第4章 4.3.2 第2课时 换底公式（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦对数换底公式及推论，通过问题导入（如推导log₂5/log₂3=log₃5）衔接对数运算性质，搭建新旧知识支架，帮助学生理解公式来源与应用脉络。 其亮点在于结合地震能量计算、溶液过滤等实际问题培养数学眼光，通过多方法解题（如不同底转换、推论应用）发展数学思维，知识梳理与小结结构化助力数学语言表达。学生能提升运算推理能力，教师可借助系统例题和分层练习提高教学效率。

第2课时 换底公式 第四章　 4.3.2　对数的运算 <<< 1.掌握换底公式及其推论.(重点) 2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.(难点) 学习目标 一、对数的换底公式 二、对数运算性质的综合运用 课时对点练 三、实际问题中的对数运算 随堂演练 内容索引 对数的换底公式 一 提示　x=log35，从而x==log35. 假设=x，则log25=xlog23，即log25=log23x，从而有3x=5，再将此式化为对数式可得到什么结论？ 问题 1.对数换底公式：logab= a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 2.对数换底公式的重要推论 (1)logaN=N>0，且N≠1；a>0，且a≠1). (2bm= logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0). (3)logab·logbc·logcd= (a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1). 特别地logab·logba=1. logad 知识梳理 (1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义. (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab=或logab=a>0，且a≠1；b>0). 注 意 点 <<< 7 　(1)计算：(log43+log83)(log32+log92)； 例 1 原式= ==. 解 8 (2)计算：. 原式= =lo×lo9=lo×3lo32 =-×log32×3log23=-. 解 9 (3)已知log189=a，18b=5，用a，b表示log3645的值. 方法一　∵18b=5，∴log185=b. ∴log3645= =. 方法二　∵18b=5，∴log185=b. ∴log3645=. 解 10 　若本例(3)条件不变，求log915(用a，b表示). 延伸探究 ∵18b=5，∴log185=b. ∴log915= = = =. 解 11 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 反 思 感 悟 12 　(1的值是 A. B. C.1 D.2 跟踪训练 1 √ 方法一　将分子、分母利用换底公式转化为常用对数， 即. 方法二　将分子利用换底公式转化为以2为底的对数， 即. 方法三　. 解析 13 (2)已知lg 2=a，lg 3=b，用a，b表示log212. 因为lg 2=a，lg 3=b， 所以log212=. 解 14 二 对数运算性质的综合运用 (1)设3a=4b=36，求的值； 例 2 16 方法一　由3a=4b=36， 得a=log336，b=log436， 由换底公式得=log363=log364， ∴=2log363+log364=log3636=1. 方法二　由3a=4b=36，两边取以6为底的对数，得alog63=blog64=log636=2， ∴=log63log64=log62， ∴=log63+log62=log66=1. 解 17 (2)已知x，y，z为正数，若3x=4y=6z，求的值. 令3x=4y=6z=a(a>0)， 由题意得a≠1， ∴x=log3a，y=log4a，z=log6a， ∴. 解 18 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 反 思 感 悟 19 　已知3a=4b=c，且=2，求c的值. 跟踪训练 2 ∵3a=4b=c，∴c>0，∴a=log3c，b=log4c， 又=2，∴a≠0，b≠0，∴c≠1， ∴=logc3=logc4， ∴=logc3+ logc4=logc12=2. ∴c2=12， 又∵c>0，∴c=2. 解 20 实际问题中的对数运算 三 　(课本例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)？ 例 3 22 设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2. 由lg E=4.8+1.5M，可得 lg E1=4.8+1.5×9.0， lg E2=4.8+1.5×8.0. 于是，lg=lg E1-lg E2 =(4.8+1.5×9.0)-(4.8+1.5×8.0)=1.5. 利用计算工具可得，=101.5≈32. 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍. 解 23 　某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若 初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少要使产品达到市场 要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) A.6 B.7 C.8 D.9 例 3 √ 24 设至少需要过滤n次， 则0.02×≤0.001，即. 所以nlg≤lg即n(lg 2-lg 3)≤-lg 20， 即n≥≈7.4. 又n∈N，所以n≥8. 所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求. 解析 25 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算. 反 思 感 悟 26 　在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev= e为自然对数的底数，ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃 料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度. 跟踪训练 3 因为v=ln=2 000ln且M=2m， 所以v=2 000×ln 3≈2 000×1.099=2 198(m/s). 故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度约为2 198 m/s. 解 27 1.知识清单： (1)换底公式. (2)对数的实际应用. 2.方法归纳：换底公式、转化法. 3.常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.-+log23×log34的值为 A. B. C.1 D. √ 原式=- =-. 解析 1 2 3 4 2.已知2x=3，log4=y，则x+2y的值为 A.3 B.8 C.4 D.log48 √ 由2x=3得x=log23， ∴x+2y=log23+2log4 =log23+2lo =log23+log2=log28=3. 解析 1 2 3 4 3.已知lg 2=a，lg 3=b，则log36等于 A. B. C. D. log36=. 解析 √ 1 2 3 4 4.锶90是发生核爆后产生的主要辐射物之一，它每年的衰减率为2.47%，那么大约经过　　　　年，辐射物中锶90的剩余量不高于原有的7.46% (结果保留整数)  (参考数据：ln 0.074 6≈-2.596，ln 0.975 3≈-0.025) A.110 B.100 C.104 D.90 √ 1 2 3 4 由题意，设辐射物中锶90的原有含量为a，至少经过t年辐射物中锶90的剩余量不高于原有的7.46%， 所以a(1-0.024 7)t≤0.074 6a， 即0.975 3t≤0.074 6=0.975 所以t≥log0.975 30.074 6=≈104， 所以大约经过104年，辐射物中锶90的剩余量不高于原有的7.46%. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C A A D BCD 题号 9 11 12 13 15 答案 4 B AD 12 9 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)原式=log535+log550-log514+2lo =log5+lo2=log553-1=2. (2)方法一　原式= = =log25·3log52 =13log25·=13. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　原式= = ==13. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令xa=yb=zc=k，k>0且k≠1， 则a=logxk，b=logyk，c=logzk. 因为所以 即logkx+logky=logkz. 所以logk(xy)=logkz，即z=xy. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由勾股定理，得a2+b2=c2. log(c+b)a+log(c-b)a == == =2log(c+b)a·log(c-b)a. 所以原式成立. 基础巩固 1.化简log832的值为 A. B.2 C.4 D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 log832=. 解析 2.log29×log34等于 A. B. C.2 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　原式==4. 方法二　原式=2log23×=2×2=4. 解析 3.等于 A.lg 3 B.-lg 3 C. D.- 原式=lo+lo =lo+lo =lo=log310=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.若a=log35，5b=6，则ab-log32等于 A.1 B.-1 C.2 D.-2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由5b=6⇒b=log56， 故ab-log32=log35·log56-log32=log35·-log32=log36-log32=log3=log33=1. 解析 5.已知log23=a，log27=b，则log4256等于 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由换底公式及运算性质化简整理， 得log4256= = 将log23=a，log27=b代入上式，得log4256=. 解析 6.已知ab≠1，logam=2，logbm=3，则logabm等于 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，m>0，a>0，且a≠1，b>0，且b≠1， 因为logam=2，logbm=3，则m≠1， 所以由换底公式可得logma=logmb= 又因为logma+logmb=logmab(ab≠1)， 所以logmab= 所以由换底公式可得logabm=. 解析 7.(多选)若log2m=log4n，则下列结论一定成立的是 A.n=2m B.log9n=log3m C.ln n=2ln m D.log2m=log8(mn) √ 依题意log2m=log4n，所以m>0，n>0，log2m=lon=log2n=log2 所以m=m2=n，A选项错误； log9n=lom2=log3m=log3m，B选项正确； ln n=ln m2=2ln m，C选项正确； log8(mn)=lom3=log2m=log2m，D选项正确. 解析 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若ln 3=a，则log9e=　　(结果用含a的代数式表示).  因为ln 3=a，所以ea=3，则log9e=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.设log23·log36·log6m=log4(2m+8)，则实数m=　　.  左边==log2m=log4m2，所以m2=2m+8，解得m=4或m=-2(负值舍去). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 10.计算下列各式的值： (1)log535+2lo-log5-log514； 解 原式=log535+log550-log514+2lo =log5+lo2=log553-1=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258). 解 方法一　原式= = =log25·3log52=13log25·=13. 方法二　原式= = ==13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约 为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与 最接近的是(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A. B. C. D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ 两边取常用对数，可得lg=lg 1010-lg 36-lg 230 ≈10-6×0.48-30×0.30=-1.88. ∴≈10-1.88≈. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)若10a=4，10b=25，5c=4，则下列计算正确的是 A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab=10 D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由10a=4，10b=25，5c=4， 则a=lg 4，b=lg 25，c=log54， 所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2，故A正确； b-a=lg 25-lg 4=lg≠1，故B错误； 由ab≤=1，当且仅当a=b时取等号， 又a=lg 4，b=lg 25，所以等号不成立，即ab<1，故C错误； 由=log410-log45=log42=故D正确. 解析 13.若lg a+lg b=2，lg a·lg b=则lg(ab)·(logab+logba)=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为lg a+lg b=2，lg a·lg b=. 所以lg(ab)·(logab+logba)=(lg a+lg b)· =(lg a+lg b)· =(lg a+lg b)· =2×=12. 解析 12 14.设xa=yb=zc，其中x，y，z均大于0，且都不为1求证：z=xy. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令xa=yb=zc=k，k>0且k≠1， 则a=logxk，b=logyk，c=logzk. 因为所以 即logkx+logky=logkz. 所以logk(xy)=logkz，即z=xy. 证明 15.函数f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N*)，定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有 　　个.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令g(k)=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)， 利用对数的换底公式可得f(k)=log(k+1)(k+2)= 得到g(k)=×…×=log2(k+2). 要使g(k)为整数，则k+2=2m，m∈N*. 由于k∈即2m∈ 因为22=4，210=1 024，211=2 048， 可取m=2，3，…，10. 因此在区间上这样的“企盼数”共有9个. 解析 16.设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边长，且a≠1.求证：log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)a·log(c-b)a. 答案 证明 由勾股定理，得a2+b2=c2. log(c+b)a+log(c-b)a == == =2log(c+b)a·log(c-b)a. 所以原式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第四章　 4.3.2　对数的运算 <<< $