角平分线等面积法|深化定理推导与综合应用，结合几何直观与逻辑推理|

第3章勾股定理分层特训01 基础达标 1．以下四组数中，不是勾股数的是（   ）. A．，， B．，， C．，， D．，，（为正整数） 2．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．已知一个直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的第三条边的长为（     ） A．5 B． C．8 D．5或 4．在中，的对边分别为，且．下列结论正确的是（ ） A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．不是直角三角形 5．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知，，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（   ） A．13m B．10m C． D． 6．《算法统宗》中有一道题目，大致意思是：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，求该田有多少亩．”若设长方形田的宽为x步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，四边形中，对角线，相交于点，且．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图为一座钟，当它静止时，摆球底部距离地面的垂直高度，将摆球向一侧推动，使摆球水平移动的距离，此时摆球底部距离地面的垂直高度，钟摆的摆绳始终保持绷直状态，则钟摆摆绳的长度是（   ） A． B． C． D． 9．如图，一根电线杆在离地面米处各用米长的铁丝向两侧地面拉线固定，则两个固定点之间的距离是________． 10．如图，和的顶点都是网格线交点，那么________ ． 11．已知三角形的三边长为、、，如果，则的面积为____________． 12．如图，在单位长度为1的的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段，的顶点都在格点上． （1）线段，的长度分别为______，______； （2）设，所夹的锐角为，则的度数为______°． 13．如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，若两个大正方形的面积分别为144和108，则小正方形M的边长为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，点的坐标为，为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为______． 15．如图，在中，． (1)作的垂直平分线交于点，垂足为；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若的周长，，求的面积． 16．如图，在中，，于点，，，．求的长． 17．口袋公园，也称袖珍公园，是指面向公众开放、规模较小形状多样、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地，包括小游园、小微绿地等，如图，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桃李园B在入口A的正南方向处，入口C在桃李园B的正东方向处，玫瑰园D与入口C相距，玫瑰园D与入口A相距．求这个口袋公园的面积． 01 思维达标 18．我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：、． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1)_________； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为_________，_________． 19．【问题提出】 勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着极其广泛的应用．它架起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算． 在中，． 【新知初探】 （1）如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动_____秒时．． 【类比分析】 （2）如图2，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向向点运动，连接，当点运动_____秒时．点在的平分线上． 【学以致用】 （3）如图3，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动．设运动的时间为． ①当为以为腰的等腰三角形时．求t的值； ②当为直角三角形时，直接写出的值． 20．【问题背景】 一次数学综合实践活动课上，小明发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． 小明的证明思路是：如图2，过点D作，，分别交于点E，交于点F，过点A作，交于点G，利用等面积法来证明． 【问题解决】 (1)尝试证明：请参照小明的思路，利用图2证明； (2)基础训练：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，．求的长； (3)拓展升华：如图4，中，，，平分，的垂直平分线交的延长线于点F，，当时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3章勾股定理分层特训-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A A A B C 1．A 【分析】本题考查勾股数的定义．熟悉勾股数的定义：勾股数是满足的正整数组，其中为最大数，是解题的关键． 直接计算各选项的两个较小数的平方和与最大数的平方是否相等即可判断． 【详解】解：选项：，，，选项符合题意； 选项：，，，选项不符合题意； 选项：，，，选项不符合题意； 选项：，，，选项不符合题意． 故选：． 2．B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握定理内容并分类讨论是关键；根据4为直角边与斜边两种情况，利用勾股定理即可完成． 【详解】解：当3和4是直角边时， 在直角三角形中，第三边长为； 当3是直角边，4是斜边时， 在直角三角形中，第三边长为； 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据三角形的三边关系判定三角形的形状是解题的关键．将给定等式化简得到，即，根据勾股定理的逆定理，可判断为直角． 【详解】， ， ， 是直角三角形，且a为斜边，为直角． 故选：A． 5．A 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，勾股定理．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：展开图如下： 蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程为的长度， 由展开图得， （）， 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 根据勾股定理，长方形的对角线长为步，再根据宽与对角线之和为50步，得到方程，变形后平方即可得到正确方程． 【详解】解：∵宽为x步， ∴对角线长为步， ∵宽及其对角线之和为50步， ∴ ， 故选A． 7．B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，利用勾股定理找到之间的关系即可求解． 【详解】解：因为，所以， 由勾股定理得， ， 所以，所以． 因为，， 所以， 故选：B． 8．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴是直角三角形，四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选：C． 9．米/ 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，把电线杆、铁丝、地面构成的图形转化为直角三角形是解题关键． 将电线杆与地面的垂直关系转化为直角三角形，利用勾股定理求出单侧固定点到电线杆底部的距离，再计算两侧固定点的间距． 【详解】解：电线杆、铁丝与地面构成直角三角形， 直角边（电线杆高度）：米， 斜边（铁丝长度）：米， 设单侧固定点到电线杆的距离米，则： ， ， 解得（米）， 故两个固定点之间的距离为：（米）． 故答案为：米． 10． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．连接，构造等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得，，由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．30 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理． 根据非负数的性质，求出、、的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，并计算面积，即可求解． 【详解】解：因为，且，，， 所以，，， 解得，，． 因为，， 所以， 因此是以为斜边的直角三角形． 直角边为和，面积． 故答案为：30． 12． 【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用（用于计算线段长度），以及平移法或特殊三角形性质（用于确定两线段夹角）．解题时需准确识别网格中线段的横向、纵向格数差，再结合几何定理推导． （1）利用勾股定理，结合网格中线段横向与纵向的格数差确定直角边长度，进而求出斜边（即线段长度）； （2）可通过构造平行线转化夹角，再结合特殊三角形性质确定角度即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故线段，的长度分别为，． 故答案为：，． （2）如图，选取格点，连接，． 由勾股定理逆定理，易得为等腰直角三角形， 所以， 由图可知， 所以． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是明确“正方形面积边长的平方”；解题时将面积关系转化为边长的平方关系，再用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵以、为边的正方形面积分别为144和108，即，， ∴， ∴小正方形的边长． 故答案为：． 14．4 【分析】本题主要考查坐标与图形，垂线段最短，连接，根据点，，点得到，，，由勾股定理求出，过点M作于点，此时，，根据三角形面积公式可得结论． 【详解】解：连接， ∵，，点， ∴，，， ∴， ∴勾股定理得， 过点M作于点，此时，， ∵，， ∴， 即的最小值为4， 故答案为：4． 15．(1) 如图，直线为所求的垂直平分线； (2)60 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图与性质、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图与性质、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）根据线段垂直平分线的尺规作图可进行求解； （2）过点作于点，由题意易得，则有，然后可得，则根据勾股定理可得，进而根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，则， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ． 16． 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出，再根据推出，再由勾股定理求的长． 【详解】解：， ， 由勾股定理得：， 又， ， 由勾股定理得：， ． 答：的长为． 17． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积公式，理解题意是解题的关键．连接，利用勾股定理求出的长，利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，且，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接． 由题意，得，，，，， ， ． ， 是直角三角形，且． ． 答：这个口袋公园的面积为． 18．(1)9 (2) 证明： ， ∴， ∴是勾股数； (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据表格信息，列式求解即可； （2）根据表格，运用整式的混合运算法则证明即可； （3）根据题意将变形得到，则，结合（2）的结论计算即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，当时，，，， ∵由表格第三行可知，，，， ∴， ∴，代入得，， 解得，， 故答案为：9； （2）略 （3）解：∵， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：，． 19．（1）；（2）；（3）①当为以为腰的等腰三角形时，的值为5或；②当为直角三角形时，的值为或3． 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用勾股定理求得，设，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （2）利用勾股定理结合角平分线的性质列式计算即可求解； （3）①分两种情况讨论，当时，当时，分别列式计算即可求解；②分两种情况讨论，当时，当时，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴点运动秒时，． 故答案为：； （2）如图，作， ∵点P恰好在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由题意得，， 由勾股定理得， 解得； ∴的值为． （3）①当时，则， 解得； 当时， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， 综上，当为以为腰的等腰三角形时，的值为5或； ②当，，， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∴， 即， 解得； 当，则P与C重合，则， 解得； 综上，当为直角三角形时，的值为或3． 20．(1)证明：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； (2) (3)6 【分析】（1）依据小明思路易得，即可得证； （2）由折叠的性质得平分，，则，勾股求出，进而代入求解即可； （3）由（1）的结论易求，进而设未知数，根据，列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠可知，， ∴平分， 由（1）可知， ∵，，， ∴， 设，则，， 代入得，， 解得， ∴； （3）解：∵为的角平分线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵的中垂线交延长线于F， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $