广东省广州市第二中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心内容，融合文化传承（投壶游戏）、生活实践（王者荣耀抽样）与社会热点（共享单车调查），通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|统计（方差比较）、复数（虚部）、立体几何（圆锥高）|第7题以投壶游戏为情境，考查概率递推，体现数学思维的逻辑性| |填空题|3题/15分|分层抽样、三角函数图像、翻折问题外接球|第14题结合翻折动态过程，考查空间观念与几何直观| |解答题|5题/77分|频率分布直方图、面面垂直证明、解三角形、新定义证明|第19题定义偏差平方和与距离和，要求证明与探究，培养创新意识与数学语言表达|

广州市第二中学2025学年第二学期期末考试 高一数学 2026年7月1日 本试卷共4页，19小题，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上． 2．答选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的，答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A．8 B．9 C．12 D．18 2．已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A． B． C． D．2 3．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为（ ） A． B． C．2 D．3 4．已知向量，，且在方向上的投影向量为，则（ ） A． B． C． D． 5．已知三组数据：①4，4，4，5，5，5，6，6，6；②3，3，4，4，5，6，6，7，7；③2，2，2，2，5，8，8，8，8的方差分别是，，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图象如图所示，若，则，可以为（ ） A．， B．， C．， D．， 7．“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷人继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（ ） A． B． C． D． 8．已知二面角的大小为，，，且，为内异于的任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（ ） A．与相互独立 B．与互斥 C． D． 10．如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，满足平面的有（ ） A． B． C． D． 11．在中，已知，，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．学校准备举办王者荣耀比赛，从24名最强王者，16名无双王者，8名荣耀王者中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取最强王者的人数是___________． 13．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为___________． 14．在中，，，，是的中点，把沿翻折到，设二面角的平面角为，若，则三棱锥外接球表面积的范围是_______________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率． 16．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 17．记内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围． 18．已知在四棱锥中，，，，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求二面角的正弦值． 19．给定样本数据，记样本均值为，定义：为样本数据到实数的偏差平方和，为样本数据到实数的距离和． （1）证明：； （2）证明：的最小值为； （3）求当取最小值时，的取值． 学科网（北京）股份有限公司 $