第3章 勾股定理 典例精选与跟踪训练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过典例与分层训练，系统整合方程思想、几何作图、分类讨论等方法，构建从基础计算到实际应用再到综合探究的知识逻辑链。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精选|3道|勾股定理及逆定理应用、方程思想、几何作图、规律探究|概念生成（勾股数）→原理推导（定理应用）→应用拓展（实际情境）| |跟踪训练|20道|面积法、折叠对称、分类讨论、动态问题分析|基础辨析→综合计算→跨情境应用，强化空间观念与推理意识|

第3章勾股定理 典例精选 1．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找出点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 2．根据如表所示的素材，探索完成任务． 实验情景示意图    实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 绳子的总长度为，如图1，当物体C静止在轨道上，物体C和滑块B的水平距离为，物体C到滑轮A的垂直距离为． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： (1)求在图1状态下，物体C到滑轮A的垂直距离； (2)如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 3．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数： 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 … 4，3，5 n，15，17 12，p，37 16，63，65 … 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 … m，8，10 10，24，26 14，48，50 18，80，82 … (1)请补全上表中的勾股数：________，________，________． (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形． ①已知格点三边长度为、、，计算的面积． ②请在下面的网格中画出三边长度为、、的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 跟踪训练 一、单选题 1．在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A． B． C． D． 3．在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 4．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 5．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 6．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国算经《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片，再把较小的两张正三角形纸片按如图的方式放置在最大正三角形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（    ） A．直角三角形纸片的面积 B．较小的两个正三角形纸片重叠部分的面积 C．最大正三角形纸片的面积 D．最大正三角形与直角三角形的纸片面积和 7．如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短距离是（    ） A． B． C． D． 8．如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在中， ，，，则点到的距离为______． 10．如图，在数轴上点A表示的实数是_____________； 11．如图，在四边形中，，，连接，，点，分别是线段，的中点，若，则的长为 ________________ ． 12．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则的面积为___． 13．如图，一无人超市门口的墙上装有一个传感器，离地面高度，当人从门外走到离该传感器范围内（含）时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为____________m． 14．如图，在长方形中，，，点P在上，把点D沿对折，且点D落在边上点F处，延长到点E处，使，当为等腰三角形时，则__________． 三、解答题 15．如图，四边形是某农场一块试验田的示意图，对角线是一条小路（宽度忽略不计），已知，，，，，求这块试验田的面积（即四边形的面积）． 16．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图． (1)在图1中找一个格点，以为腰，使为等腰三角形． (2)在图2中画一个格点，以为底，使为等腰直角三角形． 17．如图，在等边中，，是边上的高，动点从点出发，沿射线以的速度运动，时间为．连接，作点关于直线的对称点． (1)若，求的长； (2)若，求时间的值； (3)直线交于点，若是锐角三角形，求长的取值范围． 18．小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 19．如图1，在长方形中，，．连接，将绕点顺时针旋转，得到． (1)若，连接，，求的面积； (2)如图2，当时，线段与边交于点，连接，若，且上一点满足时，求的长； (3)若，连接，当线段所在的直线过线段的中点时，连接，请直接写出的面积． 20．阅读材料，回答问题： 中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． (1)已知一个三角形的三边长分别为3，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______； (2)如图，已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，试根据勾股定理推导出秦九韶三角形面积公式；（提示：用含a，b，c的代数式表示） (3)若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 典例精选答案 1．(1)如图所示，点即为所求； (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，其与的交点即为所求； （2）设，结合直角三角形边角关系表示线段，再借助勾股定理建立方程，求解得到长度． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴ 设， ∴ 在中，， ， ， 解得（边长舍去负根）， ． 2．(1) (2)滑块B向左滑动的距离为 【分析】（1）由题意可知，根据勾股定理计算即可； （2）由题意可知，根据勾股定理求出，根据即可求出滑块B向左滑动的距离． 【详解】（1）解：∵绳子的总长度为，物体C到滑轮A的垂直距离为， ∴， 在中，， ， 解得：， ∴物体C到滑轮A的垂直距离为； （2）解：如图， 依题意得：， 在中，， ， 答：滑块B向左滑动的距离为． 3．(1)6，8，35 (2)①24；② 【分析】（1）根据勾股定理列方程可分别求出的值； （2）①根据三角形面积公式进行计算即可； ②在线段所在网格线上，且在点的右侧取格点，使，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； （2）解：①的面积； ②略 跟踪训练答案 1．D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 【详解】解： A、，不满足三边关系，不能构成三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 2．A 【分析】本题考查勾股定理的证法，解题核心为用两种不同的方式计算同一个图形的面积，通过建立等式化简推导结论． 【详解】解：由题意可知，所构成的图形为直角梯形， ， 化简得． 3．C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 4．C 【分析】根据勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ， ． 5．A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 6．B 【分析】设三个正三角形面积分别为，（不妨设），由勾股定理和三角形面积可得，再由面积和差关系即可求解． 【详解】解：如图，设三个正三角形面积分别为，（不妨设），两个小正三角形的重叠部分的面积为， ∵是直角三角形，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 所以，已知图中阴影部分的面积，则可知较小的两个正三角形纸片重叠部分的面积． 7．D 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高，求出，在中，根据勾股定理求出的长. 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱底面周长为， ∴， ∵， ∴， 勾股定理求最短距离： 展开后是直角三角形，为斜边， ∴， 即最短距离为． 8．A 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理求得，由翻折后，点A始终落在边上，可得即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴． 9． 【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答． 通过勾股定理求出斜边的长度，再利用三角形的面积公式求解点到的距离． 【详解】解：过点作于点，如图所示； 在中，，，， 由勾股定理得， 则的面积为， 同时面积为， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想． 根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案． 【详解】解：如图，由勾股定理可得 ∴， ∴在数轴上点A表示的实数是， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接，， ，点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．证明是等边三角形是本题的关键． 利用含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据旋转的性质得，则可判断为等边三角形，再求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过点作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：4． 14．10或或 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的定义等，注意分情况讨论是解题的关键．先由勾股定理计算出，由折叠得，再分三种情况：当时，当时，当时，分别讨论即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 由折叠知，， 当为等腰三角形时，分三种情况： 当时，, ； 当时，, ， ； 当时，， 由，得：， 解得； 综上可得10或或， 故答案为：10或或． 15．这块试验田的面积是 【分析】在中由勾股定理求出，再证明是直角三角形，再根据解答即可． 【详解】解：，，， ． 在中，，，， ∴，，， ， 是直角三角形，， ， 这块试验田的面积是． 16．(1)如图，为所求， (2)如图，为所求， 【分析】此题考查格点作图，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理作图即可． 【详解】（1）解：找一个格点，以为腰，使，则为等腰三角形． （2）在图2中画一个格点，以为底，使，为等腰直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 17．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，根据三线合一得到，，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，最后根据勾股定理计算即可； （2）设交于，①若在的延长线上，根据三线合一得到，则，根据轴对称的性质得到，则，，根据等角对等边得到，证明是等边三角形，得到，即，根据“沿射线以的速度运动”即可求出时间的值；②若在的延长线上，先根据角的和差求出，根据轴对称的性质得到，根据对顶角相等得到，证明，得到，同（）可求，则，根据“沿射线以的速度运动”即可求出时间的值； （3）①点在线段上时，当时，由（2）①可得，，可知；当时，与重合，在延长线上，由轴对称得，，作交于Z，则，设，根据等角对等边得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，根据列方程求解，即可求出，即是锐角三角形时，；②点在延长线上时，当时，由（2）②可得，，可知，当时，由轴对称的性质得，，则，，，求出，则，由轴对称的性质得，则，求出，得到，根据等角对等边得到，求出，可知． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ， ∵， ，， ， ； （2）解：设交于， ①若在的延长线上，如图， ， ， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由轴对称得，， ，， ∴，， ∴是等边三角形， ， ， ； ②若在的延长线上，如图，延长交于G， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 由轴对称得，， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， 同（）可求， ∴， ； 综上，或； （3）解：①点在线段上时，如图， 当时，由（2）①可得，， ∵是锐角三角形， ∴； 当时，与重合，在延长线上，如图， 由轴对称得，， 作交于Z， 则， 设 ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可知， ∵， ∴， 解得：， ∴； 即是锐角三角形时，； ②点在延长线上时， 当时， 由（2）②可得，， ； 如图，当时，则与重合，连接，，延长交于H， 由轴对称的性质得，， ，，， ∴， ∵， ， 由轴对称的性质得到， ， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ； 综上，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质， 30度角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18．(1)此时风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该朝射线方向前进4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：中， 米， 米， 答：此时风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：米， 由题意可得：米， 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 19．(1)的面积为； (2)的长为； (3)的面积为9或21． 【分析】（1）证明是等边三角形，作并交的延长线于点，利用直角三角形的性质求解即可； （2）证明，得到，在中，利用勾股定理求得，设，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论：①当点在线段上时，如图，作于点，作于点，证明，，由等积法求得，点到的距离为3，推出点在线段上，求得，即可求得；②当点在直线上时，作并交的延长线于点，作并交的延长线于点，同①法求解即可． 【详解】（1）解：如图，作并交的延长线于点， 由旋转的性质知，， ∴是等边三角形， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴的面积； （2）解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的长为； （3）解：分两种情况讨论： ①当点在线段上时，如图，作于点，作于点， 则， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，又， ∴， ∴点到的距离为3， ∴点在线段上， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴； ②当点在直线上时，如图，作并交的延长线于点，作并交的延长线于点， 则， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，又， ∴， ∴点到直线的距离为3， ∴点在直线上， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴； 综上，的面积为9或21． 【点睛】本题考查了长方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质；正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 20．(1) (2) 推导：如图，作交于D， 设，，则， ∴，， ∴ ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ； (3)． 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理的应用，完全平方公式的应用． （1）任选一个公式将已知数据代入计算即可； （2）作交于D，设，，则，根据勾股定理得到，，则，即，进而得到，根据三角形面积公式得到，进而推导即可； （3）设另一边为，则第三边为，根据海伦公式得到，进而得到，根据即可求出此三角形的面积的最大值． 【详解】（1）解：秦九韶公式：∵一个三角形的三边长分别为3，5，6， ∴ ； 海伦公式：∵一个三角形的三边长分别3，5，6， ∴， ∴ ； 故答案为：； （2）略 （3）解：设另一边为，则第三边为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 即此三角形的面积的最大值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $