4.2 指数函数 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象、性质及应用，衔接函数定义、图象变换等前置知识，通过知识梳理、例题讲解搭建学习支架，帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于采用思维导图整合知识，分层练习（基础、中档、拔高）对接高考，结合“三点法”作图、换元法等培养直观想象与逻辑推理，如半衰期问题渗透数学建模，助力学生提升解题能力，教师可实现一体化教学。

高一数学●2024人教A版必修一 4.2 指数函数 本节理解指数函数的概念与解析式，掌握其图象和性质，能简单应用；经历图象探究过程，提升直观想象能力；感受函数思想，体会数形结合的数学方法 第四章 指数函数与对数函数 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括125张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 指数函数的概念 一般地，函数（,且（是一个常量））叫做指数函数，其中指数 是自变量，定义域是 发散探讨 为什么规定底数，且？1.若，则当时，；当 时， 无意义.（此时 ,因为分母不能为0，所以此时无意义） 2.若，则对于的某些数值，会使无意义.如，对于，, ， 函数值不存在. （限定,对任意的， 都有意义） 3.若，则对任意的， 是一个常量，没有研究的必要性. 因此规定，且 . 4 例1 给出下列函数： ；；；；； ； ．其中为指数函数的有______．（填序号） ①⑤ 指数函数的结构特征： 【解析】②中是幂函数；③中系数不为1；④中底数；⑥中指数不是自变量 ， 而是；⑦中底数 不是常数．①⑤是指数函数． 5 知识点2 指数函数的图象和性质深挖点 1 指数函数,且 的图象和性质 底数 图象 “一撇” ___________________________________ “一捺” _______________________________________ 性质 定义域 值域 定点 图象过定点，即时， 单调性 增函数 减函数 6 底数 性质 函数值的变化情况 当时， , 当时， , 当时, 当时， , 当时， , 当时， 对称性 函数与的图象关于 轴对称 续表 7 2 底数 对指数函数图象的影响 图4.2-1 函数，，和, , 的图象如图4.2-1所示. （作直线 ,直线与指数函数图象交点的纵坐标即 底数 ,由交点的位置即可确定底数的大小） 8 观察图4.2-1，我们有如下结论： 指数函数的底数越大，函数图象在轴右侧部分越靠近 轴，简记为 “底大图高”； 指数函数的底数越小，函数图象在轴左侧部分越靠近 轴，简记 为“底大图低”. 特别提醒 1.当底数大小不定时，必须分“”和“ ”两种情况讨论. 2.识别或绘制指数函数,且的图象，应抓住三个点, , ，即“三点法”确定图象. 9 例2 已知函数,且在上的值域是，则函数 的大致图象是( ) B A. B. C. D. 【解析】因为函数在上的值域为,所以,即 . 所以函数的图象是上升的，且函数值大于0，因此函数图象在 轴上方，B正 确． 10 例3 ［教材改编P117图4.2-6］已知,,, ,则在同一 平面直角坐标系内,它们的图象为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】与在上单调递增,与在 上单 调递减，在第一象限内作直线 ，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数， 易知选A. 11 方法帮丨解题突破 题型1 指数函数解析式的求解 图4.2-2 例4（1）(2026·安徽省临泉田家炳实验中学月考)函数 是指数函数，则 ( ) A A. B.1 C. D.1或 【解析】 函数（指数函数,则 的系数为1） 是指数函数，，解得，且 ， 故舍去 ， ， . 12 （2）［教材改编P119 T5（2）］函数,且 的图象如图4.2- 2所示，则 ____. 【解析】由题图可得 ， ，则， ， 即，故 ． 13 题型2 指数函数的图象及应用 类型1 利用指数函数的图象作有关函数的图象 例5 利用函数 的图象，作出下列各函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4） ;（5） . 14 15 【解析】利用指数函数 的图象及图象变换可作出所要作的函数图象,如图4.2-3所示. 图4.2-3 16 解题通法 利用指数函数图象作有关函数图象的基本方法——图象变换 利用图象变换作图要注意：（1）选择哪个指数函数作为起始函数；（2）图象变换 的途径． 已知指数函数<m></m>,且<m></m>.#1.3 17 1.平移变换如图4.2-4所示，其中, （若形式为 ,则需变形为 的形式再判断）; ; ; . 规律总结：上加下减（针对函数值），左加右减（针对自变量 ）.#1.4.3 18 2.对称变换（如图4.2-5所示）#1.5 图4.2-4 图4.2-5 19 3.翻折变换 ； . 20 练变式1 利用图象变换作下列函数的图象： （1） ； 图D 4.2-1 【答案】作函数的图象，保留其在轴右侧部分及 轴上 的图象，删去轴左侧部分的图象，再作其关于 轴的对称图象， 再将图象向右平移1个单位长度，即得到函数 的图象， 如图D 4.2-1所示.（其实是将 的图象向右平移1个单位长 度） 21 （2） . 【答案】作函数的图象，向右平移1个单位长度后得到函数 的图象， 再保留其在轴右侧及轴上的图象，删去轴左侧的图象，然后作其关于 轴的对称 图象，即得函数 的图象，如图D 4.2-2所示.（注意（1）（2）两函数图象 的差异） 图D 4.2-2 22 类型2 函数图象的识别 例6 (全国Ⅲ卷)函数在 上的图象大致为( ) B A. B. C. D. 【解析】令,由，且，知函数 为奇函数（先通过判断函数奇偶性进行排除），排除C; ，排除A，D.（再利用特殊点的值进行排除） 23 解题通法 函数图象识别问题的入手点 函数图象的识别主要是利用排除法，其入手点主要为： （1）从函数的定义域入手，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域入手，判断 图象的上下位置； （3）从函数的奇偶性入手，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点入手，排除 不合要求的图象； （5）从函数的单调性入手，判断图象的变化趋势. 24 练变式2 (2026·陕西省西安高新一中期中)函数 的大致图象是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】当时，，又,所以在上单调递增；当 时，，在上单调递增，的图象与 的图象关 于轴对称可知在 上单调递减.结合选项可知A，B，D错误，C正确. 25 类型3 由函数的图象确定参数范围 图4.2-6 例7 (2026·江西省南昌市第一中学周练)函数 ,且 的图象如图4.2-6所示，其中, 为常数，则下列结论正确的 是( ) D A., B., C., D., 26 【解析】函数的图象可由指数函数 的图象左右平 移得到. 由题图知，函数单调递减，则 . 又函数的图象过点 ， 所以函数的图象是由的图象向左平移得到，则有，即 . 【另解】令，则由题图知,则 ，因为 ，所以，即 练变式3 二次函数与指数函数 的图象在同一平面直角坐标系内 可能是( ) A A. B. C. D. 【解析】二次函数解析式可化为，其图象顶点坐标为 ， 结合各选项中指数函数的图象知 （指数函数单调递减），所以 ，再观察四个选项，只有A中的二次函数图象的顶点的横坐标在 和 0之间,故选A. 28 类型4 过定点问题 例8 (2026·湖南省长沙市雅礼中学期中)函数，且 的图象过 定点______. 【解析】方法1：函数的图象可由函数 的图象向右平移3个单位长 度，再向上平移3个单位长度得到，而函数的图象过定点 ，故函数 的图象过定点 . 方法2：因为，所以令，得 ， 则，故函数的图象过定点 . 29 解题通法 指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数，且的图象过定点 ，则函数 ,,且的图象过定点，即令 ,得 ， . 30 类型5 图象的应用——数形结合 例9 ［多选题］已知函数，当 时，有 ．则下列结论正确的为( ) AD A. B. C. D. 31 图4.2-7 【解析】 的图象如图4.2-7所示, 由图可知在上单调递减，在 上单调递 增， 若，因为在 上单调递减，所以此时不满 足，所以，同理可得 ，所 以 . ，即 ， C错误. 32 又（基本不等式）,所以,即,所以 ,A 正确. 若，因为，所以 ， 此时，B错误，此时 ， 若,因为，所以 ，即 ， 综上所述，D正确.故选 . 33 题型3 指数函数单调性的应用 类型1 比较大小 例10 ［教材改编P117例 比较下列各题中两个值的大小： （1）， ; 【解析】因为,所以函数在定义域 上单调递减, 又,所以 . 34 （2）， ； 图4.2-8 【解析】方法1：在同一平面直角坐标系中画出指数函数 与 的图象,如图4.2-8所示. 当时,由图象观察可得 . （或由“底大图低”判断） 35 方法2：构造幂函数,则该函数在 上单调递增， 又,所以 . 又, , 故 . 36 （3）， . 【解析】方法1：因为幂函数在上单调递增，且，所以 （【点技巧】引入中间量） . 又根据指数函数在上是减函数，可得,所以 . （【点技巧】也可以引入中间量 ，同学们不妨一试） 方法2： , , 因为幂函数在上单调递增，所以 ,所以 . 方法3：,,因为 ,所以 ,所以 .（不等式性质的可乘方性） 37 38 解题通法 指数幂的大小比较问题的三种类型及解法 练变式4 (2026·河南省洛阳市期末)已知实数,,满足不等式 ，且 ,,，则,, 的大小关系为( ) A A. B. C. D. 【解析】在上单调递增，在上单调递减，, （幂函数）在 上单调递增. 所以，即 ，故A正确. 39 类型2 解简单的指数方程 例11 解方程： （1） ； 【解析】原方程同解于（【提示】, ）， 由指数函数在上单调递增,知,解得 . 40 （2） . 【解析】原方程同解于 . 令（【易错点】换元时注意中间变量 的取值范围）,则方程可化为 ， 解得（负值已舍）,即 ， 由指数函数在上单调递增，知 . 41 （1）将方程两边化为同底的指数式，利用指数函数的单调性判断； （2）利用换元法求出，即得 的值. 42 解题通法 1.同底型：将指数方程同解变形为同底的指数式，如 ，然后利用指数函 数,且的单调性即得 ，解此方程即得. 2.可换元型：若方程中仅含有指数式，即可化为的形式，则可令 ， 即得关于的方程，解方程求，再由求 . 练变式5（1）(2026·上海市建平中学月考)方程 的解集是_ ___. { 【解析】，所以由指数函数 的单调性可得， ，即 . 43 （2）方程 的解集是_______. ， 【解析】由得 ， 设，则 ， 则原方程等价为，即 ， 解得或 ． 由，解得 ； 由，解得 ． 故方程的解集为， ． 44 类型3 解指数不等式 例12 求满足下列条件的 的取值范围: （1） ; 【解析】, （化为同底数形式）, 又在定义域 上是增函数， ， . 即的取值范围是 . 45 （2） ; 【解析】 , 指数函数在 上是减函数. 又, , ,即的取值范围是 . 46 （3）,且 . 【解析】当时（当底数的范围不确定时，注意分类讨论）， 为增函数. ,,解得 . 当时， 为减函数. ,,解得 . 综上所述，当时，的取值范围是 ,;当时， 的取值范围是 . 47 解题通法 指数不等式的三种类型及求解方法 （1）解形如的不等式，可借助函数的单调性求解，如果 的取值不确 定，需分与 两种情况进行讨论. 当时， ; 当时， . （2）解形如的不等式，可先将转化为以 为底数的指数幂的形式，再借助函 数 的单调性求解. （3）解形如 的不等式，若可化为同底数的指数式，则利用指数函数单调性 求解；否则可在同一平面直角坐标系中作出对应的函数图象求解.如求解 时， 通过画出两函数图象可知 . 48 练变式6 已知函数若，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意，知等价于或 解得或，所以 .故选C. 49 题型4 指数型复合函数的性质 类型1 函数的定义域和值域 例13 求下列函数的定义域和值域： （1） ； 【解析】要使函数有意义，则 ， 即 . 因为函数是增函数，所以 . 故函数的定义域为 . 因为,所以,所以 . 所以 ， 即函数的值域为 . 50 （2） ; 【解析】定义域为 . 因为,且函数 是减函数，所以 . 又 , 所以函数的值域为 . 51 （3） . 【解析】由题意知,即 , 所以函数的定义域为 . 因为,所以 , 故函数的值域为 . （【明易错】此处容易忽略指数函数，且的值域为 ,而得 到函数的值域的错解：- , ） 52 例14 (2026·山东省济南市期末)已知函数的定义域为 ， 且图象经过点 . （1）求 的值； 【解析】因为的图象过点，所以把,代入解析式得，解得 或 ， 又因为，所以 . 53 （2）求 的值域； 【解析】，令，因为，所以 ，令 ， . 因为在上单调递减，在上单调递增，， ， ， 所以的最小值为2，最大值为 . 于是在上的值域为 . 54 （3）求的最小值 . 【解析】 . 令 ， 由（2）可知 ， 令，, . 当时，在上单调递增，在处取最小值 ，所以 ； 当时，在上单调递减，在 上单调递增， 55 在处取最小值，所以 ； 当时，在上单调递减，在处取最小值 ，所以 . 综上， （1）把,代入解析式即得的值；（2）令 ，利用对勾函数 的单调性可求得在上的值域；（3）令 ，结合单调性 可得，利用二次函数的性质，分类讨论可求得的最小值 . 57 解题通法 求指数型复合函数的定义域和值域的一般方法 1.求指数型复合函数的定义域时，先观察函数类型，如型、 型、 型等. （1）由于指数函数,且的定义域是，所以函数 的定义 域与 的定义域相同. （2）求函数，且的定义域，令，求出使 有意 义的的范围，转化为的范围，则可求出 的范围. （3）求 型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式（组）. 58 2.求指数型复合函数的值域时，要注意指数函数的值域为 ，还需注意： ①在求形如,且的函数值域时，先求得函数 的范围， 再根据的单调性，即可求出 的值域； ②求型函数的值域时，先求出的范围，再求 的范围. 说明:求复合函数值域时，谨记复合函数单调性的结论——“同增异减”. 59 练变式7 (2026·四川省眉山市彭山区第一中学期末)函数 对 恒成立，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 【解析】函数对 恒成立， 则对恒成立，即 . 设， ， 则，当时， ， 则实数的取值范围为 . 60 练变式8 [多选题](2026·湖南省岳阳市期中)已知函数 ，定义域 为，值域为 ，则下列说法中一定正确的是( ) BCD A. B. C. D. 61 【解析】 . 当函数值为1时，仅有满足，所以 ，故C正确； 当函数值为2时，仅有满足，所以 ，故D正确； 由，得 ，由二次函数的性质可知 ， 所以，由指数函数的性质可知 ，所以使得函数 值域为的的最大范围为，而最小范围为 ，即 函数的定义域满足 ，故B正确; 当时，，故A错误. 故选 . 62 类型2 函数的单调性及应用 （1）函数单调性的判定 例15 (2026·广东省梅州市期末)函数 的单调递增区间为_ _______. 【解析】设，则函数在 ,上单调递减，在 上单调 递增，故.又在 上单调递增，所以根据复合函数单 调性的判断方法，得函数的单调递增区间为 . 63 例16 讨论函数 的单调性，并求最值. 【解析】，其中 . 设，，则 （换元时，要注意新元的取值范围），此时有 ， ． 当时，在上单调递增，由，（根据 与1的 关系讨论）得 . 又在 上单调递增， 所以由复合函数的单调性的判断方法知， 原函数在 上单调递增． 同理，原函数在 上单调递减． 故原函数有最小值，最小值在 时取到，所以最小值为2. 64 （2）利用函数的单调性求变量的取值范围 例17 (2026·山东省济南外国语学校月考)已知函数在 上单调 递增，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】因为函数在上单调递增，在 上单调递减， 所以在 上单调递减. （逆用复合函数单调性判断方法：同增异减） 当时， 满足题设， 当时，由或解得或 ， 综上， . 65 例18 (2026·广东省汕头市期中)已知函数在定义域 上为 增函数，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 【解析】由函数在定义域 上为增函数，则 ,(底数大于1) ,(对称轴在直线 的左侧，且可以重合) ,(注意端点值关系) 解得，即实数的取值范围为 . 66 练变式9 (2026·福建省莆田市期末)如果函数 满足对任 意，都有成立，那么 的取值范围是______. 【解析】由题意可知，函数在定义域 内单调递增，则 解得，所以实数的取值范围是 . 67 练变式10 (2026·广东省部分学校期末)若函数在区间 上单调递 减，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】令，由于底数，所以指数函数在 上单 调递减，因此的单调性与的单调性在上相反，要使 在 上单调递减，必须要求在区间上单调递增，只需满足函数 图象的 对称轴在区间的左侧，即 . 68 类型3 函数的奇偶性及其应用 例19（1）若函数是奇函数，则实数 的值是___. 1 69 【解析】方法1：由,得,所以的定义域为 ，由 ， 得，即，则 . 方法2：因为为奇函数，所以 ，（对于奇函数，一般常取 去求参数值，但本题中，因此选用和 处的函数值求参数） 则 ， 所以，则 ， 经检验， ，（采用特殊值法求得参数的值后一定要进行检验）所 以 的值为1. 70 （2）(新高考全国Ⅰ卷)已知函数是偶函数，则 ___. 1 【解析】方法1：因为的定义域为 ，且是偶函数，所以 对任意的 恒成立， 所以对任意的 恒成立，所以 对任意的恒成立，所以 . 方法2：由题意知的定义域为 ，且是偶函数. 设, ， 因为为奇函数，所以为奇函数，（若 为奇函数， 为奇函数，则为偶函数）所以，解得 ， 经检验，为偶函数，所以 . 71 常见的含指数式的奇、偶函数如下，且 奇函数：（1）；（2） ； （3）；（4） . 特别地，， 也是奇函数. 偶函数： . 72 练变式11 函数在 上的最大值与最小值之和为 ___. 3 【解析】 ， 令，由与,且 都为奇函数，知 函数 为奇函数， 则函数 的最大值与最小值的和为0， 故函数的最大值与最小值之和为 . 73 类型4 综合应用 例20 (2026·江苏省常州市金坛区第一中学月考)设函数 ，且是定义在 上的奇函数. 74 （1）求 的值； 【解析】方法1：是定义在 上的奇函数， ,即, . 当时， , , 故 符合题意. 方法2：, , 是奇函数，在定义域上恒成立，解得 . 75 （2）若，试判断函数的单调性，并求不等式 的解集. 【解析】,又，且, . ,都是 上的增函数， 是 上的增函数. 故 . 综上，函数在上单调递增，且不等式的解集为 . 76 77 练变式12 已知函数，则满足的 的取值范围是( ) D A. B., C., D., 【解析】令， ， 为奇函数，又,, 均为增函数， ,且为奇函数 在 上单调递增． , ， 原不等式可转化为 , 则 ， ，解得 ．故选D． 78 题型5 对函数,且 的性质的研究 在与指数函数有关的函数中，函数,且 有着极其特殊的地位， 我们经常会遇到形式各异的与指数函数有关的问题，都与这个函数有一定的联系. 79 类型1 性质研究 例21 已知函数,且 . （1）判断函数 的奇偶性； 【解析】函数的定义域为 ， 因为，所以 是奇函数. 80 （2）讨论 的单调性； 【解析】因为函数 ，（【巧解题】分离常数法的应用） 设,， ， 则 . 当时，在 上单调递增， 由，得，所以 ， 又，，所以 ， 即，即此时在 上单调递增； 同理，当时，，即此时在 上单调递减. 综上，当时，函数在 上单调递增， 当时，函数在 上单调递减. 81 （3）求 的值域. 【解析】令，则 ， 结合（2）知原函数等价于 ， 在区间上单调递增，（单调递减， 单调递增） 所以，故的值域为 . 82 （1）根据函数的奇偶性定义进行判断；（2）根据单调性的定义进 行证明；（3）将函数解析式分拆、换元后，由内到外逐次求之. 83 类型2 性质应用 例22 已知函数是奇函数，并且函数的图象经过点，则 ____. 思路1：利用函数图象过定点及函数 为奇函数，构建关于 ， 的方程组，解方程组即可. 思路2：由函数为奇函数且函数图象过定点，知函数 的图象必过定点 ，于是有 解方程组即可. 84 【解析】方法1：由函数为奇函数，得 恒成立，即 恒成立， 整理得 恒成立， 所以, . 又函数的图象过定点，所以，即 ，联立解得 ， ， 故 . 方法2：由函数为奇函数且图象过，知函数的图象必过点 ， （奇函数图象的对称性） 所以解得故 . 85 观察本题所给函数解析式，结合函数 的性质不难猜测 ,或,,代入验证，知, ,可快速求解. 86 练变式13 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 【答案】 .（变形后方便判断单调性） 设,, . , 因为为减函数，所以 , 所以,故 为减函数. 87 （2）若不等式有解，求实数 的取值范围. 【答案】因为，且 ， 所以 ， 所以，所以的值域为 . 又不等式有解，所以 . 故实数的取值范围是 . 88 新考法 数学建模 教材深挖 指数增长模型的情境应用 教材第114页中给出指数增长模型：设原有量为，每次的增长率为，经过 次增长， 该量增长到，则.形如,且;,且 的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型. 89 例23 [新情境·半衰期](2026·安徽皖江名校联盟期末)放射性物质是指那些能自然地向 外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的原子核数目 会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质原子核数目衰减至初值 一半所用的时 间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为 （单位：天），放射性物质的 原子核数目与时间的关系式为 .现有甲、乙两种放射性物质，其半衰期 分别为, ，开始记录时，这两种物质的原子核数目相等，816天后测量发现甲的原 子核数目是乙的原子核数目的8倍，则， 应满足_ ____________. 【解析】这两种物质的初始原子核数目相等，都为 ，则816天后甲、乙两种物质的 原子核数目分别为，，由题意知 ，即 ，即 . 90 高考帮丨考向追踪 考向1 指数函数的单调性 类型1 求参数 例24 (2023· 新课标Ⅰ卷)设函数在区间上单调递减，则 的取值范 围是( ) D A. B. C. D. 91 【解析】 给什么得什么 是由函数和 复合而成的复合函 数，因为在上单调递减， 为增函数，结合复合函数 的单调性（同增异减）可知，在 上单调递减. 差什么找什么 要使在 上单调递减，则函数图象的对称轴 ，即 . 92 类型2 比较大小 例25 (2025·上海)设，，下列各项中，能推出 的一项是( ) D A.，且 B.，且 C.，且 D.，且 【解析】当时，;当时， . 结合选项可知只有D选项能推出 . 93 例26 (2023·全国甲卷)已知函数．记， ， ，则（注： ,为一个常数）( ) A A. B. C. D. 【解析】函数是由函数和 复合而成的复合函 数，为上的增函数，在上单调递增，在 上单调 递减，所以由复合函数的单调性可知，在上单调递增，在 上单调 递减. 易知的图象关于直线对称，则， 的图象关 于直线对称，因此复合函数的图象也关于直线对称 所以，又 ，所以 ，所以 . 94 考向2 指数型复合函数的奇偶性 例27 (2023·全国乙卷)已知是偶函数，则 ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】方法1：（通解）的定义域为，因为 是偶函数，所以 ，即，即 ，即 ，所以，解得（舍去）或 . 方法2：（光速解） ， 因为是偶函数， 是奇函数， 所以是奇函数，故，即 . 为奇函数 95 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.(2026·广东省惠州市第一中学期中)设,,则“”是“ ”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由函数为增函数可知，若,则 ; 由函数为增函数可知，若,则 . 故“”是“ ”的充要条件，故选C. 96 图4.2-1 2.函数①,②,③,④ 的图象如图 4.2-1所示，,,,分别是下列四个数：,,, 中的一个， 则,,, 的值分别是( ) C A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 【解析】作直线 ,则直线与函数图象的交点的纵坐标 从上到下依次为,,,,由，得 , ,, .故选C． 97 3.(2026·湖南省常德市石门县第一中学月考)函数 的大致图象为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知，函数的定义域为 , 因为，所以 为奇函数，排除A; ，排除B; ，排除C，故D正确. 98 4.(2026·山东省莱西市期中)设,,,则,, 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 【解析】由幂函数为增函数，可知，由 为减函数，可知 ，所以 .故选A. 99 5.［多选题］ (2026·河南省驻马店市期末)已知实数，满足等式 ， 下列式子可以成立的是( ) ABD A. B. C. D. 图D 4.2-1 【解析】设 ，分别作出 , 的函数图象，如图D 4.2-1所示. 当时，则 ，A成立； 当时，则 ，B成立； 当时，则，C不成立，D成立.故选 . 100 6.(2026·重庆市月考)已知函数为偶函数，则 ___. 0 【解析】因为函数 为偶函数， 所以，即 , 由 , 可得 , 即 , 所以，解得 . 101 7.已知，则 _______. 1 012 【解析】 观察所求式子，显然不可能去一一求值寻找规律 计算的值 分组求和 因为 ，所以 ， 则 . 102 8.已知 . （1）求 的定义域； 【答案】由题意可得,即 , 所以函数的定义域为 . （2）判断 的奇偶性，并说明理由； 【答案】 为偶函数.理由如下： 函数 的定义域关于原点对称. , , 所以 为偶函数. 103 （3）证明 . 【答案】由（2）知， , 当时，,,,则 ； 当时，,,,则 . 综上, . 104 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 9.(2026·贵州省名校协作体期末)函数和 函数是2种用作神经网络的激活 函数，函数的解析式为（注: ,为一个常数），经 过某次测试得知，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 , ,则或 （舍）． ．故选A. 105 10.(2026·湖北省武汉市第二中学周练)已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 106 【解析】由题意得，函数 , 令,则 , 由,得 , ,即 . , 在上为增函数,在 上为减函数, 在 上为增函数, 的定义域为 , 107 且 , 是上的奇函数,故 . 由得, , 解得或 , 实数的取值范围为 .故选A. 11.［多选题,新情境·数学文化］ (2026·福建师范大学附属中学期中)高斯是德国著名 的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用 表 示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，． 已知函数， ，则下列说法正确的有( ) BC A.是偶函数 B.的值域是, C.是奇函数 D.在 上是增函数 109 【解析】对于A， ， ， ，（特值判断） 不是偶函数，A错误； 对于B，，,, , ， 当时， ， 当,时， ， 的值域是, ，B正确； 110 对于C，的定义域为， ， 为奇函数，C正确； 对于D，在上单调递增，在 上单调递减， 在上单调递减，即在 上是减函数，D错误. 12.［新定义·倒戈函数］ (2026·吉林省长春市九台区第一中学期初)对于函数 ， 若在定义域内存在实数满足，则称函数 为“倒戈函数”．设 ，且是定义在上的“倒戈函数”，则实数 的 取值范围是_ ______. [-,0） 112 【解析】是定义在上的“倒戈函数”， 满足 , , . 构造函数, , 令,则,则可转化为,易知 （ ,利用对勾函数的性质判断单调性） 在,上单调递增，在 上单调递减， . , . 故实数的取值范围是[- ,0）. 113 13.(2026·河北省沧县中学期末)已知函数， ，若对任 意，都有，则实数 的取值范围是_ _________. 【解析】设，， ， ，， , 不等式转化为 ， ，，即 ， 不等式转化为 . 114 令，任取,，且 ， 则 ， ，, ， ， 在 上单调递增. 当时， ， 不等式对任意恒成立，， 实数 的取值范 围是 . 14.(2026·黑龙江省黑河市第五中学月考)已知函数是定义在 上的奇函 数，其中为指数函数，且的图象过定点 ． （1）求函数 的解析式； 【答案】设，且 ， 由图象过点,得，所以 （舍去）或 ， 所以， ． 又为奇函数，且定义域为，所以，即 ， 所以，经检验符合题意，所以 ． 116 （2）判断并证明 的单调性； 【答案】函数在 上单调递减，证明如下： 设 ， 则 ． 因为，所以，所以 ， 所以，即 ， 所以函数在 上单调递减． 117 （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数 的取值范围． 118 【答案】要使对任意的， 恒成立， 即对任意的， 恒成立， 因为为奇函数，所以 恒成立． 因为函数在 上单调递减， 所以对任意的， 恒成立， 即对任意的， 恒成立． 令， ， 当时， ,满足题意； 当时，，解得 ； 当时，，,与 矛盾. 综上，实数的取值范围是 ． 119 C 培优练丨能力提升 15.(2026·山西省怀仁市大地学校期末)已知函数， ， 定义函数 . （1）判断在 上的单调性，并证明你的结论； 120 【答案】在 上单调递增. 证明如下： 由题意得 , 任取,,且 , 则 , 因为,所以,即 , 所以,即 , 故在 上单调递增. 121 （2）求函数在 上的最大值； 【答案】 , 令, , 因为函数,在 上均单调递增, 所以函数在上单调递增，所以 . 令, , 当时， ; （以区间的中点与 的大小关系进行分类讨论） 122 当时， . 综上所述， （3）设，若关于 的不等式 在上有解，求实数 的取值范围. 【答案】因为 , 所以函数的图象的对称中心为 . 所以 , 124 , 因为,所以由基本不等式得 , 所以 , 要使不等式在 上有解，则 ,解得 , 故实数的取值范围为 . $