1.3 勾股定理的应用 课时作业 2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 同步练·初中数学八年级上册·勾股定理应用（2课时），以“空间问题平面化”“实际问题数学化”为主线，分层落实核心素养，实现从概念理解到综合应用的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|转化思想、展开方法、建模步骤|结合易错警示，强化空间观念与模型意识| |基础训练|圆柱/长方体最短路径、梯子/折断问题|选择填空聚焦单一知识点，巩固运算能力| |综合应用|多情境展开比较、折叠/不规则图形面积|解答题分步引导，提升推理能力与应用意识|

北师大版数学八年级上册 第一章　勾股定理 3　勾股定理的应用　·　课时作业（含答案与解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：______　得分：______ 【作业说明】本作业依据北师大版数学八年级上册第一章第 3 节「勾股定理的应用」编写，共设两个课时，全部内容不超出本节的教学要求。 第 1 课时　立体图形表面上的最短路径（蚂蚁怎么走最近）； 第 2 课时　勾股定理及其判定条件在实际问题中的应用。 说明：本节综合运用第 1 节的勾股定理与第 2 节的判定条件；所有数据都设计为整数或有限小数，不出现根号；圆柱题目直接给出底面周长，不需要用到圆周率。 本节的基本思想 把立体图形的表面展开成平面图形，再用勾股定理 3　勾股定理的应用 第 1 课时　立体图形表面上的最短路径 一、知识梳理 1. 基本思想：立体图形表面上两点之间的最短路程，不能直接连线， 要先把表面展开成平面图形，再利用「两点之间，线段最短」， 最后在展开图中用勾股定理求出这条线段的长。 这就是「化立体为平面、化曲面为平面」的转化思想。 2. 圆柱：沿一条母线剪开，侧面展开图是一个长方形。 若蚂蚁绕侧面爬半周，则展开图中： 一条直角边 = 底面周长 ÷ 2，另一条直角边 = 圆柱的高， 最短路程 = 这个直角三角形的斜边。 3. 长方体：从一个顶点沿表面爬到相对的顶点，有三种展开方式： 长方体的三种展开方式 AB2 = (长 + 宽)2 + 高2；　AB2 = (长 + 高)2 + 宽2；　AB2 = (宽 + 高)2 + 长2。 三个结果中最小的才是最短路程。 4. 台阶：把台阶面「摊平」成一个长方形。 台阶问题的展开方法 展开后一条直角边是台阶的长，另一条直角边是各级台阶的宽与高之和。 5. 解题步骤：展开 → 连线 → 找出直角三角形 → 用勾股定理 → （若有多种展开）比较大小。 【易错警示】 ① 圆柱绕侧面爬半周时，水平方向的距离是底面周长的一半，不是整个周长。 ② 长方体必须比较三种展开方式，只算一种就下结论是最常见的错误。 ③ 比较大小时可以只比较 AB2 的值，不必逐个开方。 ④ 各条棱的单位要统一；沿棱走的路线一般不是最短的，不要想当然。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 一个圆柱的高是 8 cm，底面周长是 12 cm，一只蚂蚁从下底面上的 A 点沿侧面爬到上底面上与 A 正对的 B 点， 它爬行的最短路程是（　　） A. 10 cm　　B. 20 cm　　C. 14 cm　　D. 12 cm 2. 一个长方体的长、宽、高分别是 5 cm、4 cm、12 cm，一只蚂蚁从一个顶点沿表面爬到相对的顶点， 最短路程是（　　） A. 13 cm　　B. 15 cm　　C. 17 cm　　D. 21 cm 3. 圆柱的侧面展开图是（　　） A. 圆　　B. 长方形　　C. 三角形　　D. 扇形 4. 一个圆柱的底面周长是 10 cm，高是 12 cm，蚂蚁沿侧面从下底面的 A 点爬到上底面正对的 B 点， 最短路程是（　　） A. 12 cm　　B. 13 cm　　C. 15 cm　　D. 17 cm 5. 求立体图形表面上两点之间的最短距离，正确的做法是（　　） A. 直接把两点连成线段　　　　　　　B. 把表面展开成平面图形后再连线 C. 沿着棱一条一条地量　　　　　　　D. 无法求出 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 求立体图形表面上两点间的最短路程，通常先把 ____________ 展开成 ____________， 再根据「两点之间，________ 最短」连线，最后用 ____________ 计算。 7. 一个圆柱的底面周长是 16 cm，高是 6 cm，蚂蚁沿侧面从下底面 A 爬到上底面正对的 B， 最短路程是 ________ cm。 8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3 cm、2 cm、12 cm，蚂蚁从一个顶点沿表面爬到相对的顶点， 最短路程是 ________ cm。 9. 一个圆柱的底面周长是 48 cm，高是 7 cm，蚂蚁沿侧面绕半周从下底面爬到上底面正对的点， 最短路程是 ________ cm。 10. 一个长方体的长、宽、高分别是 9 cm、3 cm、16 cm，蚂蚁从一个顶点沿表面爬到相对的顶点， 最短路程是 ________ cm。 （三）解答题（共 60 分） 11.（16 分）如图，圆柱的高是 5 cm，底面周长是 24 cm，一只蚂蚁从下底面上的 A 点出发， 沿侧面爬到上底面上与 A 正对的 B 点。 第 11 题图 (1) 画出圆柱的侧面展开图，并在图中画出蚂蚁爬行的最短路线； (2) 求展开图中两条直角边的长； (3) 求蚂蚁爬行的最短路程。 12.（14 分）如图，一个长方体的长、宽、高分别是 5 cm、4 cm、12 cm，一只蚂蚁要从顶点 A 沿表面爬到相对的顶点 B。 第 12 题图 (1) 分别写出三种展开方式下 AB2 的值； (2) 比较这三个结果的大小； (3) 求蚂蚁爬行的最短路程。 13.（14 分）如图，一个楼梯共有 3 级台阶，每级台阶的高是 20 cm、宽是 30 cm，台阶的长是 200 cm。 第 13 题图 (1) 把台阶面展开成一个长方形，求这个长方形两条邻边的长； (2) 求蚂蚁从 A 点沿台阶面爬到 B 点的最短路程； (3) 如果台阶级数增加，最短路程会怎样变化？简要说明理由。 14.（16 分）一个圆柱的底面周长是 c，高是 h，一只蚂蚁沿侧面绕半周，从下底面的 A 点爬到上底面正对的 B 点。 (1) 用含 c、h 的式子表示最短路程的平方； (2) 当 c = 16，h = 6 时，求最短路程； (3) 如果高 h 保持不变，而底面周长 c 变大，最短路程会变大还是变小？说明理由。 3　勾股定理的应用 第 2 课时　勾股定理在实际问题中的应用 一、知识梳理 1. 建模的四个步骤： ① 画图：根据题意画出示意图； ② 找形：在图中找出（或作出）直角三角形； ③ 列式：把已知量、未知量标在图上，用勾股定理列式； ④ 作答：解出后检验是否符合实际，再写出答案。 2. 梯子问题（长度不变是关键）： 梯子靠墙与下滑 3. 折断与拉绳问题： 大树折断问题与旗杆拉绳问题 大树折断后，折断部分是斜边，树原来的高 = 折断处的高 + 折断部分的长； 拉绳问题常设旗杆高为 x，用「绳长 = x + 某个数」列方程。 4. 折叠问题： 矩形纸片的折叠 5. 判定条件的应用——求不规则图形的面积： 连对角线，把四边形分成两个直角三角形 【易错警示】 ① 梯子下滑问题中，顶端下滑的距离与底端外移的距离一般不相等，必须分别算出两个位置再相减。 ② 大树问题中，「折断处离地面的高」只是一条直角边，原高还要加上折断部分（斜边）。 ③ 折叠问题要抓住「折叠前后全等」，把相等的线段用同一个未知数表示后再列方程。 ④ 实际问题的答案要带单位，并检验是否符合实际（如长度必须为正）。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 一架长 2.5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙 0.7 m，则梯子顶端离地面（　　） A. 2.4 m　　B. 2 m　　C. 1.5 m　　D. 1.8 m 2. 一棵大树在离地面 5 m 处折断，树梢落在离树根 12 m 的地面上，则大树原来的高度是（　　） A. 13 m　　B. 17 m　　C. 18 m　　D. 25 m 3. 在旗杆顶端系一根绳子，绳子比旗杆长 1 m，把绳子拉直后，下端刚好落在离旗杆底部 5 m 的地面上， 则旗杆的高度是（　　） A. 10 m　　B. 12 m　　C. 13 m　　D. 15 m 4. 在四边形 ABCD 中，∠B = 90°，AB = 6，BC = 8，CD = 24，AD = 26，则它的面积是（　　） A. 144　　B. 168　　C. 120　　D. 96 5. 把一张矩形纸片沿一条直线折叠，下列说法中不正确的是（　　） A. 折叠前后的两个图形全等　　　　　B. 对应边相等 C. 对应角相等　　　　　　　　　　　D. 折叠后图形的面积变小 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 解决实际问题的一般步骤是：先根据题意 ________，找出 ________ 三角形，再用 ____________ 列式计算。 7. 一架长 2.5 m 的梯子，底端离墙 0.7 m，则梯子顶端离地面 ________ m。 8. 在第 7 题中，若梯子顶端沿墙下滑 0.4 m，则梯子底端向外移动 ________ m。 9. 一棵大树在离地面 8 m 处折断，树梢落在离树根 15 m 的地面上，则大树原来高 ________ m。 10. 一个三角形的三边长为 5、12、13，则它最长边上的高是 ________。 （三）解答题（共 60 分） 11.（16 分）如图，一架长 2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙上，梯子的底端 B 离墙脚 0.7 m。 第 11 题图 (1) 求梯子顶端 A 离地面的高度； (2) 若梯子的顶端下滑 0.4 m 到 A′ 处，求这时底端 B′ 离墙脚的距离； (3) 梯子顶端下滑的距离与底端外移的距离相等吗？ 12.（14 分）如图，解决下面两个实际问题。 第 12 题图 (1) 一棵大树在离地面 5 m 处折断，树梢落在离树根 12 m 的地面上，求大树原来的高度； (2) 在旗杆顶端系一根绳子，绳子比旗杆长 1 m，拉直后绳子下端离旗杆底部 5 m，求旗杆的高度。 13.（14 分）如图，矩形 ABCD 中，AB = 10 cm，BC = 8 cm，点 E 在 BC 上， 把 △ABE 沿 AE 折叠，点 B 恰好落在 CD 边上的点 F 处。 第 13 题图 (1) 求 DF、FC 的长； (2) 设 CE = x cm，用含 x 的式子表示 EF，并求出 x； (3) 求 △AEF 的面积。 14.（16 分）如图，某小区有一块四边形空地 ABCD，∠ADC = 90°，AD = 12 m，DC = 9 m，CB = 20 m，AB = 25 m。 第 14 题图 (1) 连结 AC，求 AC 的长； (2) 判断 △ACB 的形状，并说明理由； (3) 若给这块空地铺草坪，每平方米需要 30 元，求铺满这块空地共需多少元。 参考答案与解析 第 1 课时　立体图形表面上的最短路径 一、选择题 1. A　【解析】展开后水平距离 = 12 ÷ 2 = 6（cm），竖直距离 = 8 cm， 最短路程2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100，最短路程 = 10 cm。 选 D 的同学忘了展开，直接取了高。 2. B　【解析】三种展开方式： (5 + 4)2 + 122 = 81 + 144 = 225； (5 + 12)2 + 42 = 289 + 16 = 305； (4 + 12)2 + 52 = 256 + 25 = 281。 最小的是 225，所以最短路程 = 15 cm。 3. B　【解析】沿一条母线把圆柱侧面剪开铺平，得到的是一个长方形。 4. B　【解析】水平距离 = 10 ÷ 2 = 5（cm），竖直距离 = 12 cm， 最短路程2 = 52 + 122 = 169，最短路程 = 13 cm。 5. B　【解析】立体图形表面上两点不能直接连线，必须先展开成平面图形。 二、填空题 6. 立体图形的表面；平面图形；线段；勾股定理 7. 10 【解析】16 ÷ 2 = 8，82 + 62 = 64 + 36 = 100，最短路程 = 10 cm。 8. 13 【解析】三种展开：(3 + 2)2 + 122 = 169；(3 + 12)2 + 22 = 229；(2 + 12)2 + 32 = 205。 最小的是 169，最短路程 = 13 cm。 9. 25 【解析】48 ÷ 2 = 24，242 + 72 = 576 + 49 = 625，最短路程 = 25 cm。 10. 20 【解析】(9 + 3)2 + 162 = 144 + 256 = 400；(9 + 16)2 + 32 = 634；(3 + 16)2 + 92 = 442。 最小的是 400，最短路程 = 20 cm。 三、解答题 11.（1）沿 A 所在的母线把侧面剪开铺平，得到一个长方形； A 在长方形的一条边上，B 在对边上，连结 AB，线段 AB 就是最短路线。 （2）水平方向的直角边 = 底面周长 ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12（cm）； 竖直方向的直角边 = 圆柱的高 = 5（cm）。 （3）AB2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169， 所以 AB = 13（cm），即最短路程是 13 cm。 12.（1）三种展开方式下： ① AB2 = (5 + 4)2 + 122 = 81 + 144 = 225； ② AB2 = (5 + 12)2 + 42 = 289 + 16 = 305； ③ AB2 = (4 + 12)2 + 52 = 256 + 25 = 281。 （2）225 < 281 < 305。 （3）最小的 AB2 = 225，所以 AB = 15（cm），最短路程是 15 cm。 【方法总结】比较大小时只比较 AB2 即可，不必逐个开方，既快又不容易出错。 13.（1）展开后长方形的一条边是台阶的长 = 200 cm； 另一条边是各级台阶的宽与高之和 = 3 × (30 + 20) = 150（cm）。 （2）AB2 = 2002 + 1502 = 40000 + 22500 = 62500， 所以 AB = 250（cm），最短路程是 250 cm，即 2.5 m。 （3）会变大。因为台阶级数增加时，「各级宽与高之和」这条直角边变长， 而另一条直角边（台阶长）不变，所以斜边（最短路程）也随之变长。 14.（1）展开后两条直角边分别是 和 h， 所以最短路程2 = ()2 + h2。 （2）当 c = 16，h = 6 时， = 8， 最短路程2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100，所以最短路程 = 10。 （3）变大。因为 h 不变时，c 变大则 变大， 两条直角边中有一条变长、另一条不变，所以斜边（最短路程）一定变长。 第 2 课时　勾股定理在实际问题中的应用 一、选择题 1. A　【解析】梯子长是斜边 2.5 m，底端离墙 0.7 m 是一条直角边， 顶端离地面的高2 = 2.52 - 0.72 = 6.25 - 0.49 = 5.76，高 = 2.4 m。 2. C　【解析】折断部分是斜边，斜边2 = 52 + 122 = 169，斜边 = 13 m， 大树原高 = 5 + 13 = 18（m）。选 A 的同学漏掉了折断处以下的 5 m。 3. B　【解析】设旗杆高为 x m，则绳长为 (x + 1) m， 由勾股定理得 x2 + 52 = (x + 1)2， x2 + 25 = x2 + 2x + 1，2x = 24，x = 12。 4. A　【解析】连结 AC，AC2 = 62 + 82 = 100，AC = 10； 又 102 + 242 = 100 + 576 = 676 = 262，所以 ∠ACD = 90°。 面积 = 6 × 8 ÷ 2 + 10 × 24 ÷ 2 = 24 + 120 = 144。 5. D　【解析】折叠是全等变换，折叠前后的图形全等，面积、边长、角的大小都不变， 所以 D 的说法不正确。 二、填空题 6. 画出示意图；直角；勾股定理 7. 2.4 8. 0.8 【解析】原来顶端高 2.4 m，下滑 0.4 m 后高为 2.0 m， 这时底端离墙的距离2 = 2.52 - 22 = 6.25 - 4 = 2.25，距离 = 1.5 m， 所以底端外移 1.5 - 0.7 = 0.8（m）。 9. 25 【解析】折断部分2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289，折断部分 = 17 m， 原高 = 8 + 17 = 25（m）。 10. 【解析】52 + 122 = 169 = 132，是直角三角形，最长边上的高 = 5 × 12 ÷ 13 = 。 三、解答题 11.（1）在 Rt△ABO 中（O 为墙脚），AB = 2.5，OB = 0.7， AO2 = 2.52 - 0.72 = 6.25 - 0.49 = 5.76，所以 AO = 2.4（m）。 （2）下滑后 A′O = 2.4 - 0.4 = 2（m），梯长仍是 2.5 m， OB′2 = 2.52 - 22 = 6.25 - 4 = 2.25，所以 OB′ = 1.5（m）。 底端外移 BB′ = 1.5 - 0.7 = 0.8（m）。 （3）不相等。顶端下滑 0.4 m，而底端外移 0.8 m， 说明「下滑」与「外移」并不是同一个量，必须分别计算。 12.（1）设折断部分的长为 x m， 由勾股定理得 x2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169，x = 13。 大树原来的高度 = 5 + 13 = 18（m）。 （2）设旗杆高为 x m，则绳长为 (x + 1) m。 在直角三角形中：x2 + 52 = (x + 1)2， x2 + 25 = x2 + 2x + 1， 2x = 24，x = 12，所以旗杆高 12 m。 13.（1）由折叠得 AF = AB = 10 cm。 在 Rt△ADF 中，AD = BC = 8， DF2 = AF2 - AD2 = 102 - 82 = 100 - 64 = 36，所以 DF = 6（cm）； FC = DC - DF = 10 - 6 = 4（cm）。 （2）由折叠得 EF = EB，而 EB = BC - CE = 8 - x，所以 EF = (8 - x) cm。 在 Rt△EFC 中，∠C = 90°，FC = 4，CE = x， 所以 x2 + 42 = (8 - x)2， x2 + 16 = 64 - 16x + x2， 16x = 48，x = 3，即 CE = 3 cm，BE = 5 cm。 （3）△AEF 与 △ABE 全等， S△AEF = S△ABE = AB × BE ÷ 2 = 10 × 5 ÷ 2 = 25（cm2）。 14.（1）在 Rt△ADC 中，∠ADC = 90°， AC2 = AD2 + DC2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225，所以 AC = 15（m）。 （2）在 △ACB 中，最长边是 AB = 25， AC2 + CB2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625 = 252 = AB2， 由判定条件知 △ACB 是直角三角形，且 ∠ACB = 90°。 （3）S 四边形 ABCD = S△ADC + S△ACB = 12 × 9 ÷ 2 + 15 × 20 ÷ 2 = 54 + 150 = 204（m2）， 共需费用 = 204 × 30 = 6120（元）。 【方法总结】这类题的固定套路是「连对角线 → 用勾股定理求长 → 用判定条件定形状 → 分块求面积」。 【学后反思】本节是全章的综合运用，两条主线要记牢：一是空间问题平面化——遇到圆柱、长方体、台阶上的最短路径，一律先展开再连线，长方体还要比较三种展开方式；二是实际问题数学化——画图、找直角三角形、列式、作答四步走。容易失分的地方有三个：梯子问题中「下滑」与「外移」不相等；大树问题容易漏掉折断处以下的那一段；折叠问题要抓住「折叠前后全等」，把相等的线段用同一个未知数表示后列方程。 学科网（北京）股份有限公司 $