四 完美的图形 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年六年级上册数学提优训练（青岛版·新教材）

完美的图形 圆 教村思考题深化 例1（教材P62)装御工人把4 丝忽略不计)。至少需要多长的铁丝？ 根圆柱形钢管用铁丝捆扎在一 起（如右图）。钢管的横截面直径是10cm,如 果铁丝接头处的长度忽略不计，捆扎2圈，需 要多长的铁丝？ “思路分折 例2（教材P71)在右 捆扎的铁丝有两圈，每圈四个角上圆 面的三角形中，有三个半 孤形状的铁丝长度是这个钢管横截面圆 径是2cm的扇形，这三 个扇形的面积和是多少？ 的周长的子，四个这样的圆孤，正好是一 思路分析 个圆的周长，即3.14×10=31.4（厘米）。 三个扇形的圆心角分别是三角形的 四边两圆孤之间的长度线段正好等于两 三个内角，根据三角形内角和定理，三个 个圆的半径的和，即一个圆直径的长度， 内角之和为180°。因此，这三个扇形的圆 有4条线段，则线段的总长度为4×10= 心角总和为180°，它们可以拼接成一个半 40(厘米)。那么一圈铁丝的长度就是 圆。只需要计算半径为2cm的半圆面 31.4+40=71.4(厘米)，两圈铁丝的长度 积，即可得到三个扇形的面积和。 就是71.4×2=142.8（厘米）。 解答：S-7×3.14×2=6.28(cm) 解答：3.14×10=31.4（厘米） 答：这三个扇形的面积和是6.28cm。 4×10=40(厘米) 方法点拨 31.4+40=71.4(厘米) 遇到三角形内多个等半径扇形面积 71.4×2=142.8(厘米) 和问题，先利用三角形内角和为180°，将 答：需要142.8厘米长的铁丝。 其转化为半圆面积计算，无需分别计算每 方法点拨 个扇形再相加。 此类问题考查的知识，点是利用“转化 法”求不规则图形的周长。转化法是求组 巩固深化 合图形周长常用的方法。解答此类问题 2.右下图中三个圆的半径都为5cm,求涂色 的关键是把不规则图形转化为规则图形。 部分的面积。 巩固深化 1.用铁丝把四个直径是10厘米的圆柱形木 材捆扎在一起，截面如图所示（接头处的铁 9 实验班 提优训练 难题解题帮手 例方桌面的边长是1米，把它的四边撑开， 解答：1×1× 就成了一张圆桌面（如图）。求圆桌面的面积。 3.14×2-1.57(平方米) 答：圆桌面的面积是1.57平方米。 方法点拨 思路分析 解答时把r2作为一个整体是关键。 本题考查的知识点是 利用整体思想解答圆的面 李巩固深化 积问题。解答时，连接正方 小方桌的边长是2米，把它的四边撑开，就成 形的对角线，如图所示，正方形由四个相 了一张圆桌面（如右下图）。求圆桌面的面积。 同的等腰直角三角形构成，一个直角三角 形的面积为1X1××分-r2×22 2,圆桌面的面积为S=w2=3.14×2 =1.57(平方米)。 附加题兴趣班 学霸或有兴趣挑战者进入，其余可绕过 例在计算不规则图形面积时，我们常常无 30.8(cm2) 法直接用基础公式求解，这时就需要用到容斥 答：涂色部分的面积是30.8cm。 原理—它的核心思想是“先加后减，去重补 方法点拨 漏”：当两个或多个图形有重叠部分时，先把各 求复杂的组合图形的面积时，会运用 个图形的面积相加，再减去重叠部分的面积， 容斥原理求图形的面积。 就能得到最终覆盖区域的面积。求图中涂色 部分的面积。（单位：cm) 久学霸霜治 如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC= 4cm,BC=2cm,分别以AC、BC为直径画半 圆，两个半圆的交点D在边AB上。求涂色部 分的面积。 思路分析 根据容斥原理，涂色部分面积=大扇 形面积十小扇形面积一长方形面积。 解答：3.14×82÷4+3.14×42÷4-8X4= 103030=11:49 11,49 【解析】把一杯糖水看作单位“1”，先求出混 合后两杯糖水中糖和水分别占单位“1”的几 分之几，再将两个分数相比并化简。 1 15 5.消毒液：1十3十1+512 水2212 519 519 1212 =5:19 【解析】把一瓶消毒水看作单位“1”，先求出 混合后两瓶消毒水中消毒液和水分别占单 位“1”的几分之几，再将两个分数相比并 化简。 [附加题兴趣班] 1.甲×号-乙×行-丙× 甲：乙：丙=2：3：3=6：9：7 120÷(7-6)×(6+9+7)=2640(元) 【解析】先求出三个人付的钱数的比是多 少，再根据“两个量的差÷两个量对应的份 数差=一份量，一份量×总份数=对应的总 数量”列式解答。 2AX写=BX-CX A:B·C=5:4:315:12: 22÷(15-4)×(15+12+4)=62(万元)》 【解析】先求出A、B、C任务所得报酬的 比，由A×号-B×-C×,得A:B:C =15：12：4。再由A任务所得报酬比C任 务所得报酬多22万元，求得一份对应的报 2 酬，进而求得三项任务一共获得的报酬。 易错警示 份数差对应数量时找错对应关系 题目中“A比C多22万元”，对应份 数差是15-4=11（份），容易误把A与B 的份数差、B与C的份数差当成22万元 对应的份数，导致每份数量计算错误。 3.上旬与中旬加工零件的个数比： 4:3=20:15 中旬与下旬加工零件的个数比： 5：4=15：12 上旬、中旬与下旬加工零件的个数比： 20:15:12 12 9400×20+15+12-2400(个) 【解析】先把中旬加工的零件个数看作中间 量，根据比的基本性质，把中旬加工的零件 个数在两个比中的份数变成同一个数，求出 上、中、下旬加工零件的个数比，再分析下旬 加工的零件个数占总数的几分之几，最后用 分数乘法解题。 四 完美的图形 圆 [教材思考题深化] 1.3.14×10+10×3×2=91.4 (厘米) 【解析】铁丝长度由一个圆的周长加上6条 直径的长度。 23.14×52×9-39.25(cm) 【解析】通过转化法，可以把3个扇形转化 成一个半径是5cm的半圆，求出的半圆面 积就是涂色部分的面积。 1 实验班 提优圳练 [难题解题帮手] 2x2x×-rx r2=2 3.14×2=6.28(平方米) 【解析】先计算出r2,再计算圆桌面面积。 [附加题兴趣班] 3.14×(4÷2)2÷2+3.14×(2÷2)2÷2-2×4 ÷2=3.85(cm2) 【解析】根据容斥原理，用以AC为直径的大 半圆的面积加上以BC为直径的小半圆的面积 的和减去三角形ABC的面积，就是涂色部分 的面积。 知识拓居 容斥原理 本质是“先加后减”的集合思想：把两 个半圆的面积先加起来，它们重叠覆盖的 部分会被算两次，再减去三角形的面积， 就刚好得到阴影部分的面积。 五中国的世界遗产 解决问题 [教材思考题深化] 1.设三等奖奖金为1份，则二等 奖奖金为2份，一等奖奖金为4份。 设一等奖a人，二等奖b人，三等奖c人，满 足a+b+c=6,a≤b≤c。 总奖金份数：4a+2b十c,总金额1092元，所 以1092÷(4a+2b+c)必须是整数（即三等 奖金额)。 枚举符合人数限制的组合： 当a=1,b=2,c=3时，总份数为4×1十2× 2+3=11,1092÷11不是整数； 2 当a=1,b=1,c=4时，总份数为4×1+2× 1+4=10,1092÷10不是整数； 当a=2,b=2,c=2时，总份数为4×2+2X 2+2=14,1092÷14=78(整数)。 所以三等奖的奖金金额为78元。 【解析】把三等奖奖金看作1份，那么二等 奖奖金就是2份，一等奖奖金就是4份。总 人数是6人，且一等奖人数≤二等奖人数≤ 三等奖人数，我们先按份数来表示总奖金， 再结合人数限制枚举符合条件的份数。 2.两队总人数：91+26+30=147（人） 总份数：2+1=3（份） 调人后乙队人数：147÷3=49（人） 调往乙队人数：49-26=23（人） 调往甲队人数：30一23=7（人） 【解析】先算两队总人数：91+26+30= 147人。要使甲队人数是乙队的2倍，就把 总人数平均分成2+1=3份，乙队占1份， 甲队占2份。用目标人数减去原来的人数， 得到需要调配的人数。 [难题解题帮手] 126÷1-0》 =40(千克) 【解析】剩下的千克数÷剩下的油占这桶油 的分率=这桶油原来的千克数。 21-8别易-日 (1-)÷4-3 16÷3号)÷8-20（块） 【解析】我们要找一个不变的量作单位“1”， 2