专题10：间隔排列（探索规律）（思维拓展）-苏教版数学三年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题十 间隔排列（探索规律） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：间隔排列基本规律辨析（进阶推理） 3 考点二：两端都有的开放型间隔问题（进阶应用） 4 考点三：一端型与封闭型间隔问题（算理强化） 5 考点四：间隔变形应用（爬楼、锯木、敲钟）（思维拓展） 6 考点五：间隔排列综合方案设计（实践拓展） 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：混淆两端物体与中间物体，数量关系搞反 9 易错点 2：忽略 “两端是否相同” 的前提，盲目套公式 9 易错点 3：封闭与开放场景混淆，错用数量规律 9 易错点 4：爬楼、锯木题型中段数与次数关系搞反 9 易错点 5：解决实际问题漏算首尾，单位不统一 9 第四部分 分层进阶专题精练 11 一、能力进阶篇（难度★★★★，8 题） 11 二、思维拓展篇（难度★★★★★，4 题） 12 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 13 一、能力进阶篇解析 13 二、思维拓展篇解析 15 1 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是苏教版三年级上册第六单元“两、三位数除以一位数”探索规律“间隔排列”的奥数培优内容，核心是“间隔排列规律”，依托间隔排列基本规律辨析、两端都有的开放型间隔问题、一端型与封闭型间隔问题、间隔变形应用（爬楼锯木敲钟）、间隔排列综合方案设计五大考点，渗透归纳推理思想、数形结合思想、建模思想等核心数学素养。 专题遵循 “直观感知→探索规律→分类建模→拓展应用” 的认知路径，从彩旗排列、植树排队、池塘围圈等真实生活情境切入，让学生通过观察、比较、归纳，发现一一间隔排列中两种物体的数量关系；掌握 “两端相同、两端不同、封闭图形” 三类间隔模型的数量规律；能灵活运用规律解决植树、爬楼、锯木头、敲钟等常见实际问题。专题落实《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中发展 “推理意识”“应用意识” 的要求，着力培养学生的归纳概括能力与解决实际问题的能力，为后续系统学习植树问题、周期问题筑牢底层逻辑。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 间隔排列基本规律 一一间隔排列定义；两端相同、两端不同两类基础模型的数量关系 观察归纳法、两端判断法 忽略两端是否相同，直接判定数量差 1 开放型间隔应用 两端都有、一端有一端无两类开放场景；植树、排队等实际问题 两端判定法、画图示意法 漏算首尾端点，导致数量多 1 或少 1 封闭型间隔应用 圆形、方形等封闭图形的间隔排列；围圈、池塘栽树等问题 封闭转化法、等分法 把封闭场景当成开放场景，错误加 1 间隔变形应用 爬楼梯、锯木头、敲钟等间隔变形问题；段数与次数的关系 段次对应法、转化建模法 混淆段数和次数，认为段数等于次数 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 两端判断法 基础间隔排列题 ①看首尾两个物体是否相同；②两端相同：两端物体数 = 中间物体数 + 1；③两端不同：两种物体数量相等 两端相同，多一个；两端不同，一样多 画图示意法 复杂间隔应用题 ①用简单符号代替物体，画出排列示意图；②对照图数清间隔数和物体数；③结合规律列式计算 遇难题，画个图，数量关系一眼清 段次对应法 爬楼、锯木、敲钟变形题 ①判断是段数还是次数；②对应关系：锯的次数 = 段数 - 1，爬楼层数 = 终点楼 - 起点楼；③按关系列式计算 锯木次数段减一，爬楼层数终点减起点 封闭转化法 圆形、方形封闭间隔题 ①确认是封闭图形；②套用规律：物体数 = 间隔数；③总长度 ÷ 间距 = 间隔数 = 物体数 封闭图形有特点，棵数等于间隔数 归纳验证法 规律探究类题目 ①从简单例子入手观察；②归纳总结出普遍规律；③用多个例子验证规律 先观察，再归纳，多举例子验规律 三、数学思维提升 1. 归纳推理思维 核心要点：从几个简单的具体例子中，观察共同特点，总结提炼出普遍的规律，再用更多例子验证规律的正确性，这是数学探索规律的核心思维方法。 专题示例：观察△○△○△的排列，发现两端都是△，△有 3 个，○有 2 个；再看更长的排列，两端都是△时，△总比○多 1 个，就归纳出 “两端相同，两端物体比中间多 1” 的规律。 2. 数形结合思维 核心要点：遇到抽象的间隔问题，通过画示意图、线段图，把文字转化成直观的图形，数量关系就会清晰呈现，能大幅降低思考难度，减少错误。 专题示例：解决植树问题时，画一条线段代表路，用竖线代表树，画完就能直观看出树的棵数和间隔数的关系，不用死记硬背公式。 3. 建模应用思维 核心要点：生活中很多看似不同的问题，本质都是同一个数学模型。植树、排队、摆花盆本质都是开放型间隔模型；爬楼、锯木本质都是 “段数和次数差 1” 的模型。掌握模型就能举一反三，解决一类问题。 专题示例：“马路一边栽树” 和 “走廊摆花盆”，看起来不一样，但都是两端都有的间隔排列，都遵循 “棵数 = 间隔数 + 1” 的规律，属于同一个数学模型。 4. 分类讨论思维 核心要点：间隔排列没有统一的公式，要先分类判断场景：是开放还是封闭？开放的话两端是否相同？不同的类别对应不同的规律，不能一概而论。分类讨论能避免思维定式导致的错误。 专题示例：同样是栽树，马路一边两端都栽、一端栽一端不栽、圆形池塘周围栽，三种情况规律都不一样，必须先分类，再用对应的规律。 5. 逆向验证思维 核心要点：算出结果后，把结果代回到题目中，反向验证是否符合排列规律；或者用画图的方法检验数量关系是否正确，养成主动验证的习惯，能有效提升正确率。 专题示例：算出 20 米的路每隔 5 米栽一棵树，两端都栽要栽 5 棵，就反向验证：5 棵树有 4 个间隔，每个间隔 5 米，4×5=20 米，和路长一致，说明结果正确。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：间隔排列基本规律辨析（进阶推理） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础数量关系判断 题目：△和○一一间隔排列，两端都是△。如果△有 15 个，○有多少个？如果○有 15 个，△有多少个？ 解题步骤： ① 先判定类型：两端物体都是△，属于 “两端相同” 的间隔排列，规律是两端物体比中间物体多 1 个； ② 已知△有 15 个，△是两端物体，求中间的○，用减法：15－1＝14（个）； ③ 已知○有 15 个，○是中间物体，求两端的△，用加法：15＋1＝16（个）。 答：△有 15 个时，○有 14 个；○有 15 个时，△有 16 个。 【知识点睛】本题考查一一间隔排列的核心基本规律，是本专题的基础题型。解题第一步永远是先判断两端物体是否相同：两端相同，两端物体数量＝中间物体数量＋1；两端不同，两种物体数量相等。记忆技巧：两端是谁，谁就多 1。可以通过简单的小例子辅助记忆，比如△○△，两端△，3 个△对应 2 个○，快速推导规律。 典型例题 2（思维拓展型）—— 规律辨析与反例验证 题目：判断：“一一间隔排列的两种物体，数量一定相差 1。” 这句话对吗？请说明理由。 解题步骤： ① 直接判断：这句话是错误的； ② 分类分析：一一间隔排列分两种情况，如果两端物体相同，两种物体数量相差 1；如果两端物体不同，比如△○△○，两端一个△一个○，两种物体数量是相等的； ③ 举反例验证：排列 “△○△○”，△和○各 2 个，数量相等，并不相差 1，因此题目说法不成立。 答：不对；一一间隔排列分两种情况，两端相同数量差 1，两端不同数量相等，并不是一定相差 1。 【知识点睛】本题深度考查间隔排列规律的前提条件，属于易混辨析题型。很多同学容易形成思维定式，认为只要是间隔排列就差 1，忽略了 “两端相同” 这个重要前提。所有的规律都有适用条件，解题时必须先判断场景类型，再对应使用规律，不能盲目套用。通过举反例验证概念，是辨析类题目的常用方法。 考点二：两端都有的开放型间隔问题（进阶应用） 典型例题 1（能力进阶型）—— 植树问题（两端都栽） 题目：一条马路长 24 米，在它的一边每隔 4 米栽一棵树，两端都栽，一共要栽多少棵树？ 解题步骤： ① 先算间隔数：总长度除以每个间隔的长度，24÷4＝6（个），也就是有 6 个间隔； ② 明确模型：两端都栽树，属于两端相同的开放间隔排列，树的棵数比间隔数多 1； ③ 计算总棵数：6＋1＝7（棵）。 答：一共要栽 7 棵树。 【知识点睛】本题是典型的两端都栽植树问题，是开放型间隔排列的核心应用题型。解题步骤可以概括为 “先求间隔数，再加 1 得棵数”。核心公式：两端都栽：棵数＝间隔数＋1。可以通过画图辅助理解：一条线段分 6 段，端点有 7 个，对应 7 棵树，直观体现 “棵数比间隔数多 1” 的规律。做完后可以反向验证：7 棵树 6 个间隔，6×4＝24 米，和路长一致，确认正确。 典型例题 2（思维拓展型）—— 排队间隔问题 题目：同学们排成一队做操，每两名男生之间站一名女生。男生有 12 人，女生有多少人？如果队伍首尾都是男生，这一队一共有多少人？ 解题步骤： ① 分析排列：男女生一一间隔排列，首尾都是男生，男生是两端物体，女生是中间物体； ② 求女生人数：两端相同，女生人数比男生少 1，12－1＝11（人）； ③ 求总人数：男生人数加女生人数，12＋11＝23（人）。 答：女生有 11 人；这一队一共有 23 人。 【知识点睛】本题是间隔排列的排队应用，本质和植树问题模型一致。“每两名男生之间站一名女生”，就是男生作为两端物体，女生作为中间物体的一一间隔排列。解题关键是判断清楚谁是两端物体、谁是中间物体，谁多谁少。这类题也可以用画图法验证，画几个男生，中间穿插女生，直观看出数量关系。 考点三：一端型与封闭型间隔问题（算理强化） 典型例题 1（能力进阶型）—— 一端栽一端不栽 题目：一条走廊长 20 米，在它的一侧每隔 5 米摆一盆花，只在起点摆，终点不摆，一共需要摆多少盆花？ 解题步骤： ① 先算间隔数：20÷5＝4（个）； ② 明确模型：一端摆、一端不摆，属于一端型间隔排列，花的盆数和间隔数相等； ③ 得出结果：一共需要摆 4 盆花。 答：一共需要摆 4 盆花。 【知识点睛】本题考查一端型间隔排列的应用。核心规律：一端有、一端无，物体数＝间隔数。可以结合两端都栽的规律对比理解：两端都栽比间隔数多 1，去掉终点那一个，就和间隔数相等了。三种开放场景可以联系记忆：两端都栽多 1，两端都不栽少 1，一端栽一端不栽正好相等，形成完整的知识体系。 典型例题 2（思维拓展型）—— 封闭图形间隔问题 题目：一个圆形池塘的周长是 36 米，沿池塘周围每隔 6 米栽一棵柳树，一共要栽多少棵柳树？ 解题步骤： ① 先算间隔数：封闭图形总周长除以间距得到间隔数，36÷6＝6（个）； ② 明确模型：圆形是封闭图形，封闭间隔排列中，树的棵数和间隔数相等； ③ 得出结果：一共要栽 6 棵柳树。 答：一共要栽 6 棵柳树。 【知识点睛】本题考查封闭型间隔排列，是高频考点题型。核心规律：封闭图形（圆形、方形、多边形等）：物体数＝间隔数。理解原理：把开放的直线排列首尾相接，就变成了封闭图形，原本多出来的 1 个端点会和起点重合，因此棵数就等于间隔数。可以通过画图辅助理解，画一个圆圈，分 6 段，对应 6 个端点，也就是 6 棵树。封闭图形不用考虑两端，直接用总长度除以间距即可。 考点四：间隔变形应用（爬楼、锯木、敲钟）（思维拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 爬楼梯问题 题目：小明从 1 楼走到 3 楼需要 12 秒。照这样的速度，他从 1 楼走到 6 楼需要多少秒？ 解题步骤： ① 分析段数关系：从 1 楼到 3 楼，实际走了 3－1＝2 层楼梯，对应 12 秒； ② 算走一层的时间：12÷2＝6（秒）； ③ 计算从 1 楼到 6 楼的层数：6－1＝5 层，总时间：5×6＝30（秒）。 答：从 1 楼走到 6 楼需要 30 秒。 【知识点睛】本题是间隔问题的经典变形 —— 爬楼梯问题，属于思维拓展题型。解题核心是理解 “楼层数” 和 “楼梯层数” 的区别：楼梯层数＝终点楼层－起点楼层。本质还是间隔模型，楼层相当于两端的物体，楼梯层数相当于间隔数，间隔数＝物体数－1。易错点是直接用楼层数计算，比如认为 3 楼对应 3 层，导致结果错误，一定要牢记 “减 1” 的规律。 典型例题 2（思维拓展型）—— 锯木头问题 题目：把一根木头锯成 4 段，需要 6 分钟。照这样计算，锯成 8 段需要多少分钟？ 解题步骤： ① 分析次数和段数的关系：锯成 4 段，实际只需要锯 4－1＝3 次，对应 6 分钟； ② 算锯一次的时间：6÷3＝2（分钟）； ③ 计算锯成 8 段需要的次数：8－1＝7 次，总时间：7×2＝14（分钟）。 答：锯成 8 段需要 14 分钟。 【知识点睛】本题是另一类经典间隔变形 —— 锯木头问题。核心关系：锯的次数＝段数－1。和植树问题正好相反：植树是棵数比间隔数多 1，锯木头是次数比段数少 1。可以结合生活经验理解：锯 1 次木头分成 2 段，锯 2 次分成 3 段，自然次数比段数少 1。这类题的易错点是直接用段数计算时间，把段数当成次数，解题时要先转化成次数再计算。 考点五：间隔排列综合方案设计（实践拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 方案选择与计算 题目：学校要在长 30 米的走廊一侧摆花盆，有两种方案：方案一每隔 5 米摆一盆，两端都摆；方案二每隔 6 米摆一盆，两端都摆。哪种方案需要的花盆多？多多少盆？ 解题步骤： ① 计算方案一的花盆数：先算间隔数 30÷5＝6 个，两端都摆，6＋1＝7（盆）； ② 计算方案二的花盆数：间隔数 30÷6＝5 个，两端都摆，5＋1＝6（盆）； ③ 对比差值：7－6＝1（盆），方案一需要的花盆多，多 1 盆。 答：方案一需要的花盆多，多 1 盆。 【知识点睛】本题是间隔排列的方案对比应用题，属于实践拓展题型。解题思路是分别按两种方案算出对应的数量，再对比差值。通过这道题可以发现规律：总长度相同，间距越小，间隔数越多，对应的花盆数也越多。解题时要注意统一前提，都是两端都摆，保证对比的公平性。这类题能培养学生的方案对比与优化意识。 典型例题 2（思维拓展型）—— 综合场景方案设计 题目：一个正方形花坛，边长是 8 米，要在它的四周每隔 2 米放一盆花，四个角都要放。一共需要放多少盆花？ 解题步骤： ① 方法一：按封闭图形计算。先算正方形周长：8×4＝32 米；封闭图形花盆数＝间隔数，32÷2＝16（盆）； ② 方法二：按四条边分开算再调整。每条边：8÷2＋1＝5 盆，四条边 5×4＝20 盆；但四个角的花盆都重复算了一次，要减去 4 盆，20－4＝16（盆）； ③ 两种方法结果一致，验证正确。 答：一共需要放 16 盆花。 【知识点睛】本题是正方形封闭间隔问题，属于综合实践拓展题型。既可以把正方形当成封闭图形，直接用周长除以间距得到花盆数，这是最简便的方法；也可以逐条边计算再减去重复的角上的花盆，两种方法可以互相验证。易错点是逐条边计算时，忘记减去重复的四个角，导致结果偏大。通过多种方法解题，能加深对封闭间隔规律的理解。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：混淆两端物体与中间物体，数量关系搞反 错误示例：两端都是△，△有 10 个，错误算出○有 11 个。 正确分析：两端相同，两端物体比中间多 1，△是两端物体，应该比○多，○的数量是 10-1=9 个。 修正方法：解题第一步先标记 “两端物体” 和 “中间物体”，明确谁多谁少，两端是谁谁就多 1。 易错点 2：忽略 “两端是否相同” 的前提，盲目套公式 错误示例：只要是一一间隔排列，就认为两种物体一定差 1。 正确分析：只有两端物体相同时，数量才差 1；两端不同时，两种物体数量相等。 修正方法：做间隔题先念口诀 “先看两端同不同，两端相同多一个，两端不同一样多”，判定类型再做题。 易错点 3：封闭与开放场景混淆，错用数量规律 错误示例：圆形池塘栽树，算出间隔数后加 1，得到棵数。 正确分析：封闭图形棵数等于间隔数，不需要加 1；只有两端都栽的开放场景才加 1。 修正方法：做题先判断场景，开放还是封闭，封闭图形直接用总长度 ÷ 间距，不用加减。 易错点 4：爬楼、锯木题型中段数与次数关系搞反 错误示例：锯成 4 段要锯 4 次，从 1 楼到 3 楼走 3 层。 正确分析：锯的次数＝段数－1；爬楼梯层数＝终点楼层－起点楼层。 修正方法：遇到变形题，先转化成基础间隔模型，想清楚谁是间隔、谁是物体，再列式计算。 易错点 5：解决实际问题漏算首尾，单位不统一 错误示例：两端都栽树，直接用总长度 ÷ 间距得到棵数，忘记加 1；或者题目单位有米有分米，直接计算。 正确分析：两端都栽必须加 1；单位不同要先统一单位再计算。 修正方法：做完题反向验证，把结果代回去看是否符合总长度；先看单位是否统一，再动笔计算。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★★，8 题） 1. □和☆一一间隔排列，两端都是□。如果□有 20 个，☆有多少个？如果☆有 20 个，□有多少个？ 2. 一条小路长 30 米，在它的一边每隔 5 米栽一棵树，两端都栽，一共要栽多少棵树？ 3. 判断：封闭图形的间隔排列，物体的数量比间隔数多 1。（ ） 4. 一根木头锯成 3 段需要 4 分钟，锯成 5 段需要多少分钟？ 5. 小丽从 1 楼到 2 楼需要 8 秒，照这样的速度，她从 1 楼到 5 楼需要多少秒？ 6. 圆形花坛周长是 24 米，沿周围每隔 3 米放一盆花，一共需要放多少盆花？ 7. 同学们排队，每两名女生之间站一名男生，女生有 15 人，队伍首尾都是女生。男生有多少人？队伍一共有多少人？ 8. 一一间隔排列的两种物体，数量可能相等。这句话对吗？举例说明。 二、思维拓展篇（难度★★★★★，4 题） 9. 马路一边栽了 10 棵树（两端都栽），如果每两棵树之间放 2 盆花，一共要放多少盆花？ 10. 时钟 3 点钟敲 3 下，4 秒钟敲完。那么 6 点钟敲 6 下，多少秒钟敲完？ 11. 一条公路长 48 米，在路的两边每隔 6 米栽一棵树，两端都栽，一共要栽多少棵树？ 12. 学校要在正方形操场四周插彩旗，四个角都插 1 面，每边插 8 面。一共需要准备多少面彩旗？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】☆有 19 个；□有 21 个 解题步骤： ① 两端都是□，属于两端相同，□比☆多 1 个； ② □有 20 个，☆的数量：20－1＝19（个）； ③ ☆有 20 个，□的数量：20＋1＝21（个）。 【知识点睛】本题考查间隔排列基础数量关系。两端相同的情况下，两端物体比中间物体多 1。解题关键是分清谁是两端物体，谁多谁少，两端是谁谁就多 1。 2. 【答案】7 棵 解题步骤： ① 先算间隔数：30÷5＝6（个）； ② 两端都栽，棵数＝间隔数＋1； ③ 总棵数：6＋1＝7（棵）。 【知识点睛】本题考查两端都栽的植树问题。核心公式：棵数＝间隔数＋1。先求间隔数，再加 1 得到棵数。做完可以反向验证：7 棵树 6 个间隔，6×5＝30 米，符合路长。 3. 【答案】× 解题步骤： ① 回忆封闭间隔规律：封闭图形中，物体数等于间隔数； ② 题目说物体数比间隔数多 1，是开放两端都栽的规律，不适用于封闭场景； ③ 因此说法错误。 【知识点睛】本题考查封闭间隔的基本规律。封闭图形首尾重合，物体数和间隔数相等，不需要加 1。注意区分开放和封闭两种场景的不同规律。 4. 【答案】8 分钟 解题步骤： ① 锯成 3 段需要锯的次数：3－1＝2（次），对应 4 分钟； ② 锯一次的时间：4÷2＝2（分钟）； ③ 锯成 5 段需要的次数：5－1＝4（次），总时间：4×2＝8（分钟）。 【知识点睛】本题考查锯木头间隔变形问题。核心关系：锯的次数＝段数－1。不能直接用段数计算时间，要先转化为次数。这是高频易错题型，牢记 “次数比段数少 1”。 5. 【答案】32 秒 解题步骤： ① 从 1 楼到 2 楼，实际走了 2－1＝1 层楼梯，对应 8 秒； ② 从 1 楼到 5 楼，需要走 5－1＝4 层楼梯； ③ 总时间：4×8＝32（秒）。 【知识点睛】本题考查爬楼梯间隔变形问题。楼梯层数＝终点楼层－起点楼层。易错点是直接用楼层数计算，忽略 1 楼不用爬楼梯的常识。 6. 【答案】8 盆 解题步骤： ① 封闭图形，先算间隔数：24÷3＝8（个）； ② 封闭图形花盆数＝间隔数； ③ 一共需要放 8 盆花。 【知识点睛】本题考查封闭圆形间隔问题。核心规律：封闭图形物体数＝间隔数，直接用周长除以间距即可，不用加 1。 7. 【答案】男生有 14 人；队伍一共有 29 人 解题步骤： ① 首尾都是女生，女生是两端物体，男生是中间物体，男生比女生少 1 人； ② 男生人数：15－1＝14（人）； ③ 总人数：15＋14＝29（人）。 【知识点睛】本题是排队间隔应用题。先判断谁是两端物体，两端相同则两端物体多 1，再计算另一类的数量，最后求和得到总人数。 8. 【答案】对；例如排列 “△○△○”，△和○一一间隔排列，两端不同，两种物体各 2 个，数量相等。 解题步骤： ① 判断：这句话是对的； ② 说明原因：一一间隔排列分两种情况，两端不同时，两种物体数量相等； ③ 举出具体例子验证。 【知识点睛】本题考查间隔排列的分类规律。一一间隔排列不一定都差 1，两端不同时数量相等。通过举例能清晰验证结论，培养分类讨论的思维。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】18 盆 解题步骤： ① 先算间隔数：两端都栽 10 棵树，间隔数＝10－1＝9（个）； ② 每个间隔放 2 盆花，总盆数：9×2＝18（盆）。 【知识点睛】本题是植树问题的拓展应用。花放在间隔里，所以先求间隔数，再乘每个间隔的花盆数。解题关键是区分 “树” 和 “花” 分别对应的是物体还是间隔。 10. 【答案】10 秒 解题步骤： ① 敲 3 下，中间有 3－1＝2 个间隔，对应 4 秒； ② 每个间隔的时间：4÷2＝2（秒）； ③ 敲 6 下，间隔数＝6－1＝5 个，总时间：5×2＝10（秒）。 【知识点睛】本题是敲钟间隔问题，属于间隔变形题型。敲钟的次数相当于两端物体，中间的时间间隔相当于间隔数，间隔数＝次数－1。易错点是直接用敲的次数计算时间，忽略间隔数比次数少 1 的规律。 11. 【答案】18 棵 解题步骤： ① 先算一边的间隔数：48÷6＝8（个）； ② 两端都栽，一边的棵数：8＋1＝9（棵）； ③ 路的两边都栽，总棵数：9×2＝18（棵）。 【知识点睛】本题是双边植树问题。先按单边的规律算出一边的棵数，再乘 2 得到两边的总数。易错点是只算一边，忘记题目说 “两边都栽”。 12. 【答案】28 面 解题步骤： ① 方法一：按封闭图形计算。每边 8 面，四个角重复，总面数＝每边面数 ×4－4，8×4－4＝28（面）； ② 方法二：每条边中间有 8－2＝6 面不重复，四条边中间共 4×6＝24 面，加四个角的 4 面，24＋4＝28 面； ③ 结果一致。 【知识点睛】本题是正方形封闭间隔问题。四个角的彩旗是两条边共有的，直接用每边数乘 4 会重复计算，需要减去重复的 4 个角。也可以转化为封闭周长计算，边长乘 4 得到周长，再除以间距验证，结果一致。 1 学科网（北京）股份有限公司 $