专题03 整式及其加减压轴必考题8大题型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦代数式压轴题8大核心题型，以题载法构建从规律探究到综合应用的完整训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字规律探究|5题|以数列、操作变换为背景，需抽象数量关系|从具体数字到一般规律，发展符号意识| |图形规律探究|5题|结合分形、网格等几何情境，提炼递推关系|数形结合，培养空间观念与模型意识| |整式运算综合|5题|含竖式运算、整体思想、新定义运算|从基础运算到代数变形，强化运算能力| |整式应用综合|5题|涉及经济问题、方案优化、比较大小|用代数式建模，提升应用意识| |无关型与几何综合|5题|结合图形面积、动态问题，需参数分析|代数与几何融合，培养综合思维| |数轴结合|5题|数轴上的距离、运动、折叠问题|数与形对应，发展几何直观| |最值问题|5题|绝对值和的最小值、动态几何最值|转化思想，提升推理能力| |新定义问题|5题|自定义运算、新概念应用|迁移已有知识，培养创新意识|

专题03 代数式压轴必考题8大题型 题型一：数字类规律探究大题 题型二：图形类规律探究大题 题型三：整式的加减运算综合 题型四：整式的加减应用综合 题型五：无关型问题与几何综合 题型六：整式的加减与数轴结合 题型七：代数式中的最值问题 题型八：代数式的新定义问题 题型一：数字类规律探究大题 1．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）口袋里装有51张卡片，其中50张上面分别写着1~50，剩下的一张小雄没有看清楚写的是什么数，但是知道这是一个大于100且不超过200的整数．小雄每次从袋中任意摸出5张卡片，然后算出这5张卡片上所有数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入袋中（如果此时袋中卡片不足5张但又多于1张，则全部取出计算，并放入）．经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张卡片，上面写的是86．那么小雄没有看清楚的那一张卡片上写的整数是___________． 2．（25-26七年级下·河北张家口·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 3．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过三次操作后，若，，则所有整式的值之和为10； ③经过10次操作后，将得到1025个整式． 以上三个结论正确的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26八年级下·山西运城·期末）若是不等于2的有理数，则我们把称为的“相伴数”．例如：1的“相伴数”是．若，是的“相伴数”，是的“相伴数”，是的“相伴数”……以此类推，则的值是________． 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，若三位数832，按以上规则进行运算依次可得到：832，766，669，999，999，… (1)若三位数123，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； (2)若三位数205，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；若输入三位数788，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； (3)由上面的举例，你能得出什么结论？ 题型二：图形类规律探究大题 6．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（     ） A．512 B．1023 C．2047 D．2048 7．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示，将形状、大小完全相同的“▪”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“▪”的个数为，第2幅图形中“▪”的个数为，第3幅图形中“▪”的个数为，…，以此类推，则的值为（） A． B． C． D． 8．（2026·西藏拉萨·模拟预测）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕……，如果对折8次，可以得到的折痕数为（     ） A．15 B．64 C．127 D．255 9．（2026·安徽合肥·三模）项目式学习 【项目主题】网格矩形对角线穿过小正方形个数的规律探究 合肥天鹅湖公园计划铺设新型方形地砖，地砖为矩形网格样式．数学兴趣小组以此为背景，开展“矩形一条对角线穿过的小正方形个数”项目探究活动． 【探究准备】 在由个小正方形组成的矩形网格中，定义对角线“穿过”小正方形为：一条对角线至少经过该小正方形内部的一个点，记对角线穿过的小正方形个数为． 【活动一：数据收集与初步猜想】 (1)当互质（除1外无其他公因数）时，小组观察不同网格并记录数据，请补全下表： 根据上表数据，猜想：当互质时，与的关系式为：②； 【活动二：验证与拓展】 (2)当不互质时，上述关系式不再成立．请以网格为例，画出一条对角线并写出这条对角线穿过的小正方形个数 ； (3)若正整数的最大公约数为，经兴趣小组实践探完并推理论证得到之间存在一个数量关系，请写出这个关系式 ． (4)已知，根据（3）得出的关系式计算出一条对角线穿过的小正方形的个数 ． 【活动三：实际应用】 (5)公园计划在一块长12米、宽8米的矩形区域内铺设若干个边长为米的小正方形地砖，刚好铺满．求这个矩形的一条对角线穿过的小正方形地砖的个数． 10．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 题型三：整式的加减运算综合 11．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知关于的代数式：，，且代数式． (1)当时，化简代数式 (2)若代数式是关于的一次多项式，求的值； (3)已知，求下列代数式的值 12．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）【阅读材料】在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了，如计算就可以列竖式为： 所以． 根据上述材料，解决下列问题： 已知：． (1)将按照的降幂排列为 ． (2)仿照上面的方法列竖式计算． (3)小丽说也可以用类似的方法列竖式计算，请你试试看． (4)请写出一个多项式 ，使其与的和是二次单项式． 13．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 14．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 15．（25-26七年级下·四川自贡·开学考试）已知关于的代数式：，，且代数式． (1)若时，化简代数式； (2)若代数式是关于的一次多项式，求的值． 题型四：整式的加减应用综合 16．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 17．（25-26七年级下·北京·期末）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏．将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等．记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： (1)如图1，图中已填好了四个数，请将图1补充完整，并直接写出S的值； (2)如图2，中间三个“□”中的数字分别为a，b，．为了求出的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1和6之间，可得关于的不等式，进而可求出的值； 小林说：观察整个图形，找到S与的关系，进而求出的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，求出的值． 18．（24-25七年级上·山东聊城·期末）为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 19．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 20．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题： 消费金额 少于200元 高于200元但低于400元 400元或超过400元 优惠办法 不予优惠 九折优惠 其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元； (2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？ 题型五：无关型问题与几何综合 21．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 22．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图1，小长方形纸片的宽为a，有6张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，，大长方形中有两个部分（图中阴影部分M和N）未被覆盖，设．请解决以下问题： (1)请用含a的代数式表示图1中小长方形的长为______； (2)请分别求出阴影部分M和N的周长（结果用含a，x的代数式表示），并说明阴影部分M与N的周长之和与a的取值无关． 23．（25-26七年级上·广东珠海·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数A：______，B：______，C：______； (2)点P为数轴上任意一点，其对应的数为x，当点P在0到3之间时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)点C开始在数轴上运动，以每秒2个单位长度向左运动： ①若点C运动了18秒，则点C运动到数轴上什么位置，请写出它表示的数______； ②点A，B分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度与点C同时出发，向左运动、假设t秒钟过后，记A与B两点之间的距离为，B与C两点之间的距离为．这三个点在运动过程中，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 24．（25-26七年级上·山西晋中·期中）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 25．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上A、B两点所对应的数分别是和． (1)则_____，_____；A，B两点之间的距离为_____； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2025次时，求点所对应的有理数． (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 题型六：整式的加减与数轴结合 26．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴A和数轴B模型，如图1，当两个数轴的原点对齐时，数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点恰好对齐． (1)图1中，数轴B上表示6的点与数轴A上表示_______的点对齐，数轴A上表示的点与数轴B上表示_______的点对齐； (2)如图2，将图中的数轴B向左移动，使得数轴B的原点与数轴A表示的点对齐，则数轴A上表示3的点与数轴B上表示_______的点对齐，数轴B上距离原点6个单位长度的点与数轴A上表示_______的点对齐； (3)若数轴A上表示的点与数轴B表示的点对齐，则数轴A上表示的点与数轴B上表示_______的点对齐，数轴B上距离原点个单位长度的点与数轴A上表示_______的点对齐．（用代数式表示） 27．（25-26七年级上·福建厦门·阶段检测）阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示． 在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；… 如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于 ；数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为 ；若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于 ； 联系拓广： （2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点两点之间，则 ； ②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，则等于 ． 28．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）【问题情境】 数轴是重要的数学工具，借助数轴可以建立“数”与“点”的对应关系．活动课上，同学们探索“互斥点”在数轴上运动产生的数学问题．为方便探究，大家先对“互斥点”规定如下：在数轴上，从某一定点同时出发的两点，以相同的速度向相反方向运动，则称点，为一对“互斥点”． 【初步探究】 （1）如图①，当点是原点时，一对“互斥点”，从点处同时出发，点沿数轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为 ．点在数轴上对应的数为 ； 【拓展延伸】 （2）如图②，若点在数轴上对应的数为，一对“互斥点”，从点处同时出发，点沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．同学们在点左侧且到点距离为个单位长度的点处设置了一个挡板，并规定当点运动到挡板处时，立即调头向相反方向运动，且速度变为原来的倍．若运动时间为秒． ①请用代数式表示点到达挡板前，点在数轴上对应的数； ②请用代数式表示点到达挡板后，点（不重合）之间的距离． 29．（25-26七年级上·山西晋中·期中）综合与探究 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将“数”与“形”完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．如图①，若数轴上点，表示的数分别为，（），则线段的长（点到点的距离）为，记作． 请用上面材料中的知识，解答下面的问题． 【问题情境】 如图②，一个点从数轴上的原点开始，沿数轴先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点． 【问题探究】 (1)①请在图②中表示出，，三点的位置； ②点到点的距离__________，点到点的距离__________． (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点，点从点出发分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①设运动时间为秒，则点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________．（用含的代数式表示） ②在①的条件下，试探究在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 30．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，点和点分别表示数，．可以用绝对值表示点，两点间的距离，即． (1)如图1，在数轴上，点，，分别表示数，4，，解决以下问题： ①若，则______； ②若，则______； ③若，求的值． (2)如图2，在数轴上，点，分别表示数，，点是数轴上一动点，且不小于．请在数轴上表示出所有符合条件的点．（在数轴上把选定区域用黑色签字笔加粗，并标注必要的数据，用含，的代数式表示） 题型七：代数式中的最值问题 31．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，则在数轴上两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题： ①数轴上表示和两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示和的两点之间的距离表示为______． ③数轴上表示的点到表示的点的距离与它到表示的点的距离之和可表示为：．则有最小值吗？如果有，写出的取值范围和最小值是多少；如果没有，请说明理由． 32．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上x与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)观察发现： ①数轴上表示和两点之间的距离为 ； ②若数轴上表示点x的数满足，那么x ． (2)拓展探究： 由于可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离，那么就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴，利用数形结合的思想展开研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． ①的几何意义是 ，根据上述探究：的最小值是 ； ②若数轴上表示点x的数满足，则 ； ③是否存在x的值，使得等式成立？并说明理由． (3)迁移应用：当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？不需说明理由，请直接写出你的结果． 33．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读以下材料：数学活动课上，李老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，则，例如：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离；数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．利用数形结合思想，回答下列问题： (1)的几何意义是表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)观察数轴，若，则的值可以是_____； (3)［拓展延伸]①求的最小值． ②当取不同的值时，代数式的值会随之变化，当的值取多少时，有最小值，最小值是多少？ 34．（24-25七年级上·全国·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)表示有理数2点与表示有理数的点的距离是______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______； (3)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______； (4)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______． (5)若，，，，，求式子的最小值？ 35．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______； (2)应用二：若点表示的整数为，则当为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数的和为______； (4)应用四：求的最小值为______． 题型八：代数式的新定义问题 36．（24-25七年级上·江苏南通·期中）定义：如果两个有理数，满足，则称，为一对“相随数”．已知有理数，为一对“相随数”，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 37．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以，根据以上定义，如果，都是“互异数”，且，求________． 38．（25-26七年级上·重庆·期中）定义新运算“Δ”，对于任意有理数a，b，规定，若，，则的值为______． 39．（2026·湖南永州·一模）新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ，， ，，， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ，，，， …… 利用以上规律计算： (1)______，______； (2)计算：． 40．（25-26七年级上·江西赣州·期末）定义新运算：，例如．回答下面问题： (1)计算：_____． (2)已知，求的值． (3)若在这些数中，任意选取两个数进行“◎”运算，则所有运算结果中最大的值是_____． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 代数式压轴必考题8大题型 题型一：数字类规律探究大题 题型二：图形类规律探究大题 题型三：整式的加减运算综合 题型四：整式的加减应用综合 题型五：无关型问题与几何综合 题型六：整式的加减与数轴结合 题型七：代数式中的最值问题 题型八：代数式的新定义问题 题型一：数字类规律探究大题 1．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）口袋里装有51张卡片，其中50张上面分别写着1~50，剩下的一张小雄没有看清楚写的是什么数，但是知道这是一个大于100且不超过200的整数．小雄每次从袋中任意摸出5张卡片，然后算出这5张卡片上所有数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入袋中（如果此时袋中卡片不足5张但又多于1张，则全部取出计算，并放入）．经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张卡片，上面写的是86．那么小雄没有看清楚的那一张卡片上写的整数是___________． 【答案】 【分析】每次操作后，所有卡片上数的总和除以100的余数不变，最终剩下的数等于所有卡片数总和除以100的余数，据此建立关系求解未知的数. 【详解】解：设小雄没看清楚的数为，由题意得，且为整数， ∵每次取出若干个数计算后，放入它们和的后两位，总和减少的部分是100的倍数， ∴所有数总和除以的余数始终不变，最终剩下的就是所有数总和除以的余数， 计算的和：， 故所有数总和为， ∴除以的余数为， ∵除以的余数为， ∴除以的余数为， ∵， ∴. 2．（25-26七年级下·河北张家口·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 【答案】D 【分析】对已知m的选项顺推计算步数，对已知n的选项逆推求m的可能值，结合“第一次到达1”的条件判断正误即可． 【详解】解：A、当时，变换过程为，共9步，即，故该选项正确，不符合题意； B、∵当时，变换过程为，共2步，即， 又∵当时，， ∴随着的增大，不一定也增大，故该选项正确，不符合题意； C、∵当时，即经过2步第一次到达1， ∴倒数第1步只能是（无正整数解）， ∴初始数只能是（无正整数解），故该选项正确，不符合题意； D、∵当时， ∴变换过程可以为，共5步；或，共5步， ∴不只能是，故该选项错误，符合题意． 3．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过三次操作后，若，，则所有整式的值之和为10； ③经过10次操作后，将得到1025个整式． 以上三个结论正确的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】抓住每次操作插入相邻两整式的平均数、两端整式不变的特点，分别验证三个结论． 【详解】解：初始整式为，，每次操作仅在相邻整式间插入平均数，两端整式不变． ① 第一次操作插入的平均数为， ∴ 第一次操作后整式序列为，，，共3个． ∵ 第二次操作需在相邻两组间分别插入平均数，与的平均数为，与的平均数为， ∴ 第二次操作后整式序列为，，，，，共5个． ∴ 从左往右第四个整式为， 故①正确． ② 代入，，得初始两整式的值为，． 第一次操作后三个整式的值为，，，和为． 第二次操作后五个整式的值为，，，，，和为． 第三次操作后九个整式的值为，，，，，，，，， 和为， 故②错误． ③ 设第次操作后整式个数为，初始． ∵ 每次操作后新增整式个数等于原有整式的间隔数，即， ∴ ． 计算得：，，，．．． ∴ 第次操作后整式个数为．当时，， 故③正确． 综上，正确的结论有2个． 4．（25-26八年级下·山西运城·期末）若是不等于2的有理数，则我们把称为的“相伴数”．例如：1的“相伴数”是．若，是的“相伴数”，是的“相伴数”，是的“相伴数”……以此类推，则的值是________． 【答案】 【分析】根据相伴数的定义计算出前几个数，得到数字的循环周期，再通过计算余数确定对应周期中的位置，得到结果． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， 可知这组数每个数为一个周期循环． 计算，余数为， 因此． 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，若三位数832，按以上规则进行运算依次可得到：832，766，669，999，999，… (1)若三位数123，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； (2)若三位数205，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；若输入三位数788，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； (3)由上面的举例，你能得出什么结论？ 【答案】(1)999 (2)000；551 (3)结论：任意三位数按照题干规则重复运算，最终都会进入固定状态：要么稳定为同一个数不再变化，要么按固定周期循环往复． 当三位数不含数字0，且三个数字中至少有一个是3、6、9时，经过若干次运算后，结果最终会稳定为999，之后不再变化． 当三位数不含数字0，且三个数字都不是3、6、9时，最终会进入固定周期的循环，重复出现一组数字． 当三位数中含有数字0时，经过若干次运算后，结果最终会稳定为000，之后不再变化． 【分析】（1）按规则逐步计算123的每次运算结果，发现第3次后恒为999，故2026次运算结果直接取稳定值999； （2）分别对205和788按规则运算：205第2次后恒为000，直接得结果；788经过6次运算回到自身，周期为6，用2026除以6取余数4，对应第4次运算结果551； （3）综合以上例子可归纳：该运算最终会进入固定值或周期循环． 【详解】（1）解：三位数：123， 第1次：百位，十位，个位，得326， 第2次：百位，十位，个位，得963， 第3次：百位，十位，个位，得999， 第4次及以后：999运算后仍为999，不再变化． 因此第2026次运算结果为999． （2）解：三位数：205， 第1次：百位，十位，个位，得100， 第2次：百位，十位，个位，得000， 第3次及以后：000运算后仍为000，不再变化． 因此第2026次运算结果为000． 三位数：788， 第1次：百位，十位，个位，得221， 第2次：百位，十位，个位，得242， 第3次：百位，十位，个位，得488， 第4次：百位，十位，个位，得551， 第5次：百位，十位，个位，得575， 第6次：百位，十位，个位，得788， 周期为6．，余数4对应第4次结果， 故第2026次运算结果为551． （3）略 题型二：图形类规律探究大题 6．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（     ） A．512 B．1023 C．2047 D．2048 【答案】B 【分析】写出前3组图形对应的正方形数量，将数值改写为多个相乘再减的结构，总结出第个图形的计算式子，把代入式子算出数值，匹配对应选项． 【详解】解：第①个图形正方形个数：， 第②个图形正方形个数：， 第③个图形正方形个数：． 归纳规律：第个图形中正方形个数为个相乘再减去． ∴第⑨个图形正方形的个数． 7．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示，将形状、大小完全相同的“▪”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“▪”的个数为，第2幅图形中“▪”的个数为，第3幅图形中“▪”的个数为，…，以此类推，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察图形中“▪”的个数，归纳出第幅图形中“▪”的个数的通项公式为，然后利用裂项相消法进行求和计算即可求解． 【详解】解：依题意，，，，，…∴ ∴ ． 8．（2026·西藏拉萨·模拟预测）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕……，如果对折8次，可以得到的折痕数为（     ） A．15 B．64 C．127 D．255 【答案】D 【分析】先找规律，总结出对折n次：折痕数：，问题得解． 【详解】先找规律： 对折1次：折痕数：（条）； 对折2次：折痕数：（条）； 对折3次：折痕数：（条）； 对折n次：折痕数：（条）； 当时：折痕数：（条）． 9．（2026·安徽合肥·三模）项目式学习 【项目主题】网格矩形对角线穿过小正方形个数的规律探究 合肥天鹅湖公园计划铺设新型方形地砖，地砖为矩形网格样式．数学兴趣小组以此为背景，开展“矩形一条对角线穿过的小正方形个数”项目探究活动． 【探究准备】 在由个小正方形组成的矩形网格中，定义对角线“穿过”小正方形为：一条对角线至少经过该小正方形内部的一个点，记对角线穿过的小正方形个数为． 【活动一：数据收集与初步猜想】 (1)当互质（除1外无其他公因数）时，小组观察不同网格并记录数据，请补全下表： 根据上表数据，猜想：当互质时，与的关系式为：②； 【活动二：验证与拓展】 (2)当不互质时，上述关系式不再成立．请以网格为例，画出一条对角线并写出这条对角线穿过的小正方形个数 ； (3)若正整数的最大公约数为，经兴趣小组实践探完并推理论证得到之间存在一个数量关系，请写出这个关系式 ． (4)已知，根据（3）得出的关系式计算出一条对角线穿过的小正方形的个数 ． 【活动三：实际应用】 (5)公园计划在一块长12米、宽8米的矩形区域内铺设若干个边长为米的小正方形地砖，刚好铺满．求这个矩形的一条对角线穿过的小正方形地砖的个数． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）通过观察即可得出当、互质时，在的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数与、的关系式； （2）根据题意画出图形，即可求解； （3）依题意，互质，进而根据（1）的公式，得出； （4）根据（3）的公式，进行计算即可求解； （5）先求得的值，再根据（3）的公式，进行计算即可求解． 【详解】（1）①根据图形可得：当时， 当互质时，与的关系式为 （2）略 （3）解：当正整数的最大公约数为， ∴互质，则 可得 （4）解：，则 ∴ （5）解：∵在一块长12米、宽8米的矩形区域内铺设若干个边长为米的小正方形地砖，刚好铺满． ∴， ∴ 10．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图所示， （答案不唯一） (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）略 （4）解： ． 题型三：整式的加减运算综合 11．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知关于的代数式：，，且代数式． (1)当时，化简代数式 (2)若代数式是关于的一次多项式，求的值； (3)已知，求下列代数式的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将，代入，先去括号，再合并同类项，最后将代入上式即可； （2）根据多项式的次数的定义，结合（1）中计算结果可得，，进而求出的值，即可求解； （3）根据绝对值和平方的非负性求出的值，利用裂项相消的方法进行简便运算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 当时，原式； （2）解：∵代数式是关于的一次多项式，， ∴，， 解得：，， ∴． （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴将，代入中， 即 ． 【点睛】本题考查整式的加减运算，绝对值的非负性，多项式的次数和项数，有理数混合运算的简便计算等，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 12．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）【阅读材料】在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了，如计算就可以列竖式为： 所以． 根据上述材料，解决下列问题： 已知：． (1)将按照的降幂排列为 ． (2)仿照上面的方法列竖式计算． (3)小丽说也可以用类似的方法列竖式计算，请你试试看． (4)请写出一个多项式 ，使其与的和是二次单项式． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】（1）根据降幂排列的定义即可求解； （2）根据整式的加减运算法则即可求出答案； （3）根据整式的加减运算法则即可求出答案； （4）根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：按照的降幂排列为： 故答案为： （2）由题得： ∴ （3）由题得： ∴ （4）∵多项式与的和是二次单项式 ∴ 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 13．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用合并同类项法则计算即可； （2）把代数式变形后整体代入即可； （3）把代数式去括号并利用加法交换律和结合律变形，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ 14．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)② (2)0 (3)2 【分析】（1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）根据题意直接计算求解即可； （3）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； （2）解：； （3）解： ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 15．（25-26七年级下·四川自贡·开学考试）已知关于的代数式：，，且代数式． (1)若时，化简代数式； (2)若代数式是关于的一次多项式，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简代数式，再把代入即可； （2）依据一次多项式指的是最高次为一次的多项式求解可得值，代入即可求解． 【详解】（1）解： 把代入上式得： ； （2）解：由（1）可知：， 由题意是关于的一次多项式得：，， 解得：，， 将，代入 题型四：整式的加减应用综合 16．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 【答案】 总运费最少为23400元． 【分析】设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨，根据题意，求出的范围，列出代数式，表示出总运费，即可得出结果． 【详解】解：设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨， 又因为运输到每个地方的水泥数量都为非负数， 所以， 由题意，总运费为 元； 因为， 所以当时，总运费最小为元． 答：总运费最少为23400元． 17．（25-26七年级下·北京·期末）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏．将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等．记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： (1)如图1，图中已填好了四个数，请将图1补充完整，并直接写出S的值； (2)如图2，中间三个“□”中的数字分别为a，b，．为了求出的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1和6之间，可得关于的不等式，进而可求出的值； 小林说：观察整个图形，找到S与的关系，进而求出的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，求出的值． 【答案】(1)如图所示： ， (2)6或9 【分析】（1）根据下方两个圆圈上已填的数字和分别为8与7，要填的两个数字为4与5，据此左边要填的数字为4，右边要填的数字为5，即可补充图，并求得S； （2）三个圆圈上的所有数字和为，即，根据取值即可确定的值． 【详解】（1）解：图略； ； （2）解：由题意， ∴， ∵a，b为1到6中某两个数， ∴a，b最小取1，2，最大取5，6， ∴， ∵， ∴， ∴S为整数， ∴是3的倍数， ∴或9． 18．（24-25七年级上·山东聊城·期末）为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【答案】(1)①；②； (2)①在甲商店购买更优惠；②最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球（获赠40个毽球），在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 【分析】（1）根据两种优惠方案列式即可； （2）①将代入（1）所得式子分别计算比较即可；②先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球，即可求出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【详解】（1）解：①若在甲商店购买，所需总费用为元； ②若在乙商店购买，所需总费用为元； （2）（2）①当时，（元）， （元）， ∵， ∴在甲商店购买更优惠； ②∵可以在甲、乙两个商店中分别购买， ∴先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球， ∵在甲商店购买40个足球的费用为（元），再在乙商店购买剩余的40个毽球的费用为（元）， ∴总花费为（元）， ∵， ∴最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球，在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 19．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题干信息得出答案即可； （2）分别计算，，即可得出结论； （3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，作差法比较，的大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 计算得： ， ∵， ∴， ∴， 计算得： ， ∵ ∴， ∴， 综上可得； （3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题： 消费金额 少于200元 高于200元但低于400元 400元或超过400元 优惠办法 不予优惠 九折优惠 其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元； (2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？ 【答案】(1)270 (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，分析题意并列出代数式是解题关键． （1）300元处于中间档次，按九折计算即可； （2）处于第三档，根据对应的优惠办法列代数式计算； （3）分析出第二次购物的货款不超过400元，第一次购物的钱数高于400元，再分两段求出二次购物的钱数，再相加即可． 【详解】（1）解：由题得，， ∴她实际付款270元； 故答案为：270； （2）解：由题得，， ∴她实际付款元； （3）解：∵第一次购物的货款为元， ∴第二次购物的货款为元，，享受9折优惠， ∴王老师两次购物实际付款元． 题型五：无关型问题与几何综合 21．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 22．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图1，小长方形纸片的宽为a，有6张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，，大长方形中有两个部分（图中阴影部分M和N）未被覆盖，设．请解决以下问题： (1)请用含a的代数式表示图1中小长方形的长为______； (2)请分别求出阴影部分M和N的周长（结果用含a，x的代数式表示），并说明阴影部分M与N的周长之和与a的取值无关． 【答案】(1) (2) M的周长为. N的周长为. ∴M与N的周长之和为. ∴阴影部分M与N的周长之和与a的取值无关． 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用： （1）根据图示列代数式即可； （2）先用含a，x的代数式表示出阴影部分M和N的周长，再求和即可． 【详解】（1）解：由图可得，图1中小长方形的长为， 故答案为：； （2）略 23．（25-26七年级上·广东珠海·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数A：______，B：______，C：______； (2)点P为数轴上任意一点，其对应的数为x，当点P在0到3之间时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)点C开始在数轴上运动，以每秒2个单位长度向左运动： ①若点C运动了18秒，则点C运动到数轴上什么位置，请写出它表示的数______； ②点A，B分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度与点C同时出发，向左运动、假设t秒钟过后，记A与B两点之间的距离为，B与C两点之间的距离为．这三个点在运动过程中，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，，2； (2) ∵， ∴当时，； 当时，． (3)①点在原点左侧，距离原点34个单位长度的位置，；②不变，6 【分析】本题考查数轴上的动点问题，化简绝对值，整式加减中的无关型问题，熟练掌握数轴上两点间的距离，是解题的关键： （1）根据点的移动规则，求出，折叠求出点表示的数即可； （2）分两种情况，根据绝对值的意义，化简绝对值即可； （3）①根据点的移动规则，求出点表示的数即可；②先求出，进而求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为； （2）略 （3）①； 故点在原点左侧，距离原点34个单位长度的位置，表示的数为； ②不变，理由如下： 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴； 故的值不随着时间t的变化而变化． 24．（25-26七年级上·山西晋中·期中）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 【答案】（1） （2）   （3）①  ②D 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将，，代入中，化简即可； （2）的值与的取值无关，即的系数为0，由此解答即可； （3）①先将表示出来，再将代入求解即可； ②分别计算，，，，判断哪一项与的取值无关即可． 【详解】解：（1） ． （2） 又的值与的值无关   ，． （3）①∵阴影部分的面积=大长方形的面积－7个小长方形的面积， ． 当时，． ②由①得，； ； ； ； 与的取值无关． 故选：D． 25．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上A、B两点所对应的数分别是和． (1)则_____，_____；A，B两点之间的距离为_____； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2025次时，求点所对应的有理数． (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 【答案】(1)，6；10 (2) (3)D点运动的方向：向左， 【分析】本题考查了多项式的系数与次数、数轴的动点问题和整式加减的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确的表示数轴上的有理数． （1）根据二次多项式的定义得到，由此求得a的值；然后由多项式的系数的定义得到b的值，根据求解的值即可； （2）向左运动记为负，向右运动记为正，找到规律，可得点P对应的有理数；然后根据题意列式计算即可； （3）分点D从原点向左运动和点D从原点向右运动两种情况求解即可 【详解】（1）解：是关于的二次多项式，且二次项系数为， ， ， ； （2）解：第1次运动P点对应的数为； 第2次运动P点对应的数为； 第3次运动P点对应的数为； 第4次运动P点对应的数为； ， 第2025次运动P点对应的数为； （3）解：运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为， 当点D从原点向左运动时，点对应的数为， ， ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 当点D从原点向右运动时，点对应的数为， ， ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∵， ∴此种情形不存在． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 题型六：整式的加减与数轴结合 26．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴A和数轴B模型，如图1，当两个数轴的原点对齐时，数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点恰好对齐． (1)图1中，数轴B上表示6的点与数轴A上表示_______的点对齐，数轴A上表示的点与数轴B上表示_______的点对齐； (2)如图2，将图中的数轴B向左移动，使得数轴B的原点与数轴A表示的点对齐，则数轴A上表示3的点与数轴B上表示_______的点对齐，数轴B上距离原点6个单位长度的点与数轴A上表示_______的点对齐； (3)若数轴A上表示的点与数轴B表示的点对齐，则数轴A上表示的点与数轴B上表示_______的点对齐，数轴B上距离原点个单位长度的点与数轴A上表示_______的点对齐．（用代数式表示） 【答案】(1)4， (2)，2或 (3)，或 【分析】本题主要考查用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，整式的加减计算，正确理解题意，熟知数轴B上的1个单位长度在数轴A上表示个单位长度是解题的关键． （1）根据题意可知数轴B上的1个单位长度在数轴A上表示个单位长度，据此求解即可； （2）根据数轴B上的1个单位长度在数轴A上表示个单位长度进行求解即可；求出数轴B上距离原点6个单位长度的点在数轴A上距离的距离即可得到答案； （3）要求B轴对应A轴的数，即要先求出B轴上到对齐点的距离在A轴上表示的是多少，同理，要求A轴对应B的数，即要先求出A轴上到对齐点的距离在B轴上表示多少，据此求解即可； 【详解】（1）解：因为数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点恰好对齐， 所以数轴B上的1个单位长度在数轴A上表示个单位长度， 所以数轴B上表示6的点与数轴A上表示的点对齐，数轴A上表示的点与数轴B上表示的点对齐； （2）解：因为将图中的数轴B向左移动，使得数轴B的原点与数轴A表示的点对齐， 所以此时数轴A上表示3的点与数轴B上表示的点对齐； 数轴B上距离原点6个单位长度的点与数轴A上表示或的点对齐； （3）解：因为数轴A上表示的点与表示的点相距个单位长度， 又因为数轴A上表示的点与数轴B表示的点对齐， 所以数轴A上表示的点与数轴B上表示的点对齐； 因为数轴B上距离原点个单位长度的点在数轴B上表示的数为或， 所以数轴B上表示的点与数轴B上表示的点相距个单位长度；数轴B上表示的点与数轴B上表示的点相距个单位长度， 所以数轴B上表示的点与数轴A上表示的点对齐；数轴B上表示的点与数轴A上表示的点对齐， 所以数轴B上距离原点个单位长度的点与数轴A上表示或的点对齐． 27．（25-26七年级上·福建厦门·阶段检测）阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示． 在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；… 如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于 ；数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为 ；若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于 ； 联系拓广： （2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点两点之间，则 ； ②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，则等于 ． 【答案】（1）5，，1或；（2）①6；②或 【分析】本题主要考查了数轴与绝对值的概念的应用，理解绝对值的几何意义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值运用绝对值可求数轴上任意两点间的距离；由可列出关于x的方程求解即可； （2）①点P在点M、N两点之间时，即为M、N两点之间的距离；②由动点P的位置不同分情况进行讨论求解． 【详解】解：（1）由阅读材料可知： 数轴上有理数与对应的两点之间的距离为； 数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为 ∵ ∴ ∴或 ∴或； 故答案为：5，，1或． （2）①∵点是数轴上的三点，点M表示的数为4，点表示的数为，点在点两点之间，动点表示的数为． ∴； ②∵ ∴， ①如图：当点P在点N左侧时， ∴，解得： ； ②如图：当点P在点之间时， ∴，解得：； ③当点P在点M右侧时 ∴，解得： （不合题意舍去）． ∴综上所述，或． 故答案是：①6；②或． 28．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）【问题情境】 数轴是重要的数学工具，借助数轴可以建立“数”与“点”的对应关系．活动课上，同学们探索“互斥点”在数轴上运动产生的数学问题．为方便探究，大家先对“互斥点”规定如下：在数轴上，从某一定点同时出发的两点，以相同的速度向相反方向运动，则称点，为一对“互斥点”． 【初步探究】 （1）如图①，当点是原点时，一对“互斥点”，从点处同时出发，点沿数轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为 ．点在数轴上对应的数为 ； 【拓展延伸】 （2）如图②，若点在数轴上对应的数为，一对“互斥点”，从点处同时出发，点沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．同学们在点左侧且到点距离为个单位长度的点处设置了一个挡板，并规定当点运动到挡板处时，立即调头向相反方向运动，且速度变为原来的倍．若运动时间为秒． ①请用代数式表示点到达挡板前，点在数轴上对应的数； ②请用代数式表示点到达挡板后，点（不重合）之间的距离． 【答案】（1） （2）①②或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离的表示方法及整式的加减，关键是灵活应用知识点解题． （1）根据时间和速度计算出点运动的路程，再结合它们的起点为原点，即可表示出两点对应的数； （2）①先表示出两点在数轴上对应的数，再求出两点之间的距离； ②分类讨论：点在的左侧及点在的右侧两种情况，求出两点之间的距离． 【详解】（1）∵当点是原点时，点沿数轴正方向以每秒个单位长度的速度运动， ∴点在数轴上对应的数是， 同理：点在数轴上对应的数是； 故答案为：，； （2）①点到达挡板前，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为； ②点到达挡板后，在数轴上对应的数为， 点在数轴上对应的数为； 当点在点的左侧时，； 当点在点的右侧时，． 29．（25-26七年级上·山西晋中·期中）综合与探究 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将“数”与“形”完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．如图①，若数轴上点，表示的数分别为，（），则线段的长（点到点的距离）为，记作． 请用上面材料中的知识，解答下面的问题． 【问题情境】 如图②，一个点从数轴上的原点开始，沿数轴先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点． 【问题探究】 (1)①请在图②中表示出，，三点的位置； ②点到点的距离__________，点到点的距离__________． (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点，点从点出发分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①设运动时间为秒，则点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________．（用含的代数式表示） ②在①的条件下，试探究在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的运算及整式的加减运算，关键是熟练应用知识点解题； （1）①由题意易得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，然后问题可求解；②根据两点间距离公式可进行求解； （2）①根据题意及数轴上有理数的表示方法可进行求解；②由①可得：，进而问题可求解． 【详解】（1）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则、、在数轴的位置如图所示： ②点到点的距离；点到点的距离； 故答案为，； （2）①点表示的数为：； 点表示的数为：； 点表示的数为：； ②答：不变， ∵， ， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，值为：． 30．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，点和点分别表示数，．可以用绝对值表示点，两点间的距离，即． (1)如图1，在数轴上，点，，分别表示数，4，，解决以下问题： ①若，则______； ②若，则______； ③若，求的值． (2)如图2，在数轴上，点，分别表示数，，点是数轴上一动点，且不小于．请在数轴上表示出所有符合条件的点．（在数轴上把选定区域用黑色签字笔加粗，并标注必要的数据，用含，的代数式表示） 【答案】(1)①2或6  ②1  ③x的值为或0 (2) 如图所示， 【分析】本题考查数轴上的距离与绝对值方程的应用，将数轴上的距离关系转化为绝对值方程是解题关键． （1）根据题意，利用“绝对值的几何意义”求解． （2）先通过距离公式转化为绝对值表达式，再分区间讨论去绝对值，进而求解不等式． 【详解】（1）①解：代数式可看成数轴上表示数的点与表示4的点之间的距离， ， ，， 或6． ②解：代数式可看成数轴上表示到和4距离相等的点， ， ． ③解：代数式可看成数轴上表示到4的距离是到距离两倍的点， ， ， 当表示数的点在点左侧时，，解得， 当表示数的点在点和点之间时，，解得， 当表示数的点在点右侧时，， 所以此种情况不存在，综上所述，或0； 答：x的值为或0． （2）解：由题可知，设点D表示的数为x， 不小于， ， ， 当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 当时，，解得（不符合，舍去）， 在数轴上，选定区域为， 符合条件的点为签字笔加粗部分的点． 题型七：代数式中的最值问题 31．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，则在数轴上两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题： ①数轴上表示和两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示和的两点之间的距离表示为______． ③数轴上表示的点到表示的点的距离与它到表示的点的距离之和可表示为：．则有最小值吗？如果有，写出的取值范围和最小值是多少；如果没有，请说明理由． 【答案】 ①； ② ③有，， 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算，有理数的减法计算，熟知绝对值的几何意义是解题的关键． ()根据数轴上两点距离计算公式求解即可； ()根据数轴上两点距离计算公式求解即可； ()设在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则可得到则，再分点在点左侧时，点点在点和点在点右侧时三种情况，分别表示出，据此求解即可． 【详解】解：①数轴上表示和两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离表示为； ③设在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 数轴上表示的点到表示的点的距离与它到表示的点的距离之和可表示为：．则， 当点在点左侧时，， 当点在点和点之间时，， 当点在点右侧时，， 当点在点和点之间时，有最小值，最小值为的长， 当时，有最小值，最小值为． 32．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上x与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)观察发现： ①数轴上表示和两点之间的距离为 ； ②若数轴上表示点x的数满足，那么x ． (2)拓展探究： 由于可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离，那么就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴，利用数形结合的思想展开研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． ①的几何意义是 ，根据上述探究：的最小值是 ； ②若数轴上表示点x的数满足，则 ； ③是否存在x的值，使得等式成立？并说明理由． (3)迁移应用：当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1)①3；②或3 (2)①a到4和到7的距离，3； ②3，； ③解：不存在x的值，使得等式成立． 理由如下：由数形结合思想得，当数轴上表示点x的数满足大于或等于，且小于或等于1时，的值最小，最小值为5， ∴不成立． ∴不存在x的值，使得等式成立． (3)当x的值等于时，取得最小值，最小值是11 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值，熟练掌握绝对值的意义，根据“数形结合”的基础是解题的关键，由题意中定义逐一分析即可得到答案． （1）①根据材料提示，数轴上两点之间距离的计算方法即可求解； ②根据两点之间距离的计算，绝对值的性质即可求解； （2）①根据材料提示，运用数轴上两点之间距离的计算方法，绝对值的性质进行计算即可；②运用数轴上两点之间距离的计算方法，绝对值的性质进行计算即可； ③根据两点之间距离的计算方法即可判定； （3）根据材料提示，运用两点之间距离的计算方法，绝对值的性质化简计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ①和两点之间的距离为， ②∵，或， 解得或， 故答案为：①3；②或3． （2）解：①的几何意义是a到4和到7的距离，根据上述探究：的最小值是3； 故答案为： 到和到的距离，． ②∵，∴，， ∴， 故答案为：． ③略 （3）解：根据题意可得： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当x的值等于时，取得最小值，最小值是11． 33．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读以下材料：数学活动课上，李老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，则，例如：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离；数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．利用数形结合思想，回答下列问题： (1)的几何意义是表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)观察数轴，若，则的值可以是_____； (3)［拓展延伸]①求的最小值． ②当取不同的值时，代数式的值会随之变化，当的值取多少时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)或1 (3)①2 ②当时，的最小值为6 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据表示x的点与表示的点之间的距离解答； 对于（2），分两种情况表示x的点与表示的点之间的距离是2解答即可； 对于（3），①分三种情况讨论表示x的点与表示和1的点之间的距离最小解答； ②分五种情况讨论表示x的点与表示，2，3的点之间的距离和最小，并求出最小值． 【详解】（1）解：表示x的点与表示的点之间的距离； 故答案为：； （2）解：若，可知表示x的点与表示的点之间的距离为2， ∴x的值是或1； 故答案为：或1； （3）解：①当表示x的数在左边时，； 当表示x的数在1的右边时，； 当表示x的数在和1之间时，， 所以最小值为2； ②当表示x的数在左边时，； 当表示x的数在3的右边时，； 当表示x的数在和2之间时，， 当表示x的数在3和2之间时，， 当表示x的数是2时，， 所以最小值为6． 34．（24-25七年级上·全国·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)表示有理数2点与表示有理数的点的距离是______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______； (3)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______； (4)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______． (5)若，，，，，求式子的最小值？ 【答案】(1)4 (2)1或 (3) (4)4 (5)54 【分析】（1）由题意中的两点间的距离公式即可求解； （2）由题意易得，然后求解即可； （3）由题意易得，然后化简绝对值即可； （4）由数轴可知，然后可得，，，则有，进而问题可求解； （5）由题意易得，然后根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小，进而问题可求解． 【详解】（1）解：表示有理数2点与表示有理数的点的距离是； 故答案为：4 （2）解：由题意得：， ∴， ∴或； 故答案为：1或 （3）解：由题意得：， ∴； 故答案为：； （4）解：由数轴可知：， ∵，，， ∴，，， ∴ ； 故答案为：4； （5）解：∵，，，，， ∴ ， 根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小； ∴当时，则原式，此时当时，有最小值95； 当时，则原式，此时当时，有最小值59； 当时，则原式，此时当时，有最小值54； 当时，则原式，此时无最小值； 当时，则原式，此时无最小值； 当时，则原式，此时无最小值； 综上所述：当时，式子的最小值为54； 故答案为：54． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、整式的加减运算及有理数的加减运算，熟练掌握各个运算及数轴上的动点问题是解题的关键． 35．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______； (2)应用二：若点表示的整数为，则当为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数的和为______； (4)应用四：求的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3)7， (4) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用是解题关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的点与表示2和的点的距离相等，则数轴上表示的点是表示2和的点的中点，据此求解即可； （3）分情况讨论，再求出符合题意的的值的和即可； （4）将化为，分别求出三组最小时x的取值范围，进而求出最小时x的取值范围，计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：与的值相等， 表示的点与表示2和的点的距离相等， 表示的点是表示2和的点的中点， ， 故答案为：； （3）解：当时， 当时， 当时， 当时，有最小值，最小值为7， 整数有、、、、、0、1、2，它们的和为， 故答案为：7；； （4） ， 由（3）可知，当时，有最小值； 当时，有最小值； 当时，有最小值； 可知当时，有最小值， 此时 ． 故答案为：． 题型八：代数式的新定义问题 36．（24-25七年级上·江苏南通·期中）定义：如果两个有理数，满足，则称，为一对“相随数”．已知有理数，为一对“相随数”，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减化简求值，理解“相随数”的意义是正确计算的关键．根据是“相随数”得出，再将原式化成，最后分类讨论b的取值范围得出P的取值范围即可得出答案． 【详解】解：∵有理数，为一对“相随数” ∴， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：， 故选：D． 37．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以，根据以上定义，如果，都是“互异数”，且，求________． 【答案】19 【分析】本题考查的是整式加减的应用，理解新定义及其运算方法是解题的关键．设，则，然后根据的定义计算的值． 【详解】解：∵m，n都是“互异数”，且， ∴设，则， ∴ ， 故答案为：19． 38．（25-26七年级上·重庆·期中）定义新运算“Δ”，对于任意有理数a，b，规定，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，求代数式的值．根据新定义求得和的值，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：． 39．（2026·湖南永州·一模）新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ，， ，，， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ，，，， …… 利用以上规律计算： (1)______，______； (2)计算：． 【答案】(1)； (2)6 【分析】（1）由题意可知，，即可求解． （2）由题意可知，，化简代数式即可求解． 【详解】（1）解：根据可知， 根据可知； （2）解： 40．（25-26七年级上·江西赣州·期末）定义新运算：，例如．回答下面问题： (1)计算：_____． (2)已知，求的值． (3)若在这些数中，任意选取两个数进行“◎”运算，则所有运算结果中最大的值是_____． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，整式的加减运算，解题的关键是正确理解新定义运算． （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）先确定的结果为中较小的数，则由得，，而，，故； （3）根据的结果为中较小的数，则需在所有中找最大的较小值，故选取最大的两个数，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：2； （2）解： 当时，； 当时，， 所以的结果为中较小的数， 由得，， 因为， 所以； （3）解：将这些数从大到小排列为：， 因为的结果为中较小的数， 所以需在所有中找最大的较小值， 所以选取最大的两个数， ∴， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $