1.2集合间的基本关系导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合间的基本关系，引导学生理解子集、真子集、空集概念及韦恩图表示，通过对比元素与集合的“属于/不属于”关系（如小明与班级），以俄罗斯套娃、空袋子等类比为支架，建立集合间“包含”关系的认知。 资料亮点在于概念理解生活化（体现数学眼光的抽象能力），题型涵盖判断关系、写子集真子集、求参数等，由浅入深（培养数学思维的推理能力），结合韦恩图直观呈现（发展几何直观），助力学生自主构建知识体系，提升分析解决问题能力。

自学册 解题思路 重难点复习 刘数编 1.2集合间的基本关系自学册 一：概念理解 集合与集合之间的关系要区分于第一节中元素与集合的关系。元素与集合的关系是属于或不属于的关系，可类比个体与集体的关系，小明要么属于1班，要么不属于1班。而集合与集合之间的关系是包含和不包含的关系，比如1班这个大集合包含1班的第三个小组这个小集合。 子集的概念通俗地说就是如果小集合里面的每一个成员，全部都能在大集合里面找到，那么小集合就是大集合的子集。 例子：大集合：{苹果，香蕉，橘子，西瓜}，小集合：{苹果，香蕉} ，苹果在大集合、香蕉也在大集合，小集合的全部成员都在大集合，所以小集合{苹果，香蕉}就是大集合{苹果，香蕉，橘子，西瓜}的子集。还可以想象一下俄罗斯套娃，一个一个集合套下去。 此处要注意两个特殊的集合，第一个是集合本身是自己的子集。{苹果，香蕉，橘子，西瓜}{苹果，香蕉，橘子，西瓜}。说白了就是我所有成员当然全部都在我自己里面，自己包含自己。第二个是空集是任意集合的子集。空集可以想象成一个空袋子或者空箱子，一切集合都以此为基往袋子里或箱子里装元素，所以空集如婴孩，孩子一般重要。然后是真子集的概念，一句话，两个集合是子集的关系，只要装的元素个数不一样，一多一少(没有元素和有元素也算)，又叫真子集。 最后说明一下韦恩图(Venn图)，通常用圆圈的内部表示集合，一个大圈包着一个小圈就可以表示包含关系。 二：题型总结 题型一：判断集合之间的关系 例1 指出下列集合之间的关系 (1);(2) (3); (4). 解：(1)观察法，集合,所以. (2) 数轴法：凡是碰到两个集合中的元素是用不等式表示的实数集，均可以用数轴法直观判断包含关系。集合表示到的所有实数，集合表示到的所有实数。由于实数和数轴是一一对应的，故一段范围的实数集可以用数轴上的一段来表示，如下图所示。B A -11 0 1 2 4 3 5 可以直观看出集合B(绿色)被集合A(红色)包住了，所以集合B是集合A的子集。 (3)集合A是2的倍数组成的集合,所以A是偶数集，集合B是4的倍数组成的集合，观察得到。 (4)集合B中的元素，观察发现重点是，根据奇负偶正得当为偶数时，，当为奇数时，，又根据互异性有，所以。 题型二：写出集合的全部子集，真子集(判断子集的个数) 例2 设集合，写出集合的所有子集和真子集。 解：，即。首先，第一个子集Ø，这个经常容易落下，应当优先写出。然后写只有一个数的集合，最后是他本身。除了他自己以外都是真子集，注意空集是任何非空集合的真子集。规律：由个元素组成的集合，他的子集的个数是；他的非空子集(抠掉空集)的个数是；他的真子集(抠掉本身)的个数是；他的非空真子集(抠掉空集和他本身)的个数是。 题型三：已知子集的个数求参数 例3 已知集合的子集只有两个，则的值为____. 解：首先观察方程，他的二次项系数为，是未知的参数。那么就要讨论的情况。只有当时方程才是一元二次方程，当时方程是一元一次方程，即。然后由已知有2个子集，所以集合中只有一个数。 那么当时肯定是符合题意的，因为此时方程只有一个解。当时方程是一元二次方程，集合中只有一个数就是只有一个解，根据判别式与解的关系：只有一个解，所以，解得。综上。 变式1 已知集合，他的子集有8个，则=______. 解：因为他的子集有8个，所以集合中有3()个数。现在中有两个确定的数1和2，根据集合中元素的互异性，既不能是1也不能是2，即。 变式2 若集合的子集只有一个，则=______. 解：子集只有一个说明是空集(),即方程无解，所以()。 题型四：已知,求参数的取值范围 这块经常出现的就是两个用不等式描述的集合满足包含关系，求参数的取值范围。比如一个简单的例子：已知集合，集合,若,则的取值范围。 3 1 通过数轴我们可以观察得到，集合A是红色部分，集合B是绿色部分，要想A 是B的子集就需要绿色部分把红色部分包住，图示是很容易画出来的，也就很容易观察出要小于3。但是关键是端点值3，能不能取3呢？想象一下，，红色部分和绿色部分的右边界重合了，而且集合A中没有点跑到集合B外面，所以满足题意，所以。 现在把这个题改一下，集合，和上面不同的是集合A包含这个点。想象一下，红色部分和绿色部分的边界重合了，但是红色部分还有个点不在绿色部分里，跑到集合B外面了，那么就不满足题意，所以。 由此我们总结，此类题就是画数轴，把集合表示在数轴上，注意谁是谁的子集，那么就可以把“大”的集合画的范围大一点，把“小”集合包住，那么就可以直观的得到一个范围，最后观察端点值是否可以取到。这里有一个技巧，可以把数轴上的小框当成韦恩图，那么一个集合是另一个集合的子集，边界是可以重合的，端点值能不能取就看边界重合后端点有没有跑出去，端点跑出去了就不能取，端点没跑出去就可以取。 我们以汽车为例，比如汽车代表的集合是，那么把汽车放到数轴上，他的车身正好前后靠在1和4这两个标准线上，但是集合A包含端点1,4，我们就想象汽车的前方和后方各悬挂了两个轮胎，这两个轮胎就代表1和4。集合，若，那么集合B的红色部分就要把小车包住，直观得到，关键就是端点 1和4 4 1 小车示意图 值能不能取到。如果让，那么，集合A代表的小车的车头与车尾与集合B代表的停车线是重合的，但是注意了，小车还有两个轮胎1和4，车头车尾已经顶住线了，那么这两个轮胎就会出线，也就是说小车这个集合A有两个数跑出集合B了，跑出去了那么端点1和4就不能取，所以。 再改一下题，如果汽车代表的集合是，此时汽车前后没有轮胎了，那么当时，，汽车的前后依旧死死顶住线，但是由于没有了轮胎1和4的困扰，小车就正好停在集合的线上，没有轮胎跑出去也就没有数跑出去，所以。 例4 已知集合，，若，求的取值范围。 解：B A 如图所示，，则肯定不是空集。所以，注意端点值是可以取到的。即，这样的不存在，所以的取值范围是Ø。 变式3 已知集合，，若，求的取值范围。 解：和例4唯一不同的是集合中的不等式不包含端点了。如果，那么两个集合边界重合，但是集合中的两个端点跑到集合外面去了，所以端点值取不到。所以。 例5 设为实数，集合，集合，且,则的取值范围是______。 解：注意，，而且集合中含有参数，所以可以为空集，那就需要分为两种情况讨论。此题与上一题不同，上一题已经给出非空。 1　 当Ø时，满足，此时，。 2　 当Ø时，且，如图所示m 2m-1 -3 2 有 解得 综上，的取值范围是。 例6 已知，，若，则实数的取值的集合是______. 解：首先解方程，然后用列举法表示集合.集合含有参数，所以集合可以为空集。 1　 当Ø时，满足，此时。 2　 当Ø时，且，所以。即，所以。综上，实数的取值的集合是。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 自学册 解题思路 重难点复习 刘数编 1.2集合间的基本关系自学册 一：概念理解 集合与集合之间的关系要区分于第一节中元素与集合的关系。元素与集合的关系是属于或不属于的关系，可类比个体与集体的关系，小明要么属于1班，要么不属于1班。而集合与集合之间的关系是包含和不包含的关系，比如1班这个大集合包含1班的第三个小组这个小集合。 子集的概念通俗地说就是如果小集合里面的每一个成员，全部都能在大集合里面找到，那么小集合就是大集合的子集。 例子：大集合：{苹果，香蕉，橘子，西瓜}，小集合：{苹果，香蕉} ，苹果在大集合、香蕉也在大集合，小集合的全部成员都在大集合，所以小集合{苹果，香蕉}就是大集合{苹果，香蕉，橘子，西瓜}的子集。还可以想象一下俄罗斯套娃，一个一个集合套下去。 此处要注意两个特殊的集合，第一个是集合本身是自己的子集。{苹果，香蕉，橘子，西瓜}{苹果，香蕉，橘子，西瓜}。说白了就是我所有成员当然全部都在我自己里面，自己包含自己。第二个是空集是任意集合的子集。空集可以想象成一个空袋子或者空箱子，一切集合都以此为基往袋子里或箱子里装元素，所以空集如婴孩，孩子一般重要。然后是真子集的概念，一句话，两个集合是子集的关系，只要装的元素个数不一样，一多一少(没有元素和有元素也算)，又叫真子集。 最后说明一下韦恩图(Venn图)，通常用圆圈的内部表示集合，一个大圈包着一个小圈就可以表示包含关系。 题型一：判断集合之间的关系 例1 指出下列集合之间的关系 (1);(2) (3); (4). 题型二：写出集合的全部子集，真子集(判断子集的个数) 例2 设集合，写出集合的所有子集和真子集。 题型三：已知子集的个数求参数 例3 已知集合的子集只有两个，则的值为____. 变式1 已知集合，他的子集有8个，则=______. 变式2 若集合的子集只有一个，则=______. 题型四：已知,求参数的取值范围 例4 已知集合，，若，求的取值范围。 变式3 已知集合，，若，求的取值范围。 例5 设为实数，集合，集合，且,则的取值范围是______。 例6 已知，，若，则实数的取值的集合是______. 学科网（北京）股份有限公司 $