精品解析：贵州遵义市南白中学2025-2026学年高三下学期第五次考试数学试题

遵义市南白中学高三年级第五次联考 数学 满分150分 时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核对条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性计算可得. 【详解】解：因为，且，则, 又，即，所以，即； 故选：B 2. 已知一个圆锥的底面半径，其侧面积与底面积之比为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆锥底面圆面积，侧面积（其中为底面圆半径，为母线长）， 已知，即. 圆锥高，所以圆锥的体积. 3. 在中，边上的高等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，利用直角三角形边角关系求出，再利用诱导公式及和角的余弦公式计算得解. 【详解】令的内角所对边为，过作于，则， 在直角中，，，则，从而， 在直角中，， 从而，，在中，， 所以. 故选：D 4. 对于复数，命题：若，则；命题：若，则．则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数可判断命题，利用复数的性质、运算法则推导出命题的真假性. 【详解】设复数 命题：若复数，满足，但，故命题不正确. 命题复数满足，设， 则， ，，则， ，故命题是真命题； 5. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及相似三角形的性质可得，从而可得正确的选项. 【详解】设准线与轴的交点为，则， 如图所示，因为，故， 过点作，垂足为M，则轴，所以， 所以，由抛物线定义知，， 故选：B． 6. 已知函数在处取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可求出、，再检验，即可求出的值. 【详解】因为的定义域为，又， 依题意可得，即，解得， 此时，则， 所以当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减， 则在处取得极大值，也是最大值，符合题意； 所以. 7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，且丙和丁不相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】使用插空法计所有丙和丁不相邻的排法数，丙丁不相邻且甲站在两端的排法数，使用间接法求解. 【详解】甲无限制，且丙和丁不相邻时，共有：种排法， 丙丁不相邻，甲站在两端时，共有：种排法， 则甲不站在两端，且丙和丁不相邻，共有种排法. 8. 已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知求解到渐近线的距离，进而求出弦的长度，再利用已知条件推出的关系，然后求解离心率即可. 【详解】 的右顶点坐标，不妨设渐近线方程为：， 点到直线的距离为：， 因为为圆上两点，所以弦长， 因为，， 所以为等边三角形，所以，即， 双曲线中，联立， 所以离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 如图为某省高考数学试卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，下列结论正确的有（ ） A. 近三年容易题分值逐年增加 B. 近三年难题分值逐年减少 C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2022年 D. 2024年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据统计图中的数据，分别读取近三年容易题、难题、中档题的分值，结合选项描述进行计算和比较即可判断各选项的正误． 【详解】 选项A：由图可知，近三年容易题的分值分别为，，，因为，所以近三年容易题分值逐年增加，故选项A正确； 选项B：由图可知，近三年难题的分值分别为，，，因为，所以并不是逐年减少，故选项B错误； 选项C：由图可知，近三年中档题的分值分别为，，，因为试卷总分均为分，且， 所以近三年中档题分值所占比例最高的年份是年，故选项C正确； 选项D：年的容易题与中档题的分值之和为，占总分的比例为， 因为，故选项D正确． 10. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查二项式定理的应用，通过赋值法、通项公式、求导法分别求解各选项涉及的系数相关问题. 【详解】 选项A：令，代入等式得，即，故A正确； 选项B： 令，得 ①； 令，得 ②； ①-②得，即，故B正确； 选项C：二项展开通项为， 取得，故C错误； 选项D：对原等式两边关于求导，得， 令代入得， 即，故D正确. 11. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为5 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式易得结论. 【详解】∵已知， ∴， ∴即，当且仅当即时取等号， 对于A，， 当且仅当即时取最小值，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取最小值5，故C正确； 对于D，，当且仅当即时取等号，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为奇函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的定义得到，化简后利用指数函数的一一对应关系求出参数，再验证所得参数满足题意． 【详解】因为为奇函数，所以对任意都有． 由函数解析式， 因此，当时，．取，得． 指数函数在上单调递增，所以，即． 验证：当时，， 所以满足题意． 13. 等差数列的前项和为，，，则数列的前20项和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算可得，进而求解，可利用裂项相消法求解. 【详解】由可得，解得，故， 故， 因此的前20项和为. 14. 如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上（含端点）．若，，且，则__________；若，则的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空利用向量的线性运算及共线向量定理，将  用基底  表示，对比系数求 ；第二问建立平面直角坐标系，设 ，表示出点  的坐标，利用数量积坐标公式构建关于  的函数，利用基本不等式求最小值. 【详解】由  可知  为  的中点，所以 ． 因为四边形  为矩形，所以 ，即 ． 由  可知 ． 因为 ，所以 ． 所以 ． 又 ， 所以 ， 则 ; 以  为坐标原点， 所在直线为  轴， 所在直线为  轴建立平面直角坐标系． 则 ． 设 ，因为点  在边  上（含端点）， 所以 ，即 ，故 ． 所以 ． 因为 ，所以直线  的倾斜角为 ． 因为点  在边  上（含端点）， 所以  的纵坐标为 1． 所以 ． 即 ． 因为 ，所以 ，点  确实在边  上． ．   ． 令 ，则 ． 设 ． 令 ，因为 ，所以 ． 函数  在  上单调递减，在  上单调递增． 因为  ， 所以当  时， 取得最小值 ． 此时 ，满足 ． 所以  的最小值为 . 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：数列中，由，得， 而，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以的通项公式为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义推理得证，再利用等比数列通项公式求解. （2）由（1）求出，再利用分组求和法及错位相减法求和即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，令数列的前项和为， 则，， 两式相减得， 因此，， 所以数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，在线段上，且． （1）若平面，求的值； （2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，由等腰直角三角形及两平面垂直的性质建立空间直角坐标系；第（1）问求出平面的法向量，利用平面求； （2）利用两平面的法向量求锐二面角的余弦值． 【小问1详解】 取的中点为． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，且． 又因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面． 由，且三点共线，得； 又因为平面，所以． 因此、与过点且平行于的直线两两垂直． 以为坐标原点，以所在方向为轴正方向，以平行于的方向为轴正方向， 以所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． 由，，，， 可得 因为在线段上，且，所以，且因此 于是 设平面的一个法向量为． 因为，，所以，． 取，则，，则． 因为平面，所以，即，解得． 【小问2详解】 由（1）可知，当时，平面的一个法向量可取． 由所建空间直角坐标系可知，平面为坐标平面，所以可取平面的一个法向量． 设平面与平面所成的锐二面角为． 因为，，的模为，且两个平面的法向量夹角的锐角等于两平面所成的锐二面角， 所以． 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 17. 已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线经过点，与椭圆交于，两点（异于左、右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证为定值． 【答案】（1）； （2）,所以，则，。 直线经过点，与椭圆交于，两点（异于左、右顶点），故可设()，， 联立得，所以，则， 所以 ， ，， 因为， ， 所以， 因为 所以， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）由离心率得到的关系，设椭圆方程为：，代入椭圆过的点坐标，求出椭圆方程； （2）设()，，联立得所以由表示， ，再求证为定值. 【小问1详解】 依题意得所以， 又，得，则椭圆方程为：， 又椭圆过点，所以：，所以=2 所以椭圆标准方程为； 【小问2详解】 略. 18. 在某次高三年级的期中测试中，学校把数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等级定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等级定为优秀．现从物理方向的800名考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩．如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 数学非优秀 总计 （1）请完成列联表，并依据的独立性检验分析，能否认为本次测试中数学优秀的学生与数学非优秀的学生之间的物理成绩存在差异？ （2）数学组的章老师打算从这个同学中，按照这次测试数学的等级是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中抽取个人，并仔细考查这个人的答题情况．设最后抽出的个人中数学等级优秀的人数为，求的分布列及数学期望； （3）如果本次测试中考生的物理成绩，用样本估计总体，以名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的名考生中随机抽取人，求这人中至少有人的物理成绩的等级优秀的概率． 参考数据：取，，． 若，则， ，． 【答案】（1） 列联表如下： 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 4 6 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 依据的独立性检验，不能认为本次测试中数学优秀的学生与数学非优秀的学生之间的物理成绩存在差异 （2） 的分布列为： 1 2 3 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）统计样本数据完成列联表，计算卡方统计量与的临界值比较判断独立性； （2） 按分层抽样确定抽取的优秀、非优秀人数，结合超几何分布求分布列和期望； （3） 计算物理成绩的样本均值和方差确定正态分布参数，利用正态分布对称性求单人物理优秀概率，再通过对立事件求4人中至少1人优秀的概率. 【小问1详解】 数学成绩分共6人，其中物理成绩分有2人，物理成绩分有4人；数学成绩分共4人，物理成绩均分，据此完成上述列联表. 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 4 6 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 依据的独立性检验，不能认为本次测试中数学优秀的学生与数学非优秀的学生之间的物理成绩存在差异。零假设：数学是否优秀与物理成绩是否优秀独立，即两类学生物理成绩无差异，代入卡方公式计算：  ， 已知对应的临界值，，依据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推翻，因此不能认为数学优秀与非优秀的学生之间物理成绩存在差异. 【小问2详解】 由分层抽样规则，抽取的5人中数学优秀人数为，数学非优秀人数为.  的可能取值为1，2，3，服从超几何分布：   ， ， . 因此的分布列为： 1 2 3 期望 . 【小问3详解】 10名学生物理成绩的均值：， 方差： . 因此，， 由正态分布对称性：， 记“人中至少有人的物理成绩的等级优秀”为事件， 可得， 所以人中至少有人的物理成绩的等级优秀的概率为. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）若有两个不同的零点，求证：． 【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）1 （3）证明：由有两个不同的零点，得， 即，则，不妨令，因此， 要证，即证，即证，即证 令，即证，令函数，求导得， 函数在上单调递增，于是，即成立， 所以不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类求出函数的单调区间. （2）由（1）的信息求出函数的最小值并建立不等式，再构造函数并利用导数求解. （3）由函数零点的意义，结合要证的不等式及分析法变形，再构造函数并利用导数推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，且， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，函数在上单调递减，当时，，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，由对任意恒成立，得， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，因此，此时， 所以实数的值为1. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市南白中学高三年级第五次联考 数学 满分150分 时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核对条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2. 已知一个圆锥的底面半径，其侧面积与底面积之比为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，边上的高等于，则（ ） A. B. C. D. 4. 对于复数，命题：若，则；命题：若，则．则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 5. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，且丙和丁不相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 8. 已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 如图为某省高考数学试卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，下列结论正确的有（ ） A. 近三年容易题分值逐年增加 B. 近三年难题分值逐年减少 C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2022年 D. 2024年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上 10. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为5 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为奇函数，则___________． 13. 等差数列的前项和为，，，则数列的前20项和为___________． 14. 如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上（含端点）．若，，且，则__________；若，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，在线段上，且． （1）若平面，求的值； （2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 17. 已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线经过点，与椭圆交于，两点（异于左、右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证为定值． 18. 在某次高三年级的期中测试中，学校把数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等级定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等级定为优秀．现从物理方向的800名考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩．如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 数学非优秀 总计 （1）请完成列联表，并依据的独立性检验分析，能否认为本次测试中数学优秀的学生与数学非优秀的学生之间的物理成绩存在差异？ （2）数学组的章老师打算从这个同学中，按照这次测试数学的等级是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中抽取个人，并仔细考查这个人的答题情况．设最后抽出的个人中数学等级优秀的人数为，求的分布列及数学期望； （3）如果本次测试中考生的物理成绩，用样本估计总体，以名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的名考生中随机抽取人，求这人中至少有人的物理成绩的等级优秀的概率． 参考数据：取，，． 若，则， ，． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）若有两个不同的零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $