专题02 三角形中的倒角模型之平分平行(射影)构等腰、角平分第二定理模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学讲义围绕三角形倒角模型，通过“平分平行构等腰”“角平分线第二定理”两大模型系统构建知识体系，以推导逻辑图呈现“角等→边等/边比”转化脉络，结合知识储备清单梳理角平分线、平行线等前置知识，突出等腰构造与比例转化重难点。 讲义亮点在于“角平分线+X”组合构造的分层练习设计，如典例中“角平分线+平行线证等腰三角形周长”等题，通过面积法推导定理培养推理意识，易错总结（如平行线位置判断）和核心口诀辅助几何直观形成，基础学生可掌握模型识别，优秀学生能深化转化思维，助力教师实施精准分层教学。

专题02三角形中的倒角模型之平分平行(射影)构等腰、角平分第二定理模型 角平分线是几何中最常见的条件之一，单一的角平分线往往需要结合其他条件构造特殊图形，而“角平分线+平行线”“角平分线+垂线”是两类最经典的等腰三角形构造模型，也是倒角与边等转化的核心工具。角平分线第二定理则从边的比例角度拓展了角平分线的性质，进一步完善了角平分线的知识体系。本专题就平分平行构等腰、角平分线第二定理模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化单纯角度计算，强化“角平分线+X”的组合构造，多以“角平分线+平行线出等腰、角平分线+垂线构三线合一”形式出题，常与等腰三角形、全等三角形结合考查证明与计算。 推导逻辑：角平分线给等角，平行线/垂线转等角，等角对等边构等腰，面积法推导第二定理，拒绝机械记忆。 核心素养目标： 1.掌握“角平分线+平行线/垂线”构造等腰的方法，能快速识别模型并应用； 2.理解角平分线第二定理的面积法推导，能利用定理解决比例与长度问题； 3.培养构造辅助线、转化边角关系的几何思维。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 5 模型拓展 8 【易错总结】 8 【模型运用】 9 基于角平分线定义、平行线的性质（内错角相等、同位角相等）、等腰三角形判定（等角对等边），通过角平分线与平行线、垂线的组合，实现“角等→边等”的转化，衍生出两类等腰构造模型，合称“角平分线两大等腰构造”，是几何构造辅助线的经典基础模型。角平分线第二定理又称角平分线定理，最早记载于欧几里得《几何原本》，八年级阶段通过面积法即可推导，无需相似知识，是角平分线从“角性质”向“边性质”延伸的核心结论。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： · 角平分线定义：平分一个角的射线，分原角为两个相等的角； · 平行线的性质：两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补； · 等腰三角形判定：等角对等边，有两个角相等的三角形是等腰三角形； · 三角形面积公式：； · 全等三角形ASA判定：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 【模型提炼与证明】 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形． 条件：如图，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3， ∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ， ∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。 结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC， ∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE， ∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N． 结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC， ∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM， ∴△BOM是等腰三角形。 同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 条件：如图，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE， ∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°， ∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE， ∴三角形CEF是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【典例2】(25-26八上·江苏镇江扬中·期中)如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【典例3】(25-26八上·广东广州海珠区琶洲实验学校·期中)如图，已知，平分，若，则的长为________．    【典例4】(25-26八上·湖南邵阳新邵广益世才学校·期中)如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交，于点，，若，则_____． 【典例5】(25-26七下·吉林长春外国语学校·期中)如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④若则其中所有正确结论的序号有________． 【典例6】(25-26七下·吉林长春九台区第三十一中学·期中)如图，在中，是直角，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的是________． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④； ⑤的周长比的周长小7． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 【模型提炼与证明】 角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时候能起到事半功倍的良好效果。 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3， ∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3， ∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型 条件：如图，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。 结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于， ， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 【模型运用】 【典例1】在中，，、分别是的平分线、相交于点． (1)如图，若是直角， 求证：； 过点作于，于．请写出与之间的数量关系，并证明． (2)如图，若不是直角，判断（1）中所得结论是否还成立，并说明理由． 【典例2】(25-26七下·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中)如图，中，已知是的高，点E是边上一点． (1)若是的角平分线，，，分别求和的度数． (2)若是的中线，和的面积相等吗？为什么？ 【典例3】如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 【典例4】(九上·甘肃天水甘谷县第五中学·)在中，已知是的角平分线，求证：． 模型拓展 1.“角平分线+平行线”“角平分线+垂线”是角平分线两大经典构造，统称“角平分线两大等腰构造”； 2.角平分线第二定理可拓展为外角平分线分对边成比例，推导逻辑一致； 3.三类模型均实现了“角等→边等/边比”的转化，是倒角到边关系的桥梁。 模型常见易错点 1. 易错点：平行线位置判断错误，找错等腰三角形的腰 错因分析：内错角、同位角对应关系不清，等角找错。 避坑指南：沿着角平分线和平行线找相等的角，两个等角共边即为腰。 2. 易错点：角平分线遇垂直不会延长补全等腰 错因分析：只看局部直角，想不到补全三角形用三线合一。 避坑指南：看到“角平分线+垂直”，第一反应延长垂线，构造等腰。 3. 易错点：角平分线第二定理比例对应关系记反 错因分析：分对边的线段与邻边对应关系混乱。 避坑指南：左对左、右对右，BD对应AB，DC对应AC。 模型小结 1. 核心口诀：角分平，等腰成；角分垂，等腰归；角分线，对边比； 2. 角平分线辅助线两大方向：作平行构等腰、作垂直/延长构等腰； 3. 比例问题优先想第二定理，面积法是推导核心，无需死记比例； 4. 三大模型均是“角条件→边条件”的转化工具，是全等、等腰的重要铺垫。 1．(25-26九上·陕西榆林定边县·期中)如图，在中，E是边上一点，连接，，的平分线交于点D，交于点E．已知，，，则的长为（   ） A． B．7 C． D．6 2．(25-26九·安徽合肥行知中学·月考)如图，在中，的平分线为，交于点E，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26八上·广东广州育才教育集团·期中)如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，在中，点D，E分别是边的中点，的平分线交于点F．连接，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．(2026山东中考)如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．(25-26七·陕西师范大学附属中学·期中)如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 7．(25-26七·陕西西安高新第一中学·期中)如图，在中，，，，分别是的中线、高和角平分线，交于点，交于点，．则下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 8．如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，连接，则下列结论：①平分；②三角形与三角形的面积相等；③与互余的角有3个；④若，则．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中， 分别是的中点，平分，交 于点 ， ，，则的长为________． 11．(25-26八下·上海复旦大学第二附属学校·)如图，已知在中，平分交于点，交于点，，．则的长为________． 12．(25-26七·上海杨浦区·期末)如图，等边中，的平分线与的平分线交于点，过点作，分别交边、于点D、E．如果，那么的周长________． 13．(25-26八·山西临汾侯马·期末)如图，在平行四边形中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，，，则的长为______． 14．(25-26七下·吉林长春南关区·期末)如图，在中，，于点D，点F是边的中点，平分分别交于点G、点E，连接BF．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 15．(25-26八下·四川成都天府新区·期末)如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交的延长线于点；④连接．若，，，则的长为__________． 16．(25-26八上·新疆乌鲁木齐126中学·期末)如图，在中，，于．    (1)求证：； (2)分别交、于、，若，求证：平分． 17．(25-26七上·湖南长沙雅礼雨花中学等校·期末)填写推理理由，将过程补充完整： 如图，已知于点，于点，．求证：平分． 证明：（已知）， （垂直的定义）． __________（____________________）． _____（____________________）， _____（____________________） 又（已知）， ____________________． 平分． 18．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 19．(25-26八上·河北廊坊安次区·期中)如图，在中，，是的平分线，，交于点． (1)图中一定是等腰三角形的有______个； (2)若，求证：是等边三角形． 20．如图，在中，，分别是，的平分线，过点O，且，分别交，于点M，N．那么，图中有几个等腰三角形？请写出来，并指出各等腰三角形的腰． 21．如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 22．(25-26八上·吉林辽源局直初中·期末)某节数学课开展“仅用无刻度直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下： (1)图1所示的作图方法的依据是__________________．图2所示的作图方法所依据的等腰三角形的性质为__________________． (2)在图3或图4中任选一个，填写已知条件，并给出完整的证明过程．下面就图______进行证明（请务必写清所证图形序号）． 已知：______＝______，______＝______． 求证：平分． 证明： 23．(25-26八上·山西太原阳曲县龙城双语学校·期中)如图，在中，，于点． (1)若平分且分别交，于点E，F，求证：． (2)若，，求和的长． 24．(2026·山东省威海市·模拟)课本再现 （1）如图1，是的外角，平分，，则　　　　．（填“”“”或“”） 类比迁移 （2）如图2，在中，是的一条角平分线，过点D作交于点E，求证：． 拓展运用 （3）如图3，在中，，O是角平分线上一点，延长至点M，使，过点M作交于点N，猜想与的数量关系，并进行证明． 25．如下图，在中，平分，平分，过点作，与，相交于点，．已知，的周长为24，求的周长． 26．(25-26八下·河南实验中学·期中)如图，在Rt中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，此时点恰好在的角平分线上． (1)求平移的距离； (2)求的周长． 27．(25-26七下·江苏宿迁宿豫区·期末)如图，在中，，交于点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若平分，且分别交，于点，．求证：． 28．(25-26七下·河南商丘柘城县·期末)如图，已知，，平分，证明： (1)； (2)． 29．(25-26七下·河南驻马店泌阳县·期末)已知如图，在中，点D，E分别在和上，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)在第（2）问的基础上，若平分，交于点F，则__________． 30．如图，已知：在中，D为边上一点，过点D作的平行线，交的平分线于点，交于点，为的中点，连接并延长，交于点． 求证： (1)； (2)． 31．(25-26八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·调研)如图，在中，，，平分交于点，连接，点，分别是，的中点，连接．求的长． 32．(25-26八·山西大同第一中学校北校·期中)如图，在矩形中，，，为边上一点，点为的中点，连接并延长，交于点N，若平分．求证： (1)； (2)求的长． 33．(25-26八下·四川成都温江区新世纪光华学校·月考)如图，在中，点O在上，过点O作，、分别是的内外角平分线，与分别交于E、F，求证：． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角形中的倒角模型之平分平行(射影)构等腰、角平分第二定理模型 角平分线是几何中最常见的条件之一，单一的角平分线往往需要结合其他条件构造特殊图形，而“角平分线+平行线”“角平分线+垂线”是两类最经典的等腰三角形构造模型，也是倒角与边等转化的核心工具。角平分线第二定理则从边的比例角度拓展了角平分线的性质，进一步完善了角平分线的知识体系。本专题就平分平行构等腰、角平分线第二定理模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化单纯角度计算，强化“角平分线+X”的组合构造，多以“角平分线+平行线出等腰、角平分线+垂线构三线合一”形式出题，常与等腰三角形、全等三角形结合考查证明与计算。 推导逻辑：角平分线给等角，平行线/垂线转等角，等角对等边构等腰，面积法推导第二定理，拒绝机械记忆。 核心素养目标： 1.掌握“角平分线+平行线/垂线”构造等腰的方法，能快速识别模型并应用； 2.理解角平分线第二定理的面积法推导，能利用定理解决比例与长度问题； 3.培养构造辅助线、转化边角关系的几何思维。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 模型拓展 16 【易错总结】 16 【模型运用】 17 基于角平分线定义、平行线的性质（内错角相等、同位角相等）、等腰三角形判定（等角对等边），通过角平分线与平行线、垂线的组合，实现“角等→边等”的转化，衍生出两类等腰构造模型，合称“角平分线两大等腰构造”，是几何构造辅助线的经典基础模型。角平分线第二定理又称角平分线定理，最早记载于欧几里得《几何原本》，八年级阶段通过面积法即可推导，无需相似知识，是角平分线从“角性质”向“边性质”延伸的核心结论。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： · 角平分线定义：平分一个角的射线，分原角为两个相等的角； · 平行线的性质：两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补； · 等腰三角形判定：等角对等边，有两个角相等的三角形是等腰三角形； · 三角形面积公式：； · 全等三角形ASA判定：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 【模型提炼与证明】 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形． 条件：如图，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3， ∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ， ∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。 结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC， ∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE， ∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N． 结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC， ∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM， ∴△BOM是等腰三角形。 同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 条件：如图，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE， ∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°， ∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE， ∴三角形CEF是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，先根据，，以及，分别平分，，得出，则，，则的周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长， 故选：A 【典例2】(25-26八上·江苏镇江扬中·期中)如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等，角平分线定义，等角对等边， 先根据平行线性质和角平分线定义得，进而得出 ，然后根据得出答案． 【详解】解：∵和的平分线交于点，F， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ． 故选：B． 【典例3】(25-26八上·广东广州海珠区琶洲实验学校·期中)如图，已知，平分，若，则的长为________．    【答案】3 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，三角形角平分线的定义，根据等角对等边证明边相等等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先利用平行线的性质证明，再根据角平分线的意义得出，从而可得，再根据等角对等边得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【典例4】(八上·湖南邵阳新邵广益世才学校·期中)如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交，于点，，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义和等腰三角形的判定及性质问题，由平行线的性质可得内错角，，再由角平分线的定义可得，，即，，进而可求的长． 【详解】解：， ，， 、分别平分与， ，， ，， 即，， ． 故答案为：． 【典例5】(25-26七下·吉林长春外国语学校·期中)如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④若则其中所有正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据中线的定义，利用等底等高的两个三角形面积相等即可判断；对于②，利用角平分线的定义及等角的余角相等证明，结合对顶角相等推导出；对于③，将转化为，分析等式成立的条件；对于④，根据三角形内角和定理计算角度． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴ ， 故①正确； ∵ 是角平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故②正确； ∵ 且， ∴ ， 若， 则， 即， 根据已知条件不能推出， 故③不符合题意； ∵ 且， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故④正确． 【点睛】本题考查了三角形中线性质、角平分线定义、直角三角形性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形中线性质、角平分线定义、直角三角形性质及三角形内角和定理是解题的关键． 【典例6】(25-26七下·吉林长春九台区第三十一中学·期中)如图，在中，是直角，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的是________． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④； ⑤的周长比的周长小7． 【答案】①②③ 【分析】①利用三角形的中线，可知和是等底同高的两个三角形，即可判断；②根据同角、等角的余角相等证明，再利用角平分线的定义即可判断；由三角形内角和定理、三角形的外角性质即可判断③；由三角形的面积公式即可得到的长判断④；由中线的性质的周长与的周长的差等于判断⑤． 【详解】解：∵是中线， ∴． ． 故①正确． ， ． ， ． ． 平分， ． ． 故②正确． ， ， ，． ． 平分， ． ，， ． 故③正确． ， ． 故④错误． ， ∴的周长比的周长小6． 故⑤错误． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 【模型提炼与证明】 角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时候能起到事半功倍的良好效果。 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3， ∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3， ∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型 条件：如图，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。 结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于， ， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 【模型运用】 【典例1】在中，，、分别是的平分线、相交于点． (1)如图，若是直角， 求证：； 过点作于，于．请写出与之间的数量关系，并证明． (2)如图，若不是直角，判断（1）中所得结论是否还成立，并说明理由． 【答案】(1)证明：，， ， 、分别是的平分线， ，， ，， ． 解：， 证明：过点作于点， 、分别是的平分线， 于，于 ，， ， 又，， ， ． (2)解：（1）中所得结论仍然成立， 理由如下： 、分别是的平分线， ，， ， 过点作于.作于，连接， 同（1）可得，，是的平分线， ， ， ， 又， ， ． 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质，即可证得结论；过点作于点，由角平分线的性质，等量代换可得，可证明，即可得与之间的数量关系； （2）由角平分线的定义，结合三角形的内角和定理，可得，过点作于.作于，连接，同（1）可得，，是的平分线，可得，证明，即可求解． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形． 【典例2】(25-26七下·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中)如图，中，已知是的高，点E是边上一点． (1)若是的角平分线，，，分别求和的度数． (2)若是的中线，和的面积相等吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)相等，见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理先求出，再由三角形内角和定理求解； （2）根据三角形的中线等分面积即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高 ∴ ∵ ∴, ∵，是的角平分线 ∴ ∴； （2）解：和的面积相等，理由如下： ∵是的中线， ∴ ∵是的高 ∴， ∴． 【典例3】如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． (2)15 【分析】（1）先推导出，证明出，得到，则平分，即可解答； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 【典例4】(九上·甘肃天水甘谷县第五中学·)在中，已知是的角平分线，求证：． 【答案】证明：如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可证，根据平行线分线段成比例定理可证结论成立． 模型拓展 1.“角平分线+平行线”“角平分线+垂线”是角平分线两大经典构造，统称“角平分线两大等腰构造”； 2.角平分线第二定理可拓展为外角平分线分对边成比例，推导逻辑一致； 3.三类模型均实现了“角等→边等/边比”的转化，是倒角到边关系的桥梁。 模型常见易错点 1. 易错点：平行线位置判断错误，找错等腰三角形的腰 错因分析：内错角、同位角对应关系不清，等角找错。 避坑指南：沿着角平分线和平行线找相等的角，两个等角共边即为腰。 2. 易错点：角平分线遇垂直不会延长补全等腰 错因分析：只看局部直角，想不到补全三角形用三线合一。 避坑指南：看到“角平分线+垂直”，第一反应延长垂线，构造等腰。 3. 易错点：角平分线第二定理比例对应关系记反 错因分析：分对边的线段与邻边对应关系混乱。 避坑指南：左对左、右对右，BD对应AB，DC对应AC。 模型小结 1. 核心口诀：角分平，等腰成；角分垂，等腰归；角分线，对边比； 2. 角平分线辅助线两大方向：作平行构等腰、作垂直/延长构等腰； 3. 比例问题优先想第二定理，面积法是推导核心，无需死记比例； 4. 三大模型均是“角条件→边条件”的转化工具，是全等、等腰的重要铺垫。 1．(25-26九上·陕西榆林定边县·期中)如图，在中，E是边上一点，连接，，的平分线交于点D，交于点E．已知，，，则的长为（   ） A． B．7 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．先证明，再列出比例求出的长． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故选：C． 2．(25-26九·安徽合肥行知中学·月考)如图，在中，的平分线为，交于点E，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与证明，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 通过，的平分线，可得，证明，从而得到进而即可求解． 【详解】解：∵是的平分线， ∴； 又∵， ∴； ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴四边形ABED的面积为 ， ∴， 故选B． 3．(25-26八上·广东广州育才教育集团·期中)如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由是高得到，根据直角三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，则有，可判断①；根据直角三角形的性质得到，，则有，可判断②；根据中线的性质可判断③；根据三角形的面积公式可判断⑤；由题意无法证明，可判断④，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵是中线， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故⑤正确； 由题意无法证明，故④不正确； ∴综上所述，结论正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 4．如图，在中，点D，E分别是边的中点，的平分线交于点F．连接，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理求出，接着证明是等腰三角形，求出，然后根据即可求解． 【详解】解：点D，E分别是边的中点， 是的中位线． ， ，， 又为的平分线， ． ． ． 5．(2026山东中考)如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 6．(25-26七·陕西师范大学附属中学·期中)如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①三角形的中线将三角形分成等底等高、面积相等的两部分，故； ②根据直角三角形的面积公式，用面积法可算出斜边上的高； ③通过“同角的余角相等”和“对顶角相等”，可推出； ④利用“同角的余角相等”和角平分线，可推出等于，即． 【详解】解：① 是中线， ， 等底等高的两个三角形面积相等， ，正确； ② ，，，，是边上的高， ， ， 解得，正确； ③ ，， ，， 平分， ， ， ， ，正确； ④ ，， ，， ， ， ，正确． 综上，正确的说法有个． 7．(25-26七·陕西西安高新第一中学·期中)如图，在中，，，，分别是的中线、高和角平分线，交于点，交于点，．则下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据三角形的中线、高和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等，相似三角形的判定与性质，以及等量代换，进行解答即可． 【详解】解： 是的中线， ． ， ，故①正确； 是的高， ， ． ， ． 又， ， ， ，故③正确； 是的高，是的角平分线， ，， ， ． ， ， ． 又 ， ，故④正确； 由已知条件，无法得到， 综上，一定正确的是①③④． 故选：A． 8．如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，连接，则下列结论：①平分；②三角形与三角形的面积相等；③与互余的角有3个；④若，则．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得到，再根据垂直的定义证明，则①正确；根据同底等高证明三角形面积相等，②正确；证明，再根据，即可得到与互余的角有个，③错误；证明以及外角的定义证明④正确． 【详解】解： ， ， ， 平分， ， 平分；①正确； 过点作交的延长线为点，过点作， ， ， ， ，②正确； 平分， 平分， 故与互余的角有个，③错误； ， ， ， ， ， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ，④正确． 9．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得平分，再根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得平分， ，选项A不符合题意； ， ， ， ， ， ，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ， ，选项D符合题意． 10．如图，在中， 分别是的中点，平分，交 于点 ， ，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】通过三角形中位线定理推出，，借助角平分线这个条件证出，从而通过等量代换求出的长． 【详解】解：∵分别是中点，， ∴是的中位线， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 11．(25-26八下·上海复旦大学第二附属学校·)如图，已知在中，平分交于点，交于点，，．则的长为________． 【答案】8 【分析】利用已知条件可得，设，利用得出比例式，依据比例式列出方程即可求解． 【详解】解：平分， ． ， ， ， ． ， ． ． ，，， ． 解得． 12．(25-26七·上海杨浦区·期末)如图，等边中，的平分线与的平分线交于点，过点作，分别交边、于点D、E．如果，那么的周长________． 【答案】12 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，进而根据等角对等边证得，，最后将的周长转化为进行计算． 【详解】解：是等边三角形， ， 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， 的周长 ． 13．(25-26八·山西临汾侯马·期末)如图，在平行四边形中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】如图：过点作交于，交于，由平行四边形的性质和判定可得，，可得，即，再根据、的平分线、分别与相交点、，，得，，从而得到，由三线合一可得，，再根据勾股定理求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 即：， ， 平分， ，， ， ， ， 在直角三角形中， 由勾股定理得：, ． 【点睛】作出，利用“角平分线+平行线得到相等线段”，再根据“三线合一”求出，是解决本题的关键． 14．(25-26七下·吉林长春南关区·期末)如图，在中，，于点D，点F是边的中点，平分分别交于点G、点E，连接BF．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②④ 【分析】①利用三角形中线的性质即可判断①；②运用等面积法即可判断②；利用三角形外角的性质以及作差法即可判断③；先利用同角的余角相等可得，再结合角平分线的定义即可判断④． 【详解】解：∵点F是边的中点， ∴，即①正确； ∵在中，，于点D， ∴，即，即②正确； ∵， ∴， ∵无法判断的正负， ∴无法判断的大小关系，即③错误； ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即④正确． 综上，正确的结论有①②④． 15．(25-26八下·四川成都天府新区·期末)如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交的延长线于点；④连接．若，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】如图所示，连接，设与相交于点，由作图过程可知，为的平分线，结合平行四边形的性质可得为等边三角形，则，可得，则为等腰三角形，可得，，，根据题意可得四边形为平行四边形，则可得． 【详解】解：如图所示，连接，设与相交于点， 由作图过程可知，为的平分线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴由勾股定理，得， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 16．(25-26八上·新疆乌鲁木齐126中学·期末)如图，在中，，于．    (1)求证：； (2)分别交、于、，若，求证：平分． 【答案】(1) 证明：，于， ，， ； (2) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，等边对等角． （1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据等边对等角可得，根据对顶角相等得出，即可得出，进而根据等角的余角相等，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 17．(25-26七上·湖南长沙雅礼雨花中学等校·期末)填写推理理由，将过程补充完整： 如图，已知于点，于点，．求证：平分． 证明：（已知）， （垂直的定义）． __________（____________________）． _____（____________________）， _____（____________________） 又（已知）， ____________________． 平分． 【答案】 ；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；； 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识．根据得到，即可证明，从而得到，，结合证明，即可证明平分． 18．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 【答案】解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ， ，． ． ． 是等腰三角形． 【分析】由平分，得；由，根据平行线的同位角、内错角相等，得，．等量代换得，由等角对等边得，故是等腰三角形． 【详解】略 19．(25-26八上·河北廊坊安次区·期中)如图，在中，，是的平分线，，交于点． (1)图中一定是等腰三角形的有______个； (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)3 (2) 证明：， ， 又平分，， ， ． 由三角形的内角等于，得， ， ，， ， 是等边三角形． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用平行线的性质得出内错角相等和同位角相等，利用角平分线的性质得出相等的角，然后根据等腰三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据角平分线的性质求出的度数，然后根据等边对等角以及平行线的性质求出相关角的度数，根据三角内角相等的三角形是等边三角形进行判断即可． 【详解】（1）解：一共有3个，证明如下： ①∵， ∴为等腰三角形； ②∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 故答案为：3； （2）略 20．如图，在中，，分别是，的平分线，过点O，且，分别交，于点M，N．那么，图中有几个等腰三角形？请写出来，并指出各等腰三角形的腰． 【答案】是等腰三角形，腰为、；是等腰三角形，腰为、． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据角平分线的性质，可得，，根据平行线的性质，可得，，等量代换得出，，根据等腰三角形的判定，可得答案． 【详解】解：图中有2个等腰三角形：等腰三角形，腰为、；等腰三角形，腰为、；理由如下： ，分别是，的平分线， ，， ， ，， ，， ，， 是等腰三角形，腰为、；是等腰三角形，腰为、． 21．如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：平分交于点， ， ， ， ， ∴为等腰三角形； (2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，进而即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的中点，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 22．(25-26八上·吉林辽源局直初中·期末)某节数学课开展“仅用无刻度直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下： (1)图1所示的作图方法的依据是__________________．图2所示的作图方法所依据的等腰三角形的性质为__________________． (2)在图3或图4中任选一个，填写已知条件，并给出完整的证明过程．下面就图______进行证明（请务必写清所证图形序号）． 已知：______＝______，______＝______． 求证：平分． 证明： 【答案】(1)三边分别相等的两个三角形全等（或），等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线和中线互相重合（或三线合一） (2) 选择图3 已知，． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 故答案为：图3，，； 选择图4 已知，． 证明：∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴平分． 故答案为：图4，，． 【分析】（1）根据图1、2所示的作图方法，得出作图的依据； （2）选择图3，先证明，从而可根据平行线的性质得出，再根据等边对等角得出，从而可得，于是有OP平分；选择图4，先证明，从而可得，再证明，从而可得，于是可证明，从而可得，于是有OP平分成立． 【详解】（1）解：图1所示的作图方法的依据是三边分别相等的两个三角形全等（或），图2所示的作图方法所依据的等腰三角形的性质为等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线和中线互相重合（或三线合一）， 故答案为：三边分别相等的两个三角形全等（或），等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线和中线互相重合（或三线合一）； （2）略 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，用证明三角形全等（），全等的性质和（）综合（或者）全等的性质和综合（），三线合一，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 23．(25-26八上·山西太原阳曲县龙城双语学校·期中)如图，在中，，于点． (1)若平分且分别交，于点E，F，求证：． (2)若，，求和的长． 【答案】(1) ∵平分， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)， 【分析】本题考查了角平分线的定义，勾股定理，对顶角相等，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义，再证明，结合对顶角相等即可得证； （2）由勾股定理计算即可得出的值，再由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．(2026·山东省威海市·模拟)课本再现 （1）如图1，是的外角，平分，，则　　　　．（填“”“”或“”） 类比迁移 （2）如图2，在中，是的一条角平分线，过点D作交于点E，求证：． 拓展运用 （3）如图3，在中，，O是角平分线上一点，延长至点M，使，过点M作交于点N，猜想与的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）； （2）证明：平分， ． ， ， ， ； （3）， 证明如下，连接，，如图， 平分， ． ，， ， ，． ， ， ． ， ， ， ∵， ， ． 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，等量代换得，进而可证； （2）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，等量代换得，进而可证； （3）由角平分线的定义得，根据证明得，，然后证明即可得出． 【详解】解：（1）平分， ． ， ，， ， ． 故答案为：； （2）略 （3）略 25．如下图，在中，平分，平分，过点作，与，相交于点，．已知，的周长为24，求的周长． 【答案】38 【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质可证、是等腰三角形，即可得 ，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换可得：，即可解答． 【详解】解：平分，平分， ，． ， ，， ，， ，， ， 即， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 26．(25-26八下·河南实验中学·期中)如图，在Rt中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，此时点恰好在的角平分线上． (1)求平移的距离； (2)求的周长． 【答案】(1)平移的距离是； (2)的周长为． 【分析】（1）过点作于点，则 ，由角平分线的性质，可得 ，证明，可得 ， ，由勾股定理可得，设 ，则 ，由勾股定理可得，即可得平移的距离； （2）由角平分线的定义可得，由平移，结合平行线的性质，可得，由等角对等边可得，即可得的周长． 【详解】（1）解：过点作于点，则 ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， 设 ，则 ， 在Rt中，， ， 解得， ， 平移的距离是． （2）解：平分， ， 由平移得， ， ， ， 由（1）得，， ， ∴ 的周长为． 27．(25-26七下·江苏宿迁宿豫区·期末)如图，在中，，交于点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若平分，且分别交，于点，．求证：． 【答案】(1)解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据，，结合，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，结合，利用三角形外角的性质得到，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 28．(25-26七下·河南商丘柘城县·期末)如图，已知，，平分，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：平分， ． ， ， ； (2)证明：由（1）得， ， ， ， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再结合角度的关系可得，根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）由平行的性质可得，进而得到，根据同位角相等，两直线平行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 29．(25-26七下·河南驻马店泌阳县·期末)已知如图，在中，点D，E分别在和上，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)在第（2）问的基础上，若平分，交于点F，则__________． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再结合已知条件，通过等量代换得到，最后根据平行线的判定定理即可证明； （2）先根据角平分线的定义，三角形内角和定理和已知条件求出的度数，再根据平行线的性质求出和的度数，最后利用角的和差关系求出的度数； （3）利用角平分线的定义结合已知条件求出的度数，再由，根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， 在中，， 解得， ∵， ∴，， ∴． （3）解：如图，作的角平分线交于点F， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， 30．如图，已知：在中，D为边上一点，过点D作的平行线，交的平分线于点，交于点，为的中点，连接并延长，交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：， （两直线平行，内错角相等）， 平分， ， ， ； (2)证明： 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义可得，进而得到； （2）先证，得到，再根据边的关系即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 31．(25-26八下·湖北恩施土家族苗族巴东县·调研)如图，在中，，，平分交于点，连接，点，分别是，的中点，连接．求的长． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质推出，长度，结合平行线的性质推出，利用角平分线的定义通过等量代换求出，从而判断为等腰三角形，求出长度，即可求出长度，最后利用中位线定理即可求出长度． 【详解】解：为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ． 点，分别是，的中点， 是的中位线， ． 32．(25-26八·山西大同第一中学校北校·期中)如图，在矩形中，，，为边上一点，点为的中点，连接并延长，交于点N，若平分．求证： (1)； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵点为的中点， ， ∵四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）根据矩形和平行线的性质可证明，即可证明． （2）根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，进而得出，，结合勾股定理可得，代入，求得． 【详解】（1）略 （2）解：平分，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 在中，，， 即， 解得． 33．(25-26八下·四川成都温江区新世纪光华学校·月考)如图，在中，点O在上，过点O作，、分别是的内外角平分线，与分别交于E、F，求证：． 【分析】由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，，从而得出，，即可得证． 【详解】证明：设点为延长线上的点， ∵、分别是的内外角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $