14.3 角的平分线（第2课时 角的平分线的判定）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦角的平分线的判定，通过回顾上节课角平分线性质定理，提出互换题设与结论的逆命题，引导学生猜想验证，构建从性质到判定的知识支架，帮助学生理解二者互逆关系。 其亮点在于注重逻辑推理与几何直观，以“猜想-证明-应用”为主线，结合三角形角平分线交于一点等典例及分层练习，培养学生推理能力与应用意识。课堂总结对比性质与判定，清晰构建知识体系，助力学生提升逻辑推理核心素养，也为教师提供结构化教学资源和丰富例题参考。

【新教材】人教版·八年级上册 第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定 1 2 3 能结合图形准确说出角的平分线的判定内容，分清角平分线的性质与判定二者的条件和结论； 掌握角平分线的判定，会利用判定证明点在角平分线上，理解三角形三条角平分线交于一点的结论，能解决相关线段、角度的证明计算题； 经历角平分线判定的猜想、推理证明过程，体会互逆命题思想，提升逻辑推理的核心素养. 学 习 目 标 这节课，我们就来探究这个逆命题是否成立，学习角的平分线的判定， 并利用它解决点的位置证明与相关几何问题． 同学们，上节课我们学习了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 那如果把命题的题设和结论互换，又会得到什么结论呢？ 导入新课 请说出角的平分线的性质定理的题设和结论，然后再说出将题设和结论交换后的新命题. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 得到的新命题还成立吗？快来证一证吧. 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 题设：一个点在一个角的平分线上． 结论：它到角的两边的距离相等． 新知探究 已知：如图，P 是∠AOB内部一点，PC⊥OA，PD⊥OB，C、 D 分别是垂足,且 PC＝PD . 求证：点 P 在∠ AOB 的平分线上． 证明：作射线OP， ∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠PCO=∠PDO． 在Rt△PCO和Rt△PDO中， ∵ ∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL）， ∴∠AOP=∠BOP， ∴OP是∠AOB的平分线，即P点在∠AOB的平分线上． 新知探究 角的平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 几何语言: ∵PD⊥OA，PE⊥OB， 且PD=PE， ∴点P在∠AOB 平分线上. 注意：不能缺少 PD⊥OA，PE⊥OB 这两个条件． 作用：用来说明两个角相等或一条射线是角的平分线． 新知探究 6 角的平分线的性质与判定的关系 点在角的平分线上 点到角两边的距离相等 性质 题设 结论 题设 结论 角的平分线的性质与判定是互逆的，它们的条件和结论相反． 判定 新知探究 　　在角的内部，角的平分线 （顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合． 新知探究 例：如图所示，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证： （1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等； （2）△ABC的三条角平分线交于一点． 分析： （1）由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等； （2）要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上． 典例分析 证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD＝PE． 同理PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF． 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等． （2）由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上． ∴△ABC的三条角平分线交于一点． 典例分析 三角形三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离相等 典例分析 基础训练 基础训练 角的平分线的判定 ①判定定理 性质：角平分线上的点 ⇒ 到角两边距离相等（知角平分线，得距离相等） 判定：点到角两边距离相等 ⇒ 点在角平分线上（知距离相等，得角平分线） 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 注意：使用判定必须满足两个垂直条件，距离指垂线段的长. ③重要结论 三角形三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离相等. ②性质与判定的对比 新知总结 14 巩固练习 巩固练习 16 3．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为______．     解：如图，设上面的直尺与射线的交点为，直尺宽度为过点作于点，则由直尺宽度可得， ∴平分， ∵，∴， ∵，∴， 故答案为：．   【解析】本题考查了角的平分线的判定定理，平行线的性质，熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键．设上面的直尺与射线的交点为，直尺宽度为过点作于点，由直尺宽度可得，即可得到平分，则，最后由直尺平行可得． 巩固练习 巩固练习 拓展提升 拓展提升 课堂总结 必做题： 教材第52页习题14.3第2题、第3题 选做题： 教材第53页习题14.3第6题、第8题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! B 【解析】过点P分别向、、作垂线，利用角平分线的性质，说明这三条垂线段相等，从而说明①③正确． 解：如图，作，，， ∵、分别是的外角、的平分线， ∴，，∴，③正确， ∴点P在的平分线上，①正确， 对于②，缺乏足够的条件说明． 1．如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解析】由角平分线的判定定理求出的大小，再由直角三角形的两个锐角互余即可得． 解：，，， 平分， ， ， ． 2．如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为_____． 50 【解析】由角平分线的判定定理求解即可． 解：∵到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴到三角形三边距离相等的点，同时在三角形三个内角的角平分线上， ∴满足题意的点是三角形三条内角平分线的交点． 1．到三角形各边距离相等的点是（     ） A．三条中线的交点 B．三角形三条高所在的直线的交点 C．三条内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 C D 【解析】本题考查角平分线的判定定理，掌握在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键．由题意可知，是的角平分线，结合，角度的和差关系即可求出的度数． 解：如图，∵两个完全一样的三角板， ，， 平分（在一个角的内部，到角两边距离 相等的点在这个角的平分线上），， ，， 故选：D． 2．在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【解析】本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．过点D作于点F，根据证得，进而证得，根据角平分线定理证明即可． 证明：如图，过点D作于点F， ∵，是的平分线， ∴， ∵，∴， ∵，，∴平分． 4．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，， 求证：平分． 证明：（1）∵，，∴， 在与中，， ∴，∴， 又∵，，∴平分； 5．如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【解析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证；（）证明，所以，然后通过即可求解． （2）∵，∴， 在与中， ，∴， ∴，∴． 5．如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【解析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证；（）证明，所以，然后通过即可求解． $