基本功专练(四) 二次根式的混合运算-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（湘教版2024 湖南专版）

-1):-3=(x十1D(x-1),解得x=一分经检验，x=-号是原分式方程的解.()由 于最简公分母为3(x一3)，于是将方程两边同乘3(x一3)，得2x十9=3(4x一7)十6(x 一3)，解得x=3.经检验，x=3不是原分式方程的解.所以原分式方程无解.(8)由于最 简公分母为(x一2)2，于是将方程两边同乘(x一2)2，得x(x一2)一(x一2)2=-4，解得x =4.经检验，x=4是原分式方程的解. 2解根据题意得2兰一号解得4=名经检验，=日是原分式方程的帐，所 以x的值是日 3.解：一正确的解答过程如下：由于最简公分母为x一2，于是将方程两边同乘x一2， 得1十3z一6=1-，解得x=是经检验，x一=号是原分式方程的解， 4,解：()根据题意，得马十=4，解得x=号经检验，x=号是原分式方程的 解，（2)分两种情况讨论：①当“口”表示的常数是-一1时，名十产-1，此时方程 无解：@当口“表示的常数是0时，名十己=0，解得x=2.经检验，x=2是原分 式方程的解.所以“口”表示的常数是0. 5.解：(1)由于最简公分母为(x+3)(x一3)，于是将方程两边同乘(x十3)(x一3)，得 2G十3)+m-5(x-3.整理，得(3-mx-21,懈得x一3引n由题意，得n>0, 32n≠士3，解得m<3且m≠一4.2)由得(3一m)x=21.因为分式方程无解，所以 3一m=0或21=±3，解得m=3或m=10或m=二4，所以m的值为3或10或一4 阶段微测试（四） 1.B2.B3.D4.B5.A6.D7.x=-28.29.20010.=a,x= a-1 11.解：(1)由于最简公分母为2(3x-1),于是将方程两边同乘2(3x-1),得4一2(3x一 1)=3,解得z=2:经检验，x=号是原分式方程的解，(2)由于最简公分母为2(2x十 1)(2x-1),于是将方程两边同乘2(2x十1)(2x一1)，得2(x+1)=6(2x一1)一4(2x+ 1),解得x=6.经检验，x=6是原分式方程的解. 12.解：(1)分式的基本性质(2)由于最简公分母为x一2，于是将方程两边同乘x一2， 得2红=x-1-3(x一2)，解得x=子，经检验，x=号是原分式方程的解。 13.解：设今年龙虾的平均亩产量是xkg,根据题意，得600-180，解得x=300,经 x 检验，x=300是原分式方程的解，且符合题意.答：今年龙虾的平均亩产量是300kg. 14.解：(1)由题意，得x=-1是整式方程x-3+6=m的解，所以m=-1-3十6=2. (2由1知m=2,则原分式方程为+6=产2·解得=号经检验，=号是原 分式方程的解， 15.解：(1)设原计划每天铺设管道xm,则实际每天铺设管道(1十25%)xm.根据题意，得 子z十15=320，部得=40，经检验=40是原分式方程的解，且符合慝意。 所以(1十25%)x=50.答：原计划每天铺设管道40m,实际每天铺设管道50m. (2)3000÷40=75(天).设该公司原计划应安排y名工人施工.根据题意，得300× 75y≤180000，解得y≤8.答：该公司原计划最多应安排8名工人施工. 基本功专练（四）二次根式的混合运算 1.解：(1)原式=2-2√3-3√3=2-5√3.(2)原式=4√7-4√2-2√7=27-4V2. (3)原式=2×25-后+2×5-35+号后=号.（④）原式=5区÷(25÷2同 =5÷=5.5)原式=(2-罗)×w-3Y×亿=8.(6)原式=V-5+5 一 55- 4-5+3=2.(7)原式=√25-√4+√24=5-2+2√6=3+2√6.(8)原式=(2√5)2 6W6)2=12-6=6.(9)原式=3-4V5+4-3E-2E=3-4V5+4-1=6-4V5. √2 (10)原式=1+2√3+3-[(-2)2-(W3)2]=1+2W3+3-4+3=2√3+3. 2.解：(1)2(2)原式=25-24-56-1-56 6 6 3.解：(1)原式=x2一2+2x十2=x2十2x=x(x十2).当x=2√3一2时，原式=(2√3一 2)(2√3-2十2)=2√3×2√5-45=12-4√5.(2)因为x-2>0,所以x>2.所以原式 =受V=受.厚-在当=4时，原武=2.（答案不唯 x-2 一，满足x>2即可) 4.解：(1)因为a=-1+V2,b=-1-2,所以ab+b=(-1+√2)(-1-√2)+ a -1+√2 ++20=1+3+2=-4←2E -1-E-(-1)-W2)+,（-1-②) (2)b-2b-4a=b2+2b+1-1-46-4a=(b+1)2-4(a+b)-1.因为a=-1+√2，b =-1-√2，所以b+1=-√2，a+b=-2.所以原式=(-√2)2-4×(-2)-1=9. 5.解：(1)2*(-√2)=3×2-(-√2)2=6-2=4.(2)因为m=(W5-√3)(5+√3)= 5-3=2,n=3-√5，所以m*n=3m-=3×2-(3-√5⑤)2=6-(9-6√5+5)=6√5-8. 阶段微测试（五） 1.A2.C3.C4.A5.A6.B7.x≥-38.279.a2b10.7 11.解：(1)原式=2√5-2√5-5=-5.(2)原式=√5÷√3=√3.(3)原式=3-1-4+2 =00原式-(6-2y+4同)÷25=28y÷25-兰 3 12.解：因为a<b<0<c,所以a-b<0,c-a>0,b-c<0.所以原式=|a-bl-(c-a) +b-cl=-a+b-c+a-b+c=0. 1解：原武+（生）=22÷-1+-22 x(x+2) x x(x十2) 4少=2·当=时，原式2 x x(x+2) √3+2 =-√3-2. (W3-2)(W3+2) 14.解：因为x=3十√5，y=3-√5，所以x十y=6,x-y=2√5，xy=4.(1)x2-y2=(x+ y(x-》=6×25=125.(2)义+二=y+x=x+)2-2xy=6°=2X4=7. xy xy 4 15.解：(1)由题意，得长方形空地ABCD的周长为2(BC+AB)=2(√72+√32)= 20V2(m).(2)由题意，得S四边形ABcn=BC·AB=√72X√32=48(m2),S水箱=（√0+ 1)(√10一1)=9(m2),所以S种撤草移=S四边形A8cp-S水袖=39m2.所以39×15X18= 10530(元).答：小明家将所种的草莓全部销售完，销售收人为10530元. 阶段微测试（六） 1.D2.A3.C4.C5.D6.A 7.如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补8.119.710.90°或60° 11.解：(1)逆命题：如果a2=6,那么a=b.逆命题是假命题.(2)逆命题：同旁内角互 补，两直线平行.逆命题是真命题. 12.解：(1)根据题意，得9一4<x<9十4，解得5<x<13.(2)因为这个三角形是等腰三 角形，所以x=4或9.因为5<x<13,所以x=9. 13.已知：在△ABC中，∠A>∠B,∠A>∠C.求证：∠A≥60°.证明：假设∠A<60°，则 ∠B<60°，∠C<60°，所以∠A十∠B+∠C<180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾. 所以假设不成立.所以∠A≥60°. 14.解：(1)在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=40°.由折叠的性质，得∠C=∠C= 40°.(2)设AE,DC交于点F.因为∠AEC=22°，∠C=40°，所以∠DFE=∠AEC+ 一 56- ∠C=62°.所以∠BDC=∠DFE+∠C=102°. 15.解：答案不唯一，如：条件：①②；结论：③.证明如下：因为CD⊥AB,所以∠ADF= 90°=∠ACE.因为AE平分∠CAB,所以∠CAE=∠DAF.因为∠ACE+∠CAE十 ∠AEC=180°，∠ADF+∠DAF+∠AFD=180°，所以∠AEC=∠AFD.因为∠CFE= ∠AFD,所以∠CEF=∠CFE. 16.解：(1)因为∠ABE=15°，∠BAD=55°，所以∠BED=∠ABE+∠BAD=70°. (2)因为AD为△ABC的中线，所以BD=CD,SMm=2Sc=15.因为BE为 △ABD的中线，所以SAE=合SAkm=号.因为EFLBC,.所以SAE=合BD·ER. 所以合BDX5=号所以BD=3,所以CD=BD=3. 基本功专练（五）与全等三角形性质、判定有关的计算及证明 1.解：因为△ABC≌△DEF,所以AC=DF=9.所以AG=AC一GC=5. 2.解：因为△ABC≌△ADE,所以∠BAC=∠DAE.所以∠BAC-∠CAE=∠DAE- ∠CAE,即∠BAE=∠DAC,所以∠BAE=名（∠BAD-∠CAE)=30.所以∠BAC= ∠BAE+∠CAE=70. (∠A=∠D, 3.证明：在△ABC和△DEC中，AB=DE,所以△ABC≌△DEC(角边角).所以AC ∠B=∠E, =DC. ∠B=∠EFA, 4.(1)证明：因为AE∥BC,所以∠EAF=∠C.在△ABC和△EFA中， ∠C=∠EAF, LAC-=EA, 所以△ABC≌△EFA(角角边).(2)解：由(1)知△ABC≌△EFA,所以AF=BC=2, AC=AE=6.所以CF=AC-AF=4. 5.证明：(1)因为BC=AD,所以BC+CD=AD十CD,即BD=AC.在△BFD和△AEC (BF=AE, 中，DF=CE,所以△BFD≌△AEC(边边边).(2)因为△BFD≌△AEC,所以∠B= BD=AC, (AD=BC, ∠A.在△ADE和△BCF中，∠A=∠B,所以△ADE≌△BCF(边角边).所以DE=CF. AE-BF, 6.解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C.因为M为BC的中点，所以BM=CM.在△BEM BE=CF, 和△CFM中，{∠B=∠C,所以△BEM≌△CFM(边角边).所以MF=ME=12m. BM=CM, 答：石凳M到石凳F的距离MF为12m. 7.(1)证明：因为A'B⊥AB,AC⊥BD,A'F⊥BD,所以∠ABA'=∠BFA'=∠ACB= 90°.所以∠FBA'+∠FBA=∠CAB十∠FBA=90°，所以∠FBA'=∠CAB.在△BFA' I∠BFA'=∠ACB, 和△ACB中，∠FBA'=∠CAB,所以△BFA'≌△ACB(角角边).(2)解：由(1)，得 BA'=AB, △BFA'≌△ACB,所以A'F=BC.易得CD=AE=7m所以A'F=BC=BD-CD=3m. 8.证明：(I)因为AB⊥BD,BC⊥BE,所以∠ABD=∠CBE=90°.所以∠ABD+∠DBC (AB=DB, =∠CBE+∠DBC,即∠ABC=∠DBE.在△ABC与△DBE中，∠ABC=∠DBE,所 BC=BE, 以△ABC≌△DBE(边角边).(2)设AC交BD于点M.因为△ABC≌△DBE,所以∠A =∠D.因为∠ABD=90°，所以∠A十∠AMB=90°.因为∠AMB=∠DMP,所以∠D+ ∠DMP=90°.所以∠DPA=180°-（∠D+∠DMP)=90°. 阶段微测试（七） 1.B2,B3.D4.B5.C6.B7.∠A=∠D889.4010.2或号 -57基本功专练（四）二次根式的混合运算 (时间：40分钟满分：100分) 1.(50分)计算： (6)2X√8-(5)2+√18÷√2； (1)√4-√12-√27； (2)4(7-√2)-2√7； ()丽8-×+2 (3)220-5+2√5 (8)(2√3+6)(23-√6)； (4)√50÷(24÷2√3)： (9)(W3-2)2-18-8 √2 5(8-V)×, (10)(1+√3)2-(-2+3)(-2-√3). ·15 2.(10分)下面是小华同学进行二次根式混 4.(12分)设a=-1+2,b=-1-√2. 合运算的解答过程，请认真阅读并完成相 应任务， 1)求ab+名的值： (2)求b2-2b-4a的值. 计算：(5-26(5+2,6)-46 解：原式=25-12-2√6 …第一步 =13-6 第二步 3 =39-6 2 第三步 (1)上述解答过程中，第一步中出现了 处错误； (2)请写出正确的解答过程. 3.(14分)(1)先化简，再求值：(x+√2)(x 5.(14分)已知a,b都是实数，现定义新运算： √2)+2(x十1)，其中x=2√3-2； a*b=3a-b,如：2*1=3×2-12=5. (1)求2(-√2)的值； (2)若m=(W5-√3)（√5+√3），n=3-5, 求m*n的值. （但先将号÷22化简，然后自 选一个合适的x值，代入化简后的式 子求值. ·16