2027年山西九年级数学培优——综合与实践（二次函数的建模）

**基本信息** 聚焦二次函数建模的六大应用场景，以考情分析为引领，通过真题精讲提炼建模方法，形成"场景识别-模型构建-实际验证"的系统化解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考情分析|1表6类|题干特征分类+解题注意事项|从实际问题中抽象变量关系，建立二次函数模型| |真题精讲|3道中考题|顶点式/一般式选择+坐标系建立技巧|通过坐标转化将几何问题代数化，体现数形结合思想| |题型集训|40题6类型|减速刹车：实际范围取舍；运动轨迹：坐标标化；销售最值：利润公式|以二次函数性质为核心，串联不同场景下的最值计算与实际应用|

山西九年级培优 综合与实践（二次函数的建模） 考情分析 0.2 真题精讲3 题型集训。 9 类型一减速刹车类 类型二运动轨迹类 类型三几何图形类 类型四销售最值类 类型五拱桥隧道类 类型六其他考法 试卷第1页（共48页） 考情分析 ◆考情概览 山西中考数学二次函数综合题自2024年起，己摒弃以往与几何图形综合、重点考查几何图形性质及 存在性问题的传统考法。因此本文仅聚焦近3年考情进行分析。不当之处，敬请批评指正。 ◆题型分析 题型分 典型题干特征 考查重点 解题注意事项 类 汽车刹车滑行距离和时间/速度的关 结合实际场 要符合现实逻辑：车停下后就不会再往前滑了， 减速刹 系、计算刹车安全距离、 完全停下 景的数量关 计算时要注意时间、距离的合理范围，去掉不 车类 需要的时间 系计算 符合实际的结果 投篮、抛球、喷泉、炮弹发射等抛 抛物线曲线 运动轨 先画坐标系标清楚已知，点的位置，根据题目给 物场景，求最高高度、 落地，点距离、 的数值对应 迹类 的条件算出抛物线的表达式，再算需要的数值 某一位置的高度 关系 抛物线型拱桥、拱形隧道，问船能 通常以桥的最高点或者隧道底部中点为坐标原 拱桥/隧 抛物线对称 否通过、特定高度下能通行的宽度 点， 算通行宽度时，是同一高度对应的左右两 道类 特点的应用 安全高度 个水平距离的和 商品涨价降价对应销量变化，求定 记住核心公式：总利润=（单件售价.单件成本） 销售最 最大利润的 价多少时赚的钱最多，或者想赚目 总销量，整理出利润和定价的关系后，找最 值类 计算方法 标金额需要定什么价 大值对应的定价即可 用固定长度围栏围地、裁剪材料做 注意边长、长度肯定是正数，结合图形的周长、 几何图 几何场景下 容器，求最大面积、最少用料、最 面积公式列出关系，再找最大/最小值对应的尺 形类 的最值计算 合适的尺寸 寸 试卷第2页（共48页） 真题精讲 例1（2026年22题13分)综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氨量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不 同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析.研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小 麦每亩的产量y(千克)与每亩施氮量x(千克)的关系可近似用如图中的两条抛物线描述，其中0≤x ≤28.设中肥力麦田每亩的产量为九（千克），低肥力麦田每亩的产量为2（千克）.已知点A(0,160), B(18,646),C(28,496)均在描述九与x关系的抛物线上，且点B是这条抛物线的顶点. 建立模型：(1)求中肥力麦田中小麦每亩的产量Ⅵ与x的函数关系式； 应用分析：(2)已知低肥力麦田中小麦每亩的产量y2与x的函数关系式为2三二2+26+140， ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同.当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量， 以及此时两种麦田小麦每亩产量的差， ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块，当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达 到最大时，两块麦田的总产量为m千克：当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为 千克.经判断儿小于m,请直接写出m与n的差。 千克 小 646…-… 中肥力：y,=▲ 496 ........c 低肥力： y2=-x2+26x+140 160 140 0246810121416182022242628/千克 解：（1)由题意得，点B(18,646)是描述n与x关系的抛物线的顶点，设y1=ac-18)+646, 因为点C(28,496)在描述y1与x关系的抛物线上，所以，1(28-18)24646=496， 解得=3所以，n与x的函数关系式为h=-c-182+6460s28. (2)①已知y2=-x2+26x+140,将其配方，得y2=-(x-13)2+309,因为=-1<0,028， 所以，当x=13时，Jy2取得最大值.此时，y2的最大值为309. 已知两种麦田每亩施氮量相同，当x=13时，h=-×(13-18)2+646=608.5,此时，n-Jh=608.5-309=29.5, 答：当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5 千克。 ②n=-(x-18)24646,J2=-(c-13}+309, 试卷第3页（共48页） ,028,.当x=18时，1最大值为646，当x=13时，y2最大值为309， ∴.m最大值=646+309=955； 当两块麦田每亩施氮量相同时，n=n+2+54+160-+26x+140-480x+30-cx-16)24940, 当x=16时，n=940,.m-n=15. 试卷第4页（共48页） 例2（2025年22题13分)综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设 计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合. 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm,起 跳点与落地点的距离为160cm, 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为八，对称轴为直线L,仿青蛙机 器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M以Q为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所 在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面真角坐标系. (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变， (2)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为2，点P的坐标为(0,5)，点 Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 3cm,才能安全通过.如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD,其中∠ABC=∠BCD =90°，AB=57cm,BC=40cm,CD三48cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现 不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全 通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运 动路线在同一竖直平面内)· y/cm A 青蛙的运动路线 仿青蛙机器人 x/cm B 图1 图2 解：(1)由题意得，抛物线的对称轴为直线x=80,顶点纵坐标为60， ∴.顶点坐标为(80,60)，设抛物线的函数解析式为：y=1(x-80)2+60, 图象过原点，.1(0-80)2+60=0， 解得：品y动c802+60: (2)抛物线的形状不变，点(0,75)， 故第二次的函数图象可以看作由（1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的， 试卷第5页（共48页） “新的抛物线的解折式为：y802+60+75-品6-802+135， 当y=0时，-0c-802+135=0,解得n=200,2=-40(舍去)， 故起跳点P与落地点Q的水平距离O0的长为200cm; (3)设该平台的高度为km,由题意，设新的函数解析式为：y3n80)2+60+k, ,"AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm,仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点(80+40,48+3)，即：(120,51)， 把(120,51)代入Jy=06-802+60+k,得：51=-a20-802+60-k, 解得k=6;故设该平台的高度为6cm. 试卷第6页（共48页） 例3（2024年22题12分)综合与实践 问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部 分与线段AB组成的封闭图形，点A,B在矩形的边N上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以种 植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案， 方案设计：如图2，AB三6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P,与AB交于点O,点P是抛物线的 顶点，且PO=9米.欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点C,使∠ACB=9,用篱笆沿线段AC,BC分隔出△ABC区域，种植串 串红； 第二步：在线段CP上取点F(不与C,P重合)，过点F作AB的平行线，交抛物线于点D,E,用篱 笆沿DE,CF将线段AC,BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季， 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△4BC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料.若要 在第二步分隔中恰好用完6米村料，需确定DE与CF的长.为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x 轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图 2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC,BC上.直接写出 符合设计要求的矩形周长的最大值。 海为海列 海装 DA 獲 每装 每别每 M y B 图1 图2 解：（1)建立如图所示的平面直角坐标系， :0P所在直线是AB的垂直平分线，且AB=6,∴0A=0B=AB=×6=3。·点B的坐标为(3,0)， 试卷第7页（共48页） 0P=9,点P的坐标为(0,9)， 点P是抛物线的顶点，.设抛物线的函数表达式为y=2+9, 点B(3,0)在抛物线y=249上，.9叶9=0，解得a=-1. 抛物线的函数表达式为y=-x2+9(-3≤≤3)； (2)点D,E在抛物线y=-x2+9上，.设点E的坐标为(m,-m2+9), ,DE∥AB,交y轴于点F,.DF=EF=m,OF=-m2+9,∴.DE=2m. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，0A=0B,∴0CAB=×6-3.CF=0F-0C=-m249-3=-m2+6, 根据题息，得DE+CF=6,.-m2+6什2m=6, 解得：=2，m=0(不符合题意，舍去)，∴m=2. .DE=2m=4,CF=-m2+6=2答：DE的长为4米，CF的长为2米； (3)如图矩形灯带为GHML, y F G 由点A、B、C的坐标得，直线AC和BC的表达式分别为：y=x+3,y=-x+3, 设点G（m,-m2+9)、H(-m,-m2+9)、L(m,+3)、M（-m,m+3), 则矩形周长=2(G+GL）=2(-2m-m249-m-3)=-2(m+1.5)24兰≤ 故矩形周长的最大值为米 试卷第8页（共48页） 题型集训 类型一减速刹车类 1.(2026太原九下期末)如图，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速， 此时白球在黑球前面8Ocm处. 黑球 白球 小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位：c/s)、运动距离y(单位：cm)随运动时间t(单位：s)变 化的数据，整理得如表， 运动时间t/s 0 1 2 3 4 运动速度Wcm/s 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度ⅴ与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二 次函数关系， (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）： (2)当黑球减速后运动距离为75c时，求它此时的运动速度： (3)若白球一直以2cms的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由. 试卷第9页（共48页） 2.(2026山西二模)某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中 心考查刹车距离. 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障.由于惯性的作用，行驶 中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）· 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它 的刹车性能进行测试.兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t 0 1 2 刹车后行驶的距离 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离单位s(单位：m)与刹车后行驶的时间t(单位：s)之间成二次函数关 系 ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全 停止 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求s关于t的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围： (2)当汽车刹车后行驶了63m时，求t的值： (3)当汽车司机发现正前方有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车76，问该车 在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由， 开始踩刹车 完全停止 刹车距离。 试卷第10页（共48页） 3.(2026山西晋中模拟)随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技 术，实现车辆的自主驾驶功能.在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过 障碍物)·整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或 绕行)，从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间0.1-0.6秒之间，低于人类驾驶员0.8-2秒的 反应时间 总停车距离()=反应距离《)+制动距离（台：记作为：+三从感知到车停共经过的距离， 单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒：v:刹车前行车速度，单位米/秒：：减速度，单位米/秒).经 实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速x（米/秒) 20 30 停车距离1（米） 35 71.25 … (1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离1与刹车前行车速度v的函数表达式： (2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以18米/秒正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距s =27米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）.测试汽车感知后立即启 动智能程序并计算， ①请你判断，智能汽车不改变方向的情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（≥60千米时），汽车紧急拐弯的角度可以达到5.7°，在不减速的情况下拐弯绕 行避险，能否成功？（参考数据：每个车道的宽度为d=3.75米，sin5.7°=0.099，cos5.7°=0.995，tan5.7° =0.1) 动车道 机 动 道 北 东 D 试卷第11页（共48页） 4.综合与实践 【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计 某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验.测试开始时，测试车辆A以初速度进 入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时 间内速度等量减小)；与此同时，其正前方距离为dm处，目标障碍物车辆B以恒定速度vB(v<o)同 向匀速行驶.为确保A车在任何时刻均不与B车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型， 求解满足安全约束的最小初始车距.实验测得车辆A在水平直道上运动的数据如表： 时间ts 0 0.5 1 1.5 2 速度vl(m/s) 20 16 12 8 4 路程sm 0 9 16 21 24 【问题探究】 (1)己知速度v是时间t的一次函数，路程s是时间t的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的 关系式，并求车辆A从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； (2)测试车辆A驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车B从其正前方dn处开始，以vB=8/s的速 度匀速向前行驶.为保证测试车辆A始终不会撞上目标障碍物测试车B,求安全初始距离d的最小值： (3)在(2)的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当d=12时两车却发生了追尾事故，请结合所 学知识分析事故原因. B 场景模拟图 试卷第12页（共48页) 类型二运动轨迹类 5.(2026山西长治三模)综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观.为了解喷泉设计的奥 秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究. 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度OM(水流喷水 孔点O与落地点M之间的水平距离)为4m,最高点距地面3m. 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，OA为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记OB的 长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为3 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道CD在 线段OB上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入CD上方的安全区域矩形CDEF内. 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，OM所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建 立平面直角坐标系， y本乙喷泉甲喷泉 BOC D B M 图1 图2 图3 问题解决 (①)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式： (2)若乙组喷泉跨度OB恰好为3，求喷水管OA的高度： 21 (3)在(2)的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为 m,求此时安全通道CD的宽度， 16 试卷第13页（共48页) 6.(2026山西阳泉·三模)综合与实践 任务布置：某班开展课外锻炼，有7名身高分别为1.70m,1.701m,1.73m,1.60m,1.68m,1.80m,1.60m 的同学组队参加跳长绳运动.为增加甩绳的稳定度，确定两位身高为1.70的同学甩绳，其余同学跳绳.要 求所有同学站成一排，跳绳同学按照中间高、两端低的方式排列，且7名同学每2人之间的距离至少为0.5m 才能保证安全。 研究步骤：(1)如图，两位甩绳同学经过多次试验发现，当两人的水平距离OC=4,手离地面的高度 OB=CD=1.2m,绳子最高点到地面的距离为2m时，效果最佳. (2)当绳子甩到最高点时，绳子的形状可以近似的看成一条抛物线，以OC所在直线为x轴，OB所在直线 为y轴建立平面直角坐标系， 98 ○ 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，解决下列问题： (I)请在图中画出平面直角坐标系，并求出绳子甩到最高点时抛物线的表达式 (2)身高最高的同学站在O℃的中点处，其余跳绳的同学对称安排在其两侧. ①当跳绳同学之间正好保持0.5的距离时，长绳能否高过所有跳绳同学的头顶？并说明理由： ②在保证安全的情况下，请直接写出最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳同学之间距离的取值范围.（结 果保留根号；学生只考虑身高，其他忽略不计，绳子甩到最高点时所在位置与跳绳同学所在位置在同一竖 直平面内) 试卷第14页（共48页） 7.(2026山西临汾·三模)综合与探究 问题情景： 图1 如图1，投壶源于古代射礼，作为非物质文化遗产，它承载着中华传统礼仪与娱乐文化.今投壶成为学校、 景区和节庆活动中的体验项目，让人们感受古人雅趣，弘扬君子之风，具有教育传承价值. 数据测量： 投壶过程中，箭头的运动轨迹近似地可视为一条抛物线 如图2，明明在点O处投壶时，出手点A距离地面？m,当箭头行进至与出手点A水平距离1m的点8时，其 3 离地面的最大高度为二m. 21 解决问题： 水平地面寸 C水平地面文 图2 图3 (1)以箭头运动轨迹在地面的投影所在直线为x轴，以明明的位置AO所在直线为y轴，O为坐标原点，建立 平面直角坐标系，求出在此平面直角坐标系下该抛物线对应的二次函数解析式， (2)求箭头的落地点与点O之间的距离（√5≈2.24，精确到0.1m). (3)如图3，在明明正前方2m(明明距离容器最左端的距离)点C处有一高0.8m、直径为10cm的圆柱形容 器，判断明明此次投壶能否投中容器，并说明理由；若不能，在不改变投掷力度（抛物线的形状不变）的 情况下，明明此次投壶能投中容器，出手点A的高度应该在什么范围？ 试卷第15页（共48页） 8.(2026山西朔州三模)根据以下素材，探索完成任务 M衣 M 图1 图2 图3 羽毛球发球机的运动路线 素材一 如图1，某羽毛球场地的中线长为640cm,球网设置在中线中点处，球网高度为155c.羽毛球训练机的出 球口在中线端点O正上方55cm的点P处，以O为原点、中线所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 素材二 假设发出的羽毛球沿中线飞行，其运动高度y(c)关于水平距离x(c)的函数图象为抛物线，该抛物线在与 P水平距离为250cm的点Q处达到最高，此时距地面高度为l80cm,羽毛球最终落在地面的点M处， 素材三 如图3，若羽毛球落地弹起后，且在与O水平距离为650cm的点R处达到最高，弹起后最高高度为h(cm). 问题解决： (①)任务一：求训练机发球后到落地前，羽毛球运动轨迹的函数表达式（不要求写自变量取值范围） (2)任务二：小明在球网的另一侧接球，若羽毛球在离地面距离不少于100c时为最佳击球高度，求最佳击 球点与训练机的水平距离x的取值范围 (3)任务三：当h=50时，运动员在点R处沿直线击球，想让球从网下穿过后落到O点右侧150cm的点 N(150,0),且球网下端离地面高度不低于20cm,该操作能否实现？请说明理由. 试卷第16页（共48页) 9.(2026山西吕梁二模)综合与实践 问题情境：水火箭是校园科技活动中深受学生喜爱的科普装置，其发射后的运动轨迹可看作抛物线.某校 科技社团在一次水火箭发射实验中，将水火箭从地面发射，当水火箭在空中与发射点的水平距离为20米时 达到最高，高度为16米。 水火箭 水火箭运动路线 数学建模：如图1，将水火箭的运动路线抽象为抛物线，其顶点为P,水火箭在地面的发射点为O,落地点 为9.以O为原点，OQ所在直线为x轴，过点O与OQ垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 16 M20F成 MBEF衣 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： 问题解决：己知水火箭发射后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变 (2)如图1，为保障观测安全，在发射点O正前方M,M2处放置两根高度相等的测量标杆，标杆顶端分别 装有摄像头N,N,两个摄像头距地面的高度均为2米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距 离摄像头的竖直高度均为7米，求两个测量标杆之间的水平距离： (3)在此次实验中，水火箭不能落在着落区域EF,其中点E到发射点O的距离为41米，点F到发射点O的 距离为42米.如图2，若在点O处放置一个高度为m米的发射架，从发射架顶端D点发射水火箭时，水火 箭正好落在着落区域（包含E,F两点），请直接写出发射架的高度m的取值范围. 试卷第17页（共48页） 10（2026山西太原模拟)综合与实践 问题情境：某游乐园想设计一款带喷泉的水上滑梯游乐设施，如图所示为设计示意图，AB为水上滑梯，滑 梯顶端A点离地面4米（即OA=4米），水平长度OB=10米，在滑梯上方设计喷泉，喷泉喷出的水柱呈抛 物线，为不淋湿游客，保证在滑梯两端A,B处喷泉离滑梯的距离为1.5米（即AC=BF=1.5米），如图所示 建立平面直角坐标系，喷泉最高点离y轴3.5米. E C F 0 BD衣 (1)数学建模：请你结合已知安全间距与顶点位置条件，求出喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式 (2)解决问题：根据施工要求喷泉落地处需要修建防水排水凹槽，防止积水漫延侵蚀滑梯地基.请求出喷泉 落地位置D到滑梯立柱OA的水平距离，以此确定排水槽的位置， (3)游乐园采购部门依据水柱与滑梯的最大间距选配喷泉出水压力（间距决定水压上限，间距过小需减小水 压防溅水)，请写出全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离。 试卷第18页（共48页） 11.(2026山西朔州三模)综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力， 让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄 Ay/m 发射点A B 落地点x/m 图1 图2 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在0≤x≤6时， 可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在6<x≤12时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水 柱的发射点A距离地面高度AO为1.25m,已知水柱在水平方向前进4m(即OB的距离)时，水柱达到最大 高度为4.25m(即BC的高度)，最终水柱在水平距离为12m的落地点落到地面点D处.以水柱轨迹在地面 的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系. 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式， (2)若小明想用水枪喷中水平距离为10m、高度为1.25m的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明 理由， 试卷第19页（共48页） 12.（2026山西大同·模拟预测)综合与实践 问题情境：某现代科技农业示范园自主设计的“自动升降式喷灌器如图1所示，其截面示意图如图2所示， OP为自动升降杆，喷头P喷出的水雾区域边缘为抛物线的一部分，并且OP左右两侧的抛物线对称.左右 两侧的抛物线与水平地面的交点分别为A,B,则AB的长为该喷灌器的灌溉距离.当喷头P的高度变化时， 其喷出的水雾区域边缘的形状不变， 数据收集：当喷头P位于初始位置时，OP=1.2n,灌溉距离AB=8m,右侧水雾区域边缘抛物线上的点C 到水平地面的高度为1.5m,到喷头P的水平距离为1m.喷头P最高可升至点P'处，OP=1.8m. P 水平地面 AA BB' 图1 图2 建立模型：以点O为原点，水平地面向右为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系（单位长度为1）. (1)当喷头P位于初始位置时，求右侧抛物线的函数表达式 (2)当喷头P升至最高点P'时，求该喷灌器的灌溉距离AB的长. 问题解决： (3)该农业示范园在一块示范田中按正方形网格铺设了一批该“自动升降式喷灌器”，相邻两个喷灌器之间的 距离为6.为保证地面全部在其灌溉范围内，每个喷灌器的灌溉距离需不低于相邻两个喷灌器之间的距离 的√倍.直接写出喷头P的高度OP的取值范围. 试卷第20页（共48页） 13.（2026山西晋中·二模)综合与实践 问题情境：儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图①），公园为了增强其观赏性，计划将该喷泉进行改 造升级，为了有更多的改造方案，该公园广泛征集大家的改造想法.某校的综合实践小组给出了以下的优 化设计方案。 收集数据： 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：己知喷水口为点O,抛物线的最高点M 距离地面4米，且距离喷水口的水平距离为3米，水流落地点为P, 建立模型： 以出水点O为坐标原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 之 E H 图① 图② 图③ (1)根据上述分析，在图②中建立平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式： 优化设计： 实践小组给出如下两种优化方案： 方案一：在现有的喷泉内部增加喷水口，建造双喷泉景观，新的喷水口在点O右侧地面1米处，并且新的 抛物线形状与原抛物线形状相同，在离新喷水口水平距离2米处达到最高，最高点距离地面3米， 方案二：为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形EFGH透明隧道，其截面图如图③ 所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部EH到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽FG为1米 问题解决： (2)试判断方案一是否可行，并说明理由： (3)直接写出方案二中隧道顶端到地面的最大高度. 试卷第21页（共48页） 14.(2026山西运城·二模)综合与实践 问题情境： 当无人机悬停投放物资时，理想状态下物资的运动路径可近似用抛物线来描述.物资的运动可分解为水平 方向上的匀速直线运动与竖直方向上的自由落体运动.其中水平方向匀速直线运动的距离x(单位：)满 足：x=t(v为水平初速度，t为时间，v>0,t≥0). 竖直方向物资运动时的竖直高度y(单位：m)满足：y=h-5(h为无人机悬停投放物资时的高度，t为 时间，h>0,t≥0). 联立两式消去时间t,可得物资运动时的竖直高度y(单位：)与距投放点的水平距离x(单位：m)的函 数关系式：y=h- 5x2 2 实践探究： 两架无人机在同一铅垂线上不同高度处悬停，同时投放应急物资.如图，以投放点所在竖直线为y轴，水 平地面为x轴建立平面直角坐标系， Ay/m 物资A 物资B CD/m 物资A:由1号无人机投放，水平初速度为5m/s,.监测发现，当水平距离为5m时，竖直高度为40，其运 动轨迹记为抛物线L, 物资B:由2号无人机投放，投放点位于物资A正下方25m处，水平初速度为10，其运动轨迹记为抛物线L. 问题解决： (1)在平面直角坐标系中. ①分别求抛物线L和L2的解析式： ②求L与L在第一象限内的交点P的坐标.(2)物资A和物资B是否会在点P碰撞？请通过计算说明理 由.（提示：比较两物资到达点P所需时间是否相同，t=”) (3)设物资A的落地点为C,物资B的落地点为D,为了避免两种物资落地后堆积难以分发，同时确保均能 精准送达目标区域，需控制CD的距离，若CD=6,在L不变的情况下，仅调整L中的水平初速度v,请 直接写出调整后，中v的值. 试卷第22页（共48页） 类型三几何图形类 15.综合与实践 【问题情境】 王老师家有一块长6、宽4的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施 肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥， 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路. 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为3：2的长方形菜地，周围一圈是小路： 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地. 【问题解决】 (1)在第一种方案中，若设菜地的宽为x米，求小路面积S关于x的函数表达式， (2)在第二种方案中，若设道路的宽为x米，求菜地面积y关于x的函数表达式。 (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧1.5m内的菜地.在第二种方案中，若要求道路宽度满足 王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积 6 图1 图2 图3 试卷第23页（共48页） 16.【问题背景】我国利用“大数据+农业”思维构建标准化、智能化育种体系，将数据采集、智能温控等信 息技术引入农业生产，实现标准化管理，提高农业生产的质量和效益 PE G A lm 16m D B MN 图-1 图-2 【素材1】如图-1，某种植基地的大棚的横截面是由抛物线AED和矩形ABCD构成，已知矩形长16米， 宽1米.抛物线最高点到地面的距离为5米 【素材2】种植某农作物时，每棵农作物高大约1.76，为了保证生长空间，相邻两棵农作物种植点之间 间隔1，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布. 【解决问题】 (1)如图-2，O为BC中点，以BC所在直线为x轴，垂直于BC的直线EO为y轴，建立平面直角坐 标系xOy,通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数表达式（无需写出自变量x的取值 范围)： (2)在图-2的平面直角坐标系中，在不影响农作物生长的情况下(y>1.76)，确定种植点的横坐标x 的取值范围，并求出最前排符合所有种植条件的农作物最大数量； (3)为了安全，需安装“支撑架对大棚进行加固，“支撑架'由三根支架构成，其中PM,GN垂直于地面， PG平行于地面，且点P,G均在抛物线上.经考察，当“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强， 此时为最安全的状态.请通过计算说明最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是多少米. 试卷第24页（共48页) 17.（2026山西运城·二模)综合与实践 【问题情境】如图1，虚线所示的宽为3m、高为2m的矩形区域是室内客厅墙面的一块空白装饰区，设计师 计划在矩形区域上方用装饰线条围出抛物线造型，点A,B分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，A,B两点 到矩形上侧的边的距离均为0.3，抛物线的顶点恰好落在矩形上侧的边的中点H处.以矩形下侧的边所在 直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为1）， 【问题解决】 H H D 图1 图2 图3 (1)请在图1中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式。 (2)在(1)的条件下，设计师对抛物线下方的墙面区域，设计了以下两种装修方案：方案一：如图2，在矩 形下方区域围出两条完全相同的新抛物线造型装饰线条，它们的开口方向与(1)中的抛物线相反，但开口 大小（二次项系数的绝对值）相同，这两条抛物线的顶点都在矩形下侧的边上.点C,E分别是抛物线与矩 形左右侧边的交点，且C,D,E在同一条水平线上.方案二：如图3，利用与矩形下侧的边垂直的两条等长 装饰线条MN和PQ,将抛物线下方区域分割为三个装饰区块，其中点O,N均在矩形下侧的边上，且整个装 饰图形关于y轴对称. ①方案一中，设计师助理认为图2中点E到矩形下侧的边的距离与点B到矩形上侧的边的距离的比值为号， 请通过计算验证该说法是否正确 ②方案二中，若N到矩形右侧边的水平距离等于点M在竖直方向到抛物线的距离的5倍，当两条装饰线 条的总长度(PQ+N)最大时，请直接写出QW的长度， 试卷第25页（共48页） 类型四销售最值类 18.(2026山西长治·三模)【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装.该公司以30元/盒的 成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗.为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日 均销量的函数模型，优化定价策略， 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x(元/盒)与日均销量y(盒)满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x(元/盒) 40 42 44 45 50 日均销量y（盒) 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元. 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y(盒)是销售单价x（元/盒)的 函数（选填“一次6二次“反 比例)，y与x之间的函数关系式为 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润v的最大值及对应的销售单价. (3)若考虑额外费用d=3元，且日均利润为1800元，此时销售单价为 元/盒时更惠民： 试卷第26页（共48页） 19.(2026山西忻州二模)综合与实践 【问题情境】“刻花瓷，黑白花，一刀一剔见风华.”平定刻花瓷是山西国家级非物质文化遗产，始于唐、兴 于宋，以黑白对比的刻花技艺闻名，被誉为“中国古代陶瓷艺术的活化石.某文创企业以平定刻花瓷为特色， 开发了系列文创产品.某校综合实践小组的同学想要了解该企业某款刻花瓷的销售情况，他们对这款刻花 瓷的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析 【信息收集】 信息①：该款刻花瓷的成本为50元/件. 信息②：该款刻花瓷的售价x(元)不低于80元. 信息③：该款刻花瓷的月销量y(件)与售价x(元)关系如下表所示， 售价x(元) 90 95 100 105 110 月销量y(件) 108 104 100 96 92 信息④：制作该款刻花瓷每月固定成本（设备折旧、场地租金等）为1000元，且每月最大制作数量为150 件. 【问题解决】 (1)任务一：根据收集的信息可知，该款刻花瓷的月销量y(件)与售价x(元)之间是关系（填“一次 函数“反比例函数”或“二次函数”)，月销量y(件)与售价x(元)之间的函数关系式为 (2)任务二：在销售规律不变的情况下，销售单价为多少时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最 大利润是多少元？ (3)任务三：该文创企业计划使这款刻花瓷的月利润不低于5000元，请解答下列问题： ①请结合售价与销量的实际关系，确定销售单价x(元)的取值范围； ②为进一步扩大市场占有率，企业希望在满足利润条件的前提下尽可能提高销量，试求此时的销售单价及 对应的月销量. 试卷第27页（共48页） 20.(2026山西阳泉·模拟预测)综合与实践 【问题情境】随着家居收纳需求不断增加，某家居生活馆销售一款环保折叠收纳箱，每个进价为25元.市 场规定：销售单价不低于进价，且单个利润不超过进价的48%.一段时间后，该商家发现这款环保折叠收 纳箱的每周销售量y(单位：个)与销售单价x（单位：元/个)之间的关系满足一次函数，其对应关系如下 表： 销售单价x/(元/个) 30 32 34 36 38 销售量y/个 200 180 160 140 120 【问题解决】 (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. (2)设每周销售这款环保折叠收纳箱获得的利润为Ψ（单位：元）， ①求m与x的函数关系式. ②若该家居生活馆希望每周销售这款环保折叠收纳箱的利润达到1500元，求这款环保折叠收纳箱的销售单 价. (3)当销售单价定为多少元时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大？最大利润是多少 元？ 试卷第28页（共48页） 21.（2026山西太原·二模)综合与实践 问题情境：随着旅游热度上涨，来山西的游客日益增多，且客房入住数量也随之增加.某古镇特色酒店有 客房120间，酒店经理计划调整房价，以获取最大利润.经过前期调研获得如下信息： 某月连续五天每日房价与客房入住数报表 日期 房价（元间） 客房入住数（间） 第一天 160 120 第二天 200 96 第三天 190 102 第四天 170 114 第五天 180 108 建立模型：酒店经理发现入住房间数、营收金额都随每日房价的变化而变化. 设每日房价为x（元间)， 客房入住数为y(间)，日营收金额为z（元)，其中x,y,z均为正整数，且160≤x≤240.根据报表 所提供的信息，解决下列问题 注：日营收金额=房价×客房入住数 解决问题： (1)客房入住数y(间)是房价x（元间)的函数（填“一次”、“反比例或“二次），y与x之间的 函数关系式为： (②)当该酒店客房日营收金额z(元)最大时，求这一天客房的房价： (3)为吸引顾客，酒店决定为入住房客赠送当地特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品成本为元 (m≤20)·已知每间入住客房的固定成本（含保洁、水电等）为30元.若酒店希望在房价不超过200元 时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大，直接写出礼品成本m的取值范围. 注：日毛利润=日营收金额-固定总成本-礼品总成本. 试卷第29页（共48页) 22.（2026山西临汾·三模)综合与实践 问题情境：为了解本土优质农产品晋祠大米的产销情况及政府对晋祠大米的相关保护措施，数学小组开展 综合与实践活动. 收集信息： 信息①：晋祠大米，产自山西太原市晋祠镇，以晋祠难老泉水灌溉，米质晶莹、颗粒饱满，口感软糯香甜.2025 年，晋祠大米成功获批国家地理标志保护产品， 信息②：政府提供财政补贴、税收优惠等政策支持，鼓励种植大户、专业合作社扩大种植面积，推动晋祠 大米产业规模化、集约化发展，促进农民增收和乡村振兴 信息③：某农民专业合作社直销晋祠大米，经市场调查发现，若售价为5元/千克，日销售量为340千克， 若售价每提高1元/千克，日销售量就减少20千克. 建立模型： (1)设该农民专业合作社直销晋祠大米的售价为x元/千克(x≥5且为正整数)，每日销售额为y元. ①该合作社每天直销晋祠大米的数量为千克（用含x的代数式表示）： ②求y关于x的函数表达式： 解决问题： (2)若销售过程中，有关部门规定晋祠大米销售价格不得超过15元/千克.求此时y的最大值和最小值： (3)政府为保护传统作物，销售过程中每日给农民专业合作社补贴α元（α为正整数），要使农民专业合作社 日收入（日收入=日销售额十政府每日补贴额)不低于2500元，并且最多有5种不同的单价可以达到这个 要求，请直接写出a的最小值. 试卷第30页（共48页） 23.（2026山西忻州一模)项目式学习 项目背景：山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文 化遗产名录.某校学生前往一家老陈醋销售企业开展研学活动，他们针对一款老陈醋的销售情况进行了研 究. 数据收集：该款老陈醋每瓶的进价为10元，规定每瓶的售价不低于15元，且不高于40元，其每日销量y(单 位：瓶)与售价x(单位：元/瓶)之间的变化规律如图所示. 个y/瓶 350--- 300 250 200 150F 100P 152025303540x/(元/瓶) (1)建立模型：根据上述信息可知，每日销量y是售价x的_（填一次二次”或“反比例”)函数，y关于x的 函数表达式为 (2)问题解决：当售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？ (3)由于某种原因，该款老陈醋每瓶的进价上涨了m(0<<5)元，该销售企业在今后的销售中，每日销量y 与售价x仍满足(1)中的函数关系.若日利润最大为3610元，请直接写出m的值. 试卷第31页（共48页) 类型五拱桥隧道类 24(2026山西吕梁·二模)综合与实践 问题情境：数学之美，蕴藏于方寸之间，亦流淌于生活各处.在学校开展的“数学之美一创意明信片设计” 活动中，同学们匠心独运，创作出了诸多融入数学知识的优秀作品.如图1所示，房屋轮廓可近似看作由 段抛物线与线段围成的封闭图形，搭配别具巧思的“弦图窗框，尽显数学与美学交融的独特韵味.为进一 步优化整体结构，让造型更和谐雅致，同学们也提出了不少新颖的设计思路. G o风。 D D 图1 图2 图3 图4 方案设计： 第一步：（设计抛物线轮廓）如图2，线段AB和线段CD互相垂直平分，且AB=CD=6cm,抛物线经过A, B,C三点，以点D为原点，过点D且与AB平行的直线为x轴，CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 抛物线与x轴交于E,F两点（点E在点F左侧）； 第二步：（设计房屋装饰分区）如图3，隐去线段AB,作线段GH∥x轴与抛物线交于G,H两点，线段GH 将房屋分为上下两部分，且下半部分的高度是上半部分高度的2倍，上半部分用简单几何图形装饰，下半 部分设计门窗： 第三步：（设计门窗）如图4，正方形窗框WPQ的边长mcm,MN∥y轴，MQ∥x轴，延长M与抛物 线交于点S,延长P2与抛物线交于点T,MS=2QT. 解决问题： (1)求抛物线的函数表达式： (2)在图3中，求线段EF和GH的长度： (3)在图4中，若点M的坐标为(1，n). ①请直接写出n与m之间的关系式： ②当=1时，正方形窗框如图1中所示，且被分成的五部分面积相等，请直接写出窗框的总长度（包括正 方形外框和内框)· 试卷第32页（共48页) 25.(2026山西阳泉·三模)综合与实践 问题情境： 数学小组的同学在透明的玻璃容器中装入水，当容器水平放置时，从外面用视图的方法得到如图1所示的 图形（阴影部分为玻璃壁）， 观察测量： 同学们经测量发现该容器口是一个以点F为圆心，直径为l2c的圆，容器最大深度EF=9cm,且通过观察 可将该容器内壁曲线CED近似看作抛物线的一部分，E是该抛物线的顶点且在线段AB上 B 30° 图1 图2 数学建模： (I)在图1中以点E为原点，AB所在的直线为x轴，EF所在的直线为y轴建立平面直角坐标系. ①在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的表达式； ②当液面MN离杯口的距离为5cm时，求MN的长度 (2)将玻璃容器缓缓倾斜倒出部分水，从外面用视图的方法得到如图2所示的图形.当AB所在的直线与水平 桌面之间的夹角为30°时停止，此时将筷子从点F处垂直于容器口浸入水中，求筷子被浸湿的长度.（提示： 以AB所在的直线为x轴，过点D垂直于AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系) 试卷第33页（共48页) 26.(2026山西晋中·二模)综合与实践 【问题情境】 小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师.他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一 个造型别致又富有数学美感的创意建筑一山岚之眼（图1），请你帮他一起设计，解决相关问题. 图1 【建立模型】 整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型，其最高点A到水平地面的距离为6.8m,左右两端B, C两点到水平地面的距离均为1.8m,且两点相距20m. 如图2，以水平地面所在直线为x轴，垂直于水平地面且经过左端B点的直线为y轴，建立平面直角坐标系， B 图2 (1)求建筑上部抛物线造型！对应的函数表达式： 【问题解决】 (2)将建筑上部的抛物线造型沿直线BC折叠得到一条新的抛物线马，其与水平地面交于D,E两点（点D 在点E的左侧)·抛物线，在水平地面之上的部分与线段DE共同组成了建筑的下部. ①求线段DE的长： ②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆MN,G丑(N在 G丑的左侧)，其中点M,G在建筑的上部，点N,H在建筑的下部.小明只记得两根装饰杆的高度均为 1.9m,却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点N,H的坐标. 试卷第34页（共48页） 27.（2026山西忻州·二模)综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔.采光通 风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景.其纵切面如图1所示. 建立模型：如图2，EF表示水平直线（地面），CF,BE表示立柱，且BE,CF均垂直于EF,过点A的 竖直直线与EF交于点O,此时构成拱顶的两段抛物线L和L、立柱BE和CF均关于直线AO对称.以O 为原点，水平直线EF为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为1m), 测量数据：AO=BE=CF=6m,跨度OE=12m,拱顶最高点距离地面EF的高度为8m. B A M 旧… 日l 01.21.8 E 图1 图2 (1)求抛物线L的函数表达式，并直接写出抛物线L,的函数表达式. 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为1.8m,高为1.5m.以OA为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障 存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为1.2m. (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线L1在竖直方向上的距离. (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱项的竖直距离不得小于80c,请问：在保证安全的前提下， 这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果。 试卷第35页（共48页） 28.（2026山西吕梁·二模)综合与实践 问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于 桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度 的城市景观，兼具工程美学与力学价值。 数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的 示意图，以桥面OA所在直线为x轴，桥墩立柱OC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.已 知桥拱的跨度OA=66米，桥拱最高点到桥面的距离为9米. 问题解决： /米 y/米 M Ax/米 A x/米 图1 图2 图3 (1)①求该桥拱抛物线的函数表达式； ②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台 MN(点M,N均在桥拱上)，对桥拱横向作业，求该水平作业平台MN的长度. (2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功的矩形灯牌DEFG,其中点D,G在 抛物线上，点E,F在桥面OA上，DE边靠近桥墩OC且到桥墩OC的距离不小于11米，为更好地筹备所需 材料，需测算单块宜传牌的周长最大值（宜传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可. 试卷第36页（共48页） 29.(2026山西运城·三模)综合与实践 问题情境： 春风和煦，风景怡人.某公园景区准备对入口景观进行绿化升级，计划对一处抛物线型铁艺拱门进行美化 改造，包括花艺布置、宣传横幅安装、钢架结构加固等工程.请你与他们共同设计方案， 实验数据： 经实地测量，该拱门左右两端均落在地面水平线上，拱门的地面总跨度OB为12米（如图1），拱门最高点 距离地面高度为8米（拱门的厚度忽略不计）· 】 图1 图2 数学建模： (I)将该拱门的形状抽象为抛物线，其顶点为A,以拱门左侧端点O为坐标原点，地面水平线所在直线为x轴， 过点O作地面水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系.请直接写出抛物线顶点A的坐标，并求该抛物线 对应的函数解析式 问题解决： (2)横幅设计规划：景区准备在拱门内侧水平悬挂一条长CD=6的矩形宣传横幅（如图矩形CDEF,其中点 C,D在抛物线上)，为保障游客和车辆通行安全，横幅下沿EF离地高度不得少于4.5米.请你帮忙计算： 该宣传横幅的最大宽度可设计为多少米？ (3)钢架加固设计：如图2，为增强拱门的抗风稳定性，景区规划在拱门两侧加装倾斜角为45°的枝撑杆，底 端固定在地面上，要求支撑杆与抛物线型拱门恰好贴合（每根支撑杆与拱门有且仅有一个交点），请你直 接写出两根支撑杆底端之间的水平距离。 试卷第37页（共48页） 30.（2026山西长治·二模)综合与实践 【问题情境】长治市某区在某智慧农业基地建设中，技术人员为了优化温室大棚的采光与结构，选取了一 座典型的抛物线形智能温室棚顶进行测量建模.为了方便建模，他们将温室棚顶的纵向轮廓线近似看作一 条抛物线。 【建立模型】技术人员以温室棚顶的最低点（同时也是棚顶与地面的交界点）为原点O,以水平地面为x轴， 竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.已知该温室棚顶轮廓线的最高点A距离地面5米，棚顶 在地面上的跨度（即底端点O和点B之间的距离）为30米. B大 【问题解决】 (1)请求出描述该温室棚顶轮廓线的抛物线的函数表达式， (2)为了提升棚内通风效率，施工人员计划在棚顶上部（最高点下方）铺设一条水平的通风管， ①若要求通风管距离地面的高度为3米，请计算这条通风管的长度（结果精确到1米，参考数据：√10≈3.16）. ②为稳固棚顶结构，需在棚顶轮廓线上对称安装两根立柱，立柱垂直于水平地面（即x轴），底端固定在地 面上，项端贴合棚顶轮廓线.若施工要求左侧立柱顶端的高度是其到原点O(棚顶左侧最低点)水平距离 的号，请计算这两根立柱之何的水平距离。 试卷第38页（共48页） 类型六其他考法 31.（2026山西大同·二模)综合与实践 【问题情境】春日伊始，一批粉色共享单车陆续投放至某市核心商圈及地铁站出口，其凭借出众的颜值与 贴心设计，迅速俘获市民青睐，成为街头一道流动的“风景线”.下面是该单车品牌商家在A、B两个试运营 点进行运营测试(A点位于地铁站出口，B点位于商圈核心广场)，针对早高峰(7：00一900)的运营收 益进行了连续14天的统计分析（本次统计仅针对30分钟内的短途骑行订单），相关数据如下， 【数学建模】A运营点 第x天(x为正整数)的30分钟内骑行单价、骑行次数与x的关系如下表： 30分钟内骑行单价（元/次） 骑行次数/次 第1天 2.5 150 第2天 2.4 160 第3天 2.3 170 第4天 2.2 180 第x天 10x+140 第x天的30分钟内骑行单价与x近似的满足我们学过的某种函数关系，已知该运营点每天固定运营成本为 90元 B运营点第x天的利润y2(单位：元)与x的关系可以近似的用二次函数y,=a+bx+140模型刻画，其 图象如下图所示： 【问题解决】(1)A运营点第x天的30分钟内骑行单价是 元/次（用含x的代数式表示）· (2)求A运营点第x天的利润片（单位：元）与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围：利润=骑行 单价×骑行次数-固定运营成本) (3)①求y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）. ②当x的值为多少时，运营点A,B的利润之和（即片+y)最大，最大是多少元？ B运营点利润函数图象 个利润元 260 240 (4.236 200 180 1,170) 01234567891011121314天 试卷第39页（共48页） 32.（2026山西大同·三模)综合与实践 某公园计划建造一座“彩虹门喷泉景观.喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成 完整的“彩虹门”，公园设计团队需要对喷泉进行精确设计， M O B 图1 图2 图3 任务一：建立模型 (1)如图1，设计团队测得喷泉场地宽度AB=16米，在A,B处各安装一个喷水装置，将出水口高度AM,BN 都设为0.8米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成 一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点C到地面的距离为4.8米.以线段AB所在的直线为x轴，AB的垂直平 分线为y轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门喷泉中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 任务二：游客通道设计 (2)如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与AB垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制 7条平行的地面标志线（宽度忽略不计），每两条标志线之间间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在 AB所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米.为保证“彩虹门'的水柱不被破 坏，要求最外侧挡雨伞项端与水柱间的垂直高度为0.36米.请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； 任务三：灯光设计 (3)设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意.首先将两个喷水装置同时向外侧 移动m米（在AB所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，如图3，接着 在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在AB所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端 的水平距离均为米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为45°且两条光线相交于一点，若光线与 水柱之间的最小距离为√2米，求m,n的值. 试卷第40页（共48页） 33.(2026·山西运城·二模)2026年山西省人民政府办公厅印发的《山西省加快能源绿色低碳转型发展实施 方案》，文件明确提出：“立足就近接人、就近消纳，推动新能源与煤炭、交通、建筑、农业等多领域融合 发展.有序推动风电、光伏发电项目改造升级，提升风光资源和土地利用效率.” 【数据收集】高平某农业园区积极响应政策，建成农光互补示范基地.以下是有关光伏板设置参数分析， 信息1：经实测，该地区大棚的每150平方米光伏板，在春秋两季，光伏板倾斜角x(单位：度)与日发电 量y(单位：千瓦时)可近似满足下列函数关系： x/度 18 22 24 28 30 32 36 42 /千瓦 70 80 83.5 87.5 88 87.5 83.5 70 时 信息2：受季节变化影响，在春秋两季日发电量y的基础上： ①夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度： ②冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度. 【模型建立】 (I)求春秋两季时，日发电量y关于光伏板倾斜角x的函数解析式，分析题意，直接写出该园区光伏板夏季 发电量最大时光伏板的倾斜角. (2)若园区预计升级新一代高效光伏组件，升级后的光伏板每150平方米的日发电量增加36千瓦时，直接写 出该园区冬季升级后的光伏板日发电量y与光伏板倾斜角x之间的函数解析式. 【问题解决】 (3)园区升级光伏板后，记夏季与冬季发电量差值为k,为保证全年发电量均衡，避免季节性发电波动明显. ①当发电量差值为0时，光伏板倾斜角x的度数为； ②若要求每150平方米光伏板日发电量差值不超过5千瓦时，求光伏板倾斜角x的取值范围. 试卷第41页（共48页) 34.(2026山西晋中·二模)综合与实践 问题情境： 某游乐园上午10点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队.经研究发现，现 场总人数y（人)与过山车项目运行时间x(分)之间满足关系式：y=-x+65x,观众进场立即排队，在 任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数.过山车每趟可载30人，每2分钟发一趟，即平均每 分钟服务15人. 建立模型： (1)过山车项目的排队人数m(单位：人)与运行时间x(单位：分)的关系式为_： 问题解决： (2)在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以2.5米分的速度沿队伍向末端匀速行走.门口 位于第一名游客前方0.5米处，假设排队游客每人间距为0.5米，定义队伍长度L(单位：米)为从门口到队 伍末端（最后一名游客所在位置)的距离，则L与排队人数m的关系为工=0.5m. ①工作人员与门口的距离$（单位：米）与运行时间x(单位：分)的关系式为_： ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求x的值； (3)过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计），海盗船在x=20分钟时开 始运行，其现场总人数W(单位：人)与运行时间t(从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟)满足关系 式1w=-2t2+80t.己知海盗船每趟可载40人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务20人.当两个项日同时 存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出x的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更 早入场. 试卷第42页（共48页) 35.（(2026山西阳泉·二模)综合与实践 问题情境： 北京时间2026年2月18日，米兰冬奥会单板滑雪男子坡面障碍技巧比赛落下帷幕，中国选手苏翊鸣夺得 冠军，收获了中国体育代表团在本届冬奥会上的首枚金牌.某综合实践活动小组以单板滑雪运动中运动员 起跳后的飞行路线为主题进行研究， ◆y/m 起跳点 着陆点 0 材m 方案设计： 第一步：选定合适位置建立如图所示的平面直角坐标系： 第二步：利用高清设备在运动员起跳后的路线上选定几个特殊位置作为测量点，并借助相关仪器测出每个 点的水平距离与相应的竖直高度： 第三步：数据分析，形成结论 方案实施： 从运动员起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：)的几组对应数 据如下表： x/m 0 2 6 P 11 14 y/m 20.00 21.40 22.40 23.00 23.20 22.75 21.40 请根据以上数据，解决下列问题： (1)根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度y是水平距离x的 函数（填一次“二次或“反比例）， 并求出y与x之间的函数关系式： (2)通过分析数据，该运动员在本次起跳中竖直高度的最大值为 1m; (3)若运动员某一时刻与起跳点的水平距离为28m,求该运动员该时刻的竖直高度. 试卷第43页（共48页） 36.(2026山西大同模拟预测)综合与实践 问题情境： 某医院新院区主出入口的正面设计图（图1）由院门造型、两侧的安保监控值班室和便民服务咨询室（以下 分别简称值班室与咨询室)构成、院门造型设计为抛物线形、值班室和咨询室的正面均为形状大小完全相 同的矩形、工程队在此基础上要进行相关构件的安装，请你与他们共同解决问题。 设计数据： 在图1中.院门造型的跨度AB为18m,院门造型的最高点C与水平地面的距离为6m,院门造型与表示值 班室、咨询室的矩形的顶点分别交于点A,B,与表示值班室、咨询室的矩形的边分别交于点D、E,值班 室与咨询室的高为3m,长为4m. 建立模型： 以DE所在直线为x轴，以过点C垂直于DE的直线为y轴建立平面直角坐标系 D 班瑞 咨询室 B 值班室 石 咨询室 B LED显示屏 图1 图2 (1)求院门造型所在的抛物线的表达式. 解决问题： (2)如图2，现工程队预计在院门造型的正中间放置一个宽为3m的院名石，并计划在院名石与咨询室之间 摆放一个LED显示屏（可移动），用以播放流程指引信息，要求LED显示屏在移动过程中，其高度不得超 过院门造型.若LED显示屏的宽为1m,高为4m,请你通过计算说明该LED显示屏是否符合要求 (3)院领导按照该设计图准备提前预订新院区启用仪式所需要的横幅，以点D,E为横幅的悬挂点.请直接 写出所预订的横幅的最小长度. 试卷第44页（共48页） 37.（2026山西吕梁·二模)综合与实践 如图1，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度 MN=120cm,最大宽度OP=80cm,桌面竖直轮廓如图2所示，上方抛物线J顶点M到OP的距离为100cm, 下方抛物线顶点N到OP的距离为20cm,直线N为竖直轮廓的对称轴，且MN⊥OP.以OP所在直线为x 轴，过点O垂直于OP所在直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系 y/cm M y/cm y/cm A D P x/cm x/cm B x/cm W 图1 图2 图3 图4 (1)请你直接写出点M的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式. (2)如图3，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移19c,将下方抛物线向上平移 若干厘米，两条新抛物线相交于OP上的点E,点F, ①求EF的长； ②直接写出下方抛物线向上平移的距离. (3)如图4，若想在桌面上装一块矩形钢化玻璃ABCD,使得顶点A,B,C,D落在新轮廓上，若AB=54c, 直接写出AD的长 试卷第45页（共48页） 38.（2026山西太原·二模)综合与实践 问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度v(单位：s),滑行距离s(单位：m)与滑行时间（单 位：s)之间具有一定关系.实践小组记录某运动员训练数据，整理如下： 信息整理：①在山坡的滑行速度v与滑行时间1的部分数据如下表. 滑行时间 0 3 (单位：s) 滑行速度y 2 6 10 14 18 (单位：m/s) s/m 48 % 16 6- BC 1234s 地面H 图1 图2 缓冲坡 ②在山坡的滑行距离s与滑行时间之间的关系用图1所示坐标系中的图象刻画. 解决问题： (①)根据表中数据可知，在山坡的滑行速度v是滑行时间的函数（填一次“二次”或“反比例），其函数表 达式为 (2)观察图1可知，在山坡的滑行距离、与滑行时间满足二次函数关系（图象经过原点），当该运动员在山 坡的滑行时间为6s时，求出他的滑行距离 (3)如图2，在此次训练中，该运动员从山坡AB的点P处滑下，滑行到坡脚点B处时沿跳台BCDE做身体姿 势调整，并在点C处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示.根据要求，若要顺利完成此次技巧展 示，运动员距离地面EG的最大高度不得低于15米（不考虑其他因素），已知PB=126m,运动员从B到C 的过程中速度保持不变，从点C起跳后距离地面的垂直高度h(m)与在空中的飞行时间t,(s)之间的函 数关系表达式是h=-5t号+0.6v吃，（其中v为运动员在C点时的速度）.请你判断该运动员能否顺利完成此次 技巧展示？并说明理由 试卷第46页（共48页) 39.（(2026山西运城一模)综合与实践 立定跳远中的函数应用 问题情境：立定跳远练习中，运动员身体重心的运动轨迹可近似看作抛物线.为提升训练的安全性、降低 受伤风险，并帮助校训队的运动员提高成绩，某学校成立了立定跳远运动规律探究小组. 实验数据：该探究小组测得某运动员在一次试跳中，身体重心距地面的竖直高度y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)的几组数据如下表： x/m 0 0.8 1.6 2.4 3.2 y/m 0 0.45 0.6 0.45 0 数学建模：如图1，将运动员身体重心的运动轨迹抽象为抛物线.其顶点为P,运动员的起跳点为O,落地 点为点2.以O为原点，OQ所在的直线为x轴，过点O与OQ所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面 直角坐标系 y/m By=0.3 x/m 图1 (I)请根据表格中的测量数据直接写出抛物线的顶点坐标，并求出该抛物线的函数关系式： 问题解决： 已知运动员身体重心在任意位置到地面的高度不低于0.3时可避免练习时受伤.我们将直线y=0.3与抛物 线的两个交点分别记作A、B,称A、B两点之间的距离为该运动员此次立定跳远的有效水平距离. (2)求AB的长（结果保留根号）； (3)实验表明：调整起跳角度后，该运动员的重心运动轨迹近似满足关系式：y=-0.25x+tc,为促进运动 员科学训练，学校设定了立定跳远的等级标准线：满分线为2.4m,良好线为2.0m.现要求该运动员的落地 点（即y=0时x的值）在良好线到满分线之间（含两端点），请直接写出t的最大值与最小值. 试卷第47页（共48页) 40.(2026山西忻州一模)在春日的暖风中，春季运动会在如火如茶地筹备着.某机器人小组设计了多台 “摇大绳”机器人作为春季运动会团体项目. y/m◆ 3 2 A 0 B.D 12345678910x/m 赛场设置： ①如图是摇绳机器人在8米场和10米场摇绳时的示意图，OA,BC,DE分别是高度为1m的摇绳机器人， 绳子摇到最高处时，绳子与摇绳机器人在同一竖直平面，绳子的形状可近似地看作抛物线的一部分，其中， 8米场中绳子摇到最高点时，最高点P到地面的距离为1.96.摇绳机器人在8米场和10米场将绳子摇到 最高点时，绳子的形状相同 ②为了安全，跳绳时学生正上方的绳子距离头项至少0.1m,学生跳绳时比实际身高高01m. ③要求8米场参赛小组每10人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相 等，都是0.5 ④如图，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 问题解决： (1)求8米场中绳子摇到最高点时，绳子所在抛物线对应的函数解析式。 (2)①填空：记8米场从左向右数第5位同学所站位置为点M,则点M的坐标为 ②结合上述信息，求参与8米场比赛的小组成员中，最低身高和最高身高的最大值（结合实际情况分析， 结果保留两位小数)· (3)参加10米场比赛的小组，要求每14人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之 间的距离相等，都是0.5m.小李是10米场小组队员，若小李的身高为1.76m,则从左往右数，直接写出他 至少可以站在第几位 试卷第48页（共48页） 山西九年级培优——综合与实践（二次函数的建模） 考情分析................................................................................................2 真题精讲................................................................................................3 题型集训................................................................................................9 类型一 减速刹车类 类型二 运动轨迹类 类型三 几何图形类 类型四 销售最值类 类型五 拱桥隧道类 类型六 其他考法 考 情 分 析 ◆考情概览 山西中考数学二次函数综合题自2024年起，已摒弃以往与几何图形综合、重点考查几何图形性质及存在性问题的传统考法。因此本文仅聚焦近3年考情进行分析。不当之处，敬请批评指正。 ◆题型分析 题型分类 典型题干特征 考查重点 解题注意事项 减速刹车类 汽车刹车滑行距离和时间/速度的关系、计算刹车安全距离、完全停下需要的时间 结合实际场景的数量关系计算 要符合现实逻辑：车停下后就不会再往前滑了，计算时要注意时间、距离的合理范围，去掉不符合实际的结果 运动轨迹类 投篮、抛球、喷泉、炮弹发射等抛物场景，求最高高度、落地点距离、某一位置的高度 抛物线曲线的数值对应关系 先画坐标系标清楚已知点的位置，根据题目给的条件算出抛物线的表达式，再算需要的数值 拱桥/隧道类 抛物线型拱桥、拱形隧道，问船能否通过、特定高度下能通行的宽度、安全高度 抛物线对称特点的应用 通常以桥的最高点或者隧道底部中点为坐标原点，算通行宽度时，是同一高度对应的左右两个水平距离的和 销售最值类 商品涨价/降价对应销量变化，求定价多少时赚的钱最多，或者想赚目标金额需要定什么价 最大利润的计算方法 记住核心公式：总利润=（单件售价-单件成本）× 总销量，整理出利润和定价的关系后，找最大值对应的定价即可 几何图形类 用固定长度围栏围地、裁剪材料做容器，求最大面积、最少用料、最合适的尺寸 几何场景下的最值计算 注意边长、长度肯定是正数，结合图形的周长、面积公式列出关系，再找最大/最小值对应的尺寸 真 题 精 讲 例1（2026年22题13分）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用如图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28．设中肥力麦田每亩的产量为y1（千克），低肥力麦田每亩的产量为y2（千克）．已知点A（0，160），B（18，646），C（28，496）均在描述y1与x关系的抛物线上，且点B是这条抛物线的顶点． 建立模型：（1）求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x的函数关系式； 应用分析：（2）已知低肥力麦田中小麦每亩的产量y2与x的函数关系式为y2＝﹣x2+26x+140． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同．当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差． ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块，当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n千克．经判断n小于m，请直接写出m与n的差． 解：（1）由题意得，点B（18，646）是描述y1与x关系的抛物线的顶点，设， 因为点C（28，496）在描述y1与x关系的抛物线上，所以，a（28﹣18）2+646＝496， 解得，所以，y1与x的函数关系式为． （2）①已知，将其配方，得，因为a＝﹣1＜0，0≤x≤28， 所以，当x＝13时，y2取得最大值．此时，y2的最大值为309． 已知两种麦田每亩施氮量相同，当x＝13时，，此时，y1﹣y2＝608.5﹣309＝299.5， 答：当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②y1（x﹣18）2+646，， ∵0≤x≤28，∴当x＝18时，y1最大值为646，当x＝13时，y2最大值为309， ∴m最大值＝646+309＝955； 当两块麦田每亩施氮量相同时，n＝y1+y2x2+54x+160﹣x2+26x+140x2+80x+300（x﹣16）2+940， 当x＝16时，n＝940，∴m﹣n＝15． 例2（2025年22题13分）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝80，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为（80，60），设抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣80）2+60， ∵图象过原点，∴a（0﹣80）2+60＝0， 解得，∴； （2）∵抛物线的形状不变，点（0，75）， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当y＝0时，，解得x1＝200，x2＝﹣40（舍去）， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm； （3）设该平台的高度为kcm，由题意，设新的函数解析式为：， ∵AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm，仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点（80+40，48+3），即：（120，51）， ∴把（120，51）代入，得：， 解得k＝6；故设该平台的高度为6cm． 例3（2024年22题12分）综合与实践 问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系， ∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6，∴．∴点B的坐标为（3，0）， ∵OP＝9，∴点P的坐标为（0，9）， ∵点P是抛物线的顶点，∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+9， ∵点B（3，0）在抛物线y＝ax2+9 上，∴9a+9＝0，解得a＝﹣1． ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）； （2）点D，E在抛物线y＝﹣x2+9 上，∴设点E的坐标为（m，﹣m2+9）， ∵DE∥AB，交y轴于点F，∴DF＝EF＝m，OF＝﹣m2+9，∴DE＝2m． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，∴．∴CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6， 根据题息，得DE+CF＝6，∴﹣m2+6+2m＝6， 解得：m1＝2，m＝0（不符合题意，舍去），∴m＝2． ∴DE＝2m＝4，CF＝﹣m2+6＝2答：DE的长为4米，CF的长为2米； （3）如图矩形灯带为GHML， 由点A、B、C的坐标得，直线AC和BC的表达式分别为：y＝x+3，y＝﹣x+3， 设点G（m，﹣m2+9）、H（﹣m，﹣m2+9）、L（m，m+3）、M（﹣m，m+3）， 则矩形周长＝2（GH+GL）＝2（﹣2m﹣m2+9﹣m﹣3）＝﹣2（m+1.5）2， 故矩形周长的最大值为米． 题 型 集 训 类型一 减速刹车类 1．（2026太原九下期末）如图，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面80cm处． 小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得如表． 运动时间t/s 0 1 2 3 4 运动速度v/cm/s 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系． （1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当黑球减速后运动距离为75cm时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由． 解：（1）设黑球的运动速度v与运动时间t的解析式为v＝kt+b（k≠0）， 把（0，10），（1，9.5）分别代入得， 解得， ∴黑球的运动速度v与运动时间t的解析式为v＝﹣0.5t+10， 设运动距离y与运动时间t之间的解析式为y＝at2+mt+n， 把（0，0），（2，19），（4，36）分别代入y＝at2+mt+n，得， ∴． ∴运动距离y与运动时间t之间的解析式为yt2+10t； （2）∵黑球减速后运动距离为75cm， ∴，解得t1＝10或t2＝30， 把t＝10代入v＝﹣0.5t+10，得v＝﹣0.5×10+10＝5； 或把t＝30代入v＝﹣0.5t+10，得v＝﹣0.5×30+10＝﹣5＜0（舍去）； ∴它此时的运动速度为5cm/s； （3）黑球在运动过程中不会碰到白球，理由如下： 设黑白球的距离为wcm， 依题意，则w＝80+2t﹣y（t﹣16）2+16， ∴， ∴抛物线开口向上， ∴在t＝16时，黑白球有最小距离且为16cm，大于0， ∴黑球在运动过程中不会碰到白球． 2．（2026山西二模）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t 0 1 2 4 刹车后行驶的距离s 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离单位s（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求s关于t的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； （2）当汽车刹车后行驶了63m时，求t的值； （3）当汽车司机发现正前方有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车76m，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 解：（1）设s关于t的函数解析式为s＝at2+bt+c， 将（0，0），（1，27），（2，48）代入， ， 解得：， s关于t的函数解析式为s＝﹣3t2+30t； （2）由（1）得s关于t的函数解析式为s＝﹣3t2+30t， 当汽车刹车后行驶了63m时， 可有﹣3×t2+30t＝63， 解得：t＝3或7（不符合题意，舍去）， ∴当汽车刹车后行驶了63m时，t的值为3； （3）车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车， 理由如下：由（1）得s关于t的函数解析式为ys＝﹣3t2+30t， ∴s＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75， ∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75米， ∵76＞75， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 3．（2026山西晋中模拟）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间0.1﹣0.6秒之间，低于人类驾驶员0.8﹣2秒的反应时间． 总停车距离（l）＝反应距离（tv）+制动距离（）；记作为：（l：从感知到车停共经过的距离，单位米；t：感知、计算的反应时间，单位秒；v：刹车前行车速度，单位米/秒；a：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速x（米/秒） 20 30 … 停车距离l（米） 35 71.25 … （1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离l与刹车前行车速度v的函数表达式； （2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以18米/秒正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距s＝27米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算， ①请你判断，智能汽车不改变方向的情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（v≥60千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到5.7°，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？（参考数据：每个车道的宽度为d＝3.75米，sin5.7°＝0.099，cos5.7°＝0.995，tan5.7°＝0.1） 解：（1）由题意得，经过（20，35）和（30，71.25）， 可得， 解得， ∴； （2）①结论：不能在货物前停车．理由如下： 由题意得，18米/秒，代入函数关系式得：米＞27米， ∴不能在货物前停车； ②避险不成功，理由如下： 智能汽车感知、计算反应的时间为0.6﹣0.1＝0.5秒，此时汽车已行进9米， 如图，即OA＝9， ∴AB＝27﹣9＝18， 由题意得，∠BAC＝5.7°， ∴， ∴避险不成功． 4．综合与实践 【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计 某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆A以初速度v0进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为dm处，目标障碍物车辆B以恒定速度vB（vB＜v0）同向匀速行驶．为确保A车在任何时刻均不与B车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆A在水平直道上运动的数据如表： 时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 速度v/（m/s） 20 16 12 8 4 路程s/m 0 9 16 21 24 【问题探究】 （1）已知速度v是时间t的一次函数，路程s是时间t的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆A从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； （2）测试车辆A驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车B从其正前方dm处开始，以vB＝8m/s的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆A始终不会撞上目标障碍物测试车B，求安全初始距离d的最小值； （3）在（2）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当d＝12m时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因． 解：（1）设v＝mt+n（m≠0）， 由题意可得： ， 解得， ∴v＝﹣8t+20； 设s＝at2+bt+c（a≠0）， 将t＝0，s＝0；t＝1，s＝16；t＝2，s＝24代入， 得， 解得， ∴s＝﹣4t2+20t， 当v＝0时，0＝﹣8t+20，即t＝2.5s， 此时s＝﹣4×2.52+20×2.5＝25m， ∴总路程为25m． （2）目标障碍物测试车B行驶的路程为8tm， 要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足s≤8t+d， ∵s＝﹣4t2+20t， ∴d≥﹣4t2+12t， ∵， ∴当时，﹣4t2+12t有最大值9， ∴d最小为9m时才安全， ∴安全初始距离d的最小值是9m． （3）当d＝12＞9m时发生了追尾，可能是由于雨天，使得地面摩擦力减小，测试车A从开始到最终停下的刹车距离大幅增加，导致测试车A与目标障碍物测试车B在安全距离即使大于了9m的情况下依然发生了追尾． 类型二 运动轨迹类 5.（2026·山西长治·三模）综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． （1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 故设抛物线表达式为 代入可得，， 解得 ∴抛物线表达式为 （2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为， 故设抛物线的表达式为， 代入可得， 解得或（舍去） ∴抛物线的表达式为 当时， ∴喷水管的高度为 （3）解：由题意得， 对于，当时，则， 解得； 对于，当时，则， 解得， ∴安全通道的宽度为． 6.（2026·山西阳泉·三模）综合与实践 任务布置：某班开展课外锻炼，有7名身高分别为，，，，，，的同学组队参加跳长绳运动．为增加甩绳的稳定度，确定两位身高为的同学甩绳，其余同学跳绳．要求所有同学站成一排，跳绳同学按照中间高、两端低的方式排列，且7名同学每2人之间的距离至少为才能保证安全． 研究步骤：（1）如图，两位甩绳同学经过多次试验发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点到地面的距离为时，效果最佳． （2）当绳子甩到最高点时，绳子的形状可以近似的看成一条抛物线，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，解决下列问题： (1)请在图中画出平面直角坐标系，并求出绳子甩到最高点时抛物线的表达式． (2)身高最高的同学站在的中点处，其余跳绳的同学对称安排在其两侧． ①当跳绳同学之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳同学的头顶?并说明理由； ②在保证安全的情况下，请直接写出最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳同学之间距离的取值范围．（结果保留根号；学生只考虑身高，其他忽略不计，绳子甩到最高点时所在位置与跳绳同学所在位置在同一竖直平面内） （1）解：平面直角坐标系略． 根据题意，得，且该抛物线的顶点坐标为， 设绳子甩到最高点时抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， 绳子甩到最高点时抛物线的表达式为； （2）解：①略 ②当时，， 解得或， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值为， 两人的水平距离，名队员每两人间的距离至少为才能保证安全， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最大值为， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为． 7.（2026·山西临汾·三模）综合与探究 问题情景： 如图1，投壶源于古代射礼，作为非物质文化遗产，它承载着中华传统礼仪与娱乐文化．今投壶成为学校、景区和节庆活动中的体验项目，让人们感受古人雅趣，弘扬君子之风，具有教育传承价值． 数据测量： 投壶过程中，箭头的运动轨迹近似地可视为一条抛物线． 如图2，明明在点处投壶时，出手点距离地面，当箭头行进至与出手点水平距离的点时，其离地面的最大高度为． 解决问题： (1)以箭头运动轨迹在地面的投影所在直线为轴，以明明的位置所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出在此平面直角坐标系下该抛物线对应的二次函数解析式． (2)求箭头的落地点与点之间的距离（，精确到）． (3)如图3，在明明正前方（明明距离容器最左端的距离）点处有一高、直径为的圆柱形容器，判断明明此次投壶能否投中容器，并说明理由；若不能，在不改变投掷力度（抛物线的形状不变）的情况下，明明此次投壶能投中容器，出手点的高度应该在什么范围？ （1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为，且抛物线经过点， 设抛物线的解析式为，把点代入，得， 解得， ∴； （2）解：当时， 解得或（舍去）， 故箭头的落地点与点之间的距离为； 不能；理由如下： ∵， ∴当时，； ∵直径为的圆柱形容器， ∴当时，； ∴明明此次投壶不能投中容器， ∵不改变投掷力度， ∴设新的抛物线的解析式为 ， 当新的抛物线过点时，则， 解得； 当新的抛物线过点时，则， 解得， ； 故出手点的高度应该在. 8．（2026·山西朔州·三模）根据以下素材，探索完成任务． 羽毛球发球机的运动路线 素材一 如图1，某羽毛球场地的中线长为，球网设置在中线中点处，球网高度为．羽毛球训练机的出球口在中线端点正上方的点处，以为原点、中线所在直线为轴建立平面直角坐标系． 素材二 假设发出的羽毛球沿中线飞行，其运动高度关于水平距离的函数图象为抛物线，该抛物线在与水平距离为的点处达到最高，此时距地面高度为，羽毛球最终落在地面的点处． 素材三 如图3，若羽毛球落地弹起后，且在与水平距离为的点处达到最高，弹起后最高高度为． 问题解决： (1)任务一：求训练机发球后到落地前，羽毛球运动轨迹的函数表达式（不要求写自变量取值范围） (2)任务二：小明在球网的另一侧接球，若羽毛球在离地面距离不少于时为最佳击球高度，求最佳击球点与训练机的水平距离的取值范围 (3)任务三：当时，运动员在点处沿直线击球，想让球从网下穿过后落到点右侧的点，且球网下端离地面高度不低于，该操作能否实现？请说明理由． （1）解：根据题意可知，顶点的坐标为， 设羽毛球运动轨迹的函数表达式， 将点代入中，得， 则， 故羽毛球运动轨迹的函数表达式． （2）解：由题意可得， 解得，， ， 当时，的值随值的增大而减小， 需要， ， 小明在球网的另一侧接球，且球网的位置位于中线中点，即距离点处， 最佳击球点与训练机的水平距离的取值范围为． (3)该操作能实现，理由： 如图，若羽毛球落地弹起后，且在与水平距离为的点处达到最高，弹起后最高高度为， 则点的坐标为， 设直线函数表达式， 将点，代入中，得 ， 解得， 则直线函数表达式， 当时，， ， 故该操作能实现． 9．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：水火箭是校园科技活动中深受学生喜爱的科普装置，其发射后的运动轨迹可看作抛物线．某校科技社团在一次水火箭发射实验中，将水火箭从地面发射，当水火箭在空中与发射点的水平距离为米时达到最高，高度为米． 数学建模：如图1，将水火箭的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，水火箭在地面的发射点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； 问题解决：已知水火箭发射后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． (2)如图1，为保障观测安全，在发射点正前方，处放置两根高度相等的测量标杆，标杆顶端分别装有摄像头，，两个摄像头距地面的高度均为米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为米，求两个测量标杆之间的水平距离； (3)在此次实验中，水火箭不能落在着落区域，其中点到发射点的距离为米，点到发射点的距离为米．如图，若在点处放置一个高度为米的发射架，从发射架顶端点发射水火箭时，水火箭正好落在着落区域（包含，两点），请直接写出发射架的高度的取值范围． （1）解：依题意，设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为（）． （2）解：∵两个摄像头距地面的高度均为2米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为7米， ∴当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，它距离地面的高度为9米， 把代入中，得， 解得，， ∴两个测量标杆之间的水平距离为（米）． 答：两个测量标杆之间的水平距离为米． （3）解：依题意，，， 新抛物线的解析式为， 将，代入解析式得，， 解得：； 将，代入解析式得， 解得：； ∴水火箭正好落在着落区域（包含，两点），发射架的高度的取值范围为． 10（2026·山西太原模拟）综合与实践 问题情境：某游乐园想设计一款带喷泉的水上滑梯游乐设施，如图所示为设计示意图，为水上滑梯，滑梯顶端点离地面4米（即米），水平长度米，在滑梯上方设计喷泉，喷泉喷出的水柱呈抛物线，为不淋湿游客，保证在滑梯两端，处喷泉离滑梯的距离为米（即米），如图所示建立平面直角坐标系，喷泉最高点离轴米． (1)数学建模：请你结合已知安全间距与顶点位置条件，求出喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式． (2)解决问题：根据施工要求喷泉落地处需要修建防水排水凹槽，防止积水漫延侵蚀滑梯地基．请求出喷泉落地位置到滑梯立柱的水平距离，以此确定排水槽的位置． (3)游乐园采购部门依据水柱与滑梯的最大间距选配喷泉出水压力（间距决定水压上限，间距过小需减小水压防溅水），请写出全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离． （1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，， ∵， ∴抛物线与y轴交点C的坐标为， ∵， ∴抛物线经过点； 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 由对称轴得， 将点代入得， 将代入上式得： 解得， ， ∴喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 整理得， 解得， 且 (舍去)， 答：喷泉落地位置D到滑梯立柱的水平距离为米； （3）解：设直线的解析式为， 将代入得： 解得， ∴直线的解析式为， 设喷泉水柱与滑梯滑道的竖直距离为d，则： ， ∴当时，d有最大值，最大值为 答：全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离为米． 11.（2026·山西朔州·三模）综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． (2)若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． （1）解：设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式为； (2)不能， 理由：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得， 解得， ∴， 当时，， ∵， ∴水柱不能喷中该目标顶端． 12．（2026·山西大同·模拟预测）综合与实践 问题情境：某现代科技农业示范园自主设计的“自动升降式喷灌器”如图1所示，其截面示意图如图2所示，为自动升降杆，喷头P喷出的水雾区域边缘为抛物线的一部分，并且左右两侧的抛物线对称．左右两侧的抛物线与水平地面的交点分别为A，B，则的长为该喷灌器的灌溉距离．当喷头P的高度变化时，其喷出的水雾区域边缘的形状不变． 数据收集：当喷头P位于初始位置时，，灌溉距离，右侧水雾区域边缘抛物线上的点C到水平地面的高度为，到喷头P的水平距离为．喷头P最高可升至点处，． 建立模型：以点O为原点，水平地面向右为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)当喷头P位于初始位置时，求右侧抛物线的函数表达式． (2)当喷头P升至最高点时，求该喷灌器的灌溉距离的长． 问题解决： (3)该农业示范园在一块示范田中按正方形网格铺设了一批该“自动升降式喷灌器”，相邻两个喷灌器之间的距离为．为保证地面全部在其灌溉范围内，每个喷灌器的灌溉距离需不低于相邻两个喷灌器之间的距离的倍．直接写出喷头P的高度的取值范围． （1）解：根据题意得：点的坐标为， 设右边的抛物线的解析式为， 根据题意得，点的坐标为，点的坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴右边的抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当喷头P升至最高点时，右边的抛物线的解析式为， 当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴， ∵左右两侧的抛物线对称， ∴， ∴该喷灌器的灌溉距离的长为； （3）解：设喷头高度，则抛物线解析式为， 故灌溉总距离要求； 令，则， 解得：， 左右对称灌溉总距离为， ∴， 解得：， 又喷头最高限高高度为， ∴，即 13．（2026·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境：儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图①）．公园为了增强其观赏性，计划将该喷泉进行改造升级．为了有更多的改造方案，该公园广泛征集大家的改造想法．某校的综合实践小组给出了以下的优化设计方案． 收集数据： 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：已知喷水口为点，抛物线的最高点距离地面4米，且距离喷水口的水平距离为3米，水流落地点为． 建立模型： 以出水点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)根据上述分析，在图②中建立平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； 优化设计： 实践小组给出如下两种优化方案： 方案一：在现有的喷泉内部增加喷水口，建造双喷泉景观，新的喷水口在点右侧地面1米处，并且新的抛物线形状与原抛物线形状相同，在离新喷水口水平距离2米处达到最高，最高点距离地面3米． 方案二：为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图③所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米． 问题解决： (2)试判断方案一是否可行，并说明理由； (3)直接写出方案二中隧道顶端到地面的最大高度． （1）解：如图所示建立平面直角坐标系， 由题意可设二次函数表达式为，把代入解析式得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； (2)方案一不可行． 理由如下： ∵新的抛物线形状与原抛物线形状相同， ∴设新抛物线的表达式为 ， ∵新的喷水口在点右侧地面1米处，离新喷水口水平距离2米处达到最高，最高点距离地面3米，即顶点坐标为, ∴新抛物线的表达式为 ， 令,则，解得：， ∴与新的喷水口在点右侧地面1米处不相符，方案一不可行； （3）解：∵隧道宽为1米，抛物线的对称轴为直线； ∴， 把代入函数解析式得， ∴隧道顶端到地面的最大高度为：（米） 14．（2026·山西运城·二模）综合与实践 问题情境： 当无人机悬停投放物资时，理想状态下物资的运动路径可近似用抛物线来描述．物资的运动可分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的自由落体运动．其中水平方向匀速直线运动的距离x（单位：m）满足：（v为水平初速度，t为时间，，）． 竖直方向物资运动时的竖直高度y（单位：m）满足：（h为无人机悬停投放物资时的高度，t为时间，，）． 联立两式消去时间t，可得物资运动时的竖直高度y（单位：m）与距投放点的水平距离x（单位：m）的函数关系式：． 实践探究： 两架无人机在同一铅垂线上不同高度处悬停，同时投放应急物资．如图，以投放点所在竖直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系． 物资A：由1号无人机投放，水平初速度为．监测发现，当水平距离为时，竖直高度为40m，其运动轨迹记为抛物线． 物资B：由2号无人机投放，投放点位于物资A正下方处，水平初速度为，其运动轨迹记为抛物线． 问题解决： (1)在平面直角坐标系中． ①分别求抛物线和的解析式； ②求与在第一象限内的交点P的坐标． (2)物资A和物资B是否会在点P碰撞？请通过计算说明理由．（提示：比较两物资到达点P所需时间是否相同，） (3)设物资A的落地点为C，物资B的落地点为D，为了避免两种物资落地后堆积难以分发，同时确保均能精准送达目标区域，需控制的距离，若，在不变的情况下，仅调整中的水平初速度v，请直接写出调整后中v的值． （1）解：①在中，将点代入得：， 解得：， 的解析式为，即， 在中，投放点在A正下方处， ， ， 的解析式为，即； ②联立和得：， 整理得：，， 解得， ， ， 将代入得：， 点P的坐标为； (2)不会碰撞， 理由：当时， 物资A的时间：， 物资B的时间：， ， 两物资到达点P的时刻不同， 物资A与物资B不会碰撞； （3）（3）4.5m/s或10.5m/s． 解：在中，当时，， 解得：， 点C的坐标为， 在中，物资B的解析式为， 令得：， 解得：， 点D的坐标为， ， ， 当时，解得：， 当时，解得：， 综上所述，的值为或． 类型三 几何图形类 15．综合与实践 【问题情境】 王老师家有一块长6m、宽4m的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为3：2的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 （1）在第一种方案中，若设菜地的宽为x米，求小路面积S关于x的函数表达式． （2）在第二种方案中，若设道路的宽为x米，求菜地面积y关于x的函数表达式． （3）已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧1.5m内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 解：（1）由题意，∵菜地长宽比为3：2，宽为x米， ∴长为3x米． ∵小路面积＝总面积﹣菜地面积， ∴小路面积S＝24﹣x•x＝24x2． ∵0x＜6且x＜4， ∴0＜x＜4． 综上，S＝24x2（0＜x＜4）； （2）由题意，∵道路的宽为x米， ∴菜地面积：y＝（6﹣2x）（4﹣x）＝2x2﹣14x+24． ∵6﹣2x＞0且4﹣x＞0， ∴0＜x＜3． 综上，y＝2x2﹣14x+24（0＜x＜3）； （3）由题意得，方案二满足劳作需求． ∵王老师只能覆盖道路两侧1.5m内的菜地， ∴纵向道路之间、纵向道路与边界的距离需≤1.5， ∴1.5，则x≥0.75． ∵横向道路上下的距离需≤1.5， ∴1.5，则x≥1． 又∵0＜x＜3， ∴1≤x＜3． 由（2）得，y＝2x2﹣14x+24＝2（x）2， ∴当x＝1时，y取最大值为12． 答：道路宽度为1m时，菜地的面积最大，此时菜地面积为12m2． 16．【问题背景】我国利用“大数据+农业”思维构建标准化、智能化育种体系，将数据采集、智能温控等信息技术引入农业生产，实现标准化管理，提高农业生产的质量和效益． 【素材1】如图﹣1，某种植基地的大棚的横截面是由抛物线AED和矩形ABCD构成，已知矩形长16米，宽1米．抛物线最高点到地面的距离为5米． 【素材2】种植某农作物时，每棵农作物高大约1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵农作物种植点之间间隔1m，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布． 【解决问题】 （1）如图﹣2，O为BC中点，以BC所在直线为x轴，垂直于BC的直线EO为y轴，建立平面直角坐标系xOy，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数表达式（无需写出自变量x的取值范围）； （2）在图﹣2的平面直角坐标系中，在不影响农作物生长的情况下（y＞1.76），确定种植点的横坐标x的取值范围，并求出最前排符合所有种植条件的农作物最大数量； （3）为了安全，需安装“支撑架”对大棚进行加固，“支撑架”由三根支架构成，其中PM，GN垂直于地面，PG平行于地面，且点P，G均在抛物线上．经考察，当“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强，此时为最安全的状态．请通过计算说明最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是多少米． 解：（1）由题意，E（0，5），A（﹣8，1），D（8，1）， 设y＝ax2+5， 把A（﹣8，1），代入得64a+5＝1， 解得， ∴抛物线的函数表达式； （2）当时， 解得x＝±7.2， ∵y＞1.76， ∴﹣7.2＜x＜7.2； ∵相邻两棵农作物种植点之间间隔1m，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布， ∴在距离y轴0.5m的两侧开始种植，最前排可种植7×2＝14（棵）； （3）∵PG平行于地面，且点P，G均在抛物线上， ∴P，G关于y轴对称， ∵PM，GN垂直于地面， ∴M，N关于y轴对称， ∴OM＝ON， ∵“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强， ∴PM＝PG＝NG＝MN， ∴NG＝2ON， ∴设G（m，2m），则， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴． 故最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是（）米． 17．（2026·山西运城·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，虚线所示的宽为、高为的矩形区域是室内客厅墙面的一块空白装饰区，设计师计划在矩形区域上方用装饰线条围出抛物线造型，点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，两点到矩形上侧的边的距离均为，抛物线的顶点恰好落在矩形上侧的边的中点处．以矩形下侧的边所在直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 【问题解决】 (1)请在图1中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式． (2)在（1）的条件下，设计师对抛物线下方的墙面区域，设计了以下两种装修方案：方案一：如图2，在矩形下方区域围出两条完全相同的新抛物线造型装饰线条，它们的开口方向与（1）中的抛物线相反，但开口大小（二次项系数的绝对值）相同，这两条抛物线的顶点都在矩形下侧的边上．点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，且在同一条水平线上．方案二：如图3，利用与矩形下侧的边垂直的两条等长装饰线条和，将抛物线下方区域分割为三个装饰区块，其中点均在矩形下侧的边上，且整个装饰图形关于轴对称． ①方案一中，设计师助理认为图2中点到矩形下侧的边的距离与点到矩形上侧的边的距离的比值为，请通过计算验证该说法是否正确． ②方案二中，若到矩形右侧边的水平距离等于点在竖直方向到抛物线的距离的5倍，当两条装饰线条的总长度（）最大时，请直接写出的长度． （1）解：由题意得，，抛物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； (2)①解：设计师助理的说法不正确，理由如下： 由题意得，过点的抛物线和过点的抛物线的二次项系数都为， ∵过点的抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴过点的抛物线的函数表达式为 当时，， ∵点到矩形上侧的边的距离为，， ∴设计师助理的说法不正确； ②设， 则到矩形右侧边的水平距离为， 点在竖直方向到抛物线的距离为， ∴， 整理得， ∴当时，的长度最大， 根据对称性可得，，即当时，的长度最大， ∴． 类型四 销售最值类 18.（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． （1）解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数； 设一次函数关系式为． 将，代入，得 可得 解得 所以，与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即． 关于的二次函数开口向下，对称轴为． 所以，当时，可以取得最大值，最大值为． 所以，日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒． （3）解：由题意得， 整理得 解得， ∴此时销售单价为45元/盒时更惠民． 19．（2026·山西忻州·二模）综合与实践 【问题情境】“刻花瓷，黑白花，一刀一剔见风华．”平定刻花瓷是山西国家级非物质文化遗产，始于唐、兴于宋，以黑白对比的刻花技艺闻名，被誉为“中国古代陶瓷艺术的活化石”．某文创企业以平定刻花瓷为特色，开发了系列文创产品．某校综合实践小组的同学想要了解该企业某款刻花瓷的销售情况，他们对这款刻花瓷的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析． 【信息收集】 信息①：该款刻花瓷的成本为50元/件． 信息②：该款刻花瓷的售价（元）不低于80元． 信息③：该款刻花瓷的月销量（件）与售价（元）关系如下表所示． 售价x（元） 90 95 100 105 110 月销量y（件） 108 104 100 96 92 信息④：制作该款刻花瓷每月固定成本（设备折旧、场地租金等）为1000元，且每月最大制作数量为150件． 【问题解决】 (1)任务一：根据收集的信息可知，该款刻花瓷的月销量y（件）与售价（元）之间是_____关系（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），月销量（件）与售价（元）之间的函数关系式为__________． (2)任务二：在销售规律不变的情况下，销售单价为多少时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是多少元？ (3)任务三：该文创企业计划使这款刻花瓷的月利润不低于5000元，请解答下列问题： ①请结合售价与销量的实际关系，确定销售单价（元）的取值范围； ②为进一步扩大市场占有率，企业希望在满足利润条件的前提下尽可能提高销量，试求此时的销售单价及对应的月销量． （1）解：由表格数据观察，售价每增加5元，销量减少4件，变化量均匀， 因此月销量y（件）与售价（元）之间是一次函数关系， 可设 ， 将代入可得， ，解得， 因此； （2）解：设月利润为元，由题意可得， ， 当时，不低于元，符合题意， 此时最大，为5125元． 答：当销售单价为137.5元时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是5125元． （3）解：①令，得 ． 解得 ． 由（2）知 ， 抛物线开口向下． 当时， ． ②尽可能提高销量， 单价应最小，即元． 此时销量 （件）． 20．（2026·山西阳泉·模拟预测）综合与实践 【问题情境】随着家居收纳需求不断增加，某家居生活馆销售一款环保折叠收纳箱，每个进价为25元．市场规定：销售单价不低于进价，且单个利润不超过进价的．一段时间后，该商家发现这款环保折叠收纳箱的每周销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元/个）之间的关系满足一次函数，其对应关系如下表：    销售单价x/（元／个） 30 32 34 36 38 销售量y/个 200 180 160 140 120 【问题解决】 (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)设每周销售这款环保折叠收纳箱获得的利润为w（单位：元）． ①求w与x的函数关系式． ②若该家居生活馆希望每周销售这款环保折叠收纳箱的利润达到1500元，求这款环保折叠收纳箱的销售单价． (3)当销售单价定为多少元时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大？最大利润是多少元？ （1）解：根据题意，设y与x的函数关系式为, 将，分别代入中， 得解得 ∴y与x的函数关系式为． ∵，且，∴； （2）解：①根据题意，得； ②当时， ， 解得，， ∵， ∴， 答：这款环保折叠收纳箱的销售单价为35元/个； （3）解：， ∵， ∴抛物线开口向下． ∵对称轴为直线 ， ∴当时，w随x的增大而增大． ∴当时，w有最大值，最大值为1560． 答：当销售单价为37元/个时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大，最大利润是1560元． 21．（2026·山西太原·二模）综合与实践 问题情境：随着旅游热度上涨，来山西的游客日益增多，且客房入住数量也随之增加．某古镇特色酒店有客房120间，酒店经理计划调整房价，以获取最大利润．经过前期调研获得如下信息： 某月连续五天每日房价与客房入住数报表 日期 房价（元/间） 客房入住数（间） 第一天 160 120 第二天 200 96 第三天 190 102 第四天 170 114 第五天 180 108 建立模型：酒店经理发现入住房间数、营收金额都随每日房价的变化而变化．设每日房价为（元/间），客房入住数为（间），日营收金额为（元），其中，，均为正整数，且．根据报表所提供的信息，解决下列问题． 注：日营收金额房价客房入住数． 解决问题： (1)客房入住数（间）是房价（元/间）的________函数（填“一次”、“反比例”或“二次”），与之间的函数关系式为________； (2)当该酒店客房日营收金额（元）最大时，求这一天客房的房价； (3)为吸引顾客，酒店决定为入住房客赠送当地特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品成本为元（）．已知每间入住客房的固定成本（含保洁、水电等）为30元．若酒店希望在房价不超过200元时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大，直接写出礼品成本的取值范围． 注：日毛利润日营收金额固定总成本礼品总成本． （1）解：观察表格可知，客房入住数（间）是房价（元/间）的一次函数， 设，将，代入，得 ，解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：依题意得，， ， ∴当时，该酒店客房日营收金额（元）最大． （3）解：设该酒店日毛利润为元， 依题意得，， ， 对称轴为：直线， ∵，，均为正整数，，， ∴可取的值为，此函数为点函数， ∴当对称轴位于到200之间时，满足毛利润随着房价的增大而增大， ∴， 解得： 又， ∴． 22.（2026·山西临汾·三模）综合与实践 问题情境：为了解本土优质农产品晋祠大米的产销情况及政府对晋祠大米的相关保护措施，数学小组开展综合与实践活动． 收集信息： 信息①：晋祠大米，产自山西太原市晋祠镇，以晋祠难老泉水灌溉，米质晶莹、颗粒饱满，口感软糯香甜．2025年，晋祠大米成功获批国家地理标志保护产品． 信息②：政府提供财政补贴、税收优惠等政策支持，鼓励种植大户、专业合作社扩大种植面积，推动晋祠大米产业规模化、集约化发展，促进农民增收和乡村振兴． 信息③：某农民专业合作社直销晋祠大米，经市场调查发现，若售价为5元/千克，日销售量为340千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少20千克． 建立模型： (1)设该农民专业合作社直销晋祠大米的售价为x元/千克（且为正整数），每日销售额为y元． ①该合作社每天直销晋祠大米的数量为______千克（用含x的代数式表示）； ②求y关于x的函数表达式； 解决问题： (2)若销售过程中，有关部门规定晋祠大米销售价格不得超过15元/千克．求此时y的最大值和最小值； (3)政府为保护传统作物，销售过程中每日给农民专业合作社补贴a元（a为正整数），要使农民专业合作社日收入（日收入＝日销售额＋政府每日补贴额）不低于2500元，并且最多有5种不同的单价可以达到这个要求，请直接写出a的最小值． （1）解：①售价为元，则售价提高了元， 则销量为（千克）； ②由题意列式：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∵， ∴当时，取得最大值，， ∵， 当时，取得最小值，， ∴y的最大值是2420元，y的最小值是； （3）解：由题意可列式：， ∴ ∵最多有5种不同的单价可以达到这个要求， 由于二次函数的对称轴是， 则的值可以是， 根据二次函数的对称性可知，当价格为这5个价格时， 当时，最小，， ∴，解得， ∴的最小值是160． 23．（2026·山西忻州·一模）项目式学习 项目背景：山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产名录．某校学生前往一家老陈醋销售企业开展研学活动，他们针对一款老陈醋的销售情况进行了研究． 数据收集：该款老陈醋每瓶的进价为10元，规定每瓶的售价不低于15元，且不高于40元，其每日销量（单位：瓶）与售价（单位：元/瓶）之间的变化规律如图所示． (1)建立模型：根据上述信息可知，每日销量是售价的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数，关于的函数表达式为 ． (2)问题解决：当售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？ (3)由于某种原因，该款老陈醋每瓶的进价上涨了元，该销售企业在今后的销售中，每日销量与售价仍满足（1）中的函数关系．若日利润最大为3610元，请直接写出的值． （1）解：一次；． 提示：观察图象可知，售价每增加5元，销量就减少50瓶，所以每日销量是售价的一次函数． 设一次函数为，将，代入得 解得 所以关于的函数表达式为； （2）解：设日利润为w元，根据题意得 ． 因为，抛物线开口向下；对称轴为，且， 所以当时，取得最大值，最大值为4000元，即售价定为30元时，日利润最大，最大日利润是4000元； （3）解：． 进价上涨元后，每瓶利润为元，则日利润为． 整理，得． 因为对称轴，， 所以对称轴仍满足在范围内， 所以当时，取得最大值． 把代入原式得， 解得，（不合题意，舍去）． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用．准确理解函数关系式中变量的实际意义、熟练运用二次函数的性质、选择恰当的计算策略是解题的关键． 类型五 拱桥隧道类 24（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：数学之美，蕴藏于方寸之间，亦流淌于生活各处．在学校开展的“数学之美——创意明信片设计”活动中，同学们匠心独运，创作出了诸多融入数学知识的优秀作品．如图1所示，房屋轮廓可近似看作由一段抛物线与线段围成的封闭图形，搭配别具巧思的“弦图”窗框，尽显数学与美学交融的独特韵味．为进一步优化整体结构，让造型更和谐雅致，同学们也提出了不少新颖的设计思路． 方案设计： 第一步：（设计抛物线轮廓）如图2，线段和线段互相垂直平分，且，抛物线经过A，B，C三点，以点D为原点，过点D且与平行的直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F左侧）； 第二步：（设计房屋装饰分区）如图3，隐去线段，作线段轴与抛物线交于G，H两点，线段将房屋分为上下两部分，且下半部分的高度是上半部分高度的2倍，上半部分用简单几何图形装饰，下半部分设计门窗； 第三步：（设计门窗）如图4，正方形窗框的边长，轴，轴，延长与抛物线交于点S，延长与抛物线交于点T，． 解决问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)在图3中，求线段和的长度； (3)在图4中，若点M的坐标为． ①请直接写出n与m之间的关系式； ②当时，正方形窗框如图1中所示，且被分成的五部分面积相等，请直接写出窗框的总长度（包括正方形外框和内框）． （1）解：∵线段和线段互相垂直平分，且， ∴， 设抛物线的解析式为， 则，解得：． （2）解：当时，，解得：， ∴， ∴； ∵线段将房屋分为上下两部分，且下半部分的高度是上半部分高度的2倍， ∴点H、G的纵坐标为， 当时，，解得：， ∴， ∴． （3）解：①轴，延长与抛物线交于点S，， ∴，即， ∴， ∵正方形窗框的边长， ∴，轴 ∵延长与抛物线交于点T， ∴， ∴， ∵， ∴，化简得：； ②当时，， ∴，， ∵正方形的边长为1 ∴正方形外框的周长为4，正方形的面积为1 设组成正方形的四个直角三角形的长边为c，短边为d，且则， ∵正方形被分成的五部分面积相等， ∴每个直角三角形是正方形面积的，即， 联立，解得：（已舍去不合题意的解）， 由图可知：正方形的内框边长为， ∴窗框的总长度． 25.（2026·山西阳泉·三模）综合与实践 问题情境： 数学小组的同学在透明的玻璃容器中装入水，当容器水平放置时，从外面用视图的方法得到如图1所示的图形（阴影部分为玻璃壁）． 观察测量： 同学们经测量发现该容器口是一个以点为圆心，直径为的圆，容器最大深度，且通过观察可将该容器内壁曲线近似看作抛物线的一部分，是该抛物线的顶点且在线段上． 数学建模： (1)在图1中以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． ①在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的表达式； ②当液面离杯口的距离为时，求的长度． (2)将玻璃容器缓缓倾斜倒出部分水，从外面用视图的方法得到如图2所示的图形．当所在的直线与水平桌面之间的夹角为时停止，此时将筷子从点处垂直于容器口浸入水中，求筷子被浸湿的长度．（提示：以所在的直线为轴，过点垂直于所在的直线为轴建立平面直角坐标系） （1）解：①建立的平面直角坐标系如图所示： 根据题意，得，垂直平分，， ， ， 抛物线的顶点， 设抛物线的表达式为． 把代入，得．解得， 抛物线的表达式为． ②，液面离杯口的距离为， 点，的纵坐标为， 把代入，得．解得，， ，， ． （2）如图，以所在的直线为轴，过点垂直于所在的直线为轴建立平面直角坐标系，记坐标原点为，与交于点，延长交轴于点，则四边形是矩形，筷子被浸湿的长度为． ，，，， ，， ， 在中，， ， 答：浸湿筷子的长度为． 26．（2026·山西晋中·二模）综合与实践 【问题情境】 小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师．他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼（图1）．请你帮他一起设计，解决相关问题． 【建立模型】 整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型，其最高点到水平地面的距离为，左右两端，两点到水平地面的距离均为，且两点相距． 如图2，以水平地面所在直线为轴，垂直于水平地面且经过左端点的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求建筑上部抛物线造型对应的函数表达式； 【问题解决】 (2)将建筑上部的抛物线造型沿直线折叠得到一条新的抛物线，其与水平地面交于，两点（点在点的左侧）．抛物线在水平地面之上的部分与线段共同组成了建筑的下部． ①求线段的长； ②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆，（在的左侧），其中点，在建筑的上部，点，在建筑的下部．小明只记得两根装饰杆的高度均为，却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点，的坐标． （1）解：根据题意得：，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为： ； （2）解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为：， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， ∴抛物线的解析式为： ， 把代入得：， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴，， ∴； ②把代入得：， ∵， ∴圆柱形装饰杆应该安装在点D的左边，点E的右侧， ∴， 解得：，， 把代入得：， 把代入得：， ∴，． 27.（2026·山西忻州·二模）综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． （1）解：由题意，得抛物线的对称轴为直线，拱顶最高点距离地面的高度为， ∴抛物线的顶点坐标为； 设抛物线的函数表达式为， 由题意得，点A的坐标为，且点A在抛物线上， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为， 由对称得抛物线的函数表达式为； （2）解：设y轴右侧可以摆放m列储物箱，由题意,得， 解得， ∵m为正整数，且取最大值， ∴， 此时点M的横坐标为， 将代入， 得， ∴点M与抛物线在竖直方向上的距离为； （3）解：由（2）知，右边仓库可放4列储物箱， 由题意得，第一列储物箱离的距离为， 当时，， （个）余1.08米， 同理可求第二列4个， 根据对称性，第三列4，第四列3个， 所以，这个仓库可摆放（个）， 同样左边的仓库也可摆放14个储物箱， 共计可摆放（个）储物箱． 28．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度的城市景观，兼具工程美学与力学价值． 数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的示意图，以桥面所在直线为轴，桥墩立柱所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知桥拱的跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为9米． 问题解决： (1)①求该桥拱抛物线的函数表达式； ②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台（点均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台的长度． (2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌，其中点在抛物线上，点在桥面上，边靠近桥墩且到桥墩的距离不小于11米，为更好地筹备所需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可． （1）解：①由题意得抛物线的顶点为桥拱最高点，横坐标为，纵坐标为9，即顶点坐标为． 设函数表达式为， 将原点代入上式，得， 解得， ∴该桥拱抛物线的函数表达式为； ②平台距离桥面的垂直距离为5米，即点的纵坐标， 将其代入抛物线解析式， 得， 解得， ∴（米）． 答：该水平作业平台的长度为44米； （2）解：设点的横坐标为， 由抛物线的对称性可知，点的横坐标为， ∴， 矩形的高即为点的纵坐标，． 设矩形的周长为， ∴ ， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数随的增大而减小， 根据题意，边到桥墩距离不小于11米，即． ∴当取最小值11时，周长取得最大值． 当时，（米）． 答：单块宣传牌的周长最大值为98米． 29．（2026·山西运城·三模）综合与实践 问题情境： 春风和煦，风景怡人．某公园景区准备对入口景观进行绿化升级，计划对一处抛物线型铁艺拱门进行美化改造，包括花艺布置、宣传横幅安装、钢架结构加固等工程．请你与他们共同设计方案． 实验数据： 经实地测量，该拱门左右两端均落在地面水平线上，拱门的地面总跨度为12米（如图1），拱门最高点距离地面高度为8米（拱门的厚度忽略不计）． 数学建模： (1)将该拱门的形状抽象为抛物线，其顶点为，以拱门左侧端点为坐标原点，地面水平线所在直线为轴，过点作地面水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．请直接写出抛物线顶点的坐标，并求该抛物线对应的函数解析式． 问题解决： (2)横幅设计规划：景区准备在拱门内侧水平悬挂一条长的矩形宣传横幅（如图矩形，其中点在抛物线上）．为保障游客和车辆通行安全，横幅下沿离地高度不得少于4.5米．请你帮忙计算：该宣传横幅的最大宽度可设计为多少米？ (3)钢架加固设计：如图2，为增强拱门的抗风稳定性，景区规划在拱门两侧加装倾斜角为的枝撑杆，底端固定在地面上，要求支撑杆与抛物线型拱门恰好贴合（每根支撑杆与拱门有且仅有一个交点）．请你直接写出两根支撑杆底端之间的水平距离． （1）解：∵拱门的地面总跨度为12米，以拱门左侧端点为坐标原点， ∴顶点横坐标为6米，， ∵拱门最高点距离地面高度为8米， ∴顶点纵坐标为8米， ∴顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式得：， ∴， ∴该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：由，顶点的坐标为，可设， 将代入解析式得：， ∵为保障游客和车辆通行安全，横幅下沿离地高度不得少于4.5米， ∴该宣传横幅的最大宽度可设计为米； （3）解：如图所示，建立平面直角坐标系，其中O点为坐标原点，所在直线为x轴， ∵景区规划在拱门两侧加装倾斜角为的枝撑杆，底端固定在地面上，支撑杆与抛物线型拱门恰好贴合（每根支撑杆与拱门有且仅有一个交点）， ∴， 过点G作轴于H，则其必过A点， ∴， ∴， ∴， 同理，， 设， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立和，得， 整理得， ∵支撑杆与拱门有且仅有一个交点， ∴根的判别式， 解得：， ∵， ∴， 答：两根支撑杆底端之间的水平距离为米． 30．（2026·山西长治·二模）综合与实践 【问题情境】长治市某区在某智慧农业基地建设中，技术人员为了优化温室大棚的采光与结构，选取了一座典型的抛物线形智能温室棚顶进行测量建模．为了方便建模，他们将温室棚顶的纵向轮廓线近似看作一条抛物线． 【建立模型】技术人员以温室棚顶的最低点（同时也是棚顶与地面的交界点）为原点，以水平地面为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知该温室棚顶轮廓线的最高点距离地面5米，棚顶在地面上的跨度（即底端点和点之间的距离）为30米． 【问题解决】 (1)请求出描述该温室棚顶轮廓线的抛物线的函数表达式． (2)为了提升棚内通风效率，施工人员计划在棚顶上部（最高点下方）铺设一条水平的通风管． ①若要求通风管距离地面的高度为3米，请计算这条通风管的长度（结果精确到1米，参考数据：）． ②为稳固棚顶结构，需在棚顶轮廓线上对称安装两根立柱，立柱垂直于水平地面（即轴），底端固定在地面上，顶端贴合棚顶轮廓线．若施工要求左侧立柱顶端的高度是其到原点（棚顶左侧最低点）水平距离的，请计算这两根立柱之间的水平距离． （1）解：由温室棚顶轮廓线的最高点距离地面5米，，可知抛物线的顶点坐标为， 设与的函数关系式为， ∵当时，， ， 解得：， ； （2）解：①根据题意得：通风管距离地面的高度为3米， ∴把代入得：， 解得：，， （米）， ②设左侧立柱的横坐标为，那么纵坐标为， 将代入得： ， 化简得： （舍去），， ∴两根立柱之间的水平距离为（米）． 类型六 其他考法 31．（2026·山西大同·二模）综合与实践 【问题情境】春日伊始，一批粉色共享单车陆续投放至某市核心商圈及地铁站出口，其凭借出众的颜值与贴心设计，迅速俘获市民青睐，成为街头一道流动的“风景线”．下面是该单车品牌商家在两个试运营点进行运营测试（点位于地铁站出口，点位于商圈核心广场），针对早高峰（）的运营收益进行了连续天的统计分析（本次统计仅针对分钟内的短途骑行订单），相关数据如下． 【数学建模】 运营点 第天（为正整数）的分钟内骑行单价、骑行次数与的关系如下表： 分钟内骑行单价（元/次） 骑行次数/次 第天 第天 第天 第天 … … … 第天 … 第天的分钟内骑行单价与近似的满足我们学过的某种函数关系，已知该运营点每天固定运营成本为元． 运营点 第天的利润（单位：元）与的关系可以近似的用二次函数模型刻画，其图象如下图所示： 【问题解决】 (1)运营点第天的分钟内骑行单价是________元/次（用含的代数式表示）． (2)求运营点第天的利润（单位：元）与的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围；利润骑行单价骑行次数固定运营成本） (3)①求与的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． ②当的值为多少时，运营点，的利润之和（即）最大，最大是多少元？ （1）解：∵第天的分钟内骑行单价与近似的满足我们学过的某种函数关系， 根据表格内数据可知，每增加一天，每天分钟内骑行单价就下降元/次， ∴第天的分钟内骑行单价与的函数关系为一次函数， 设第天的分钟内骑行单价为元/次，关于的一次函数的表达式为， ∵当时，，当时，，代入一次函数表达式得： ，解得：， ∴一次函数表达式为， ∴A运营点第天分钟内骑行单价为：； （2）解：根据题意可得，， 运营点第天的利润与的函数关系式； （3）解：①由图象可知，二次函数的图象经过点，，将其分别代入中， 得，解得， ； ②运营点，的利润之和为：， 对称轴为直线， ，取正整数， 或， 当时，， 当时，， ， 当时，运营点的利润之和最大，为元． 32．（2026·山西大同·三模）综合与实践 某公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． 任务一：建立模型 (1)如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在A，B处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点C到地面的距离为米．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 任务二：游客通道设计 (2)如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制7条平行的地面标志线（宽度忽略不计），每两条标志线之间间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的垂直高度为米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； 任务三：灯光设计 (3)设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意．首先将两个喷水装置同时向外侧移动m米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，如图3，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为n米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小距离为米，求m，n的值． （1）解：由题意得，抛物线顶点为， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：由题意，挡雨伞顶端离地面3米，最外侧挡雨伞顶端与水柱的垂直高度为米， 水柱在该位置的纵坐标为， 将代入抛物线解析式得： 解得， 最外侧挡雨伞的水平位置为米， ∵7条标志线将到的距离平均分为6段， ∴每段间距为（米）， ∴每相邻两条标志线的间距为米； （3）解：过点作于点，如图， 由题意，左侧新抛物线顶点E为，形状不变， ∴设解析式为， 当时，， 交点向下移动1米， 解得（舍去负值）， 此时，左侧抛物线解析式为， ∴点A为， ∴点C为， ∵光线与地面夹角为， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴点D为， 设的解析式为， 将点C、D代入得，， 解得， ∴的解析式为， 在左侧抛物线上任取一点，则， 在直线上取点正上方的点， ∴，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴随的增大而增大， ， ∵， ∴开口向上， 当时，纵坐标之差最小，为， 解得． 综上所述，，． 33．（2026·山西运城·二模）2026年山西省人民政府办公厅印发的《山西省加快能源绿色低碳转型发展实施方案》，文件明确提出：“立足就近接人、就近消纳，推动新能源与煤炭、交通、建筑、农业等多领域融合发展．有序推动风电、光伏发电项目改造升级，提升风光资源和土地利用效率．” 【数据收集】高平某农业园区积极响应政策，建成农光互补示范基地．以下是有关光伏板设置参数分析． 信息1：经实测，该地区大棚的每150平方米光伏板，在春秋两季，光伏板倾斜角x（单位：度）与日发电量y（单位：千瓦时）可近似满足下列函数关系： x/度 18 22 24 28 30 32 36 42 y/千瓦时 70 80 83.5 87.5 88 87.5 83.5 70 信息2：受季节变化影响，在春秋两季日发电量y的基础上： ①夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度； ②冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度． 【模型建立】 (1)求春秋两季时，日发电量y关于光伏板倾斜角x的函数解析式，分析题意，直接写出该园区光伏板夏季发电量最大时光伏板的倾斜角． (2)若园区预计升级新一代高效光伏组件，升级后的光伏板每150平方米的日发电量增加36千瓦时，直接写出该园区冬季升级后的光伏板日发电量与光伏板倾斜角x之间的函数解析式． 【问题解决】 (3)园区升级光伏板后，记夏季与冬季发电量差值为k，为保证全年发电量均衡，避免季节性发电波动明显． ①当发电量差值为0时，光伏板倾斜角x的度数为______； ②若要求每150平方米光伏板日发电量差值不超过5千瓦时，求光伏板倾斜角x的取值范围． （1）解：观察表格数据可知，y是关于x的二次函数，且顶点坐标为， 设函数解析式为 ， 代入点得 解得 ∴春秋两季函数解析式为， 夏季函数图象向左平移2个单位，顶点横坐标变为， 因此夏季发电量最大时倾斜角为； （2）解：冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度，再整体增加发电量36千瓦时（向上平移36个单位）， ∴； （3）解：同理（2）得升级后夏季函数解析式为， ①当差值，即时，则， 化简得， 解得， 则光伏板倾斜角x的度数为； ②由题意得，则， 即， 解得， 即光伏板倾斜角的取值范围为． 34．（2026·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境： 某游乐园上午点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队．经研究发现，现场总人数（人）与过山车项目运行时间（分）之间满足关系式：．观众进场立即排队，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数．过山车每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人． 建立模型： (1)过山车项目的排队人数（单位：人）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； 问题解决： (2)在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以米/分的速度沿队伍向末端匀速行走．门口位于第一名游客前方米处，假设排队游客每人间距为米，定义队伍长度（单位：米）为从门口到队伍末端（最后一名游客所在位置）的距离，则与排队人数的关系为． ①工作人员与门口的距离（单位：米）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求的值； (3)过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计）．海盗船在分钟时开始运行，其现场总人数（单位：人）与运行时间（从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟）满足关系式．已知海盗船每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人．当两个项目同时存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更早入场． （1）根据题意：排队人数现场总人数已入场人数， 已知总人数， 且每分钟服务人，分钟已入场人数为， ． （2）①工作人员从门口出发，速度为米/分，匀速行走分钟， 根据路程速度时间， ∴； ②工作人员走到队伍末端时，， ∵，且， ∴， 令，， 即： ， 整理得， 解得，（舍去）， 因此． （3）海盗船分钟开始运行， 因此（）， ∴海盗船的排队人数为：总人数已服务人数 令两个项目排队人数相等，即， 代入得： ， 整理得， 解得，， 当时，过山车排队人数， 不符合“两个项目同时存在排队”，故舍去， ∴， 此时两个项目排队人数均为， 过山车每分钟服务人，需要等待分钟， 海盗船每分钟服务20人，需要等待分钟， 因此选择海盗船能更早入场． 35．（2026·山西阳泉·二模）综合与实践 问题情境： 北京时间2026年2月18日，米兰冬奥会单板滑雪男子坡面障碍技巧比赛落下帷幕，中国选手苏翊鸣夺得冠军，收获了中国体育代表团在本届冬奥会上的首枚金牌．某综合实践活动小组以单板滑雪运动中运动员起跳后的飞行路线为主题进行研究． 方案设计： 第一步：选定合适位置建立如图所示的平面直角坐标系； 第二步：利用高清设备在运动员起跳后的路线上选定几个特殊位置作为测量点，并借助相关仪器测出每个点的水平距离与相应的竖直高度； 第三步：数据分析，形成结论． 方案实施： 从运动员起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）的几组对应数据如下表： 0 2 4 6 8 11 14 20.00 21.40 22.40 23.00 23.20 22.75 21.40 请根据以上数据，解决下列问题： (1)根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度是水平距离的_____函数（填“一次”“二次”或“反比例”），并求出与之间的函数关系式； (2)通过分析数据，该运动员在本次起跳中竖直高度的最大值为_____； (3)若运动员某一时刻与起跳点的水平距离为，求该运动员该时刻的竖直高度． （1）解：根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的二次函数； 设抛物线为：， ∴， 解得：， ∴． （2）解：∵与时，函数值， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，最大高度为． （3）解：把代入可得： ， ∴运动员最后着陆点的竖直高度为． 36．（2026·山西大同·模拟预测）综合与实践 问题情境： 某医院新院区主出入口的正面设计图（图1）由院门造型、两侧的安保监控值班室和便民服务咨询室（以下分别简称值班室与咨询室）构成、院门造型设计为抛物线形、值班室和咨询室的正面均为形状大小完全相同的矩形、工程队在此基础上要进行相关构件的安装，请你与他们共同解决问题． 设计数据： 在图1中．院门造型的跨度为18 m，院门造型的最高点C与水平地面的距离为6 m，院门造型与表示值班室、咨询室的矩形的顶点分别交于点A，B，与表示值班室、咨询室的矩形的边分别交于点D、E，值班室与咨询室的高为3 m，长为4 m． 建立模型： 以所在直线为x轴，以过点C垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求院门造型所在的抛物线的表达式． 解决问题： (2)如图2，现工程队预计在院门造型的正中间放置一个宽为3 m的院名石，并计划在院名石与咨询室之间摆放一个显示屏（可移动），用以播放流程指引信息，要求显示屏在移动过程中，其高度不得超过院门造型．若显示屏的宽为1 m，高为4 m，请你通过计算说明该显示屏是否符合要求． (3)院领导按照该设计图准备提前预订新院区启用仪式所需要的横幅，以点D，E为横幅的悬挂点．请直接写出所预订的横幅的最小长度． （1）解：根据题意，得点B的坐标为，点C的坐标为， 设院门造型所在的抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， 院门造型所在的抛物线的表达式为； (2)解：该显示屏符合要求，计算说明如下： 根据题意得，院名石与咨询室之间的水平距离为， 显示屏的宽为1 m，， 该显示屏的宽符合要求， 时，， ， ， 该显示屏的符合要求．   （3）解：当时，， 解得，， ， 根据题意，得横幅长度若小于的长，则横幅无法悬挂到点D，E处． 横幅的最小长度为． 37．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 如图1，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度，最大宽度，桌面竖直轮廓如图所示，上方抛物线顶点到的距离为，下方抛物线顶点到的距离为，直线为竖直轮廓的对称轴，且．以所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)请你直接写出点的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． (2)如图3，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于上的点，点． ①求的长； ②直接写出下方抛物线向上平移的距离． (3)如图4，若想在桌面上装一块矩形钢化玻璃，使得顶点，，，落在新轮廓上，若，直接写出的长． （1）解：顶点的坐标为． 设上方抛物线的函数表达式为． 由题意可知抛物线经过点， ， 解得， 上方抛物线的函数表达式为． （2）解：①将上方抛物线向下平移后， 所得抛物线的函数表达式为， 当时，即， 解得，，   ，， ． ②下方抛物线的函数表达式为． 设下方抛物线向上平移后新抛物线的函数表达式为． 将点的坐标代入，得，解得， 新抛物线的函数表达式为， 下方抛物线向上平移的距离为． （3）解：由（2）知上方新抛物线的函数表达式为， 下方新抛物线的函数表达式为， ， 解得，， ． 38．（2026·山西太原·二模）综合与实践 问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度（单位：），滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间具有一定关系．实践小组记录某运动员训练数据，整理如下： 信息整理：①在山坡的滑行速度与滑行时间的部分数据如下表． 滑行时间（单位：） … 滑行速度（单位：） … ②在山坡的滑行距离与滑行时间之间的关系用图所示坐标系中的图象刻画． 解决问题： (1)根据表中数据可知，在山坡的滑行速度是滑行时间的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为 ． (2)观察图可知，在山坡的滑行距离与滑行时间满足二次函数关系（图象经过原点），当该运动员在山坡的滑行时间为 时，求出他的滑行距离． (3)如图，在此次训练中，该运动员从山坡的点处滑下，滑行到坡脚点处时沿跳台做身体姿势调整，并在点处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示．根据要求，若要顺利完成此次技巧展示，运动员距离地面的最大高度不得低于米（不考虑其他因素）．已知，运动员从到的过程中速度保持不变，从点起跳后距离地面的垂直高度（）与在空中的飞行时间（）之间的函数关系表达式是（其中为运动员在点时的速度）．请你判断该运动员能否顺利完成此次技巧展示？并说明理由． （1）解：由表格数据可知，滑行时间增加，速度增加， ∴在山坡的滑行速度是滑行时间的一次函数， 设与函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴函数表达式为， 故答案为：一次，； （2）解：根据图可设， 把和代入，得， 解得， ∴， 当时， （）， 答：滑行时间为时，滑行距离为； (3)解：该运动员能顺利完成，理由如下： 根据题意知， 令，代入得， 解得或（舍去）， 将代入得，点速度， 将代入，得， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点的纵坐标为运动员距离地面的最大高度， ∵， 又∵， ∴该运动员能顺利完成此次技巧展示． 39．（2026·山西运城·一模）综合与实践 立定跳远中的函数应用 问题情境：立定跳远练习中，运动员身体重心的运动轨迹可近似看作抛物线．为提升训练的安全性、降低受伤风险，并帮助校训队的运动员提高成绩，某学校成立了立定跳远运动规律探究小组． 实验数据：该探究小组测得某运动员在一次试跳中，身体重心距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的几组数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 0 0.45 0.6 0.45 0 数学建模：如图1，将运动员身体重心的运动轨迹抽象为抛物线．其顶点为，运动员的起跳点为，落地点为点．以为原点，所在的直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)请根据表格中的测量数据直接写出抛物线的顶点坐标，并求出该抛物线的函数关系式； 问题解决： 已知运动员身体重心在任意位置到地面的高度不低于时可避免练习时受伤．我们将直线与抛物线的两个交点分别记作、，称、两点之间的距离为该运动员此次立定跳远的有效水平距离． (2)求的长（结果保留根号）； (3)实验表明：调整起跳角度后，该运动员的重心运动轨迹近似满足关系式：．为促进运动员科学训练，学校设定了立定跳远的等级标准线：满分线为，良好线为．现要求该运动员的落地点（即时的值）在良好线到满分线之间（含两端点），请直接写出的最大值与最小值． （1）解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的函数关系式为， ∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的函数关系式为， 展开得； （2）解：当时，， 解得，， ∴； （3）解：令， ， ， ， 由题意，， ， ∴的最大值为，最小值为． 40．（2026·山西忻州·一模）在春日的暖风中，春季运动会在如火如荼地筹备着．某机器人小组设计了多台“摇大绳”机器人作为春季运动会团体项目． 赛场设置： ①如图是摇绳机器人在8米场和10米场摇绳时的示意图，，，分别是高度为的摇绳机器人，绳子摇到最高处时，绳子与摇绳机器人在同一竖直平面，绳子的形状可近似地看作抛物线的一部分，其中，8米场中绳子摇到最高点时，最高点P到地面的距离为．摇绳机器人在8米场和10米场将绳子摇到最高点时，绳子的形状相同． ②为了安全，跳绳时学生正上方的绳子距离头顶至少，学生跳绳时比实际身高高． ③要求8米场参赛小组每10人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是． ④如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求8米场中绳子摇到最高点时，绳子所在抛物线对应的函数解析式． (2)①填空：记8米场从左向右数第5位同学所站位置为点M，则点M的坐标为______； ②结合上述信息，求参与8米场比赛的小组成员中，最低身高和最高身高的最大值（结合实际情况分析，结果保留两位小数）． (3)参加10米场比赛的小组，要求每14人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是．小李是10米场小组队员，若小李的身高为，则从左往右数，直接写出他至少可以站在第几位． （1）解：由题可知点，． 由题可知P为抛物线的顶点，故可设该抛物线对应的函数解析式为． 将点代入，得． 解得． ∴该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：①由题意，从左向右数第5位同学所站位置为， ∴点M的坐标为； ②∵， ∴把代入，得， 则． ∵最低身高不高于， ∴8米场参赛选手最低身高的最大值为． 把代入，得， 则． ∵最高身高不高于， ∴8米场参赛选手最高身高的最大值为． （3）解：由题意，设10米场绳子所在抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， ∴10米场绳子所在抛物线解析式为， 由题意，得， ∴绳子高度满足 ， 代入解析式得， 移项整理， 解得， 10米场14人对称站立，中点不站人，站位横坐标依次为： 满足条件且最靠左的位置为第2位． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西九年级培优——综合与实践（二次函数的建模） 考情分析................................................................................................2 真题精讲................................................................................................3 题型集训................................................................................................9 类型一 减速刹车类 类型二 运动轨迹类 类型三 几何图形类 类型四 销售最值类 类型五 拱桥隧道类 类型六 其他考法 考 情 分 析 ◆考情概览 山西中考数学二次函数综合题自2024年起，已摒弃以往与几何图形综合、重点考查几何图形性质及存在性问题的传统考法。因此本文仅聚焦近3年考情进行分析。不当之处，敬请批评指正。 ◆题型分析 题型分类 典型题干特征 考查重点 解题注意事项 减速刹车类 汽车刹车滑行距离和时间/速度的关系、计算刹车安全距离、完全停下需要的时间 结合实际场景的数量关系计算 要符合现实逻辑：车停下后就不会再往前滑了，计算时要注意时间、距离的合理范围，去掉不符合实际的结果 运动轨迹类 投篮、抛球、喷泉、炮弹发射等抛物场景，求最高高度、落地点距离、某一位置的高度 抛物线曲线的数值对应关系 先画坐标系标清楚已知点的位置，根据题目给的条件算出抛物线的表达式，再算需要的数值 拱桥/隧道类 抛物线型拱桥、拱形隧道，问船能否通过、特定高度下能通行的宽度、安全高度 抛物线对称特点的应用 通常以桥的最高点或者隧道底部中点为坐标原点，算通行宽度时，是同一高度对应的左右两个水平距离的和 销售最值类 商品涨价/降价对应销量变化，求定价多少时赚的钱最多，或者想赚目标金额需要定什么价 最大利润的计算方法 记住核心公式：总利润=（单件售价-单件成本）× 总销量，整理出利润和定价的关系后，找最大值对应的定价即可 几何图形类 用固定长度围栏围地、裁剪材料做容器，求最大面积、最少用料、最合适的尺寸 几何场景下的最值计算 注意边长、长度肯定是正数，结合图形的周长、面积公式列出关系，再找最大/最小值对应的尺寸 真 题 精 讲 例1（2026年22题13分）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用如图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28．设中肥力麦田每亩的产量为y1（千克），低肥力麦田每亩的产量为y2（千克）．已知点A（0，160），B（18，646），C（28，496）均在描述y1与x关系的抛物线上，且点B是这条抛物线的顶点． 建立模型：（1）求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x的函数关系式； 应用分析：（2）已知低肥力麦田中小麦每亩的产量y2与x的函数关系式为y2＝﹣x2+26x+140． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同．当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差． ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块，当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n千克．经判断n小于m，请直接写出m与n的差． 解：（1）由题意得，点B（18，646）是描述y1与x关系的抛物线的顶点，设， 因为点C（28，496）在描述y1与x关系的抛物线上，所以，a（28﹣18）2+646＝496， 解得，所以，y1与x的函数关系式为． （2）①已知，将其配方，得，因为a＝﹣1＜0，0≤x≤28， 所以，当x＝13时，y2取得最大值．此时，y2的最大值为309． 已知两种麦田每亩施氮量相同，当x＝13时，，此时，y1﹣y2＝608.5﹣309＝299.5， 答：当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②y1（x﹣18）2+646，， ∵0≤x≤28，∴当x＝18时，y1最大值为646，当x＝13时，y2最大值为309， ∴m最大值＝646+309＝955； 当两块麦田每亩施氮量相同时，n＝y1+y2x2+54x+160﹣x2+26x+140x2+80x+300（x﹣16）2+940， 当x＝16时，n＝940，∴m﹣n＝15． 例2（2025年22题13分）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝80，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为（80，60），设抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣80）2+60， ∵图象过原点，∴a（0﹣80）2+60＝0， 解得，∴； （2）∵抛物线的形状不变，点（0，75）， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当y＝0时，，解得x1＝200，x2＝﹣40（舍去）， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm； （3）设该平台的高度为kcm，由题意，设新的函数解析式为：， ∵AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm，仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点（80+40，48+3），即：（120，51）， ∴把（120，51）代入，得：， 解得k＝6；故设该平台的高度为6cm． 例3（2024年22题12分）综合与实践 问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系， ∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6，∴．∴点B的坐标为（3，0）， ∵OP＝9，∴点P的坐标为（0，9）， ∵点P是抛物线的顶点，∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+9， ∵点B（3，0）在抛物线y＝ax2+9 上，∴9a+9＝0，解得a＝﹣1． ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）； （2）点D，E在抛物线y＝﹣x2+9 上，∴设点E的坐标为（m，﹣m2+9）， ∵DE∥AB，交y轴于点F，∴DF＝EF＝m，OF＝﹣m2+9，∴DE＝2m． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，∴．∴CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6， 根据题息，得DE+CF＝6，∴﹣m2+6+2m＝6， 解得：m1＝2，m＝0（不符合题意，舍去），∴m＝2． ∴DE＝2m＝4，CF＝﹣m2+6＝2答：DE的长为4米，CF的长为2米； （3）如图矩形灯带为GHML， 由点A、B、C的坐标得，直线AC和BC的表达式分别为：y＝x+3，y＝﹣x+3， 设点G（m，﹣m2+9）、H（﹣m，﹣m2+9）、L（m，m+3）、M（﹣m，m+3）， 则矩形周长＝2（GH+GL）＝2（﹣2m﹣m2+9﹣m﹣3）＝﹣2（m+1.5）2， 故矩形周长的最大值为米． 题 型 集 训 类型一 减速刹车类 1．（2026太原九下期末）如图，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面80cm处． 小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得如表． 运动时间t/s 0 1 2 3 4 运动速度v/cm/s 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系． （1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当黑球减速后运动距离为75cm时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由． 2．（2026山西二模）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t 0 1 2 4 刹车后行驶的距离s 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离单位s（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求s关于t的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； （2）当汽车刹车后行驶了63m时，求t的值； （3）当汽车司机发现正前方有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车76m，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 3．（2026山西晋中模拟）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间0.1﹣0.6秒之间，低于人类驾驶员0.8﹣2秒的反应时间． 总停车距离（l）＝反应距离（tv）+制动距离（）；记作为：（l：从感知到车停共经过的距离，单位米；t：感知、计算的反应时间，单位秒；v：刹车前行车速度，单位米/秒；a：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速x（米/秒） 20 30 … 停车距离l（米） 35 71.25 … （1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离l与刹车前行车速度v的函数表达式； （2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以18米/秒正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距s＝27米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算， ①请你判断，智能汽车不改变方向的情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（v≥60千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到5.7°，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？（参考数据：每个车道的宽度为d＝3.75米，sin5.7°＝0.099，cos5.7°＝0.995，tan5.7°＝0.1） 4．综合与实践 【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计 某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆A以初速度v0进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为dm处，目标障碍物车辆B以恒定速度vB（vB＜v0）同向匀速行驶．为确保A车在任何时刻均不与B车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆A在水平直道上运动的数据如表： 时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 速度v/（m/s） 20 16 12 8 4 路程s/m 0 9 16 21 24 【问题探究】 （1）已知速度v是时间t的一次函数，路程s是时间t的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆A从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； （2）测试车辆A驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车B从其正前方dm处开始，以vB＝8m/s的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆A始终不会撞上目标障碍物测试车B，求安全初始距离d的最小值； （3）在（2）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当d＝12m时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因． 类型二 运动轨迹类 5.（2026·山西长治·三模）综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 6.（2026·山西阳泉·三模）综合与实践 任务布置：某班开展课外锻炼，有7名身高分别为，，，，，，的同学组队参加跳长绳运动．为增加甩绳的稳定度，确定两位身高为的同学甩绳，其余同学跳绳．要求所有同学站成一排，跳绳同学按照中间高、两端低的方式排列，且7名同学每2人之间的距离至少为才能保证安全． 研究步骤：（1）如图，两位甩绳同学经过多次试验发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点到地面的距离为时，效果最佳． （2）当绳子甩到最高点时，绳子的形状可以近似的看成一条抛物线，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，解决下列问题： (1)请在图中画出平面直角坐标系，并求出绳子甩到最高点时抛物线的表达式． (2)身高最高的同学站在的中点处，其余跳绳的同学对称安排在其两侧． ①当跳绳同学之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳同学的头顶?并说明理由； ②在保证安全的情况下，请直接写出最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳同学之间距离的取值范围．（结果保留根号；学生只考虑身高，其他忽略不计，绳子甩到最高点时所在位置与跳绳同学所在位置在同一竖直平面内） 7.（2026·山西临汾·三模）综合与探究 问题情景： 如图1，投壶源于古代射礼，作为非物质文化遗产，它承载着中华传统礼仪与娱乐文化．今投壶成为学校、景区和节庆活动中的体验项目，让人们感受古人雅趣，弘扬君子之风，具有教育传承价值． 数据测量： 投壶过程中，箭头的运动轨迹近似地可视为一条抛物线． 如图2，明明在点处投壶时，出手点距离地面，当箭头行进至与出手点水平距离的点时，其离地面的最大高度为． 解决问题： (1)以箭头运动轨迹在地面的投影所在直线为轴，以明明的位置所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出在此平面直角坐标系下该抛物线对应的二次函数解析式． (2)求箭头的落地点与点之间的距离（，精确到）． (3)如图3，在明明正前方（明明距离容器最左端的距离）点处有一高、直径为的圆柱形容器，判断明明此次投壶能否投中容器，并说明理由；若不能，在不改变投掷力度（抛物线的形状不变）的情况下，明明此次投壶能投中容器，出手点的高度应该在什么范围？ 8．（2026·山西朔州·三模）根据以下素材，探索完成任务． 羽毛球发球机的运动路线 素材一 如图1，某羽毛球场地的中线长为，球网设置在中线中点处，球网高度为．羽毛球训练机的出球口在中线端点正上方的点处，以为原点、中线所在直线为轴建立平面直角坐标系． 素材二 假设发出的羽毛球沿中线飞行，其运动高度关于水平距离的函数图象为抛物线，该抛物线在与水平距离为的点处达到最高，此时距地面高度为，羽毛球最终落在地面的点处． 素材三 如图3，若羽毛球落地弹起后，且在与水平距离为的点处达到最高，弹起后最高高度为． 问题解决： (1)任务一：求训练机发球后到落地前，羽毛球运动轨迹的函数表达式（不要求写自变量取值范围） (2)任务二：小明在球网的另一侧接球，若羽毛球在离地面距离不少于时为最佳击球高度，求最佳击球点与训练机的水平距离的取值范围 (3)任务三：当时，运动员在点处沿直线击球，想让球从网下穿过后落到点右侧的点，且球网下端离地面高度不低于，该操作能否实现？请说明理由． 9．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：水火箭是校园科技活动中深受学生喜爱的科普装置，其发射后的运动轨迹可看作抛物线．某校科技社团在一次水火箭发射实验中，将水火箭从地面发射，当水火箭在空中与发射点的水平距离为米时达到最高，高度为米． 数学建模：如图1，将水火箭的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，水火箭在地面的发射点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； 问题解决：已知水火箭发射后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． (2)如图1，为保障观测安全，在发射点正前方，处放置两根高度相等的测量标杆，标杆顶端分别装有摄像头，，两个摄像头距地面的高度均为米，当水火箭飞行至两个摄像头正上方时，水火箭距离摄像头的竖直高度均为米，求两个测量标杆之间的水平距离； (3)在此次实验中，水火箭不能落在着落区域，其中点到发射点的距离为米，点到发射点的距离为米．如图，若在点处放置一个高度为米的发射架，从发射架顶端点发射水火箭时，水火箭正好落在着落区域（包含，两点），请直接写出发射架的高度的取值范围． 10（2026·山西太原模拟）综合与实践 问题情境：某游乐园想设计一款带喷泉的水上滑梯游乐设施，如图所示为设计示意图，为水上滑梯，滑梯顶端点离地面4米（即米），水平长度米，在滑梯上方设计喷泉，喷泉喷出的水柱呈抛物线，为不淋湿游客，保证在滑梯两端，处喷泉离滑梯的距离为米（即米），如图所示建立平面直角坐标系，喷泉最高点离轴米． (1)数学建模：请你结合已知安全间距与顶点位置条件，求出喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式． (2)解决问题：根据施工要求喷泉落地处需要修建防水排水凹槽，防止积水漫延侵蚀滑梯地基．请求出喷泉落地位置到滑梯立柱的水平距离，以此确定排水槽的位置． (3)游乐园采购部门依据水柱与滑梯的最大间距选配喷泉出水压力（间距决定水压上限，间距过小需减小水压防溅水），请写出全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离． 11.（2026·山西朔州·三模）综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． (2)若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． 12．（2026·山西大同·模拟预测）综合与实践 问题情境：某现代科技农业示范园自主设计的“自动升降式喷灌器”如图1所示，其截面示意图如图2所示，为自动升降杆，喷头P喷出的水雾区域边缘为抛物线的一部分，并且左右两侧的抛物线对称．左右两侧的抛物线与水平地面的交点分别为A，B，则的长为该喷灌器的灌溉距离．当喷头P的高度变化时，其喷出的水雾区域边缘的形状不变． 数据收集：当喷头P位于初始位置时，，灌溉距离，右侧水雾区域边缘抛物线上的点C到水平地面的高度为，到喷头P的水平距离为．喷头P最高可升至点处，． 建立模型：以点O为原点，水平地面向右为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)当喷头P位于初始位置时，求右侧抛物线的函数表达式． (2)当喷头P升至最高点时，求该喷灌器的灌溉距离的长． 问题解决： (3)该农业示范园在一块示范田中按正方形网格铺设了一批该“自动升降式喷灌器”，相邻两个喷灌器之间的距离为．为保证地面全部在其灌溉范围内，每个喷灌器的灌溉距离需不低于相邻两个喷灌器之间的距离的倍．直接写出喷头P的高度的取值范围． 13．（2026·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境：儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图①）．公园为了增强其观赏性，计划将该喷泉进行改造升级．为了有更多的改造方案，该公园广泛征集大家的改造想法．某校的综合实践小组给出了以下的优化设计方案． 收集数据： 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：已知喷水口为点，抛物线的最高点距离地面4米，且距离喷水口的水平距离为3米，水流落地点为． 建立模型： 以出水点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)根据上述分析，在图②中建立平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； 优化设计： 实践小组给出如下两种优化方案： 方案一：在现有的喷泉内部增加喷水口，建造双喷泉景观，新的喷水口在点右侧地面1米处，并且新的抛物线形状与原抛物线形状相同，在离新喷水口水平距离2米处达到最高，最高点距离地面3米． 方案二：为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图③所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米． 问题解决： (2)试判断方案一是否可行，并说明理由； (3)直接写出方案二中隧道顶端到地面的最大高度． 14．（2026·山西运城·二模）综合与实践 问题情境： 当无人机悬停投放物资时，理想状态下物资的运动路径可近似用抛物线来描述．物资的运动可分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的自由落体运动．其中水平方向匀速直线运动的距离x（单位：m）满足：（v为水平初速度，t为时间，，）． 竖直方向物资运动时的竖直高度y（单位：m）满足：（h为无人机悬停投放物资时的高度，t为时间，，）． 联立两式消去时间t，可得物资运动时的竖直高度y（单位：m）与距投放点的水平距离x（单位：m）的函数关系式：． 实践探究： 两架无人机在同一铅垂线上不同高度处悬停，同时投放应急物资．如图，以投放点所在竖直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系． 物资A：由1号无人机投放，水平初速度为．监测发现，当水平距离为时，竖直高度为40m，其运动轨迹记为抛物线． 物资B：由2号无人机投放，投放点位于物资A正下方处，水平初速度为，其运动轨迹记为抛物线． 问题解决： (1)在平面直角坐标系中． ①分别求抛物线和的解析式； ②求与在第一象限内的交点P的坐标．(2)物资A和物资B是否会在点P碰撞？请通过计算说明理由．（提示：比较两物资到达点P所需时间是否相同，） (3)设物资A的落地点为C，物资B的落地点为D，为了避免两种物资落地后堆积难以分发，同时确保均能精准送达目标区域，需控制的距离，若，在不变的情况下，仅调整中的水平初速度v，请直接写出调整后中v的值． 类型三 几何图形类 15．综合与实践 【问题情境】 王老师家有一块长6m、宽4m的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为3：2的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 （1）在第一种方案中，若设菜地的宽为x米，求小路面积S关于x的函数表达式． （2）在第二种方案中，若设道路的宽为x米，求菜地面积y关于x的函数表达式． （3）已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧1.5m内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 16．【问题背景】我国利用“大数据+农业”思维构建标准化、智能化育种体系，将数据采集、智能温控等信息技术引入农业生产，实现标准化管理，提高农业生产的质量和效益． 【素材1】如图﹣1，某种植基地的大棚的横截面是由抛物线AED和矩形ABCD构成，已知矩形长16米，宽1米．抛物线最高点到地面的距离为5米． 【素材2】种植某农作物时，每棵农作物高大约1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵农作物种植点之间间隔1m，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布． 【解决问题】 （1）如图﹣2，O为BC中点，以BC所在直线为x轴，垂直于BC的直线EO为y轴，建立平面直角坐标系xOy，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数表达式（无需写出自变量x的取值范围）； （2）在图﹣2的平面直角坐标系中，在不影响农作物生长的情况下（y＞1.76），确定种植点的横坐标x的取值范围，并求出最前排符合所有种植条件的农作物最大数量； （3）为了安全，需安装“支撑架”对大棚进行加固，“支撑架”由三根支架构成，其中PM，GN垂直于地面，PG平行于地面，且点P，G均在抛物线上．经考察，当“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强，此时为最安全的状态．请通过计算说明最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是多少米． 17．（2026·山西运城·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，虚线所示的宽为、高为的矩形区域是室内客厅墙面的一块空白装饰区，设计师计划在矩形区域上方用装饰线条围出抛物线造型，点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，两点到矩形上侧的边的距离均为，抛物线的顶点恰好落在矩形上侧的边的中点处．以矩形下侧的边所在直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 【问题解决】 (1)请在图1中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式． (2)在（1）的条件下，设计师对抛物线下方的墙面区域，设计了以下两种装修方案：方案一：如图2，在矩形下方区域围出两条完全相同的新抛物线造型装饰线条，它们的开口方向与（1）中的抛物线相反，但开口大小（二次项系数的绝对值）相同，这两条抛物线的顶点都在矩形下侧的边上．点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，且在同一条水平线上．方案二：如图3，利用与矩形下侧的边垂直的两条等长装饰线条和，将抛物线下方区域分割为三个装饰区块，其中点均在矩形下侧的边上，且整个装饰图形关于轴对称． ①方案一中，设计师助理认为图2中点到矩形下侧的边的距离与点到矩形上侧的边的距离的比值为，请通过计算验证该说法是否正确． ②方案二中，若到矩形右侧边的水平距离等于点在竖直方向到抛物线的距离的5倍，当两条装饰线条的总长度（）最大时，请直接写出的长度． 类型四 销售最值类 18.（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 19．（2026·山西忻州·二模）综合与实践 【问题情境】“刻花瓷，黑白花，一刀一剔见风华．”平定刻花瓷是山西国家级非物质文化遗产，始于唐、兴于宋，以黑白对比的刻花技艺闻名，被誉为“中国古代陶瓷艺术的活化石”．某文创企业以平定刻花瓷为特色，开发了系列文创产品．某校综合实践小组的同学想要了解该企业某款刻花瓷的销售情况，他们对这款刻花瓷的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析． 【信息收集】 信息①：该款刻花瓷的成本为50元/件． 信息②：该款刻花瓷的售价（元）不低于80元． 信息③：该款刻花瓷的月销量（件）与售价（元）关系如下表所示． 售价x（元） 90 95 100 105 110 月销量y（件） 108 104 100 96 92 信息④：制作该款刻花瓷每月固定成本（设备折旧、场地租金等）为1000元，且每月最大制作数量为150件． 【问题解决】 (1)任务一：根据收集的信息可知，该款刻花瓷的月销量y（件）与售价（元）之间是_____关系（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），月销量（件）与售价（元）之间的函数关系式为__________． (2)任务二：在销售规律不变的情况下，销售单价为多少时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是多少元？ (3)任务三：该文创企业计划使这款刻花瓷的月利润不低于5000元，请解答下列问题： ①请结合售价与销量的实际关系，确定销售单价（元）的取值范围； ②为进一步扩大市场占有率，企业希望在满足利润条件的前提下尽可能提高销量，试求此时的销售单价及对应的月销量． 20．（2026·山西阳泉·模拟预测）综合与实践 【问题情境】随着家居收纳需求不断增加，某家居生活馆销售一款环保折叠收纳箱，每个进价为25元．市场规定：销售单价不低于进价，且单个利润不超过进价的．一段时间后，该商家发现这款环保折叠收纳箱的每周销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元/个）之间的关系满足一次函数，其对应关系如下表：    销售单价x/（元／个） 30 32 34 36 38 销售量y/个 200 180 160 140 120 【问题解决】 (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)设每周销售这款环保折叠收纳箱获得的利润为w（单位：元）． ①求w与x的函数关系式． ②若该家居生活馆希望每周销售这款环保折叠收纳箱的利润达到1500元，求这款环保折叠收纳箱的销售单价． (3)当销售单价定为多少元时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大？最大利润是多少元？ 21．（2026·山西太原·二模）综合与实践 问题情境：随着旅游热度上涨，来山西的游客日益增多，且客房入住数量也随之增加．某古镇特色酒店有客房120间，酒店经理计划调整房价，以获取最大利润．经过前期调研获得如下信息： 某月连续五天每日房价与客房入住数报表 日期 房价（元/间） 客房入住数（间） 第一天 160 120 第二天 200 96 第三天 190 102 第四天 170 114 第五天 180 108 建立模型：酒店经理发现入住房间数、营收金额都随每日房价的变化而变化．设每日房价为（元/间），客房入住数为（间），日营收金额为（元），其中，，均为正整数，且．根据报表所提供的信息，解决下列问题． 注：日营收金额房价客房入住数． 解决问题： (1)客房入住数（间）是房价（元/间）的________函数（填“一次”、“反比例”或“二次”），与之间的函数关系式为________； (2)当该酒店客房日营收金额（元）最大时，求这一天客房的房价； (3)为吸引顾客，酒店决定为入住房客赠送当地特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品成本为元（）．已知每间入住客房的固定成本（含保洁、水电等）为30元．若酒店希望在房价不超过200元时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大，直接写出礼品成本的取值范围． 注：日毛利润日营收金额固定总成本礼品总成本． 22.（2026·山西临汾·三模）综合与实践 问题情境：为了解本土优质农产品晋祠大米的产销情况及政府对晋祠大米的相关保护措施，数学小组开展综合与实践活动． 收集信息： 信息①：晋祠大米，产自山西太原市晋祠镇，以晋祠难老泉水灌溉，米质晶莹、颗粒饱满，口感软糯香甜．2025年，晋祠大米成功获批国家地理标志保护产品． 信息②：政府提供财政补贴、税收优惠等政策支持，鼓励种植大户、专业合作社扩大种植面积，推动晋祠大米产业规模化、集约化发展，促进农民增收和乡村振兴． 信息③：某农民专业合作社直销晋祠大米，经市场调查发现，若售价为5元/千克，日销售量为340千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少20千克． 建立模型： (1)设该农民专业合作社直销晋祠大米的售价为x元/千克（且为正整数），每日销售额为y元． ①该合作社每天直销晋祠大米的数量为______千克（用含x的代数式表示）； ②求y关于x的函数表达式； 解决问题： (2)若销售过程中，有关部门规定晋祠大米销售价格不得超过15元/千克．求此时y的最大值和最小值； (3)政府为保护传统作物，销售过程中每日给农民专业合作社补贴a元（a为正整数），要使农民专业合作社日收入（日收入＝日销售额＋政府每日补贴额）不低于2500元，并且最多有5种不同的单价可以达到这个要求，请直接写出a的最小值． 23．（2026·山西忻州·一模）项目式学习 项目背景：山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产名录．某校学生前往一家老陈醋销售企业开展研学活动，他们针对一款老陈醋的销售情况进行了研究． 数据收集：该款老陈醋每瓶的进价为10元，规定每瓶的售价不低于15元，且不高于40元，其每日销量（单位：瓶）与售价（单位：元/瓶）之间的变化规律如图所示． (1)建立模型：根据上述信息可知，每日销量是售价的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数，关于的函数表达式为 ． (2)问题解决：当售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？ (3)由于某种原因，该款老陈醋每瓶的进价上涨了元，该销售企业在今后的销售中，每日销量与售价仍满足（1）中的函数关系．若日利润最大为3610元，请直接写出的值． 类型五 拱桥隧道类 24（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：数学之美，蕴藏于方寸之间，亦流淌于生活各处．在学校开展的“数学之美——创意明信片设计”活动中，同学们匠心独运，创作出了诸多融入数学知识的优秀作品．如图1所示，房屋轮廓可近似看作由一段抛物线与线段围成的封闭图形，搭配别具巧思的“弦图”窗框，尽显数学与美学交融的独特韵味．为进一步优化整体结构，让造型更和谐雅致，同学们也提出了不少新颖的设计思路． 方案设计： 第一步：（设计抛物线轮廓）如图2，线段和线段互相垂直平分，且，抛物线经过A，B，C三点，以点D为原点，过点D且与平行的直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F左侧）； 第二步：（设计房屋装饰分区）如图3，隐去线段，作线段轴与抛物线交于G，H两点，线段将房屋分为上下两部分，且下半部分的高度是上半部分高度的2倍，上半部分用简单几何图形装饰，下半部分设计门窗； 第三步：（设计门窗）如图4，正方形窗框的边长，轴，轴，延长与抛物线交于点S，延长与抛物线交于点T，． 解决问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)在图3中，求线段和的长度； (3)在图4中，若点M的坐标为． ①请直接写出n与m之间的关系式； ②当时，正方形窗框如图1中所示，且被分成的五部分面积相等，请直接写出窗框的总长度（包括正方形外框和内框）． 25.（2026·山西阳泉·三模）综合与实践 问题情境： 数学小组的同学在透明的玻璃容器中装入水，当容器水平放置时，从外面用视图的方法得到如图1所示的图形（阴影部分为玻璃壁）． 观察测量： 同学们经测量发现该容器口是一个以点为圆心，直径为的圆，容器最大深度，且通过观察可将该容器内壁曲线近似看作抛物线的一部分，是该抛物线的顶点且在线段上． 数学建模： (1)在图1中以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． ①在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的表达式； ②当液面离杯口的距离为时，求的长度． (2)将玻璃容器缓缓倾斜倒出部分水，从外面用视图的方法得到如图2所示的图形．当所在的直线与水平桌面之间的夹角为时停止，此时将筷子从点处垂直于容器口浸入水中，求筷子被浸湿的长度．（提示：以所在的直线为轴，过点垂直于所在的直线为轴建立平面直角坐标系） 26．（2026·山西晋中·二模）综合与实践 【问题情境】 小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师．他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼（图1）．请你帮他一起设计，解决相关问题． 【建立模型】 整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型，其最高点到水平地面的距离为，左右两端，两点到水平地面的距离均为，且两点相距． 如图2，以水平地面所在直线为轴，垂直于水平地面且经过左端点的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求建筑上部抛物线造型对应的函数表达式； 【问题解决】 (2)将建筑上部的抛物线造型沿直线折叠得到一条新的抛物线，其与水平地面交于，两点（点在点的左侧）．抛物线在水平地面之上的部分与线段共同组成了建筑的下部． ①求线段的长； ②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆，（在的左侧），其中点，在建筑的上部，点，在建筑的下部．小明只记得两根装饰杆的高度均为，却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点，的坐标． 27.（2026·山西忻州·二模）综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． 28．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度的城市景观，兼具工程美学与力学价值． 数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的示意图，以桥面所在直线为轴，桥墩立柱所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知桥拱的跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为9米． 问题解决： (1)①求该桥拱抛物线的函数表达式； ②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台（点均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台的长度． (2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌，其中点在抛物线上，点在桥面上，边靠近桥墩且到桥墩的距离不小于11米，为更好地筹备所需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可． 29．（2026·山西运城·三模）综合与实践 问题情境： 春风和煦，风景怡人．某公园景区准备对入口景观进行绿化升级，计划对一处抛物线型铁艺拱门进行美化改造，包括花艺布置、宣传横幅安装、钢架结构加固等工程．请你与他们共同设计方案． 实验数据： 经实地测量，该拱门左右两端均落在地面水平线上，拱门的地面总跨度为12米（如图1），拱门最高点距离地面高度为8米（拱门的厚度忽略不计）． 数学建模： (1)将该拱门的形状抽象为抛物线，其顶点为，以拱门左侧端点为坐标原点，地面水平线所在直线为轴，过点作地面水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．请直接写出抛物线顶点的坐标，并求该抛物线对应的函数解析式． 问题解决： (2)横幅设计规划：景区准备在拱门内侧水平悬挂一条长的矩形宣传横幅（如图矩形，其中点在抛物线上）．为保障游客和车辆通行安全，横幅下沿离地高度不得少于4.5米．请你帮忙计算：该宣传横幅的最大宽度可设计为多少米？ (3)钢架加固设计：如图2，为增强拱门的抗风稳定性，景区规划在拱门两侧加装倾斜角为的枝撑杆，底端固定在地面上，要求支撑杆与抛物线型拱门恰好贴合（每根支撑杆与拱门有且仅有一个交点）．请你直接写出两根支撑杆底端之间的水平距离． 30．（2026·山西长治·二模）综合与实践 【问题情境】长治市某区在某智慧农业基地建设中，技术人员为了优化温室大棚的采光与结构，选取了一座典型的抛物线形智能温室棚顶进行测量建模．为了方便建模，他们将温室棚顶的纵向轮廓线近似看作一条抛物线． 【建立模型】技术人员以温室棚顶的最低点（同时也是棚顶与地面的交界点）为原点，以水平地面为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知该温室棚顶轮廓线的最高点距离地面5米，棚顶在地面上的跨度（即底端点和点之间的距离）为30米． 【问题解决】 (1)请求出描述该温室棚顶轮廓线的抛物线的函数表达式． (2)为了提升棚内通风效率，施工人员计划在棚顶上部（最高点下方）铺设一条水平的通风管． ①若要求通风管距离地面的高度为3米，请计算这条通风管的长度（结果精确到1米，参考数据：）． ②为稳固棚顶结构，需在棚顶轮廓线上对称安装两根立柱，立柱垂直于水平地面（即轴），底端固定在地面上，顶端贴合棚顶轮廓线．若施工要求左侧立柱顶端的高度是其到原点（棚顶左侧最低点）水平距离的，请计算这两根立柱之间的水平距离． 类型六 其他考法 31．（2026·山西大同·二模）综合与实践 【问题情境】春日伊始，一批粉色共享单车陆续投放至某市核心商圈及地铁站出口，其凭借出众的颜值与贴心设计，迅速俘获市民青睐，成为街头一道流动的“风景线”．下面是该单车品牌商家在两个试运营点进行运营测试（点位于地铁站出口，点位于商圈核心广场），针对早高峰（）的运营收益进行了连续天的统计分析（本次统计仅针对分钟内的短途骑行订单），相关数据如下． 【数学建模】运营点 第天（为正整数）的分钟内骑行单价、骑行次数与的关系如下表： 分钟内骑行单价（元/次） 骑行次数/次 第天 第天 第天 第天 第天 … 第天的分钟内骑行单价与近似的满足我们学过的某种函数关系，已知该运营点每天固定运营成本为元． 运营点 第天的利润（单位：元）与的关系可以近似的用二次函数模型刻画，其图象如下图所示： 【问题解决】(1)运营点第天的分钟内骑行单价是________元/次（用含的代数式表示）． (2)求运营点第天的利润（单位：元）与的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围；利润骑行单价骑行次数固定运营成本） (3)①求与的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． ②当的值为多少时，运营点，的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 32．（2026·山西大同·三模）综合与实践 某公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． 任务一：建立模型 (1)如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在A，B处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点C到地面的距离为米．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 任务二：游客通道设计 (2)如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制7条平行的地面标志线（宽度忽略不计），每两条标志线之间间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的垂直高度为米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； 任务三：灯光设计 (3)设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意．首先将两个喷水装置同时向外侧移动m米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，如图3，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为n米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小距离为米，求m，n的值． 33．（2026·山西运城·二模）2026年山西省人民政府办公厅印发的《山西省加快能源绿色低碳转型发展实施方案》，文件明确提出：“立足就近接人、就近消纳，推动新能源与煤炭、交通、建筑、农业等多领域融合发展．有序推动风电、光伏发电项目改造升级，提升风光资源和土地利用效率．” 【数据收集】高平某农业园区积极响应政策，建成农光互补示范基地．以下是有关光伏板设置参数分析． 信息1：经实测，该地区大棚的每150平方米光伏板，在春秋两季，光伏板倾斜角x（单位：度）与日发电量y（单位：千瓦时）可近似满足下列函数关系： x/度 18 22 24 28 30 32 36 42 y/千瓦时 70 80 83.5 87.5 88 87.5 83.5 70 信息2：受季节变化影响，在春秋两季日发电量y的基础上： ①夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度； ②冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度． 【模型建立】 (1)求春秋两季时，日发电量y关于光伏板倾斜角x的函数解析式，分析题意，直接写出该园区光伏板夏季发电量最大时光伏板的倾斜角． (2)若园区预计升级新一代高效光伏组件，升级后的光伏板每150平方米的日发电量增加36千瓦时，直接写出该园区冬季升级后的光伏板日发电量与光伏板倾斜角x之间的函数解析式． 【问题解决】 (3)园区升级光伏板后，记夏季与冬季发电量差值为k，为保证全年发电量均衡，避免季节性发电波动明显． ①当发电量差值为0时，光伏板倾斜角x的度数为______； ②若要求每150平方米光伏板日发电量差值不超过5千瓦时，求光伏板倾斜角x的取值范围． 34．（2026·山西晋中·二模）综合与实践 问题情境： 某游乐园上午点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队．经研究发现，现场总人数（人）与过山车项目运行时间（分）之间满足关系式：．观众进场立即排队，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数．过山车每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人． 建立模型： (1)过山车项目的排队人数（单位：人）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； 问题解决： (2)在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以米/分的速度沿队伍向末端匀速行走．门口位于第一名游客前方米处，假设排队游客每人间距为米，定义队伍长度（单位：米）为从门口到队伍末端（最后一名游客所在位置）的距离，则与排队人数的关系为． ①工作人员与门口的距离（单位：米）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求的值； (3)过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计）．海盗船在分钟时开始运行，其现场总人数（单位：人）与运行时间（从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟）满足关系式．已知海盗船每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人．当两个项目同时存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更早入场． 35．（2026·山西阳泉·二模）综合与实践 问题情境： 北京时间2026年2月18日，米兰冬奥会单板滑雪男子坡面障碍技巧比赛落下帷幕，中国选手苏翊鸣夺得冠军，收获了中国体育代表团在本届冬奥会上的首枚金牌．某综合实践活动小组以单板滑雪运动中运动员起跳后的飞行路线为主题进行研究． 方案设计： 第一步：选定合适位置建立如图所示的平面直角坐标系； 第二步：利用高清设备在运动员起跳后的路线上选定几个特殊位置作为测量点，并借助相关仪器测出每个点的水平距离与相应的竖直高度； 第三步：数据分析，形成结论． 方案实施： 从运动员起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）的几组对应数据如下表： 0 2 4 6 8 11 14 20.00 21.40 22.40 23.00 23.20 22.75 21.40 请根据以上数据，解决下列问题： (1)根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度是水平距离的_____函数（填“一次”“二次”或“反比例”），并求出与之间的函数关系式； (2)通过分析数据，该运动员在本次起跳中竖直高度的最大值为_____； (3)若运动员某一时刻与起跳点的水平距离为，求该运动员该时刻的竖直高度． 36．（2026·山西大同·模拟预测）综合与实践 问题情境： 某医院新院区主出入口的正面设计图（图1）由院门造型、两侧的安保监控值班室和便民服务咨询室（以下分别简称值班室与咨询室）构成、院门造型设计为抛物线形、值班室和咨询室的正面均为形状大小完全相同的矩形、工程队在此基础上要进行相关构件的安装，请你与他们共同解决问题． 设计数据： 在图1中．院门造型的跨度为18 m，院门造型的最高点C与水平地面的距离为6 m，院门造型与表示值班室、咨询室的矩形的顶点分别交于点A，B，与表示值班室、咨询室的矩形的边分别交于点D、E，值班室与咨询室的高为3 m，长为4 m． 建立模型： 以所在直线为x轴，以过点C垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求院门造型所在的抛物线的表达式． 解决问题： (2)如图2，现工程队预计在院门造型的正中间放置一个宽为3 m的院名石，并计划在院名石与咨询室之间摆放一个显示屏（可移动），用以播放流程指引信息，要求显示屏在移动过程中，其高度不得超过院门造型．若显示屏的宽为1 m，高为4 m，请你通过计算说明该显示屏是否符合要求． (3)院领导按照该设计图准备提前预订新院区启用仪式所需要的横幅，以点D，E为横幅的悬挂点．请直接写出所预订的横幅的最小长度． 37．（2026·山西吕梁·二模）综合与实践 如图1，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度，最大宽度，桌面竖直轮廓如图所示，上方抛物线顶点到的距离为，下方抛物线顶点到的距离为，直线为竖直轮廓的对称轴，且．以所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)请你直接写出点的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． (2)如图3，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于上的点，点． ①求的长； ②直接写出下方抛物线向上平移的距离． (3)如图4，若想在桌面上装一块矩形钢化玻璃，使得顶点，，，落在新轮廓上，若，直接写出的长． 38．（2026·山西太原·二模）综合与实践 问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度（单位：），滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间具有一定关系．实践小组记录某运动员训练数据，整理如下： 信息整理：①在山坡的滑行速度与滑行时间的部分数据如下表． 滑行时间（单位：） … 滑行速度（单位：） … ②在山坡的滑行距离与滑行时间之间的关系用图所示坐标系中的图象刻画． 解决问题： (1)根据表中数据可知，在山坡的滑行速度是滑行时间的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为 ． (2)观察图可知，在山坡的滑行距离与滑行时间满足二次函数关系（图象经过原点），当该运动员在山坡的滑行时间为 时，求出他的滑行距离． (3)如图，在此次训练中，该运动员从山坡的点处滑下，滑行到坡脚点处时沿跳台做身体姿势调整，并在点处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示．根据要求，若要顺利完成此次技巧展示，运动员距离地面的最大高度不得低于米（不考虑其他因素）．已知，运动员从到的过程中速度保持不变，从点起跳后距离地面的垂直高度（）与在空中的飞行时间（）之间的函数关系表达式是（其中为运动员在点时的速度）．请你判断该运动员能否顺利完成此次技巧展示？并说明理由． 39．（2026·山西运城·一模）综合与实践 立定跳远中的函数应用 问题情境：立定跳远练习中，运动员身体重心的运动轨迹可近似看作抛物线．为提升训练的安全性、降低受伤风险，并帮助校训队的运动员提高成绩，某学校成立了立定跳远运动规律探究小组． 实验数据：该探究小组测得某运动员在一次试跳中，身体重心距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的几组数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 0 0.45 0.6 0.45 0 数学建模：如图1，将运动员身体重心的运动轨迹抽象为抛物线．其顶点为，运动员的起跳点为，落地点为点．以为原点，所在的直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)请根据表格中的测量数据直接写出抛物线的顶点坐标，并求出该抛物线的函数关系式； 问题解决： 已知运动员身体重心在任意位置到地面的高度不低于时可避免练习时受伤．我们将直线与抛物线的两个交点分别记作、，称、两点之间的距离为该运动员此次立定跳远的有效水平距离． (2)求的长（结果保留根号）； (3)实验表明：调整起跳角度后，该运动员的重心运动轨迹近似满足关系式：．为促进运动员科学训练，学校设定了立定跳远的等级标准线：满分线为，良好线为．现要求该运动员的落地点（即时的值）在良好线到满分线之间（含两端点），请直接写出的最大值与最小值． 40．（2026·山西忻州·一模）在春日的暖风中，春季运动会在如火如荼地筹备着．某机器人小组设计了多台“摇大绳”机器人作为春季运动会团体项目． 赛场设置： ①如图是摇绳机器人在8米场和10米场摇绳时的示意图，，，分别是高度为的摇绳机器人，绳子摇到最高处时，绳子与摇绳机器人在同一竖直平面，绳子的形状可近似地看作抛物线的一部分，其中，8米场中绳子摇到最高点时，最高点P到地面的距离为．摇绳机器人在8米场和10米场将绳子摇到最高点时，绳子的形状相同． ②为了安全，跳绳时学生正上方的绳子距离头顶至少，学生跳绳时比实际身高高． ③要求8米场参赛小组每10人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是． ④如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求8米场中绳子摇到最高点时，绳子所在抛物线对应的函数解析式． (2)①填空：记8米场从左向右数第5位同学所站位置为点M，则点M的坐标为______； ②结合上述信息，求参与8米场比赛的小组成员中，最低身高和最高身高的最大值（结合实际情况分析，结果保留两位小数）． (3)参加10米场比赛的小组，要求每14人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是．小李是10米场小组队员，若小李的身高为，则从左往右数，直接写出他至少可以站在第几位． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $