4.1无理数第2课时教学设计2026-2027学年数学鲁教版（五四制）七年级上册

该初中数学教学设计聚焦无理数的定义及常见形式，通过复习“a²=2中a不是有理数”的问题导入新知，搭建从有理数到无理数的数系扩充学习支架，梳理知识前后脉络。 以探究活动为核心，通过面积为2的正方形边长估算，借助计算器和表格体会无限逼近思想，培养数学眼光中的抽象能力与几何直观，例题与练习强化有理数和无理数的辨别，发展数学思维的推理意识，帮助学生深化概念理解，为教师提供结构化教学流程和丰富例证，提升教学效率。

第四章 实数 4.1无理数 第2课时   一、教材分析 本节课是鲁教版七年级上册第四章第一节的第2课时.本节所属的单元是《实数》，数的范围从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段，初中阶段的多数问题是在实数范围内进行的，同时实数也是后继内容学习(如一元二次方程、函数等)的基础. 本节课是在第一课时学生初步感受无理数存在必要性的基础上，正式进入概念构建与形式化认识的关键阶段.教材的核心任务是明确给出无理数的数学定义（无限不循环小数），并系统归纳其常见表现形式（如：开方开不尽的数，特定结构的数如圆周率π，以及人为构造的无限不循环小数.）   二、学情分析 学生通过第一课时的学习，已对不是有理数的数有了初步感性认识，这为理解抽象定义奠定了基础.然而，七年级学生抽象概括能力和对数学语言精确性的把握仍有限，他们可能存在的困难包括：对定义中“无限不循环”的深层理解不足，混淆有理数和无理数的判断；对不同形式（特别是π这类超越数）为何属于无理数感到困惑.因此，教学需在丰富例证的基础上精炼定义，并清晰梳理常见形式及其特点。   三、教学目标 1.探索无理数的定义，并从中体会无限逼近的思想； 2.能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力； 3.在探索无理数是无限不循环小数的过程中，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力； 4.充分调动学生参与数学问题的积极性，同时培养学生的合作精神，提高辨识能力.   四、教学重难点 重点：比较无理数与有理数的区别，能辨别出一个数是无理数还是有理数. 难点：探索无理数是无限不循环小数的过程.   五、教学过程 · 复习回顾 教师活动：提出一个重点问题让学生思考，并点名学生回答，然后再给出答案. 问题：若a2=2，则a　　 分数，　　 整数，　　 有理数.(填“是”或“不是”)  预设答案：不是，不是，不是. 提出问题：数a确实存在，但又不是有理数，那它到底是什么数呢？ 设计意图：借助上节课的问题引出新知，体现了知识之间的前后衔接． · 探究新知 活动一：探究无理数的定义 探究：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ (1)如下图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ 通过观察，可以直观得出：3个正方形的边长之间的大小关系为1<a<2. (2)能不能进一步确定一下a的大致范围？ 预设答案： 从“数”的角度：因为a2=2，而12=1，22=4···，所以12<a2<22，1< a< 2， 因为1.52=2.25，2.25＞2，所以12<a2<1.52，1< a< 1.5， 所以a的大致范围在1~1.5之间. (3)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器探索，用表格的形式整理. 预设答案：分析：使用计算器计算a取不同值时的平方值，整理得到表格： a的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4. 追问：还可以继续算下去吗？初步判断a可能是有限小数吗？ 通过想一想提出问题来解决该追问. 思考：边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？a可能是有限小数吗？ 预设答案：假如a算到某一位时，它的平方恰好等于2，即a是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是2，所以边长a不会算到某一位时，它的平方恰好等于2，所以a不可能是有限小数. 探究：(1)估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计. 预设答案：b2=5；使用计算器计算b取不同值的平方值，整理得到表格： 列表格： 从表格观察可知，面积为5的正方形的边长b的值满足：b2=5，经过计算器验证b≈2.2（结果精确到0.1） （2）如果结果精确到0.01呢？ 预设答案：使用计算器计算b取不同值的平方值，整理得到表格： 列表格，在（1）的基础上 面积为5的正方形的边长b的值满足：b2=5，经过计算器验b≈2.24(结果精确到0.01) 归纳：在等式a2=2中，a=1.41421…，它是一个无限不循环小数. 在等式b2=5中，b=2.23606…，它是一个无限不循环小数. a ，b都不是整数，也不是分数，不是有理数，是无限不循环小数. 设计意图：鼓励学生借助计算器进行充分探索，体会无限逼近的思想,并引导学生整理出探索的过程.通过更多的例子，让学生熟悉求无理数近似值的估算方法，进一步体会无理数的“无限”与“不循环”的特点. 思考：把下列各式表示成小数，你发现了什么？ 3，，，， 预设答案： 发现：有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 【归纳】 结合有理数的定义及其分类，我们已经知道，不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，即无限不循环小数不是有理数. 定义：无限不循环小数称为无理数. 强调：判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数. 活动二：探究无理数的常见形式 思考：你能找到其他的无理数吗？ 预设答案： 答案不唯一：0.2323323332…（两个2之间依次多1个3），1.41421356…，2.2360679…，3.1415926…（圆周率）等. 小结：这些数的小数位数都是无限的，又不是循环的，是无限不循环小数，这些数都是无理数. 【归纳】 我们目前学到的无理数的常见形式 ①无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．有规律但不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数； ②圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． 在后续课程的学习中，我们还会接触无理数的第三种形式： ③开方开不尽的数(下一节学到). 设计意图：回顾有理数的情况，明确有理数都可用有限小数或无限循环小数表示，为后面引出无理数的概念作准备. · 应用新知 教材例题 教师活动：教师展示问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡查过程中若发现解题有困难的学生进行积极引导，最终教师展示答题过程. 例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14， ，，0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）. 分析：有理数包括整数和分数，都可以写成有限小数和无限循环小数的形式，符合这种特征的是有理数；根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数. . . 解：有理数有：3.14，，； 无理数有：0.1010001000001…. 经典例题 例2 在3.1415926，0，0.15，2.010 010 001 0…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)，，，中，无理数有(　 　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解：3.1415926是有限小数，属于有理数；0是整数，属于有理数；0.15是有限小数，属于有理数；是无限循环小数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数有2.010 010 001 0…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)，，共2个.故选A. 师生活动：学生先独立思考再作答. 设计意图：通过例题的探究进一步加深对有理数和无理数的认识和理解，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力. · 课堂练习 【教材习题】 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.4583，，-π，，18 答：有理数：0.4583，， ，18；无理数：-π. 2.判断下列说法是否正确： （1）所有无限小数都是无理数；( ) （2）所有无理数都是无限小数；( ) （3）有理数都是有限小数； ( ) （4）不是有限小数的不是有理数.( ) 答案：×，√，×，× 【自选练习】 3.面积为6的长方形，长是宽的3倍，则宽为（ ） A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数 解析：设长方形宽为a，则长为3a，根据长方形面积公式可得：3a2=6，所以a2=2，通过估算可得a=1.41421…，它是一个无限不循环小数，满足无理数的定义，所以宽是一个无理数. 答案选D. 4.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a是有理数吗? 解：由勾股定理得：a2=32+52，即a2=34.因为34不是完全平方数，所以a不是有理数. 设计意图：结合不同类型的题目，通过课堂练习的方式及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯，检验学生对知识的掌握程度并及时查漏补缺． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.无理数的定义是什么？ 3.无理数的常见形式有哪些？ 设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容．这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $