第三章 图形的相似（6核心+10题型+4难点+复习讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学第三章“图形的相似”复习讲义通过表格梳理复习要点与重难点，系统呈现比例性质、相似三角形判定与性质、位似等核心知识，构建“概念-判定-性质-应用”的递进脉络，突出相似三角形综合应用这一重点及相似与全等的联系区别。 讲义亮点在于10类题型分层设计，如“相似三角形判定与性质综合题”培养推理能力，“黄金分割实际应用”发展应用意识，配套难点精练（如动点多解问题）。基础达标与能力进阶练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生数学思维与问题解决能力。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章图形的相似 复习目标 1.理解比例的基本性质、线段的比和成比例线段的概念，能借助等比性质和合比性质进 行比例变形与求值。 2.理解相似图形的概念，能区分相似与全等（全等是相似比为1的特殊情形），掌握相 似多边形的两大核心性质一一对应角相等、对应边成比例。 复习要点 3.掌握相似三角形的三种判定方法（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比 例)，并能区分不同判定方法的适用条件，灵活选择。 4.掌握相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例，对应高、中线、角平分线的比 等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 5.理解位似图形的定义与性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，并掌握在坐标系中 位似变换后点的坐标变化规律。 重点：相似三角形的判定与性质的综合应用，以及相似多边形性质的灵活运用。 复习重难点 难点：准确理解相似多边形的判定条件，区分相似与全等的联系与区别，以及综合运用 相似三角形的判定与性质解决实际问题和几何证明题。 理脉络 知识体系构建 比例线段 线段的比 比例的性质 定义 相似多边形 性质 判定 判定定理 比例线段顺序混淆 知识梳理 形 相似三角形 性质定理 相似三角形判定条件遗漏 相似比 易错点 相似比与面积比关系误用 定义 黄金分割近似值计算错误 相 黄金分割 学法指导 黄金比 相似三角形判定与性质证明 似 测高 利用相似测高测距 高频考点 相似三角形的应用 测距 位似图形作图 位似图形 比例线段计算 1/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过主千 核心内容整合 知识点 成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 a c I)若四条线段a、b、c、d成比例，则记作bd或a:b=c:d。注意：四条线段的位置不能随意颠 倒。 2)四条线段a、b、C、d的单位应一致（有时为了计算方便，a、b的单位一致，C、d的单位一致也 可以) 3)判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和 第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 要点速测 1.(25-26八年级下四川成都期中)下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是() A.a=4,b=5,c=6,d=10 B.a=2,b=3,c=4,d=6 c.a=2,b=5,c=2W5,d=10 D.a=0.8,b=3,c=1,d=10 知识点 比例的性质 1)比例的重要性质： ac ac a±bc±d 基本性质：若bd,则ad=bc;反之，也成立。 和比性质：若bd,则bd: a c a b a cb d 更比性质：若bd,则cd； 反比性质：若bd,则ac: g-9--=m (b+d+…+n≠0) a+c+…+m=a 等比性质：若bd n 则b+d+…+nb。 2/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a c 2)拓展：比例式中，bd或(a:b=c:)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b、d 叫后项，如果b=C,那么b叫做a、d的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC=AB·BC,叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分 割点。 一要点速测 a b 2.(25-26九年级上江西景德镇期末)若2=3 a+b 0，则a a-2c+3e 3.(25-26九年级下黑龙江大庆期中)若bdf4,则b-2d+3f 知识点 相似三角形的相关概念、判定和性质 1)相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2)相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3)相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的 一种特例。 4)相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证 明)。 5)相似三角形的性质 3/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①对应角相等，对应边的比相等： ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似 多边形的面积比等于相似比的平方。) 口口要点速测 4.(2026广东中山一模)如图，已知△ABC与△DEF,下列条件一定能推得它们相似的是（) A.∠A=∠D,ABBC DE EF B.∠C=∠R,ABAC DE DF C.∠A=∠D,∠B=∠E D.∠A=∠B,∠D=∠E 5.(25-26八年级下山东济南期末)如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上的一点，连接EC, BD交于点F;若AE:ED=3:2,△DFE的面积为8，则△BCD的面积是 A E B 6.(25-26九年级上黑龙江齐齐哈尔阶段检测)如图，矩形ABCD中，AB=16,BC=8,点P为AB 边上一动点，DP交AC于点Q, (I)求证：△APQ∽△CD0: (2)当PD⊥AC时，求DQ的长. 4/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点 平行线分线段成比例与黄金分割 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 黄金分割：如图，若线段AB上一点C,把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB 和BC的比例中项（即AC2=AB·BC)，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点， 其中 Cs5加三06SCa03B,AC与B的此黄金华，注：对裂 2 2 段AB而言，黄金分割点有两个.) C B 要点速测 7.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作 PM∥AC交MB PNIAB AC 于点M,作 ·交于点N, (I)若点D是BC的中点，且AP:PD=2:L,求AM:AB的值： AM AN AP 2)若点D是BC上任意一点，试证明：AB+ACAD 8.(2026甘肃平凉·二模)黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多 克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄 金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著.20世纪70年代，这种方法经过我国 著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就.下面的作法是由《几何原本》中给 5/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 出的： 几何原本 图1 图2 如图2，己知正方形ABCD,求作AB边的黄金分割点H. ①取AD的中点E,连接BE: ②在DA的延长线上取点F,使FE=EB: ③以线段AF为边作正方形AFGH, 则点H就是线段AB的黄金分割点 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段AB的黄金分割点H(保留作图痕迹，不写作 法). 知识点 利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须 是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 要点速测 9.(25-26九年级上·吉林长春·阶段检测)某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的 数学综合与实践活动 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪.取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条AB长 0.4m,木条CD长0.6m,DB长0.3m(接头处忽略不计)，为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个 铅垂，这样就制作出一个简易测高仪。 任务：测量校园内凉亭MN的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）， 工具：简易测高仪、卷尺 实践活动 6/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向凉亭顶端M,调整人 实践操作 到凉亭的距离，使得点M与点C,A恰好在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触 地面的点E的位置，如示意图所示. 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离 获取数据 BE=0.58m,BH=3.6m 示意图 解决问题 利用得到的数据求出凉亭MN的高度， 知识点 位似及位似作图 1、位似的概念及性质 (1)两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做 位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 (2)相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有：② 位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 (3)位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大：若位似比小 于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延 长)：③根据相似比确定各线段的长度：④顺次连接上述个点，得到图形。 3、图形的变换与坐标 (1)平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移个单位时，横坐标 7/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 应相应地加个单位，反之则减：②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上 加、下减。 (2)轴对称：①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y 轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 (3)以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比 等于k(对应点在位似中心同侧)或者一k(对应点在位似中心异侧)。即：若设原图形的某一点的坐标为 (,n), 则其位似图形对应点的坐标为(）或(-一加）。 要点速测 10. (2026安徽模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，△40B的顶点坐标分别为 (2,1)O(0,0) B(1,-2) B (1)画出将△4OB △A0,B, 左平移3个单位，再向上平移1个单位后的 (②以原点为位似中心，相似比为2，在'轴的左侧，画出将 AOB △4，O2B2 放大后的 (3)已知△AOB与△4，O,B,是关于某一点P为位似中心的位似图形，请直接写出点P的坐标， 研题型 高频题型突破 8/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型1判断是否是成比例线段 ■例1(25-26九年级上·福建泉州期中)下列各组的四条线段成比例的是() A.1,2,3,4 B.1,2,522 C.1,4,5,6 D.2,3,2g 解题要点 l.按顺序计算比值：成比例线段需满足ab=c:d(即a/b=c/d)。解题时按对应顺序列出四条线段， 分别计算前两条和后两条的比值，若相等则成比例。 2.单位统一与化简：计算前先将所有线段长度化为相同单位（如厘米）。若比值相等则成比例，注意 比例式中内项积等于外项积(adbc)也可快速验证。结果需化简为最简分数。 ■迁移练1-1(25-26九年级上陕西宝鸡期中)下列四组线段中，是成比例线段的是() A.3cm,4cm,5cm,6cm B.8cm,5cm,4cm,3cm C.2cm,5cm,6cm,15cm D.8cm,4cm,3cm,1cm 】迁移练1-2(25-26九年级上：广西百色：期中)下列各组中的四条线段成比例的是() A.2cm、3cm、4cm、lcm B.lcm、2cm、2cm、4cm C.1.5cm、2.5cm、4.5cm、5.5cm D.1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm ■迁移练1-3(25-26九年级上·宁夏银川期中)下列四组线段中，不能构成成比例线段的是() A.2cm,3cm,6cm,9cm B.Icm,2cm,3cm,4cm C.2cm 1cm'2cm'4cm D.√2cm,√3cm,2W2cm,2W5cm 题型2比例的性质 a 2 2a-b 1例2(25-26九年级上·湖南岳阳期中)若6=3，则a+b 9/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 l.基本性质与变形：若ab=c:d(即ab=cld),则adbc(内项积等于外项积)。可变形为ac =b/d、d/b=ca等，灵活转换便于求值或证明。 2.合比与等比性质：合比性质ab=cd→(ab)/心=(c±d/d;等比性质ab=cd=…=k→ (+c+)/b+d+)=k(分母不为0)。解题时优先用基本性质列方程，合比等比用于简化求值。注意 分母不能为0。 nx=y=2 1迂移练2-1(25-26九年级上浙江杭州：期中)已知432，则 2x-y+2z= a_ce I a-4c+2e(b-4d+2f≠0) ■迁移练2-2(25-26九年级上：广东佛山期中)bd了2，则b-4d+2f 的值为一 a b c 1迁移练23(25-26九年级上上海阶段练习)已知：235(a,b,c都不为0)· 2b (1)求代数式a-2b+3c的值： (2)当2a+b+3c=44时，求a,b,c的值. 题型3由平行判断成比例的线段 I例3(25-26九年级下江苏无锡阶段练习)如图，（∥∥，下列比例式中正确的是(） ADCE AD DF AD BC A. BC DE B BC-CE c80 D.BEAF 10/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1.找准基本图形：识别“A字型”（一条平行于三角形一边的直线）或“X字型”（两条平行线截两 条直线)。根据平行线分线段成比例定理，找准对应线段（如上、下、全）。 2.列出比例式求解：按平行关系写出比例式（如DE∥BC,则ADDB=AEEC)。注意对应顺序要一致 (同侧线段比相等)。己知三边求第四边时，用交叉相乘（内项积=外项积）解方程，结果需化简。注 意图形中重叠线段的分辨。 ■迁移练3-1(25-26九年级上·河北课后作业)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点， DE∥BC,点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G,则下列结论中一定正确的是() E G D ADAE AG AE BD CE AG AC A. AB EC B. GF BD C.AD AE D.AF EC ■迁移练3-2(25-26九年级上浙江课后作业)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点， DEBC BE,CD 与相交于点F,则下列结论一定正确的是() B DF AE AD AE AD DE DF EF A.FC EC B.AB AC C.BDBC D. BF FC ■迁移练33(25-26九年级上·上海宝山月考)如图，已知直线马、被三条互相平行的直线、14、所 AB DE AB DE 截，其中点A、B、C在直线l上，点D、E、F在直线l,上.下列四个结论①BC=EF,②4C=DF,③ AB DE AB BE EF=BC,④BCCF中，正确的个数有() 11/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型4黄金分割 5-1 例4(25-26九年级上湖南常德期中)宽与长的比是2的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以 协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图 甲所示的是希腊的巴特农神庙.如图乙所示，若黄金矩形的长AD=2,则黄金矩形的宽AB是 图甲 图乙 解题要点 1.定义与比值：点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),若AC:AB=BC:AC,则点C 为黄金分割点，比值AC/AB=(√5-1)/2≈0.618，或BC/AC=(√5-1)/2。 2.计算与应用：已知AB求AC时，AC=(√5-1)/2AB:求BC时，BC=AB-AC。注意黄金分割点 有两个（靠近A或靠近B),解题时需根据条件选择或讨论。常用于设计美学与线段计算。 ■迁移练41(25-26九年级上·广东深圳期中)勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后 者堪称黄金，生活中到处可见黄金分制的美.如图，点C是线段MB的黄金分制点，且 C>BC S ,若表 示以CA为一边的正方形的面积，S,表示长为AB宽为CB的矩形的面积，则了， 12/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S B ■迁移练42(25-26九年级上福建龙岩·月考)关于x的一元二次方程x+mx-1=0,当m=1时，该方程 的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形. 图1 图2 (1)求黄金分割数： (2)如图1，在黄金矩形ABCD中，长AD=2,则矩形ABCD的面积=_： (3)如图2，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，以E为圆心，线段DE长为半径作弧，交BC的延长线 于点F,作矩形ABFG,试说明矩形ABFG是黄金矩形 ■迁移练4-3(2025·青海海东·一模)【探究与证明】 5-1 【问题情境】宽与长的比是2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美 感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的 矩形纸片折叠黄金矩形.（提示：MN=2) 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平. 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平. 第三步，折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处. 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形. 13/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M FB NA C 图① 图② MFBE D NACD 图③ 图④ 【问题解决】 (1)图③中AB=一（保留根号）： (②)如图③，判断四边形BAD卫的形状，并说明理由： (3)如图④，请证明矩形BCDE和矩形MWDE是黄金矩形. 题型5判断两个三角形是否相似 例5(25-26八年级下吉林长春期未)下列条件中，不能判定△ABC△AB'C'的是() AB BC AC A.∠A=∠A,∠B=∠B' B.4B=BC=4C AB BC AB AC C.AB=B'C,且∠B=∠B D.AB=ArC,且∠C=∠C 解题要点 1.选对判定定理：根据已知条件选择一一SSS(三边对应成比例)、SAS(两边成比例且夹角相等)、 AA(两角对应相等，最常用)、L(直角三角形斜边和一直角边成比例)。 2.挖掘隐含条件：从图形中找公共角、对顶角，利用平行线推等角（同位角、内错角），或利用垂直、 等腰三角形推等角。注意对应关系（相似比的顺序），避免比例式错配。证明时需明确对应顶点。 ■迁移练5-1(25-26八年级下·山东泰安·期末)如图，在△ABC与△ADE中，∠B=∠D,添加下列一个条 件不能使△ABC∽△ADE的是() 14/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B AB AD A.∠BAD=∠CAE B.BCDE AB AD C.∠C=LE D.AC AE ■迁移练52(25-26八年级下山东淄博期末)如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD,下列条件中， 能使△ABC∽aDBA的是（) A.AC BC=AD BD B.AB2=CD·BC C.AB2=BD·BC D.AC BC=AB AD I迁移练5-3(26-27九年级：浙江·暑假作业)若△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽aDEF的 是() A.AB-3.BC=8.AC-9.DE=2,FE-16,DF=6 3 B.AB=3 BC C9.DE-1 FE-2,DF=6 AB=1,BC=√2，AC=1.5,DE=2,FE=2V2,DF=4 D.4B=1,BC=3 AC=2,DE=33 FE=2.DF=6 题型6利用相似三角形的性质求解 ■例6(26-27九年级上全国·单元复习)已知△ABC∽△DEF,面积比为1：4，AC的对应边为DF, 15/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=2,则DF的长为 解题要点 1.对应边成比例求边长：由相似关系确定对应边，列出比例式（如ABDE-BCEF)。用交叉相乘解方 程求未知边长，注意对应顺序要一致。 2.对应角相等求角度：相似三角形对应角相等，结合内角和或外角性质求角度。面积比等于相似比的 平方，周长比等于相似比。注意面积与边长转化时需平方关系，避免混淆。结果需化简。 I迁移练61(26-27九年级上全国课后作业)已知△ABC△DEF,S8c:S.Er=1:6,△ABC的周长为 15cm,△DEF cm 的周长为 迁移练62(25-26七年级下四川达州期末)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=12,AC=11,点 D为AB边上一动点，点E在AC边上，DE∥BC,将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为F,连接BF. 当△BDF为直角三角形时，AE的长为 I迁移练6-3(2026湖北武汉中考真题)如图，E、F分别是矩形ABCD边AB、CD上的点，连接EF. 将四边形ADFE沿EF翻折得到四边形GHFE,边GH经过点C.若AB=8,AD=6,DF=3,则CH的 长是 EF的长是 题型7相似三角形的判定和性质的综合问题 16/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■例7(25-26八年级下黑龙江大庆期末)已知：Rt△ABC中，∠C=90°，F、G为AC、BC边上的点， 且DF⊥AB,EG⊥AB」 C 、G (I)求证：△ADF∽AGEB: (2)∠B=30°，AB=6,DE=2,△ADFAGCF,求AD的长. 解题要点 1.先判后性：先根据已知条件（如两角相等、两边成比例且夹角相等）判定三角形相似，明确对应关 系。再利用相似性质（对应边成比例、对应角相等）求边长或角度。 2.等量代换与转化：判定时注意挖掘隐含条件（公共角、对顶角、平行线）。性质应用时，常结合面 积比=相似比平方、周长比=相似比进行多条件转化。注意对应边书写顺序一致。 ■迁移练7-1(25-26九年级下山东淄博期末)如图，在△ABC中，AB=AC,E,F分别是边AB,BC 上的点，连接CE,AF,相交于点D,已知BF=CF,∠B+∠EDF=I8O」 A D (I)求证：△ABF∽aCBE: (2)若BC=6,AF=6,求△BCE的面积. ■迁移练7-2(25-26八年级下山东威海期末)如图，平行四边形ABCD,连接AC,过点A分别作 AM⊥BC,AN⊥CD,垂足分别为M,N,连接MN. 17/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M B M 备用图 (I)求证：△ABM∽△ADN: (2)若AB=6,AM=5,AC=7,求MN的长. I迁移练7-3(25-26九年级上山东济宁·期末)(1)在△ABC和△DCE中，AB=AC,DE=DC, ∠BAC=∠EDC=90°」 BE ①如图1，当CE与AC重合时，AD的值是 BE ②如图2，△DCE绕点C逆时针旋转一定角度，连接AD,BE.那么AD的值是否改变？请说明理由： (2)如图3，正方形ABCD的边长为2，E为边AB上一动点，以CE为斜边在正方形ABCD内部作△CFE, Ep=10 使FC=FE,∠CFE=90°，连接DF.当F=2时，求DF的长. 图1 图2 图3 题型8利用相似三角形测物体的高度问题 1例8(26-27九年级上全国课后作业)某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实 践小组欲测量塔的高度，测量过程见表。 主题 测量塔的高度 成员 组长：×，组员：× 18/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 测量方案及示意图 图1 图2 步骤1：把长为2m的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标 杆顶端点C确定的直线交水平面BD于点Q,测得QD=3m: 测量步骤 步骤2：将标杆沿着水平面BD的方向平移到点F处，塔尖点A 和标杆顶端点E确定的直线交水平面BD于点P,测得PF=4m FD=17.5m 数学运算 根据表格信息，求塔的高度AB 解题要点 1.构建相似模型：根据实际问题（如影子测高、镜面反射、标杆测高）画出几何示意图，识别两个相 似三角形（常含公共角或平行线导致的等角）。 2.列比例式求高：找出对应边（如物体的高对应标杆高，影长对应影长），列出比例式（物高/标杆高 =物影标杆影)。用交叉相乘解方程，注意统一单位，结果需符合实际意义（如高度为正数）。 迁移练81(25-26九年级上广东茂名·阶段检测)【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O,经测量， 得到AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开，横杆链EF成一条线段， 测得EF=32cm 图1 图2 (1)晒衣架完全稳固张开时，连接AC,证明：AC川EF； 19/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ ■迁移练8-2(25-26八年级下江苏苏州期末)【项目式学习】 项目主题：学科融合一一用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 AM B B 图1 图2 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究.如图1，已知物体AB与其像AB'平 行.小孔O到AB的距离OE=20cm,到AB'的距离OF=16cm,物体AB的长为24cm,求像A'B'的长： 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践.如图2，在光路图中，直线表示光轴， MN表示凸透镜(MN⊥光轴I),点O为光心，F为凸透镜的焦点.入射光线AE‖光轴I,折射光线EC 经过焦点F,CD为物体AB经透镜所成的像(AB⊥光轴l,CD⊥光轴I).请写出物距BO、焦距OF及 像距OD之间的数量关系并说明理由 ■迁移练8-3(25-26九年级下·山东淄博·期末)根据以下材料，完成探究任务. 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”.雕塑以古篆书“齐”字为设计原型， 问 巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球 题 起源地的深厚文化底蕴。雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神.站在雕 背 塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最 景 佳 20/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部A15m的地面垂直放置一根标杆EF,然后沿水平直线AE后 退2至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B.经测量，小明的眼睛距离地 面的高度CD=1m,标杆EF=2m,求雕塑顶部距离地面的高度AB. (2)如图3，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，己知哥哥身高MN=1.7m, 此时相机镜头距离地面的高度GH=1m.然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍 摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高MP=1.6m,求此时相机镜头距离地面的高度G犯（精确到 0.1m). 题型9求位似图形的坐标 1例9(26.27九年级上全国课后作业)如图，在平面直角坐标系中，已知点1(-3,6)，B(-9,-3),以 原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点A'的坐标为 A(-3,6)y个 B(-9,-3) 21/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1.位似坐标公式：以原点为位似中心，位似比为k,点P(x,y)的对应点P坐标为(kx,ky)或 (kx,ky)(对应点在反向延长线上)。注意k>0时同向，k<0时异向。 2.分类讨论与图形判定：若未说明方向，需考虑两种情况（同向和异向）。根据对应点坐标求位似比 时，用对应坐标之比（如xx)。位似图形必相似，对应点连线过位似中心。注意图形位置与象限。 ■迁移练9-1(26-27九年级上·全国课后作业)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C是位似图形， 位似中心为点0.若点1(， 的对应点的坐标为2,2)，则点(-1,2 的对应点B的坐标为 ■迁移练9-2(2026浙江嘉兴·模拟预测)如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别是 A(-2,2),B(-4,1),C(-1,-1) 以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形AB'C',并把△MBC的 边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为」 ■迁移练9-3(25-26八年级下·山东泰安·期末)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在 如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC与△A'B'C成位似关系，则位似中心的坐标为 22/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 6 B 2 A O12345678910x 题型10在平面直角坐标系中作位似图形 I例10(25-26八年级下山东烟台期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A(3,0)B(4,2）C(1,3) 请解答下列问题： V B (I)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与△ABC位似的图形△4BG,使△4BG与△ABC的相似比为 2:1: (②直接写出C点坐标：若线段4B上点D的坐标为a,),则其对应点D的坐标： (a,b) (3)求△4BC的面积. 解题要点 1.确定位似中心与比：若以原点为位似中心，位似比为k,则各顶点坐标乘以k(同向)或k(反向)。 先计算各关键点对应坐标。 2.描点连线标图：按新坐标描点，用线段依次连接形成位似图形。注意标注对应点字母（如A的对应 点A'),并写出位似比和作图方法。若位似中心不在原点，可先平移再变换。检查图形位置是否正确。 23/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练101(25-26八年级下山东烟台期末)如图，点A的坐标为 40 点B的坐标为 ,点c 0,-1) 的坐标为 (I)求出△ABC的面积： (2)请以点O为位似中心作一个与△ABC位似的△4B,C,使得△4BC的面积为12.（作出一个符合题意的 图形即可) ■迁移练102(25-26八年级下·山东济南期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别 为42,3)B1)cB-2) 61 B 65432-10]2A -F2 41 (I)以原点O为位似中心，在y轴的左侧作△4B,C,使它与△ABC的相似比为2：1，点A,B,C的对应点 A B C 分别为， 24/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)MBC-△4BG 的面积比为 △4BC1 (3) 的面积是 I迁移练10-3(25-26九年级上山东聊城期中)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为 0(0,0),A(2,1),B(1,-2) -4-3-2-19 2.345x (I以原点O为位似中心，在'轴的右侧画出△0AB 1 的一个位似 OA,B ，使它与△OA 的位似比为2：1： (2)画出将△OAB △O2AB2 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的 OAB△O2A,B2 (3)判断 和 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M,并写出点M的坐标 破难点 方法聚焦透析 难点一相似三角形动点中求多解问题 难点1：相似对应关系的穷举配对 动点位置变化导致顶点对应顺序不唯一，需按不同边的比例关系分类讨论。难点在于不重不漏地列出所有 可能的相似情形，并利用夹角条件筛除无效配对，若遗漏则解集不完整。 难点2：运动时段对解的时效性筛选 动点在边或延长线上运动时，不同时间区间内表达式不同。难点在于将求得的解与运动时段匹配验证，确 25/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 保该时刻点确实处于对应区域，否则保留的解与几何实际不符。 口难点精练 1.(25-26八年级下·山东东营期末)如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿 AB边运动，速度为2cm/s,动点O从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s,当点P与点B重合时，停止 运动.如果P,Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当t= 秒时，由P、B、Q三点连成的三角 形与△ABC相似. 2.(2026江西模拟预测)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=8,点M是BC边上一动点， 连接AM,当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），BM的长为一· M 3.(25-26九年级上河南开封期中)如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，BC=6,M为边CD上的一点， CM=4,N为边BC上的一动点，沿MN将△CMN翻折.点C落在点P处.当点P在菱形ABCD的对角线 上时，CN的长度为 D 难点二由平行截线求相关线段的长或比值 难点1：基本图形的精准识别 涉及“A字型”或“X字型”相似。难点在于从复杂图形中抽离出平行线截出的基本结构，并准确找出对 应边。若图形含多条平行线或中线，学生易混淆对应线段，导致比例式列错。 难点2：比例式的等价变换与代换 26/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 给定部分线段长度，需通过平行线分线段成比例建立方程。难点在于当目标线段不直接成比例时，需进行 中间比代换或设参转化，学生常因比例方向错配或中间量选择不当而陷入死循环。 口难点精练 1.(25-26九年级上陕西西安·期中)如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延 长交BC于点E,若BF:FD=3:l,BC=16,则CE的长为一 2.(25-26九年级上四川成都阶段练习)如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC上的点，连接AD, BD 。AF4AE BE交于点B,若CD2,FD3,则EC的值为—· B D 3 (2025九年级上河北专题练习)如图，AD是△ABC的中线 AF ①若E为AD的中点，射线CE交AB于点F,则BF的值为 AE 1 AF ②若E为AD上的一点，且DEk,射线CE交AB于点F,则BF的值为 难点三相似三角形与几何图形综合问题 难点1：多图形重叠中的相似配对 27/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当三角形、四边形、圆等多图形重叠时，需从复杂结构中抽出共角、共边或旋转构成的相似对。难点在于 通过等角（公共角、外角、互余）或平行线确定对应关系，避免因视角干扰漏掉关键相似。 难点2：面积与线段比的联立转化 综合题常将面积比、周长比与相似比挂钩，需联立多个比例方程求解。难点在于将几何条件转化为可计算 的代数式，并确保比例方向一致。若忽略面积比等于相似比平方的约束，则结果偏大或偏小。 难点精练 1.(26-27九年级全国暑假作业)探究下列问题： B 图1 图2 图3 (I)【问题呈现】如图l,△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE,，判断BD与CE的数量关系：- (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD,CE,写 出BD与CE的数量关系：-· AB AD 3 (3③)【拓展提升】如图3，△ABC和A4DE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且BC=DE=4,连接 BD BD,CE,求CE的值。 2.(26-27九年级上全国期末)综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进 行探究，下面是他们的探究过程， B F D 图1 图2 图3 (1)【数学思考】 如图1，在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF, 28/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE DE⊥CF于点G,则CF= (2)【深入探究】 如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AD,BC于点E,F,HG分别交AB,CD于点H, HG BC G·求证：EFAB: (3)【拓展延伸】 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=9O°，点D在边BC上，连接AD,过点C作CE⊥AD于点E,且CE的 延长线交AB于点F.若AC=BF=6,BC=8,请求出CD的长. 3.(25-26九年级下·山东烟台期末)综合实践课上数学小组探究正方形ABCD D 图1 图2 图3 图4 (I)【尝试发现】如图1，小明在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF, 试说明BE与DF之间的数量关系_； (2)【变式探究】如图2，小颖在正方形ABCD中，G是AB的中点，连接CG,作BH⊥CG,与AD相交 CE 于点H,与AC相交于点E,垂足为F,求AE的值； (3)【拓展延伸】在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E为平面内一点，且BE=BA,∠ABE的 平分线BF交直线CE于点F,连接OF, 如图3，小亮画出点E在正方形内部的图形，如图4，小文画出点E在正方形外部的图形.两人猜想：在图 3、图4中，BF与直线CE所夹的锐角a相等，通过计算验证两人的猜想成立.请你计算α的度数，并分 OF 别计算图3、图4中BE的值，判断其是否也相等。 难点四相似三角形的判定和性质的新定义型综合问题 难点1：新概念向相似条件的等价转化 29/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 新定义常构造“类相似比”“共轭中线”等非常规属性，需将其转化为边长比或夹角相等等常规判定依据。 难点在于精准剥离去文字表象，并结合相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS)建立推导路径，若转化 偏差则失去判定基础。 难点2：新定义与图形性质的兼容检验 探究结论时，需将新定义与中线、高、角平分线、面积比等性质结合，并按不同相似情形分类讨论。难点 在于兼顾多重几何约束，分类讨论须穷举，逆向推理时极易忽视比值方向或对应顺序，导致结论证伪不全。 口口难点精练 1.(25-26九年级上广东佛山阶段练习)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两 个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“白银线”· B B 图1 图2 图3 (I)如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“白银线”的四边 形，请只用无刻度的直尺，确定一点D,请你在图1中找出满足条件的点D,并画出这个四边形.保留画 图痕迹（找出1个即可）： (2)如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=135°，对角线AC平分∠DAB. ①此时对角线AC是四边形ABCD的“白银线”吗？请说明理由： AC=4/10 ②若 ,求ADB的值 )如图3，在(2②)的条件下，若D90°，在4D边上取-点Z,使4D:AE=0:2 过点E作 EF∥CD交AC于点F,得到△AEF,连接CE、BF,在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线 垂直于AF时，求BF的长. 2.(25-26九年级下·辽宁抚顺阶段练习)垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作 与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四 边形是“垂中平行四边形”. 30/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7代x 图2 图4 备用图 (I)如图1，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF平分∠BAD,求证：BC=2AB (2)如图2，矩形ABCD为“垂中平行四边形”，DE L AC于点E,交AB边于点F,若CE=8,求AE的 长 (3)如图3，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB=BD,直接写出AF和CD的数量关系 (4)如图4，在△ABC中，BE⊥AC于点E,若BE=5,CE=2AE=12,以BC为边构造“垂中平行四边 形”BCMN,使点A落在“垂中平行四边形”BCMN的边MN上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所 连对角线的垂线经过MN的中点时，求CM的长 a+2B=90° 3.(2025河南周口·一模)感知定义：如果三角形的两个内角0与B满足 ,那么我们称这样 的三角形为“类直角三角形”. 尝试运用 D 图1 图2 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为110°，请直接写出它的两个锐角的度数： (2)如图L,在钝角三角形1BC中， ∠ABC>90°，AB=5,BC=3N5,△ABC 的面积为15，求证： △ABC是 “类直角三角形”， (3)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=5,在边AC上是否存在点D,使得△ABD是“类直 角三角形”？若存在，请求出CD的长度：若不存在，请说明理由， 验成果 综合达标检测 31/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ©基础达标 一、选择题 1.下列线段中，能成比例的是() A.3cm,4cm,5cm,6cm B.3cm,5cm,6cm,9cm C.3cm6cm7cm10cm D.3cm6cm7cm14cm 2.如图，在△ABC中，点D在BC边上，EG∥BC,分别交AB,AD,AC于点E,F,G,则() AE EF EFFG AE EF AFAG A.EB BD B.BDDC C.AB EG D.FD AC SAADE=1 DF 3.如图，△ABC中，DE∥BC,BE与CD相交于点F,若SBc9,则FC的值为() E B C A.1:3 B.1:9 C.2:3 D.4:9 4.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分 别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE,则DE的长为() 32/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.2 B.1 C.2 D.5 5.如图，已知 点E(4,2),F(-）,以点0为位似中心，按1：2的比例把△EF0缩小，则点E的对应点 的坐标为() E A.(-2,) B,(2,-1) c.2-或2，-D.（2,1或2-) 二、填空题 ”=2 6.己知m5,那么m4 7.在△ABC中，AB=6,AC=8,在aDEF中，DE=3,DF=4,要使△ABC∽△DEF相似，需添加的 一个条件是.（写出一种情况即可） 8.如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离 为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图像DE高2.28米，则投影机光源A到屏幕DE的距离 为 米 D B A网 9.如图，以O为位似中心，将五边形ABCDE放大得到五边形AB'CD'E',已知OA=10cm,OA'=20cm, 33/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若 五边形f8coe=24cm2 , S五边形ABCDE= E D 10.如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E,若BF:FD=4:L, BC=10,则CE的长为 三、解答题 11.已知线段a、b、c满足a:b:c=3:2:4,且a+2b+c=33. (1)求abc的值： (2)若线段x是线段4b的比例中项，求x的值： 12.如图，直线 ,12,3 分别交直线于点A、B、C,交直线于点D、E、F,且 4∥12∥g A B E F (1)如果EFDE=53,AB=4,求AC的长. (2)如果AB=6,BC=8,DF=12,求EF的长. 13,如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点和原点O都在单位长度为1的正方形网格的格点上. 34/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 ! 4 3 C2 43-210 1 2 3 456 7 B 2 3 (I)以点O为位似中心，在网格纸中画出△ABC的位似图形△AB'C',点A、B、C的对应点分别是点A'、 B和C,使它与△4BC的相似比为2：1，且位于点O的右侧； (2)在(1)的情况下，直接写出△ABC和△AB'C'的周长比. 14.如图，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，EF⊥BE交CD于点F. B G (I)求证：△ABE一△DEF; (2)若AB=4,CF=3FD,求DE的长： 15.某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度. E (I)如图1，小慧组把一根长为3米的竹竿AC斜靠在墙AB上，量出距竹竿C点1米的D点离地面的高度为 0.6米，请你求出墙的垂直高度AB (2)如图2，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图·点D处放一水平的平面镜，光线从点E出发经 平面镜反射后刚好射到墙AB的顶端A处，已知C、D、B在同一条直线上，EC⊥BC,如果测得 CE=0.6米，CD=1.2米，DB=4米，请求此处墙的垂直高度AB. 35/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 能力进阶 1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，有三个正方形CDEF、DGHK、GRPO,它们分别是△ACB、 △EDB△HGB EF =10cm HK =7cm PO 的内接正方形， ,则第三个正方形的边长的长() D B A.4cm B.5cm C.4.5cm D.4.9cm 2.在△ABC中，AD是高，矩形POMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上，若BC=&cm, AD=6cm PN=2PO POMN ,且 ,则矩形 的周长为() A.14.4cm B.7.2cm c.11.52cm D.12.4cm 3.如图，己知△ABC，,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG在同一直线上， 若 S.ABC=4 S.DOR= ,则 36/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点P是AB边上一个动点，点D是AC边的中点， 连接DP,将△APD沿DP翻折，使点A落在点A'处，当PA平行于Rt△ABC其中一条直角边时，PA的长 为一 D D 5.阅读下面的一段文字： 公--孤=太，则有a=bk,c=dk…,m=nk,当b+d++n≠0时， 设bdn a+c+…+m_bk+dk++nk_b+d++n）=k=b b+d+.+nb+d+..+n b+d+..+n _a 从上面的推导过程可得，若分行…公， a c a+c+...+m a =n,当b+d+…+n≠0时，b+d+…+n6、把它称为等比性质. 利用等比性质完成下题： AB BC CA 3 (I)在△ABC和。4BC中，B=BC=CA4,且AB+B'C+CA=20厘米，求△ABC的周长. 2a-c-5e (2)若bdf3且2b-d-5f≠0，求2b-d-5f的值. 6.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动 D E D MD BH F H FG 图1 图2 图3 (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF,把纸 片展平，连接EF; 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为GH,把纸片展平： 37/39 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 操作三：如图3，连接BG,并把BG折到BC上的BG处，得到折痕BM,把纸片展平，连接MG' AG 根据以上操作，直接写出图3中GB的值： (2)【问题解决】 请判断图3中四边形BGMG的形状，并说明理由. (3)【拓展应用】 AP5-1 我们知道：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP,PB,若AB2,则点P叫做线段AB的黄金分 割点 在以上探究过程中，已知矩形纸片ABCD的宽AB为lCm,当点M是线段ED的黄金分割点时，直接写出 CG的长度， 7.阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务 材料：三角形的内角平分线定理： AB BD 如图1，在△4BC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,则ACCD· 下面是这个定理的部分证明过程， 证明：如图2，过C作CE∥DA,交BA的延长线于点E. E B D D 图1 图2 D E B F D C 图3 图4 (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： (2)【直接应用】如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F,若 38/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=11,AC=15,求线段FC的长： (3)【拓展延伸】如图4，△ABC中，AD平分∠BAC,BC的延长线交△ABC外角角平分线AF于点F. ①找出AB、AC、BF、CF这四条线段的比例关系，并证明； ②若BD=2,CF=4,求CD的长. 8.【初识图形】 AE I)如图1，B,F分别为正方形ABCD的CD边和BC边上的点，连接AB:DF,且ME⊥DF:则DF: (2)如图2，矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，连接BD,EF，,且BD⊥EF,AB=3,BD=5 EF 求BD的值； 【类比探究】 (3)如图3，Rt△ABC中，D,F分别为AC,BC边上的点，AB=6,AC=8,D为AC的中点，连接BD, 作AF⊥BD交BD于点E,交BC于点F.直接写出AF的长为_、 D E 图1 图2 图3 39/39 第三章 图形的相似 复习要点 1. 理解比例的基本性质、线段的比和成比例线段的概念，能借助等比性质和合比性质进行比例变形与求值。 2. 理解相似图形的概念，能区分相似与全等（全等是相似比为1的特殊情形），掌握相似多边形的两大核心性质——对应角相等、对应边成比例。 3. 掌握相似三角形的三种判定方法（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），并能区分不同判定方法的适用条件，灵活选择。 4. 掌握相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例，对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 5. 理解位似图形的定义与性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，并掌握在坐标系中位似变换后点的坐标变化规律。 复习重难点 重点：相似三角形的判定与性质的综合应用，以及相似多边形性质的灵活运用。 难点：准确理解相似多边形的判定条件，区分相似与全等的联系与区别，以及综合运用相似三角形的判定与性质解决实际问题和几何证明题。 知识点 成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） 3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 要点速测 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 知识点 比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 要点速测 2．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）若，则________． 【答案】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 3．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 知识点 相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3）相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 4）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 5）相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 要点速测 4．（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，平行四边形中，点是边上的一点，连接，交于点F；若，的面积为8，则的面积是____________． 【答案】70 【分析】由平行四边形的性质得，，从而可得，再结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为8， ∴，， ∴． 6．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）通过两组对角相等证明三角形相似； （2）由勾股定理计算出，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 即， ∴． 知识点 平行线分线段成比例与黄金分割 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 黄金分割：如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 要点速测 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． （2）略 8．（2026·甘肃平凉·二模）黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，点就是线段的黄金分割点： 【分析】本题考查线段中点以及正方形的尺规作图方法． 【详解】设，则， ， ， ， 所以点就是线段的黄金分割点 知识点 利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 要点速测 9．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内凉亭的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺． 实践活动 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向凉亭顶端M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示． 示意图 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，． 解决问题 利用得到的数据求出凉亭的高度． 【答案】凉亭的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．先证明，求出，再证明四边形是矩形，得到，即可求得答案． 【详解】解：由题意知，，， ， ， ， ， 解得， ，，， 四边形是矩形， ， ， 凉亭的高度为． 知识点 位似及位似作图 1、位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 （2）相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 3、图形的变换与坐标 （1）平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。 （2）轴对称:①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 （3）以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。 要点速测 10．（2026·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似图形的性质画图即可． （3）作直线，交于点P，点P即为位似中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心， ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 将与联立，得：， 解得， 点的坐标为． 题型1 判断是否是成比例线段 ▌例1 （25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组的四条线段成比例的是（    ） A．1，2，3，4 B．1，2，， C．1，4，5，6 D．2，3，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段的性质． 根据比例线段的性质，若四条线段成比例，则最小与最大的乘积等于另外两条线段的乘积．依次验证各选项即可． 【详解】解：A选项：∵，∴不成比例； B选项：∵，相等，∴成比例； C选项：∵，∴不成比例； D选项：∵，∴不成比例； 故选：B． 解题要点 1. 按顺序计算比值：成比例线段需满足 a:b = c:d（即 a/b = c/d）。解题时按对应顺序列出四条线段，分别计算前两条和后两条的比值，若相等则成比例。 2. 单位统一与化简：计算前先将所有线段长度化为相同单位（如厘米）。若比值相等则成比例，注意比例式中内项积等于外项积（ad=bc）也可快速验证。结果需化简为最简分数。 ▌迁移练1-1（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，根据成比例线段的定义：四条线段a、b、c、d，如果满足，那么就称这四条线段成比例线段，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，四条线段不是成比例线段，故A不符合题意； B、，四条线段不是成比例线段，故B不符合题意； C、，四条线段是成比例线段，故C符合题意； D、，四条线段不是成比例线段，故D不符合题意． 故选：C． ▌迁移练1-2（25-26九年级上·广西百色·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 根据比例线段的定义，分别计算各选项中第一项与第四项的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误． 故选：B． ▌迁移练1-3（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列四组线段中，不能构成成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】选项A：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 选项B：∵，不成比例，故本选项符合题意； 选项C：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 选项D：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 因此，不能构成成比例线段的是B． 故选B． 题型2 比例的性质 ▌例2 （25-26九年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ． 【答案】/0.2 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例关系，设，（），然后代入所求表达式进行计算． 【详解】解：由，设，（）， 则 故答案为． 解题要点 1. 基本性质与变形：若 a:b = c:d（即 a/b = c/d），则 ad=bc（内项积等于外项积）。可变形为 a/c = b/d、d/b = c/a 等，灵活转换便于求值或证明。 2. 合比与等比性质：合比性质 a/b = c/d ⇒ (a±b)/b = (c±d)/d；等比性质 a/b = c/d = … = k ⇒ (a+c+…)/(b+d+…) = k（分母不为0）。解题时优先用基本性质列方程，合比等比用于简化求值。注意分母不能为0。 ▌迁移练2-1（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，由比例关系设参数表示未知数，代入表达式化简求值即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 故答案为：． ▌迁移练2-2（25-26九年级上·广东佛山·期中），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例关系，可得，，，代入所求分式后化简． 【详解】解：因为 ， 所以，，， 代入分式，得：， 注意到分子， 所以． 故答案为：． ▌迁移练2-3（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：（a，b，c都不为0）． (1)求代数式的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质． （1）设，则代入可求； （2）把代入中得到关于k的方程，然后求出k，从而得到a、b、c的值． 【详解】（1）设，则， ； （2）由（1）可知， 解得：， ． 题型3 由平行判断成比例的线段 ▌例3 （25-26九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：， ，即，故A选项错误；B选项正确； ，故选项D错误； ，故选项C错误； 故选B． 解题要点 1. 找准基本图形：识别“A字型”（一条平行于三角形一边的直线）或“X字型”（两条平行线截两条直线）。根据平行线分线段成比例定理，找准对应线段（如上、下、全）。 2. 列出比例式求解：按平行关系写出比例式（如DE∥BC，则AD/DB=AE/EC）。注意对应顺序要一致（同侧线段比相等）。已知三边求第四边时，用交叉相乘（内项积=外项积）解方程，结果需化简。注意图形中重叠线段的分辨。 ▌迁移练3-1（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，该选项错误，不符合题意； B．∵，∴，该选项错误，不符合题意； C．∵，∴，该选项正确，符合题意； D．∵，∴，该选项错误，不符合题意； 故选：C． ▌迁移练3-2（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． ▌迁移练3-3（25-26九年级上·上海宝山·月考）如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③错误； ，故④错误， 正确的个数2个， 故选：B． 题型4 黄金分割 ▌例4 （25-26九年级上·湖南常德·期中）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，则黄金矩形的宽是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 故答案为： 解题要点 1. 定义与比值：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），若 AC:AB = BC:AC，则点C为黄金分割点，比值 AC/AB = (√5-1)/2 ≈ 0.618，或 BC/AC = (√5-1)/2。 2. 计算与应用：已知AB求AC时，AC = (√5-1)/2·AB；求BC时，BC = AB-AC。注意黄金分割点有两个（靠近A或靠近B），解题时需根据条件选择或讨论。常用于设计美学与线段计算。 ▌迁移练4-1（25-26九年级上·广东深圳·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键． 根据黄金分割可得，即，由此求出即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（）， ∴，即， ∴，， ∴． 故答案为：1． ▌迁移练4-2（25-26九年级上·福建龙岩·月考）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． ▌迁移练4-3（2025·青海海东·一模）【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义． （1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得； （2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 题型5 判断两个三角形是否相似 ▌例5 （25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 解题要点 1. 选对判定定理：根据已知条件选择——SSS（三边对应成比例）、SAS（两边成比例且夹角相等）、AA（两角对应相等，最常用）、HL（直角三角形斜边和一直角边成比例）。 2. 挖掘隐含条件：从图形中找公共角、对顶角，利用平行线推等角（同位角、内错角），或利用垂直、等腰三角形推等角。注意对应关系（相似比的顺序），避免比例式错配。证明时需明确对应顶点。 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． ▌迁移练5-2（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． ▌迁移练5-3（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 题型6 利用相似三角形的性质求解 ▌例6 （26-27九年级上·全国·单元复习）已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 【答案】4 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知条件列比例式求解对应边的长度即可． 【详解】解：∵，与的面积比为， ∴， ∵三角形边长为正数， ∴， ∵， ∴． 解题要点 1. 对应边成比例求边长：由相似关系确定对应边，列出比例式（如AB/DE=BC/EF）。用交叉相乘解方程求未知边长，注意对应顺序要一致。 2. 对应角相等求角度：相似三角形对应角相等，结合内角和或外角性质求角度。面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比。注意面积与边长转化时需平方关系，避免混淆。结果需化简。 ▌迁移练6-1（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，的周长为的周长为________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出相似比，再计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴两个三角形的相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， ∵， ∴． ▌迁移练6-2（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为__________________． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况，根据折叠的性质分别求出的长，再证明，进而可知的长． 【详解】解析：∵， ∵将沿翻折，点的对应点为， 如图，当时，点在内， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 当时，点F在外， 同理可得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 综上所述，的长为或． ▌迁移练6-3（2026·湖北武汉·中考真题）如图，、分别是矩形边、上的点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，边经过点．若，，，则的长是_________，的长是_________． 【答案】 【分析】作于N，则四边形是矩形，则可得，．根据矩形的性质和折叠的性质可得，，根据勾股定理可得，进而可得．证明，根据相似三角形对应边成比例可求得，．再证明，则可得，则可得，再根据勾股定理可得． 【详解】解：设与的交点为M， ∵四边形是矩形，且，， ∴，，， 作于N，则四边形是矩形， ∴，， 根据折叠的性质可知，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型7 相似三角形的判定和性质的综合问题 ▌例7 （25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知：中，，F、G为、边上的点，且，． (1)求证：； (2)，，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵中，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用垂直的定义得出，由同角的余角相等得出，即可证明． （2）设，，由含30度直角三角形的性质以及勾股定理分别得出，，，由相似三角形的性质得出，然后代入即可求出x的值． 【详解】（1）证明：略； （2）解：设，， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，即， 解得∶． 即． 解题要点 1. 先判后性：先根据已知条件（如两角相等、两边成比例且夹角相等）判定三角形相似，明确对应关系。再利用相似性质（对应边成比例、对应角相等）求边长或角度。 2. 等量代换与转化：判定时注意挖掘隐含条件（公共角、对顶角、平行线）。性质应用时，常结合面积比=相似比平方、周长比=相似比进行多条件转化。注意对应边书写顺序一致。 ▌迁移练7-1（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ∵四边形内角和为， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再由证明，从而得到，则可证； （2）先求出再利用求出，求出两个三角形的相似比和的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）知， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ． ▌迁移练7-2（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，平行四边形，连接，过点分别作，，垂足分别为，，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ． (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角相等、垂直得直角相等，两角对应相等证三角形相似． （2）根据平行四边形的性质结合等角的余角相等等量代换证明，再由推出，进而证明，得到比例，代入数值计算． 【详解】（1）略 （2）解：已知四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）， ， ，即， ， ，即， ． ▌迁移练7-3（25-26九年级上·山东济宁·期末）（1）在和中，，，． ①如图1，当与重合时，的值是__________； ②如图2，绕点逆时针旋转一定角度，连接，．那么的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作，使，连接．当时，求的长． 【答案】（1）①， ②不变，理由如下： 在和中，，，， ，， ， ， ∴； （2） 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质表示出求解即可得到结论； ②根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，如图所示，在等腰中，求出，再由正方形性质、利用勾股定理求出，进而得到，然后由三角形相似的判定得到，则，由计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①在中，，，则， 在中，， 当与重合时，，， ∴， 故答案为：； ② 略 解：（2）连接，如图所示： 在中，， ∴， ， ，则， ∵四边形是正方形， ∴， ， ， 在和中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型8 利用相似三角形测物体的高度问题 ▌例8 （26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【分析】设，，证明，得到，证明，得到，然后推出，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 解题要点 1. 构建相似模型：根据实际问题（如影子测高、镜面反射、标杆测高）画出几何示意图，识别两个相似三角形（常含公共角或平行线导致的等角）。 2. 列比例式求高：找出对应边（如物体的高对应标杆高，影长对应影长），列出比例式（物高/标杆高 = 物影/标杆影）。用交叉相乘解方程，注意统一单位，结果需符合实际意义（如高度为正数）。 ▌迁移练8-1（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． ▌迁移练8-2（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 ▌迁移练8-3（25-26九年级下·山东淄博·期末）根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】(1)雕塑顶部距离地面的高度为； (2)此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】（1）延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； （2）延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则，，求得，，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； （2）解：延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 题型9 求位似图形的坐标 ▌例9 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据图形与位似中心的位置关系，结合原图形与新图形的位似比为3，坐标对应乘以求解即可． 【详解】解：将点的坐标乘以或可得：点的对应点的坐标为或． 解题要点 1. 位似坐标公式：以原点为位似中心，位似比为k，点P（x，y）的对应点P'坐标为 （kx，ky） 或 （-kx，-ky）（对应点在反向延长线上）。注意k>0时同向，k<0时异向。 2. 分类讨论与图形判定：若未说明方向，需考虑两种情况（同向和异向）。根据对应点坐标求位似比时，用对应坐标之比（如x'/x）。位似图形必相似，对应点连线过位似中心。注意图形位置与象限。 ▌迁移练9-1（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由点的坐标得到位似比，由此可求解坐标． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即． ▌迁移练9-2（2026·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】建立以C为坐标原点的新平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 则点A在新坐标系中的坐标为，即点A向右平移1个单位，向上平移一个单位， 与以点C为位似中心，在位似中心异侧把的边长放大为原来的2倍， 点A在新坐标系中的横、纵坐标都乘， 点在新坐标系中的坐标为， 则点向左平移1个单位，向下平移一个单位后的坐标为， 即点在原坐标系中的坐标为． ▌迁移练9-3（25-26八年级下·山东泰安·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 题型10 在平面直角坐标系中作位似图形 ▌例10 （25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)； (3)14 【分析】（1）连接、、，并将其延长到原来的2倍，进而连接即可得到； （2）由图即可得点的坐标，根据位似的性质，结合点D的坐标即可得到点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． 解题要点 1. 确定位似中心与比：若以原点为位似中心，位似比为k，则各顶点坐标乘以k（同向）或-k（反向）。先计算各关键点对应坐标。 2. 描点连线标图：按新坐标描点，用线段依次连接形成位似图形。注意标注对应点字母（如A的对应点A'），并写出位似比和作图方法。若位似中心不在原点，可先平移再变换。检查图形位置是否正确。 ▌迁移练10-1（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 【答案】(1)3 (2)如图：即为所求（画出其中一个即可）． 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）先利用与的面积比得到相似比，然后利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2或得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：由图可得：． （2）解：， ∴与的相似比为：， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 ∴点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为或， 如图，为所求． ▌迁移练10-2（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； (2)与的面积比为________． (3)的面积是________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3)14 【分析】（1）利用相似三角形的性质作图即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为； （3）解：的面积是． ▌迁移练10-3（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：如图为所求： (2)解：如图为所求： (3)和是位似图形； 点M的坐标为． 【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解． （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解． （3）根据位似图形的定义即可判断，连接对应点的交点即为位似中心点，写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：和是位似图形；图略， 由图可得点M的坐标为． 难点一 相似三角形动点中求多解问题 难点1：相似对应关系的穷举配对 动点位置变化导致顶点对应顺序不唯一，需按不同边的比例关系分类讨论。难点在于不重不漏地列出所有可能的相似情形，并利用夹角条件筛除无效配对，若遗漏则解集不完整。 难点2：运动时段对解的时效性筛选 动点在边或延长线上运动时，不同时间区间内表达式不同。难点在于将求得的解与运动时段匹配验证，确保该时刻点确实处于对应区域，否则保留的解与几何实际不符。 难点精练 1．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当 秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 2．（2026·江西·模拟预测）如图，等腰三角形中，，点M是边上一动点，连接，当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），的长为 ． 【答案】4或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据题意求出等腰三角形底边上的高，然后分三种情况讨论，然后利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：根据题意求出等腰三角形底边上的高. 如图（1），过点A作于点H， ∵， ∴． 根据直角三角形的直角不确定，分情况求解. ①当时，点M与点H重合，此时均为直角三角形，； ②当时，为直角三角形，如图（2）， ， ∴， ∴，即， 解得； ③当时，为直角三角形，如图（3），同理②可得, ； 综上所述，的长为4或或． 故答案为：4或或． 3．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在菱形中，，，为边上的一点，，为边上的一动点，沿将翻折．点落在点处．当点在菱形的对角线上时，的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及分类讨论等知识，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 分两种情况：①当点在菱形对角线上时，由折叠的性质得出相等的边和角，利用等角对等边及线段的和差即可求解；②当点在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得相等边和角，证明，得出比例线段，可求出答案． 【详解】解：①如图所示，当点位于对角线上时， 由折叠的性质得，，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当点位于对角线上时， 设， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去） 综上，的长度为4或， 故答案为：4或． 难点二 由平行截线求相关线段的长或比值 难点1：基本图形的精准识别 涉及“A字型”或“X字型”相似。难点在于从复杂图形中抽离出平行线截出的基本结构，并准确找出对应边。若图形含多条平行线或中线，学生易混淆对应线段，导致比例式列错。 难点2：比例式的等价变换与代换 给定部分线段长度，需通过平行线分线段成比例建立方程。难点在于当目标线段不直接成比例时，需进行中间比代换或设参转化，学生常因比例方向错配或中间量选择不当而陷入死循环。 难点精练 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设，作，交的延长线于点，由，得，由，，，可证明，得，则，由得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 2．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，D，E分别是，上的点，连接，交于点F，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 故答案为：． 3．（2025九年级上·河北·专题练习）如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为 ： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线性质、平行线分线段成比例定理，解题的关键是通过作平行线构造比例关系，利用中线和线段比例求出的值． ①通过作，利用平行线分线段成比例定理和中线性质，结合是中点的条件，推出与的比例关系． ②依据平行线分线段成比例定理和已知的，推导出与的比例关系． 【详解】解：①过点作交于点， 则， 是的中线， ， ，即， 为的中点， ， ，即， ， ， ， 故答案为：； ， ，即， ， ， ， 故答案为：。 难点三 相似三角形与几何图形综合问题 难点1：多图形重叠中的相似配对 当三角形、四边形、圆等多图形重叠时，需从复杂结构中抽出共角、共边或旋转构成的相似对。难点在于通过等角（公共角、外角、互余）或平行线确定对应关系，避免因视角干扰漏掉关键相似。 难点2：面积与线段比的联立转化 综合题常将面积比、周长比与相似比挂钩，需联立多个比例方程求解。难点在于将几何条件转化为可计算的代数式，并确保比例方向一致。若忽略面积比等于相似比平方的约束，则结果偏大或偏小。 难点精练 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）探究下列问题： (1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，，判断与的数量关系： ． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，写出与的数量关系： ． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，即可得解． （2）根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明，再根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即可求解． （3）根据，，可证，可得 ，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）解：∵和都是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴或． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 设，， 在中，根据勾股定理得， 设，， 在中，根据勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27九年级上·全国·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； （2）略 （3）解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 3．（25-26九年级下·山东烟台·期末）综合实践课上数学小组探究正方形． (1)【尝试发现】如图1，小明在正方形中，为上一点，为延长线上一点，且，试说明与之间的数量关系 ； (2)【变式探究】如图2，小颖在正方形中，是的中点，连接，作，与相交于点，与相交于点，垂足为，求的值； (3)【拓展延伸】在正方形中，为对角线的中点，点为平面内一点，且，的平分线交直线于点，连接． 如图3，小亮画出点在正方形内部的图形，如图4，小文画出点在正方形外部的图形．两人猜想：在图3、图4中，与直线所夹的锐角相等，通过计算验证两人的猜想成立．请你计算的度数，并分别计算图3、图4中的值，判断其是否也相等． 【答案】(1) (2) (3)，的值相等，为 验证如下：设， ∵平分， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 在图3中，， ∴． ∴，即． 在图4中，， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由两个直角三角形全等即可得证； （2）由三角形的全等和相似，可得到相似比，即可求解的值； （3）由三角形的全等和相似，用含有的式子表示和，即可求解的值． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵是的中点，是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：与直线所夹的锐角，验证略； ∵，，， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴， 如图3，，则， ∴． ∵为的中点， ∴． ∴， 如图4， ，得，则． ∴． ∵O为AC的中点， ∴， ∴，即的值相等． 难点四 相似三角形的判定和性质的新定义型综合问题 难点1：新概念向相似条件的等价转化 新定义常构造“类相似比”“共轭中线”等非常规属性，需将其转化为边长比或夹角相等等常规判定依据。难点在于精准剥离去文字表象，并结合相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）建立推导路径，若转化偏差则失去判定基础。 难点2：新定义与图形性质的兼容检验 探究结论时，需将新定义与中线、高、角平分线、面积比等性质结合，并按不同相似情形分类讨论。难点在于兼顾多重几何约束，分类讨论须穷举，逆向推理时极易忽视比值方向或对应顺序，导致结论证伪不全。 难点精练 1．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“白银线”． (1)如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“白银线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分． ①此时对角线是四边形的“白银线”吗?请说明理由； ②若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接、，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①是四边形的“白银线”，理由见解析；②160 (3)或 【分析】1）在格点中先运用勾股定理求出、、，再分情况求出或，然后根据或的长作图； （2）①先判断出，再证明即可得出结论；②根据，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出的值； （3）先由得出，，再分两种情况，①延长交于点H，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出；②设交于点G，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出． 【详解】（1）解：满足条件的点D，如图1即为所求（画出1个即可）； 由题意得：，，，， ∵四边形是以为“白银线”的四边形； ①当时，或， ∴或， ∴或， ∴或； 故点、即为所求（画出1个即可） ②当时，或， ∴或， ∴或， 解得：或， 故点、即为所求（画出1个即可）； （2）解：①是四边形的“白银线”；理由如下： ∵，对角线平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴对角线是四边形的“白银线”； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，由（2）可知为等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， 分以下两种情况： 第一种情况，如图3，延长交于点H， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 第二种情况，如图4，设交于点G， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 综上所述，的长为或． 2．（25-26九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1，四边形为“垂中平行四边形”，平分，求证：． (2)如图2，矩形为“垂中平行四边形”，于点，交边于点，若8，求的长． (3)如图3，若四边形为“垂中平行四边形”，且，直接写出和的数量关系． (4)如图4，在中，于点，若，，以为边构造“垂中平行四边形”，使点落在“垂中平行四边形”的边上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过的中点时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4； (3)； (4)或． 【分析】（1）根据题意得，则，结合角平分线的性质得，有，即即可证明； （2）根据矩形和垂中平行四边形的性质得，则有，有，即可求得； （3）根据垂中平行四边形的定义得，则，有，设，则，求得，，和，则，即可求得； （4）分以下两种情况：当时，此时点与点重合，延长交于点，则为的中点．求得，在中，由勾股定理得，则；当时，则为的中点，得，有，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解： 四边形为“垂中平行四边形”， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：矩形为“垂中平行四边形”， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下， 四边形为“垂中平行四边形”， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：根据题意，分以下两种情况：当时，此时点与点重合， 如图1，延长交于点，则为的中点． ， ， 在中，由勾股定理，得， ． 当时，如图2， 则为的中点． ， ， ． 在中，由勾股定理，得． 综上所述，的长为或． 3．（2025·河南周口·一模）感知定义：如果三角形的两个内角α与β满足 ，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ，请直接写出它的两个锐角的度数； (2)如图1，在钝角三角形中， 的面积为15，求证： 是“类直角三角形”． (3)如图2，在中， ，在边上是否存在点 D，使得 是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)存在；或 【分析】（1）根据“类直角三角形”的定义和三角形内角和定理，列出方程组，解方程组即可； （2）过点A作于点D，根据三角形面积求出，再根据勾股定理求出，证明，得出，求出，即可证明结论； （3）分两种情况：当时，当时，根据三角形相似的判定和性质，勾股定理，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ， ∴， 解得：， ∴它的两个锐角的度数为，． （2）证明：过点A作于点D，如图所示： ∵的面积为15， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得： ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“类直角三角形”； （3）解：当时， ∵， ∴， 过点D作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上分析可知：或． 基础达标 一、选择题 1．下列线段中，能成比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解∶A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D 2．如图，在中，点D在边上，，分别交于点E，F，G，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由可得出得出，，再利用相似三角形的性质可得出，，进而判断解答．牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误， 故选：B． 3．如图，中，，与相交于点．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由相似三角形面积比得出相似比，再根据相似三角形性质得到对应边的比例关系，进而求出的值．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 5．如图，已知点，以点为位似中心，按的比例把缩小，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查位似图形的性质，掌握位似的性质内容是解题的关键． 根据位似图形的性质“关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或”，即可求得点的对应点的坐标． 【详解】解：∵点，以点为位似中心，按的比例把缩小， ∴点的对应点的坐标为或， 故选：D． 二、填空题 6．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质对式子进行灵活变形是解题关键． 根据比例的性质得出：，再代入到原式计算即可． 【详解】由，得 ， 则． 故答案为：． 7．在中，，，在中，，，要使相似，需添加的一个条件是 ．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，解题关键是掌握相似三角形的判定方法． 因为两三角形三边对应成比例或两三角形两边对应成比例且其夹角相等，那么这两个三角形就相似，求解即可． 【详解】解：∵在中，，， 在中，，， ∴，， 添加． ∴． 或添加，则， 故答案为：或（答案不唯一）． 8．如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图像高米，则投影机光源A到屏幕的距离为 米． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，因为光源与胶片组成的三角形与光源与投影后的图象组成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答． 【详解】解：如图所示，过A作于G，交与F， 因为， 所以，，米， 设， 则，即， 解得：， 米， 故答案为：6． 9．如图，以O为位似中心，将五边形放大得到五边形，已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形位似的知识．解题的关键是注意位似是相似的特殊形式与相似多边形的面积的比等于其相似比的平方知识的应用． 由五边形与五边形位似，可得五边形五边形，又由，即可求得其相似比，根据相似多边形的面积的比等于其相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：∵五边形与五边形位似，， ∴五边形五边形，且相似比为：， ∴五边形的面积与五边形的面积的比为：． ∵， ∴． 故答案为：． 10．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握这两个定理，通过作辅助线构建比例关系是解题的关键．通过作辅助线，利用平行线分线段成比例定理，逐步推导得出与的关系，进而求出的长． 【详解】解：过点 作 交于点 ． ∵是的中点， ∴， ， （平行线分线段成比例定理）．， ， 设，则 ，， ，且， ， 解得， ∴ 故答案为： ． 三、解答题 11．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 12．如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点都在单位长度为1的正方形网格的格点上． (1)以点为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点、、的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点的右侧； (2)在（1）的情况下，直接写出和的周长比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质．熟练掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）． （1）延长到使，延长到使，延长到使，则满足条件； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：由题意得，， ∴． 14．如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：． 15．某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． (1)如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． (2)如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 【答案】(1)墙的垂直高度为米 (2)墙的垂直高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米； （2），， ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米． 能力进阶 1．如图，中，，有三个正方形、、，它们分别是、和的内接正方形，，，则第三个正方形的边长的长（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，正方形的性质，得到是解题的关键．先由相似三角形的判定可得，再由相似三角形的性质可得，然后将已知条件代入，即可求得的长度． 【详解】解：∵正方形、、， ∴，，，， ， ， ∴， 设正方形的边长为， ∴，，， ∴， 解得， 故选：D． 2．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质确定平行线，证明，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 设， 则． ∴， 解得． ∴矩形的周长为， 故选：A． 3．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：由题意共线，连接，，由全等三角形和等腰三角形的性质可得，，，，证明四边形是平行四边形可得，再证明可得，即；同理可得，，即；由三角形中线的性质可得，再证明可得，进而得到，最后根据三角形等分线的性质即可解答． 【详解】解：如图：由题意共线，连接，， ∵，，是三个全等的等腰三角形， ∴，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，在中，，点P是边上一个动点，点D是边的中点，连接，将沿DP翻折，使点A落在点处，当平行于其中一条直角边时，的长为 ． 【答案】1或3或9 【分析】本题考查轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意平行于其中一条直角边，分类讨论进行计算求解． 【详解】解：， ， ∵D为的中点， ， 如图（1），当时，， 由折叠可知，， ， ， 如图（2），当时，点在点P左侧时，， ， ， ， ， ∴， ∴，即， 解得， 由折叠可知， ， ， ， ∴， ∴， 即， 解得， ； 如图（3），当，点在点P右侧时，取的中点E， 连接，则，． ， ， ，， ∴， ， 由折叠可知， ， ， ． 综上所述，的长为1，3或9， 故答案为：1或3或9． 5．阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【答案】(1)15厘米 (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意得到，由，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：，且， ， 的周长（厘米）． 故的周长为15厘米． （2）解：， ， ， ． 6．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：∵， ∴由（1）可知，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵点M是线段的黄金分割点， ∴或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； 即的长为或． 7．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作，交的延长线于点． (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①、、、这四条线段的比例关系：，理由见解析；② 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，进而根据等角对等边得出，等量代换，即可得证； （2）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据E是BC的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解； （3）①作交于点，则，进而证明，即可得出； ②根据角平分线分线段成比例可得，由①知，则，代入数据，即可得出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，，， 平分， ， ， ， ， 即． （2）解：平分，，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． （3）①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下： 如图：作交于点， ，，， 平分， ， ， ， ． ②平分， ， 由①知 ， ，， ， 解得， 不符合题意，舍去， ． 8．【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解； （2）过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解； （3）过点作于点，运用勾股定理可得,，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解； 【详解】（1）解：四边形为正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：1． （2）如图，过点作于点， 四边形为正方形，，， ， ，， 四边形为矩形，， ， 于点， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如图所示，过点作于点， 是直角三角形，， ， 点是的中点， ， 在中，， ， 设， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $