1.4 空间向量的应用课件课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，涵盖点线面的向量表示、法向量求法、位置关系判定及夹角距离计算。通过回顾平面向量引入空间向量，以基础、中档、拔高分层训练为支架，结合思维导图梳理知识脉络，帮助学生构建从代数到几何的转化思维。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过247张PPT整合知识解读、典例详解与高考对接训练，如用向量法证明线面平行、求二面角余弦值。采用坐标法与综合法结合的教学策略，总结解题通法，既提升学生空间想象与数学运算能力，也为教师提供一体化教学资源，助力高效备课与课堂实施。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 本节运用空间向量解决立体几何问题，学习求直线、平面的法向量，利用向量判定线面位置关系，求解夹角与距离，把几何问题转化为代数计算，体会向量方法的作用 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括247张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1 点的位置向量 如图1.4-1，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点 就可以 用向量来表示.我们把向量称为点 的位置向量. 图1.4-1 4 2 直线的向量表示 图1.4-2 用向量表示直线,就是要利用点和直线 的方向 向量表示直线上的任意一点.如图1.4-2（1）， 是直 线的方向向量，在直线上取,设是直线 上的 任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线 上的 充要条件是存在实数,使得 ,（直线可表示为 进一步地，如图1.4-2（2），取定空间中的任意一点，可以得到点在直线 上 的充要条件是存在实数,使 ①, 一个动点的集合，其中为直线的方向向量）即 . . . 5 将代入①式，得 ②. （当时，,这就是线段 中点的向量表示式） ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 知识延伸 由,可得,显然 .由此我 们可以得到空间中,,三点共线的充要条件——存在实数， ，使得 . . . . . 6 3 空间平面的向量表示 如图1.4-3（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和， 为平 面 内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 ，使得 .这样，点与向量，不仅可以确定平面 ，还可以具体表示出 内 的任意一点.#1 图1.4-3 7 进一步地，如图1.4-3（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点 位于 平面内的充要条件是存在实数,,使 ③.我们把③式称为 空间平面 的向量表示式. 知识延伸 对③式变形，我们可以得到 ，显然 .由此我们可以得到空间一点位于平面 内的另一个充要 条件——存在实数,,使得 .#2.1 . . . . 8 学思用·典例详解 例1-1 已知点,是直线 上的两点. （1）求直线 的一个方向向量; 【解析】直线的一个方向向量为 . （2）判断点是否在直线 上. 【解析】 . 设,即，所以这样的 不存在，即向量 与 不共线. 故点不在直线 上. 9 【想一想丨归纳总结】 1.在空间中，一个向量成为直线 的方向向量，必须具备以下两个条件： （1）是非零向量； （2）向量所在的直线与直线 平行或重合. 2.与直线平行的任意非零向量都是直线的方向向量，且直线 的方向向量有无数个. 3.给定空间中任意一点和非零向量，就可以确定唯一一条过点且平行于向量 的 直线． 10 例1-2 已知,,三点共线，点为空间中直线外任意一点，若 , 则 的值为___. 1 【解析】由,,三点共线，知存在实数，使 . 又,且与不共线，所以, ，故 .（【另解】利用左栏结论，直接得到 ） 11 图1.4-9 例1-3 (2026·福建省三明市期中)如图1.4-9， 是三棱锥 的底面 的重心．若 ，则 ___. 1 【解析】 由于是三棱锥的底面 的 重心，连接 , 所以，则，所以 ． 因为与，，四点共面，所以 ． 12 知识点2 平面的法向量 1 平面法向量的定义 如图1.4-4，直线 .取直线的方向向量,我们称向量为平面 的法向量.给 定一个点和一个向量，那么过点,且以向量 为法向量的平面完全确定，可以表 示为集合 . 图1.4-4 13 2 平面法向量的性质 （1）平面 的一个法向量垂直于平面 内的所有向量. （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行. 警示 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量.（【教材链接】此处回 答了教材第29页【练习】第1题的第（1）小题） 14 3 平面法向量的四种求法 （1）直接寻找：几何体中所求平面的垂线已经给出（或易作辅助线得出），只 需写出该垂线的方向向量即可. （2）待定系数法：具体步骤如下. . . 15 （3）叉乘法（该方法只适合选择题、填空题，不可用 于解答题） 向量的叉乘：两个不共线的空间向量 与 ，向量的叉乘为同时与，垂直的向量，则向量为向量 与 确定的平面的法向量，且 , , ，其中 ． 16 知识延伸 该公式也可以用下列方法记忆： 已知平面内两相交直线的方向向量为, ，平面的法 向量为 . 分两步写，第一步：横写两遍，掐头去尾. 第二步：由左向右，交叉相乘再相减. 则 . 17 （4）平面方程法（【教材深挖】对教材P44 T17的深入挖掘） 在空间直角坐标系中，若平面 的方程为为参数 ，则 ，，前面的系数就是法向量的坐标，即为平面 的法向量. 已知空间中不共线三点的坐标 ，代入方程可得 ，求得 ，即得法向量坐标.（【注意】此方法 只可用于选择题、填空题，不可直接用于解答题中） 18 学思用·典例详解 例2-4 已知平面 的一个法向量，点在平面 内，若点 在平面 内，则 的值为( ) A A. B.0 C.1 D.2 【解析】由题意， ， 因为平面 的一个法向量，所以 ， 所以，解得 . 19 例2-5 已知平面 内有一点，平面 的一个法向量为,, ，判断点 ，是否在平面 内. 【解析】设平面 内任意一点，则 ，因为 ，所以，整理得 ， 分别将点,的坐标代入方程得，， ，所 以不在平面 内，在平面 内. 20 例2-6 ［教材改编P28 例1］在正方体中,棱长为2,,, 分别为 ,,的中点,求平面 的一个法向量. 【解析】建立如图1.4-10所示的空间直角坐标系，则,, . 图1.4-10 由此可得， . 21 设平面的法向量为 ， 由得 则 令,则,,（赋值时应取相对简单的值）即平面 的一 个法向量为 . . . 点评 若在选择题或填空题中也可以用叉乘法和平面方程法直接得到平面的法向量. 叉乘法： 所以平面的一个法向量为 . 平面方程法：将,, 三点坐标分别代入 平面方程 ，得 解得 ，所 以平面的一个法向量的坐标为 . 23 【想一想丨发散探讨】 利用待定系数法求出的平面法向量唯一吗？ 提示 不唯一.利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组 有无数组 解，因此法向量有无数个.求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可. 24 知识点3 向量方法在立体几何中的应用 1 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 25 2 利用向量方法解决立体几何中的位置关系 因为直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量，所 以可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等 位置关系．#1 位置关系 符号表示 图示 线线平行 ,使得 线面平行 26 位置关系 符号表示 图示 面面平行 ，使得 线线垂直 线面垂直 ,使得 面面垂直 续表 27 3 利用向量方法解决立体几何中的距离问题 图1.4-5 （1）点到直线的距离 如图1.4-5，向量在直线上的投影向量为，则 为直角三角形.直线的方向向量为,则向量在直线 上的投影 向量为 ,由勾股定理 可得点到直线的距离为 . 28 图1.4-6 （2）点到平面的距离 如图1.4-6，已知平面 的法向量为,是平面 内的定 点，是平面 外一点.过点作平面 的垂线，交平面 于点 ，则是直线的方向向量，且点到平面 的距离就是 在 直线上的投影向量 的长度.因此 . 知识剖析 由于 可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质上就 是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即 . . . 29 （3）直线到平面、平面到平面的距离 若直线与平面平行，平面与平面平行，则直线到平面、平面到平面的距离可转 化为点到平面的距离. . . . . 30 4 利用向量方法解决立体几何中的夹角问题 （1）异面直线所成角 若异面直线,所成的角为，其方向向量分别是, ，则 ,.（当,为锐角时，,,当, 为钝角 时，, ） 图1.4-7 （2）直线与平面所成的角 如图1.4-7，直线与平面 相交于点，设直线与平面 所成的角为 ，直线的方向向量为，平面 的法向量为 ，则 , .（注意求出来的是正弦值） . . . . . . . . 31 特别提醒 直线与平面所成的角和法向量与直线的方向向量的夹角之间的关系要区分 清楚，设直线的方向向量为，平面的法向量为，线面角为 . （1）当,为锐角时，,，, ; （2）当,为钝角时，,，, . 综上可知， . 32 图1.4-8 （3）平面与平面的夹角 如图1.4-8，平面 与平面 相交，形 成四个二面角，我们把这四个二面角中不 大于 的二面角称为平面 与平面 的 夹角.（夹角的取值范围是 ，二面角 的取值范围是 ，注意区分） 若平面 , 的法向量分别为和，则平面 与平面 的夹角即向量和 的夹角（图1.4-8（1）（2））或其补角（图1.4-8（3）（4））. 设平面 与平面 的夹角为 ，则, . . . 33 5 综合法、向量法、坐标法的灵活运用 综合法以逻辑推理作为工具解决问题，向量法利用向量的概念及其运算解决问 题，坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标法常与向量运算结合起来使用. 在学习时，应灵活选择向量法与综合法,从不同角度解决立体几何问题.凡是用向 量比较容易解决的问题,就以向量法来解决;而对有些运用线面关系比较容易解决的问 题,仍用综合法去解决. 34 学思用·典例详解 例3-7 [多选题](2026·河北省石家庄市第三十八中学期中)下列结论正确的是( ) AD A.直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为 ，则 与 垂直 B.直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为 ， 则 C.平面 , 的一个法向量分别为,，则 D.平面 经过三个点,,，向量是平面 的 一个法向量，则 35 【解析】对于A，因为，所以直线与 垂直, 正确； 对于B,因为，所以直线平面 或直线 在平面 内，（【警示】此情况易忽略）错误； 对于C，若，则，所以 此方程组无解，所以 平面 不平行于平面 ，错误； 对于D，由,,得, ， . . . . 36 因为是平面 的一个法向量，所以 解得即 ，正确. 例3-8 (2026·浙江省杭州二中期中)已知,,,，则点 到 平面 的距离为( ) D A.2 B.3 C. D. 【解析】由题意得，， . 设平面的法向量为 ， 则即 令，得，则是平面 的一个法向量， 设点到平面的距离为，由点到平面的距离公式得 . 38 例3-9 ［教材改编P43 T9］(2026·北京市清华大学附属中学期中)在正方体 中，为的中点，则与 所成角的大小为( ) B A. B. C. D. 【解析】建立空间直角坐标系，如图1.4-11所示， 39 图1.4-11 不妨设正方体的棱长为2，（【想一想】为什么设为2，而不设为1？因为涉及中点， 设为1会有分数，不利于计算） 则,,,，得, , 则, ， 设与所成角大小为 ， 则, ， 则与所成角的大小为 .（本题也可以用综合法求解，同学们可尝试做一做） 例3-10 (2026·天津市河北区期中)在空间直角坐标系中，已知点， ， ，，则直线与平面所成角的正弦值为_ ___；点到直线 的 距离为_ ___. 【解析】依题意，,, ， 设平面的法向量，则取，则 , ，所以是平面的一个法向量.设直线与平面所成角为 ， 则, . 点到直线的距离 . 42 例3-11 已知平面 ， 相交于直线，在平面 ， 内与直线 垂直的两个向量分别 为, ,则两平面夹角的余弦值为_ ___. 【解析】如图1.4-12所示， 图1.4-12 （【数形结合】两向量分别与棱 垂直，则两向量夹角或其补角为两平面夹角） 43 因为两平面的夹角不超过 ，所以两平面夹角的余弦值就是两向量夹角余弦值的 绝对值. 令， ， 则, . 所以两平面夹角的余弦值为 . 44 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 利用空间向量讨论平行关系 1 证明线线平行 例12 [教材改编P42 T3]在长方体中，，， , 点在棱上，且,点在棱上，且,点，分别是棱 , 的中点.求证: . 方法帮 45 图1.4-13 【解析】如图1.4-13，建立空间直角坐标系，则, , ,,, . 根据点,,,在线段上的位置求得,, , ,（【剖析】点在线段的处（靠近点），点 在线 段的中点处，点在线段的中点处，点在线段的 处 （靠近点 ）） 于是, . ,.又 ,（注意说明其中一个向量所在直线上的一点不在另 一向量所在的直线上） . . . 方法帮 46 证明线线平行的依据与思路 证明线线平行的依据：设直线,的方向向量分别是,,要证明,只需证明 , 即,使得 . 利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利 用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量， 通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明. 方法帮 47 【学会了吗丨变式题】 1.长方体中，，分别是面对角线， 上的点，且 ，．求证： ． 图D 1.4-1 【答案】如图D 1.4-1所示，分别以，， 所在 的直线为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系， 设，，，则 ， ，，， ， . 方法帮 48 由，可得 ， 由，可得 ． ，， ． 又与不共线， ． 方法帮 49 2 证明线面平行 图1.4-14 例13 [教材改编P42 T4]如图1.4-14所示的五面体中，四边形 是正方 形， 平面，，，， ， ，分别为，的中点.求证：平面 . 【解析】 , 方法帮 50 图1.4-15 .以为坐标原点， 所在的直线 分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系,（【解题关键】寻找两 两垂直的三条直线建系是后续解题的关键）如图1.4-15所示， 则,，，， . ,分别为, 的中点， ，，， ， , 又 （方法1是从共线向量的角度求解的） 平面， 平面，平面 . . . . . 方法帮 51 同方法1,建立空间直角坐标系，如图1.4-15所示，则 ,，，， ， ， 设平面的法向量 . , 由得令，得平面 的 一个法向量为 . ,分别为， 的中点， 方法帮 52 , , , 又 平面，平面 . 方法帮 53 ，且, . 平面， 平面 ， 平面 . ，，，共面，又 平面 ， 平面 . 名师点评 本题是为了展示利用向量法、坐标法求解线面平行的思路，如果用综合法 求解会更便捷，连接，则,分别为,中点，所以为三角形 的中位线， 即，所以平面 . 方法帮 54 利用向量法证明线面平行的三种思路 1.与法向量垂直： 设直线的方向向量是,平面 的法向量是,则要证明 ，只需证明 ,即 . 2.与平面内一个向量平行： 在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. 3.用平面内两个不共线向量线性表示： 证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可. 方法帮 55 【学会了吗丨变式题】 图1.4-16 2.如图1.4-16，在四棱柱中，侧棱 底 面,,,,,且点 和分别为和的中点.求证：平面 . 【答案】 （向量法） ,所以,,共面，又 平面 ，所以 平面 . 方法帮 56 图D 1.4-2 （坐标法） 如图D 1.4-2，以为坐标原点，, , 所在直线分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，依 题意可得,,, , . 因为,分别为,的中点，所以, . 依题意，可得为平面 的一个法向量,又 ，则,又平面 ,所以 平面.（【另解】本题如用综合法求解，可以取的中点,连接, , 则四边形为矩形，所以, 即平面 ） 方法帮 57 3 证明面面平行 例14 ［教材改编P43 T12］已知正方体，求证：平面 平面 . 【解析】 设正方体的棱长为1，建立如图1.4-17所示的空间直角坐标系， 图1.4-17 方法帮 58 则，，，，， ，于是 ， . 设平面的法向量为 , 则即 令，可得平面的一个法向量为 . 设平面的法向量为 . 易知， ， 方法帮 59 由得 令，可得平面的一个法向量为.（在求出 后，我们可以 直接检验与和 的关系，从而简化运算） 则，所以，故平面平面 . . . 方法帮 60 同方法1建系,知,,, , 所以， . 又,,所以， . 又 平面， 平面 ， 所以平面，平面 . 又,所以平面平面 . 名师点评 建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽可能找到三条互相 垂直且交于同一点的线段.尤其要注意出现垂直关系的特殊几何体，如正方体、长方 体、直棱柱、有一条侧棱垂直于底面的棱锥等，其中长方体（或正方体）是最简单 的模型. 方法帮 61 证明面面平行的方法 （1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为证明相应的线面平行、 线线平行即可； （2）若能求出平面 ， 的法向量，，则要证明 ，只需证明 . 法向量的求解有时比较烦琐，在平面内找与直线平行的向量有时也不直观，因此求 解时，需要灵活选择解题方法. 方法帮 62 【学会了吗丨变式题】 图1.4-18 3.(2026·河北省邯郸市期中)如图1.4-18所示，平面 平 面，四边形为正方形， 是直角三角形， 且，，，分别是线段，， 的中点， 求证：平面平面 ． 【答案】因为平面 平面，四边形 为正 方形，是直角三角形，所以，， 两两垂直， 方法帮 63 图D 1.4-3 以为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图D 1.4-3所示的空间直角坐标系， 则,,,, , ,, ． 所以， ， ， ， 设是平面 的法向量， 方法帮 64 则，，即得令，则 ， ，所以平面的一个法向量为 . 设是平面 的法向量， 由，，即得 令，则，，所以平面的一个法向量为 ， 所以，所以平面平面 ． 方法帮 65 题型2 利用空间向量讨论垂直关系 1 证明线线垂直 例15 ［教材改编P42 T5］在正方体中，为 的中点.求证： （1） ; 【解析】, , , ,即 . 方法帮 66 （2） . 【解析】, , , ,即 . 方法帮 67 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如 图1.4-19所示的空间直角坐标系. 图1.4-19 设正方体的棱长为1，则，,，，，， ， . 名师点评 本题也可以设,,，然后将{,, }作为基底，表示出 ,, ,通过证明数量积为零说明相应直线垂直. 方法帮 68 利用向量法证明线线垂直的两种方法 （1）坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的 坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可. （2）基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量 用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0. 方法帮 69 【学会了吗丨变式题】 4.(2026·河南省信阳市淮滨县滨城高级中学月考)下列正方体中， 为下底面的中心， ,为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线 的是( ) B A. B. C. D. 方法帮 70 图D 1.4-4 【解析】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标 系，令正方体棱长为2. 对于A，如图D 1.4-4（1），,, , ,, ， 则 ，所以 与 不垂直，故A不满足题意； 对于B，如图D 1.4-4（2），,, , ,, ， 则,所以 ，故B满足题意； 方法帮 71 对于C，如图D 1.4-4（3），,,,, , ， 则,所以与 不垂直，故C 不满足题意； 对于D，如图D 1.4-4（4），,,,, , ， 则，所以与 不垂直，故D不满 足题意.故选B. 方法帮 72 2 证明线面垂直 图1.4-20 例16 [教材改编P43 T11]如图1.4-20所示，在正方体 中，，分别是，的中点.求证： 平 面 . 方法帮 73 【解析】 （基向量法） 设,,,连接，则 , , , ,即 . 同理可证 . 又, 平面 . 方法帮 74 图1.4-21 （坐标法） 设正方体的棱长为2,建立如图1.4-21所示的空 间直角坐标系， 则,,,, . , , . ， , , . 又, 平面 . 方法帮 75 利用向量法证明线面垂直的方法 基向量法 坐标法 设出基向量 建立空间直角坐标系，列出坐标 步骤1.表示出直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量. 步骤2.分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积. 步骤3.数量积为0，得线面垂直. 方法帮 76 【学会了吗丨变式题】 图1.4-22 5.(2026·宁夏青铜峡市第一中学月考)如图1.4-22，在四棱 锥中， 底面， ， ，，，是 的中点．证明： 平面 . 方法帮 77 图D 1.4-5 【答案】由 底面，，易知,, 两 两垂直，建立如图D 1.4-5所示的空间直角坐标系，连接 ， 设，则,, , . ，, 为正三角形， 则, ， ,， . 则 ， ， ，，即, . 又，, 平面,故 平面 . 方法帮 78 3 证明面面垂直 图1.4-23 例17 如图1.4-23，在四棱锥中，底面 是正方形， 底面，且，是的中点.求证：平面 平面 . 方法帮 79 【解析】设，建立如图 1.4-24所示的空间直角坐标系，则 ， ，,,，， . 图1.4-24 如图1.4-24,连接，交于点，连接，则点 的坐标为，，， . 又 底面， 平面 . 又 平面， 平面 平面 . （该方法适合在一个平面内易找到另一个平面的垂线的情况） 方法帮 80 设平面的法向量为 . ，，， ， 由得 令，可得平面的一个法向量为 . 底面， 平面的一个法向量为 . ， 平面 平面 . 方法帮 81 证明面面垂直的三种方法 （1）证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为证明线面垂直. （2）证明两平面的法向量垂直. （3）证明一个平面的法向量平行于另一个平面. 方法帮 82 【学会了吗丨变式题】 6.已知正方体中，为的中点，求证：平面 平面 ． 图D 1.4-6 【答案】设正方体棱长为1，建立如图D 1.4-6所示的空间直 角坐标系，则,，， ， 于是，， . 设平面的法向量为 ， 由，，得 令，则,， 平面 的一个法向量 为 ． 方法帮 83 设平面的法向量为 ， 由，，得 令，则， 平面的一个法向量为 ． 故 ， 因此，故平面 平面 ． （【另解】的中点为，则，又平面 的法向量为 ，则，这说明与共线， 平面 ，又 平面，故平面 平面 ） 方法帮 84 题型3 利用空间向量求空间角 1 求异面直线所成的角 例18 (2026·安徽省池州市期中)如图1.4-25，已知两个正四棱锥 与 的高分别为1和2，，则异面直线与 所成角的余弦值为_ __. 图1.4-25 方法帮 85 【解析】由题设知，四边形是正方形，连接，,交于点，则 .连 接，则过点 . 图1.4-26 （依据几何体的结构特征建立空间直角坐标系） 由正四棱锥的性质知 平面，故以 为坐标原 点，以直线,,分别为轴、轴、 轴建立如图1.4 -26所示的空间直角坐标系,则, , , , , . . . . . 方法帮 86 于是, , 设异面直线与所成的角为 , 则, , 异面直线与所成角的余弦值为（注意异面直线所成角的范围是 ，余弦值为非负数）. . . 方法帮 87 求异面直线所成的角的方法 （1）平移法.通过平移线段，作出与异面直线所成角相等或互补的平面角，进而构 造三角形求解. （2）向量法.运用向量法常有两种途径. ①基底法（适用于一些不适合建立坐标系的题目） 在由公式,求向量,的夹角时，关键是求出及与 ，一般是把 , 用基底表示出来，再求有关的量. ②坐标法 根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，通过坐标运算求 异面直线所成的角. 方法帮 88 【学会了吗丨变式题】 图1.4-27 7.(2026·浙江省温州市期末)如图1.4-27，已知一个正八面体 的棱长为2，，分别为棱， 的中点，则直线 和 夹角的余弦值为( ) D A. B. C. D. 方法帮 89 图D 1.4-7 【解析】如图D 1.4-7,取各边中点，，， ，连接 ，，，由正八面体的性质可得三线交于一点，设为 ， 易得，， 两两垂直.（【破题点】根据立体结构在适 当的位置建系） 以为坐标原点，，， 所在直线为坐标轴建立如图D 1.4-7所示的空间直角坐标系，则， ， ，，， , ， 方法帮 90 所以, ， 设直线与所成的夹角为 ,所以 , ， 所以直线和夹角的余弦值为 ． 方法帮 91 2 求线面角 例19 (2026·湖南省永州市第一中学入学考试)如图1.4-28，四棱锥 的底面为 正方形， 底面.设平面与平面的交线为 . 图1.4-28 方法帮 92 （1）证明： 平面 . 【解析】因为 底面，所以 . 又底面为正方形，所以 . 又,因此 平面（【关键点】要证明 平面 ,一种思路是 要证明垂直平面内的两条相交直线，但是平面与平面 的交线，直观图 中没有此交线，注意到 平面，因而另一种思路是证明 ）. 因为， 平面，所以平面 . 又 平面，平面 平面 , 所以，因此 平面 . . . 方法帮 93 （2）已知,为上的点，求与平面 所成角的正弦值的最大值. 给什么得什么 注意，， 两两互相垂直，因而可建立空间直角坐标系.注意 到是上的动点，且 平面，可设点坐标为 . 求什么想什么 要求与平面所成角的正弦值，只需通过向量法用 表示直线 与平面 所成角的正弦值，再用代数法求其最大值即可. 方法帮 94 图1.4-29 【解析】以为坐标原点，，,的方向为轴、 轴、 轴正方向，建立如图1.4-29所示的空间直角坐标系， 则，，， ， ， . 由（1）可设，则 . 设是平面 的法向量， 则即 可取为平面 的一个法向量， 方法帮 95 所以, . 设与平面所成角为 ， 则 . 因为，当且仅当 时等号成立， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为 . . . 方法帮 96 求线面角的两种方法 1.转化为线线角：根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为两条直线 所成的角来求解，此时要注意两直线所成角的取值范围. 2.向量法：设直线的方向向量为，平面 的法向量为 ，所求直线与平面所成的角为 ,,与的夹角为 ,则 方法帮 97 求解步骤如下： 方法帮 98 【学会了吗丨变式题】 8.(全国Ⅰ卷)如图1.4-30,四边形为正方形,,分别为,的中点,以 为折痕把 折起,使点到达点的位置,且 . 图1.4-30 （1）证明:平面 平面 . 【答案】由已知可得，，，,所以 平面 . 又 平面，所以平面 平面 . 方法帮 99 （2）求与平面 所成角的正弦值. 【答案】如图D 1.4-8，作，垂足为.由（1）得， 平面 . 图D 1.4-8 以为坐标原点，的方向为轴正方向， 为单位长，建立如图D 1.4-8所示的 空间直角坐标系. 由（1）可得， . 方法帮 100 又,，所以 . 又,，所以，所以, . 则,,，，，， 为平面 的一个法向量. 设与平面所成角为 ， 则 . 所以与平面所成角的正弦值为 . 方法帮 101 3 求平面与平面的夹角 母题 致经典·结构化试题 例20 (2026·广东省广州市期中)如图1.4-31，四棱锥，, , ,为等边三角形，平面 平面,为 的中点. 图1.4-31 方法帮 102 （1）求证: 平面 ; 【解析】因为, ， 所以 , 又平面 平面,且平面 平面 , 又 平面,所以 平面 . 又 平面,所以 . 因为为的中点，且 为等边三角形， 所以 . 又,所以 平面 . 方法帮 103 （2）求平面与平面 夹角的余弦值. 【解析】 如图1.4-32，取的中点,连接, , 图1.4-32 因为为等边三角形，所以 . 因为平面 平面,所以 平面,所以 . 由,,得且 ， 方法帮 104 所以四边形为平行四边形，则 , 又 ,所以 . 以的中点为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立如图1.4-32所示 的空间直角坐标系,则,,,, ， 则, . 设平面的法向量为 , 由得 取,则平面的一个法向量为 . 方法帮 105 由（1）知，为平面 的一个法向量， 因为为的中点，则 , 所以 . 又,, , 所以, . 故平面与平面夹角的余弦值为 . 方法帮 106 图1.4-33 （平面与平面夹角的范围是 ，其余弦值一定是非负的） 建系同方法1.分别过,作的垂线段，垂足分别为, , 如图1.4-33所示，则,即为二面角 的平面角的大小 （寻找二面角的平面角，求解两向量夹角）. 设 ，则 , 由,得,解得 ,则 . . . 方法帮 107 同理可设,由及，解得,即, 重合（事实上， 由方法3可知， 就是两个平面所成的二面角的平面角，这也说明了向量法和综 合法是相通的）, 可得 . 所以,, , 所以, , 故平面与平面夹角的余弦值为 . . . 方法帮 108 图1.4-34 如图1.4-34，取的中点为，连接, ,因为 为等边三角形，所以 . 因为平面 平面 , 所以 平面,所以 . 在中，,，所以 .所以 ,又,,所以 . 方法帮 109 在中，过点作,垂足为,连接,则,所以 就是二面 角 的平面角.（利用综合法求解时，后续更多的是解三角形） 在中，,,所以,所以 ,所以 . （由 可得） 连接,则,在中， ，（余弦定理） 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 方法帮 110 命题探源 该题之所以经典，一是因为二面角是高考重要考查点，此类试题近年来在 高考中考查频率较高，二是因为它可以用多种方法求解，能锻炼学生的发散思维， 让学生感受向量法与综合法的完美统一，提升学生的数学素养. 图1.4-35 名师点评 也可以补成长方体模型，如图1.4-35，在 中，过点作,垂足为，则 平面 ，过点作，垂足为，连接 ，易证 ,（或其补角）就是平面与平面 的夹 角. 方法帮 111 子题 情境转化 (2026·福建省厦门市期中)如图1.4-36所示，矩形中，,为 的 中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面 垂直. 图1.4-36 方法帮 112 （1）求证：平面 ; 图1.4-37 【解析】过点作,垂足为,过点作于 ,连接 ,如图1.4-37所示. 平面 平面,平面 平面 , 平面, 平面, . 由题意知,, , 四边形是平行四边形， . 又 平面, 平面 , 故平面 . 方法帮 113 （2）求二面角 的正弦值. 方法帮 114 【解析】 由已知得,（【详解】, ,同理 ,，即 ）. 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系 ,如 图1.4-37所示,则,,,, . 设平面的法向量为 , 则即令 , 得平面的一个法向量为 平面 平面, , . . 方法帮 115 平面 , 平面的一个法向量为 , （能够直接找到平面垂线的，尽量用最简单的坐标表示平面法向量，便于后续计算） , , 设二面角的平面角为 ， 则 , 故二面角的正弦值为 . 方法帮 116 由（1）可知 平面,则 , 为的中点，则 , ,即 为等边三角形. 如图1.4-38，取的中点，连接,则， , 与 的夹角即二面角的平面角. 建系同方法1，则,，， ， ， , , , （注意求的是正弦值，需要利用同角三角函数基本关系进行转化） 故二面角的正弦值为 . 方法帮 117 如图1.4-39，取的中点 ，连接 ,, , 由方法2可知,为 的中点，则 , ,,则为二面角 的平面角. , , , , 故二面角的正弦值为 . 方法帮 118 求平面与平面夹角的方法 1.向量法: 思路一，利用平面的法向量求角. （1）选择坐标运算，确定平面的法向量, . （2）计算,, . （3）计算, ,此即为平面与平面夹角的余弦值. 方法帮 119 思路二,在两个平面内构造向量求角. （1）在两个平面内各找一定点,,分别过, 在面内作与棱垂直的线段，垂足分别 为,,则,或, 即为平面与平面的夹角，如图1.4-40所示. （2）选择坐标运算或基底运算求, . 2.综合法：利用定义作出两平面的夹角，通过解三角形求解. 图1.4-40 方法帮 120 【学会了吗丨变式题】 9.(2024· 新课标Ⅱ卷)如图1.4-41，平面四边形中,,， , ， ，点,满足，.将沿 翻 折至，使得 . 图1.4-41 方法帮 121 （1）证明: ; 【答案】由题意得，, ， 又 ,所以由余弦定理得 ，故 . 又，所以 .（3分） 由及翻折的性质知, , 又，， 平面，所以 平面 .（5分） 又 平面，所以 .（6分） 方法帮 122 （2）求平面与平面 所成的二面角的正弦值. 【答案】如图D 1.4-9，连接，,, ， 故 . 又，，所以，故 . 又，,， 平面 ， 所以 平面 .（8分） 方法帮 123 图D 1.4-9 ，，两两垂直，故以为原点, ， ，所在直线分别为,, 轴建立空间直角 坐标系，如图D 1.4-9所示，则 , ，, , . 连接，则 , ,, .（10分） （【得分要点】建系，列坐标是后续步骤的基础，坐标写错的话，后面的步骤肯定 错误，得不了分） 方法帮 124 设平面的法向量为 , 则可取,则, ， 故平面的一个法向量为 .（11分） 设平面即平面的法向量为 , 则可取,则,,故平面 的一 个法向量为 .（12分） , .（14分） 故平面与平面所成二面角的正弦值为 .（15分） 方法帮 125 题型4 利用空间向量求空间距离 1 点线距 例21 [教材改编P34例6]在长方体中,,, ，求 到直线 的距离. 方法帮 126 图1.4-42 【解析】 建立如图1.4-42所示的空间直角坐标系，则 ,,,过作于点,设 , 则, . ,, , 解得 , . 即到直线的距离为 . 方法帮 127 图1.4-43 连接 ,建立如图1.4-43所示的空间直角坐标系,则 ,,,, , ， , 到直线的距离 （【看本质】 实质是勾股定理的运用） . . . 方法帮 128 利用向量法求点到直线的距离的两种思路 1.将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题.过已知点作直线的垂线段，建立 适当的空间直角坐标系，利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这 是求各种距离的通法. 2.直接套用点线距公式求解，其步骤为： 直线的方向向量 所求点到直线上一点的向量及在直线的方向向量 上的投 影 代入公式. 另外，注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 方法帮 129 【学会了吗丨变式题】 图1.4-44 10.(2026·山西省太原市期中)如图1.4-44，在直三棱柱 中，是等边三角形， ， ，则点到直线 的距离为( ) C A. B. C. D. 方法帮 130 图D 1.4-10 【解析】取的中点，连接,则, ，以 所在直线为轴，所在直线为轴，与 中点连线 所在直线为 轴，建立如图D 1.4-10所示的空间直角坐标系， 所以,, ， 所以, ， 故点到直线 的距离为 . 方法帮 131 2 点面距、线面距、面面距（线面距、面面距可转化为点面距求解） 图1.4-45 例22 (2026·江苏省南京市期末)如图1.4-45，与 都是边 长为2的正三角形，平面 平面， 平面 ， ，则点到平面 的距离为_ ____. . . 方法帮 132 【解析】取的中点，连接，，则， （利用等边三角形 的特点寻找垂直关系构造建系条件）， 又平面 平面,所以 平面 . 图1.4-46 以为坐标原点，分别以直线，，为轴、轴、 轴建立 空间直角坐标系,如图1.4-46所示.（特殊点如中点，往往是建系中常 用到的点） 因为与 都是边长为2的正三角形, 所以 ， 则，，，， ， 所以， . . . 方法帮 133 设平面的法向量为 ， 由得即 取，得,，可得平面 的一个法向量为 . 又,所以所求距离 . 方法帮 例23 (2026·福建省福州市期中)已知边长为4的正三角形，,分别为和 的 中点.,且 平面，设是 的中点. （1）求证：平面 ; 【解析】, , . 与无交点, . 又 平面, 平面,平面 . 方法帮 135 （2）求与平面 间的距离. 【解析】由（1）知，平面 , 点到平面的距离就是与平面 间的距离（线面距转化为点面距）. 设平面的法向量为 , 则即 又, , 即 . . 方法帮 136 令,则, , 平面的一个法向量为 . 连接，则 ， 所求距离 . 方法帮 137 【解析】如图1.4-47,以为坐标原点，平面内垂直于边的直线为轴， 所在 直线为轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系. 图1.4-47 ,,且,分别是, 的中点， ,,,,,, . 方法帮 138 求点到平面的距离的方法 （1）直接法:由点到平面的距离的定义转化为平面几何中的解直角三角形的问题进 行求解. （2）体积法:由已知点和平面内不共线的三点构成三棱锥，转化为体积问题，进而 用等体积法求解.#2.1.2 方法帮 139 （3）向量法:#2.1.3 方法帮 140 【学会了吗丨变式题】 11.[多选题](2026·河南省新乡市联考)已知正方体 的棱长为1，点 ，分别是，的中点，点在正方体内部且满足 ， 则下列说法正确的是( ) BC A.点到直线的距离是 B.点到平面的距离为 C.平面与平面间的距离为 D.点到直线的距离为 方法帮 141 图D 1.4-11 【解析】如图D 1.4-11，建立空间直角坐标系，则 ，，，， ， ，，所以， . 设 ，则 , . 故点到直线的距离 ，故 A错误. 方法帮 142 ，平面的一个法向量为，则点 到平面的距离 ，故B正确. ，，.设平面 的法向量为 ，则所以令，得, ,所以 为平面 的一个法向量. 所以点到平面的距离 . 方法帮 143 因为平面平面，所以平面与平面间的距离等于点 到平面 的距离（面面距转化为点面距）， 所以平面与平面间的距离为 ，故C正确. 因为，所以，， ， 又，则 ， 所以点到的距离,故D错误.故选 . . . . . . . . . 方法帮 144 新考法 数学文化 图1.4-48 例24 九章算术 曲池(2026·北京市和平街第一中学月考)中国古 代数学著作《九章算术》中记载了一种名为“曲池”的几何体，该 几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇 形截得的部分），现有一个如图1.4-48所示的曲池，它的高为 2，,,, 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两 个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为 ，则平面 与 平面 所成角的余弦值为__. 方法帮 145 图1.4-49 【解析】设上底面扇环对应的圆心为 ，下底面扇环对应的 圆心为，连接，，，,,以 为原点，分别 以，，所在直线为，， 轴建立如图1.4-49所示的 空间直角坐标系，（【小技巧】在求解空间几何问题时，补 形法是常用的一个方法） 则，，，， ， ，则， ， ， ， 设为平面 的法向量， 则即 方法帮 146 令，可得, ， 所以为平面 的一个法向量， 设为平面 的法向量， 则即令，可得,，所以 为 平面 的一个法向量. 设平面与平面所成角为 ， 则, ， 故平面与平面所成角的余弦值为 . 方法帮 147 素养提升《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、 生活实践有联系的应用问题.《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志 着中国古代数学体系的形成，是中国为数学发展做出的又一杰出贡献. 方法帮 148 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 本节内容每年都考，主要考查立体几何中的证明题、几何量的计算问题以及探索问 题，一般以解答题的形式出现，其中第一问主要考查线面平行与垂直的证明 （一般选用几何综合法），第二问主要考查夹角的计算（一般选用空间向量法）， 解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，并正确进行向量的坐标运算. 核心素养：数学运算（求角、求距离、求最值等），直观想象（结合图形将几何问 题化归为向量问题），逻辑推理（建立基底或坐标系，证明空间位置关系等）. 149 考向1 用向量方法研究平行、垂直关系 例25 [多选题](2025· 全国一卷)在正三棱柱中，为 的中点，则 ( ) BD A. B. 平面 C. D.平面 150 【解析】 对于A，由三棱柱的性质可知， 平面，则 ,假 设,又,, 平面,所以 平面 ,矛 盾，所以与 不垂直,A错误. 对于B，因为三棱柱是正三棱柱，所以 平面，则 ， 因为为的中点，,所以，又，, 平面 ，所以 平面，又，所以 平面 ，故B正确. 对于C，，与相交，所以与 异面，故C错误. 对于D，， 平面， 平面，所以平面 ， 故D正确. 故选 . 151 图1.4-50 如图1.4-50，建立空间直角坐标系，设该正三棱 柱的底边为2，高为 ， 则,,,, , , . 对于A，, ，则 ，则 不成 立，故A错误. 对于B，D，,, , ， 152 设平面的法向量为 ， 则得 ， 令，则为平面 的一个法向量， 所以， ， 则 平面 ， 又 平面，所以平面 ，故B，D正确. 对于C，, ， 则，显然 不成立，故C错误. 故选 . 153 考向2 两条直线所成的角 图1.4-51 例26 (2025· 全国一卷)如图1.4-51，在四棱锥 中， 底面，, . （1）证明：平面 平面 . 【解析】因为 平面, 平面 ,所以 ,（1分） 又,,所以 平面 ,（3分） 又 平面，所以平面 平面 ．（4分） 154 （2）设,,,且点,,,均在球 的球面上. （ⅰ）证明：点在平面 内； 图1.4-52 【解析】以为坐标原点，，， 的方向分别为 ,, 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图1.4-52所 示,（5分） 则,,, ,设 ， 155 因为点，,,均在球 的球面上, 所以 , 则 ，（7分） 得,,，即 ,（9分） 所以点在上，即点在平面 内.（10分） 156 （ⅱ）求直线与 所成角的余弦值. 【解析】, ，（12分） 则, ，（14分） 所以直线与所成角的余弦值为 ．（15分） 157 考向3 空间线面角的求解 例27 (2025·北京)如图1.4-53，在四棱锥中，与 均为等腰直角 三角形， ， ，为 的中点． 图1.4-53 158 （1）若,分别为,的中点，求证：平面 ； 【解析】如图1.4-54，取的中点，的中点，连接，， ， 图1.4-54 与为等腰直角三角形且 ， ， 不妨设，. . 159 ,分别为，的中点，为 的中点， ,，且, ， . , ， ， ， 四边形为平行四边形， . 平面， 平面，平面 . 160 （2）若 平面，，求直线与平面 所成角的正弦值． 【解析】 平面 ， 以为原点，，，所在直线分别为，， 轴建立如图1.4-54所示的空间 直角坐标系， 设，则,,,, . ,, ， 设平面的一个法向量为 ， 161 取，则,， . 设与平面所成角为 ， 则, ， 即直线与平面所成角的正弦值为 . 162 考向4 空间二面角的问题 1 二面角的求解 图1.4-55 例28 (2025· 全国二卷)如图1.4-55，在四边形 中，, ，为 的中点， 点在上，，， .将 四边形沿翻折至四边形 ，使得面 与面所成的二面角为 . 163 （1）证明：平面 ； 【解析】 ， 平面， 平面， 平面 ， ， 平面， 平面 ， 平面 . 平面， 平面， ， 平面平面 . 平面，平面 . 164 ， ， 平面， 平面 ， 平面， 平面 ， ， ， 平面平面 . 平面，平面 . 165 图1.4-56 如图1.4-56，延长至点 ，使得 ，连接， ， ，，又 ， 四边形是平行四边形， ， . 翻折后，， ， 四边形是平行四边形， . 平面， 平面 , 平面 . 166 （2）求面与面 所成的二面角的正弦值. 【解析】 ，， ，即 ，翻折后， ， ， 面与面所成二面角的平面角为，即 ，同理 . 设，取的中点，连接 ， 在中，，， ， 由余弦定理得 ， 167 ， . 在线段上取一点，使得，连接，则 ， 又, 四边形 为平行四边形， ， ，， ， 平面，即 平面 ， ，， 两两垂直. 168 图1.4-57 如图1.4-57所示，以为坐标原点，,, 的方向分别为轴，轴， 轴的正方向，建立空 间直角坐标系， （【失分警示】没有寻找到3条两两垂直的线段， 想当然建系，导致完全丢分） 则，， ， ,, ， ，, . 169 设平面的法向量为 ， 则即 取，则为平面 的一个法向量. 设平面的法向量为 ， 则即 取，则为平面 的一个法向量. 170 设平面与平面的夹角为 ，则 , ， ， 面与面所成二面角的正弦值为 . 171 命题探源 对于二面角的求解，高考题往往是先求解线、面之间的位置关系， 然后利用空间向量求解二面角，教材第39页例10也是这样的出题模 式.相较于必修第二册利用综合法求解二面角，向量法和坐标法求 解二面角更多的是考查数学运算能力. 素养探源 素养 考查途径 直观想象 判断线面位置关系、建立坐标系. 数学运算 向量坐标运算. 172 图1.4-58 例29 (2025·天津)如图1.4-58，正方体 的棱长为4,,分别为, 中 点，点在棱上，且 . （1）求证: 平面 ; 173 图1.4-59 【解析】以为坐标原点，所在直线为 轴，所在直线为轴，所在直线为 轴建 立如图1.4-59所示的空间直角坐标系. 则，，， ， ，， ， ，，即 , . 又, 平面， 平面 ， 平面 . 174 （2）求平面与平面 夹角的余弦值; 【解析】设平面的法向量为 , 则即 则，取,则 ， 故为平面 的一个法向量. 设平面的法向量为 ， 则 175 又， ， 故 可取,则, ， 故为平面 的一个法向量. , ， 平面与平面夹角的余弦值为 . 176 （3）求三棱锥 的体积. 【解析】设点到平面的距离为 , 易知 ， 由（2）知平面的一个法向量为 , 故 , 在中,易知，, ， 故, , 的面积为 , 故三棱锥的体积为 . 177 2 由二面角大小求其他值 例30 (20241 新课标Ⅰ卷)如图1.4-60，四棱锥中， 底面 ， ,, . 图1.4-60 （1）若,证明：平面 ； 178 【解析】第1步：证明 底面， 底面， ， 又,，, 平面 ， 平面 ， 又 平面， . 第2步：证明，得出 ， , ， 第3步：证明平面 平面， 平面 ， 平面 . 179 （2）若,且二面角的正弦值为,求 . 图1.4-61 【解析】第1步：建系，设出点 ，写出相关向量 的坐标 由题意知,,两两垂直，以为坐标原点， 所在 直线为轴，所在直线为轴，过点且平行于 的直 线为 轴建立如图1.4-61所示的空间直角坐标系，则 ，设,，则 , ,, , , . 180 第2步：得出平面 的一个法向量 设平面的法向量为 ， 则即 可取，则, , 故平面的一个法向量为 . 第3步：得出平面 的一个法向量 设平面的法向量为 , 181 则即 可取,则, ， 故平面的一个法向量为 . 第4步：根据二面角 的正弦值列方程 二面角的正弦值为 ， 余弦值的绝对值为，故, ， 第5步：得出 的长 又，，即 . 考向5 立体几何中的动态问题 例31 (全国甲卷)如图1.4-62，已知直三棱柱中，侧面 为正方 形，，,分别为和的中点，为棱上的点， . 图1.4-62 183 （1）证明： ; 【解析】因为,分别是和的中点，且，所以， . 图1.4-63 如图1.4-63，连接,由,,得 ，于 是,所以 . 由，得，故以 为坐标原点，以 ,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系， 则,,, . 设，则 ， 于是 . 所以，所以 . 184 （2）当为何值时，面与面 所成的二面角的正弦值最小？ 【解析】易知面的一个法向量为 . 设面的法向量为， , 则所以 令，得, , 于是,面的一个法向量为 ， 所以, . 设面与面所成的二面角为 , 185 则, ， 故当时，面与面所成的二面角的正弦值最小,为 ， 即当时，面与面 所成的二面角的正弦值最小. 高考新题型专练 图1.4-64 1.[多选题](2026·陕西省西安市期中)如图1.4-64， 为正方 形和矩形的公共边，二面角 的平面 角为 ，且，为 的中点，则下列结论 正确的有( ) BCD A. B.直线与所成角的余弦值是 C.直线与平面所成角的正弦值是 D.点到平面的距离是 187 图D 1.4-12 【解析】由已知， ，又 ，， 平面，所以 平面 ，以为坐标原点，，所在的直线为, 轴， 过垂直于平面的直线为 轴建立空间直角坐标系， 如图D 1.4-12所示，又二面角 的平面角为 ，所以 ， ， 所以，， 【详解】由 ,可得 ,，所以点 横 坐标为1，纵坐标为4，竖坐标为，，， ， . . 188 所以，所以， 不垂直，A错误. ，，所以， ，所以直线 与所成角的余弦值是 ，B正确. 设平面的法向量为 ， 由已知所以 取可得，， ， 则平面的一个法向量为 , 189 又，所以, ， 设直线与平面所成的角为 ,则, , 所以直线与平面所成角的正弦值是 ，C正确. ，平面的一个法向量为 ， 设点到平面的距离为,则，D正确.故选 ． 190 2.学科综合 六氟化硫[多选题](2026·广东省中山市期中)六氟化硫，化学式为 ，在 常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业 方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角 形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥底面粘接在一起的几何体），如图1.4- 65所示的正八面体 ，则下列说法中正确的有( ) AC 图1.4-65 A.平面平面 B.平面 平面 C.异面直线与所成的角为 D.若点为棱上的动点，则直线与平面 所成角的正弦 值的范围是 191 图D 1.4-13 【解析】如图D 1.4-13所示，连接, ， ，连接，则以为坐标原点，以, , 所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系. 设正八面体棱长为2，则 , ， 所以,,, , ,，所以 , ,, ， 所以, ， 又,，所以, . 192 又 平面， 平面，所以平面 ， 平面， 平面，所以平面 ， 又，所以平面平面 ，所以A正确. 设平面的法向量为 ， 则即 令，解得, ， 所以平面的一个法向量为 . , ， 193 设平面的法向量为 ， 则即 令，解得, ， 所以平面的一个法向量为 . ，所以平面与平面 不垂直，所以B错误. 设异面直线与所成的角为 ， 则, ， 则 ，所以C正确. 194 , ， 由A选项知平面的一个法向量为 ， 因为点为棱上的动点，所以设 ， 则 . 设直线与平面所成的角为 ，则 , . 设 ， 195 令，，则 ， 可得 . 当，即时， ， 当时，，可知 ， 即，可知 ; 当时， . 所以直线与平面所成角的正弦值的范围为，所以D错误.故选 . 196 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：40分钟 1.(2026·广东省广州市质检)已知正方体的棱长为1，以 为原点， ，，}为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面 的一个法向 量是( ) D A. B. C. D. 197 图D 1.4-1 【解析】 （坐标法） 如图D 1.4-1， ， ，，则， ， 设平面的法向量为 ，则 取，则， ， 平面的一个法向量为 ． （综合法） 连接, 平面, , 又,且, 平面 , 即为平面 的一个法向量. 198 （叉乘法）， ， 则 ，即平 面的一个法向量为 . （平面方程法） 将,,三点坐标代入平面方程 ， 得解得 ， 所以平面的一个法向量为 . 199 2.(2026·河南省禹州市第三高级中学月考)已知直线的一个方向向量 ，直 线的一个方向向量，若，且，则 的值是( ) A A.或1 B.3或 C. D.1 【解析】， . ,， ， .（【巧解】,代入即得 的值） 当时，;当时， . 或 . 200 3.(2026·山东省济南第一中学期中)正四棱柱中，， ， ，分别是，，的中点，则直线与 所成角的余弦值为( ) D A. B. C. D. 图D 1.4-2 【解析】以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系，如图D 1.4-2所示. 设, （【小技巧】题目未给出几何体相关长度 时，可以根据数量关系赋值，便于得出相关点的坐标）， . . 201 则,,,，, . 故, ， 故直线与所成角的余弦值为 . 202 4.［教材改编P44 T17］(2026·福建省厦门第一中学月考)空间直角坐标系中，过点 ，以 为法向量的平面方程为 ，经过点 ，且一个方向向量为 的直线方程为 .已知在空间直角坐标系中， 平面 的方程为，直线的方程为，满足 平面 ， 则平面 与平面 夹角的余弦值为( ) A A. B. C. D. 203 【解析】由题意知，平面 的方程为 ， 直线的方程为 ， 所以平面 的一个法向量为，直线的一个方向向量为 . 又 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为, . 204 图1.4-1 5.(2026·江苏省启东中学期中)如图1.4-1，把正方形纸片 沿对角线折成 的二面角，，分别为 ， 的中点，是原正方形的中心，则折纸后 的 余弦值为( ) C A. B. C. D. 205 【解析】如图D 1.4-3，连接,,, ， 图D 1.4-3 在正方形中， ， ， ， 平面 平面 ， 二面角 ， 206 即 . 设，则， ， ， ， ， 故, . . . 207 6.[多选题](2026·贵州省贵阳市第一中学开学考试)在正方体 中， ，分别为， 的中点，则( ) AD A.平面 B.平面平面 C. 平面 D.平面 平面 208 【解析】对于A，由正方体性质可得平面平面，又 平面 ，故平面 ，故A正确. 图D 1.4-4 如图D 1.4-4，以点为坐标原点，分别以，， 所在直线为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系， 设，则，,, , ，,, , 则,, , ，, . 209 对于B,设平面的法向量为 ， 则有令，得,,则取 ,而 ，故平面平面 不成立，故B错误. 对于C,因为，所以 平面 不成立，C错误. 对于D，设平面的法向量为，则有令 , 得，,则平面的一个法向量为，因为 ，所以 平面 平面，故D正确.故选 ． 210 7.(2026·山东省日照市期末)已知梯形如图1.4-2所示，其中,， 为 线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面 平面 ，得到如图1.4-3所示的几何体．已知当点满足 时，平 面 平面，则 的值为_ _． 图1.4-2 图1.4-3 211 【解析】（【解题关键】折叠问题的关键在于理解翻折前后不变量和变量的关系， 注意翻折后翻折部分与其他部分的关系（特别是垂直关系）） 图D 1.4-5 如图D 1.4-5，以为坐标原点，,, 所在直线分别 为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系， 则,,,,, , 则, , , . 设是平面 的法向量， 212 则即 令,得,,可取,,2 . 设是平面 的法向量， 则即 令,得,,可取 . 由平面 平面，得 ， 即，解得 ． 213 8.(2026·山东省淄博第六中学月考)如图1.4-4，已知直四棱柱 中， ，,,，，是的中点,是 的中点. 图1.4-4 （1）求证:平面 ; 214 图D 1.4-6 【答案】以为坐标原点，以，，所在直线分别为 轴、轴、 轴建立如图D 1.4-6所示的空间直角坐标系， 依题意得，，，， ， ， ， 则， ， 所以，， . 设平面的法向量为 ， 则即 215 取，得， ， 则为平面 的一个法向量. ， 所以，又 平面,所以平面 . （【另解】也可以取的中点,连接,,通过证明得到 平面 ） 216 （2）求平面与平面 夹角的余弦值; 【答案】易知， ， 设平面的法向量为 ， 则即 取，得， ， 则为平面 的一个法向量. 设平面与平面的夹角为 ， 则， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 217 （3）求点到平面 的距离. 【答案】易知 . 设点到平面的距离为，则 ， 所以点到平面的距离为 . 218 B 综合练丨高考模拟 建议时间：45分钟 图1.4-5 9.新情境 达·芬奇方砖 (2026·江苏省泰州市期中)布 达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖 在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如 图1.4-5（1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图1.4 -5（2）的组合，这个组合再转换成图1.4-5（3）所 示的空间几何体．若图1.4-5（3）中每个正方体的 B A. B. C. D. 棱长为1，则直线与平面 所成角的正弦值为( ) 219 【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，如图D 1.4-7所示， 图D 1.4-7 则，，，， ，（【注意】图形比较复杂， 准确找到点的坐标是解题关键） 220 所以，， . 设平面的法向量为，则 令，则，，所以取 ， 设直线与平面所成的角为 , 所以, ， 所以直线与平面所成角的正弦值为 ．故选B． 221 10.[多选题](2026·湖北省孝感高级中学月考)在四棱锥 中，底面是边长为4 的正方形，为的中点，，，点在底面 内的 射影为， 为该四棱锥外接球球心，则( ) ACD A.平面 B.二面角的大小为 C. D.向量在上的投影向量为 222 图D 1.4-8 【解析】分别以,所在直线为,轴，以过点 且垂直 底面的线为 轴建立空间直角坐标系，如图D 1.4-8 所示，则,,, . 设，由， 得 解得 故 ， 223 又为在底面的射影，所以点坐标为 ， 又为的中点，所以 . 设平面的一个法向量为 ， ， ， 则 即,不妨令，,得 . 又， ， 且 平面，所以平面 ，故选项A正确. 平面的一个法向量可取 ， 224 , ，故选项B错误. 易知球心在过底面的中心且与底面 垂直的直线上， 设球心，由得 ， 解得，所以 ， 故 ，故选项C正确. , ， 向量在 上的投影向量为 ，故选项D正确.故选 . 225 11.在棱长为1的正方体中，，分别为,的中点，则点 到 直线的距离为_ ___;平面到平面 的距离为___. 图D 1.4-9 【解析】以为原点，分别以,,的方向为轴、 轴、 轴的正方向建立如图D 1.4-9所示的空间直角坐标系， 则,,,, , ，, ， , ． 点到直线 的距离为 . 226 由正方体的性质可知，平面平面，平面到平面 的距离即为点 到平面 的距离（【巧转化】面面距转化为点面距）， 设平面的法向量为 ， 所以 令,得,,则平面的一个法向量为 ． 点到平面的距离 ， 所以平面到平面的距离为 ． . . . . 227 12.(2026·云南省昆明市第八中学期中)如图1.4-6，三棱锥 中， ,, ，为 的中点. 图1.4-6 （1）证明： ; 228 【答案】如图D 1.4-10，连接, , 图D 1.4-10 因为,且为的中点,所以 . 因为 ,， , 所以.可得,故 . 因为,, 平面,所以 平面 . 又 平面,所以 . 229 （2）点满足,求二面角 的正弦值. 【答案】由（1）知，, . 不妨设 , 因为 , 所以 由题可知为等腰直角三角形,故 . 因为 , 所以 . 在中,,所以 . 230 以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为 轴 建立空间 直角坐标系,如图D 1.4-10， 则,,，, . 设,因为 , 所以,可得 . 所以 . 设平面的法向量为 , 则即 取,则,为平面 的一个法向量. 231 设平面的法向量为 , 则即得 , 取,则,为平面 的一个法向量. 所以, . 记二面角的大小为 ， 则 ,, 故二面角的正弦值为 . 232 13.新考法 结构不良 如图1.4-7为一个半圆柱，为半圆弧上一点， ． 图1.4-7 （1）若，求四棱锥 的体积的最大值； 233 【答案】如图D 1.4-11，在平面内作于点 ， 图D 1.4-11 平面 平面，平面 平面 ， 平面.的最大值为 （【解惑】圆上的点到直径的距离的最大值为 半径的长）， 四棱锥 的体积的最大值为 ． . . 234 （2）有如下三个条件： ① ； ②直线与所成角的正弦值为 ； ③ ． 请你从中选择两个作为条件，求直线与平面 所成角的余弦值． 235 【答案】由条件①得 ， 则 ， ，即 . 又，， ． 由条件②得直线与所成角的正弦值为 . ， 平面 ， 为直线与所成角，即 ， ． 236 由条件③得，则 ． 若选条件①②，则，，且 ， ． 若选条件①③，则，，且 ， ，解得或（舍去）， ． 若选条件②③，则，且 ， 又 ， ，则， . 237 故从条件①②③中任选两个作为条件，都可以得到， ， . 下面求直线与平面 所成角的正弦值（【注意】本题要求的是线面角的余弦值， 可先求出正弦值，然后通过同角三角函数的基本关系求余弦值）. 在中，，, . 以为原点，建立如图D 1.4-11所示的空间直角坐标系，则 ， ，，，，，，， ， . . . 238 设平面的法向量为 ， 则即令，则， ， 平面的一个法向量为 . 设直线与平面所成角为 ， 则, . 线面角的取值范围为， ， 故直线与平面所成角的余弦值为 ． 239 C 培优练丨能力提升 14.(2026·广东省仲元中学期中)在平面四边形中， ， , ，将沿翻折至，其中 为动点. （1）设，三棱锥的各个顶点都在球 的球面上． 240 （ⅰ）证明：平面 平面 ； 图D 1.4-12 【答案】如图D 1.4-12，在中，由 ， ，得 ， 所以 ，且 ，即 . 因为，，，, 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面，所以平面 平面 . 241 （ⅱ）求球 的半径. 图D 1.4-13 【答案】以为原点，,所在直线分别为轴和 轴建立如 图D 1.4-13所示空间直角坐标系， 则,,,，设球心 ， 半径，则 ， 所以 ， 解得,,,，所以球的半径为 . 242 （2）求二面角 的余弦值的最小值. 【答案】平面中，过点作于点 ， 在平面中，过作一条垂直于的直线，在直线上取一点,则 ， 因为,, 平面,所以 平面 . 则由（1）知, ， 243 图D 1.4-14 设 , ，以为原点，, 所在直 线分别为轴和 轴，建立如图D 1.4-14所示的空间直角坐标系， 则点在平面 内， 则,,, , ， 所以, , ， 244 设平面的法向量为 ， 则即 取 ，得, ,则得 . 245 设平面的法向量为，则 即 取，得, , 则得 . 所以, ， 令，则由 得 ， 则 （【方法】通过换元，利用二次函数的性质求解）， 于是,，当且仅当,即 时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为 . （【解惑】二面角 的平面角为锐角） 247 $