2.7.1 抛物线的标准方程（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到思维创新梯度递进，覆盖抛物线定义、标准方程及综合应用，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|抛物线定义、标准方程求法|基础选择为主，聚焦单一知识点直接应用| |B组能力进阶|焦点距离、几何关系综合|含高考真题，强化方程与几何性质结合| |C组思维拔高|实际问题、跨曲线综合|如隧道设计情境题，培养数学建模与创新思维|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.7.1 抛物线的标准方程 A组 巩固过关 题型01 抛物线的定义及其应用 【答案】A : 【答案】B 3. 【答案】D 颗型02 求抛物线的标准方程 4. 【答案】D 5. 【答案】B 6 【答案】D 颗型03 利用抛物线的定义求轨迹方程 7 【答案】A 8. 【答案】B 9. 【答案】B 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D D B B D D C组 思维拔高 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B D A A B 题号 11 12 答案 B B 212 分层作业 2.7.1　抛物线的标准方程 目 录 A组 巩固过关 题型01抛物线的定义及其应用 题型02 求抛物线的标准方程 题型03 利用抛物线的定义求轨迹方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 抛物线的定义及其应用题型01 1．（25-26高二下·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 2．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 3．（25-26高二上·天津西青·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为，由点到其焦点的距离为9， 得，解得，而，则， 所以点的坐标为. 故选：D 求抛物线的标准方程题型02 4．（25-26高二上·广东广州·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设该抛物线的标准方程为，求出的值，即可得出该抛物线的标准方程. 【详解】因为抛物线的准线方程为，故该抛物线开口向下， 设该抛物线的标准方程为， 则，解得，故该抛物线的标准方程为. 故选：D. 5．（25-26高二上·湖南长沙·期末）若抛物线的焦点为，则下列点中，在抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线焦点坐标，再利用代入法逐一判断即可. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以. A：因为，所以本选项的点不在抛物线上； B：因为，所以本选项的点在抛物线上； C：因为，所以本选项的点不在抛物线上； D：因为，所以本选项的点不在抛物线上； 故选：B 6．（25-26高二上·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出椭圆的右顶点，得抛物线的焦点坐标，从而得抛物线方程． 【详解】椭圆中心是原点，右顶点是， 它是抛物线的焦点，则，， 所以抛物线标准方程是． 故选：D． 利用抛物线的定义求轨迹方程题型03 7．（2026·陕西渭南·三模）已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据已知条件求出点A、F的坐标，代入两点间的距离公式即可得解. 【详解】点在抛物线上，，则， 又抛物线：的焦点，故． 8．（2026·河南·二模）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把抛物线化为标准方程， 因为抛物线开口向下，且焦点坐标是， 则，即，可得，所以焦点坐标是. 9．（2026·四川广元·二模）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，，则焦点坐标为． 1．（25-26高二下·四川成都·期末）抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为. 2．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可. 【详解】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 3．（25-26高二下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线焦点坐标，联立直线与抛物线方程求得点坐标，推导直线的一般式方程，再利用点到直线距离公式计算原点到的距离． 【详解】    抛物线的焦点的坐标为， 直线的倾斜角为，故斜率，直线的方程为， 联立方程，得， 解得（舍去），，，所以， 直线的斜率， 所以直线的方程，即， 所以原点到直线的距离． 4．（2026·山西忻州·模拟预测）设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及焦半径公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点， 设过的直线的方程为，设，. 联立，整理得， ， 则，. 抛物线的弦长，解得，即. 5．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，直线方程为，则设点， 所以，则直线方程为， 当时，可得，即点， 所以点的轨迹为抛物线，即，可得抛物线的准线为，焦点为， 如图所示，延长，交抛物线准线于点， 由抛物线概念可知， 则的最小值，即的最小值，可知当三点共线时，取得最小值， 此时. 6．（2026·天津河西·三模）双曲线：（）的左焦点为，点在抛物线：（）的准线上，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为M，延长交抛物线于点N，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由焦点在准线上得，求出垂足坐标，利用中点条件得坐标，代入抛物线方程化简得，解得. 【详解】设双曲线左焦点，抛物线准线，由在准线上得， 即，过作渐近线的垂线，垂足，垂线方程为， 与渐近线联立，解得，所以， 由知为中点， 故，代入抛物线得， 化简得，设，则方程化为， 解得，由于双曲线离心率，故，所以. 因为，因此. 7．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，设出切点，利用距离公式求出的表达式，利用勾股定理得出切线的表达式，借助二次函数即可求出切线长的最小值. 【详解】由题意， 在圆中，， 圆心，半径， 在抛物线中，点为抛物线上一点， ∴，连接， 设切点为，，分别与点连接，则切线, 由几何知识，，， ∵， ∴由勾股定理得，， 在中，对称轴，函数开口向上, ∴函数在上单调递增， ∴切线在处取最小值， .    8．（25-26高二上·天津红桥·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线方程可得，解得，故焦点坐标为. 1．（25-26高二上·河南郑州·期末）抛物线上一点到焦点的距离，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】设， 焦点，故，故， 则，故， 因此或. 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 3．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设点，利用抛物线焦半径公式可得，再结合列方程，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线：的焦点为，准线为， 设点，由于于，故， 的圆心为，由于，故， 结合点在上，则，即，即， 解得，即点的横坐标为. 4．（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线方程，然后计算两车相邻行驶时，最左侧车身对应的抛物线上点的纵坐标，由此可得结论. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    5．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点．设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“椭圆右焦点与抛物线焦点重合”，建立的等量关系，结合椭圆定义与题干给出的，联立方程组求出、关于的表达式，根据抛物线定义，把转化为点到抛物线准线的水平距离，求出交点的横坐标，由准线垂直轴，构造直角三角形，使用勾股定理建立含的等式，化简等式得到的倍数关系，代入离心率公式算出最终结果. 【详解】由题意得椭圆的右焦点为，则， 因为抛物线焦点坐标为，且为抛物线的焦点， 所以，解得，而抛物线准线方程， 这条准线恰好经过椭圆左焦点， 因为，所以， 两式相加得，解得， 两式相减得，解得， 因为抛物线上点到焦点距离等于它到准线的距离，所以， 因为准线，所以到准线的水平距离， 因此，解得，则， 因为在抛物线上，所以，即， 因为垂直准线，所以为直角三角形， 所以，即， 即， 解得，椭圆离心率，则选项D正确. 6．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．4 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】易知是抛物线的焦点，根据切线长求得 ，结合抛物线的定义可得点P到M的准线的距离. 【详解】抛物线的焦点为，即为圆心. 设切点为Q，则， 则. 由抛物线的定义知，点P到M的准线的距离为4. 7．（2026·河北·二模）已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，若则p=（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设准线l与x轴交于点G，过B作,垂足为.求得确定是等边三角形，再利用抛物线的定义求得进而求得即可得的值. 【详解】设准线l与x轴交于点G，过B作,垂足为.则 因为所以 因为, 根据抛物线的定义，知，，所以是等边三角形， 所以，解得 所以，, 所以，即 8．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点.准线与轴的交点为.当时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得抛物线方程为，则，设直线的方程为：，联立方程组，利用韦达定理和即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，依题意可得，解得， 所以抛物线的方程为，则抛物线的准线为，所以， 依题意直线的斜率不为，设过的直线的方程为，， 联立方程组，整理可得，由， 所以，， 又因为，所以，又， 所以， 因为， 所以 即，解得，所以直线的方程为， 故选：A. 9．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据抛物线定义将问题转化为焦点到直线的距离求解. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线方程， 由抛物线定义可知，点到直线的距离和点到的距离相等， 所以点到直线、直线的距离之和的最小值即点到直线的距离， 由知，距离之和的最小值为， 故选：C. 10．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（    ） A． B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先求出抛物线焦点和准线方程，延长交准线于，连接，由抛物线定义得到即可数形结合得解. 【详解】抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当三点共线时， ，      的最小值为. 故选：B ． 11．（25-26高二上·河南洛阳·期末）已知为抛物线上的点，若点到抛物线的焦点的距离和它到轴的距离分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出点的横坐标，再利用抛物线的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】抛物线的准线方程为，设点，则， 因为点到轴的距离为，则， 由抛物线的定义可知，点到焦点的距离为，解得. 故选：B. 12．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可知，准线：，设，则，利用，可得到，再由的面积为，可解得的值. 【详解】由题意可得，准线：，设，    将代入中得，则， ,,, 因为， 所以，化简得，即， 因为， 所以. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.7.1　抛物线的标准方程 目 录 A组 巩固过关 题型01抛物线的定义及其应用 题型02 求抛物线的标准方程 题型03 利用抛物线的定义求轨迹方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 抛物线的定义及其应用题型01 1．（25-26高二下·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26高二上·天津西青·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 求抛物线的标准方程题型02 4．（25-26高二上·广东广州·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南长沙·期末）若抛物线的焦点为，则下列点中，在抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 利用抛物线的定义求轨迹方程题型03 7．（2026·陕西渭南·三模）已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 8．（2026·河南·二模）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·四川广元·二模）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·四川成都·期末）抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 3．（25-26高二下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山西忻州·模拟预测）设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 5．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·天津河西·三模）双曲线：（）的左焦点为，点在抛物线：（）的准线上，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为M，延长交抛物线于点N，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 8．（25-26高二上·天津红桥·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 1．（25-26高二上·河南郑州·期末）抛物线上一点到焦点的距离，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 4．（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 5．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点．设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．4 B．6 C．5 D．4 7．（2026·河北·二模）已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，若则p=（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点.准线与轴的交点为.当时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（    ） A． B．12 C．11 D．10 11．（25-26高二上·河南洛阳·期末）已知为抛物线上的点，若点到抛物线的焦点的距离和它到轴的距离分别为和，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 试卷第1页（共3页） 试卷第5页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $