专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 三角形中的倒角模型是考试中经常出现的题型，尤其是在压轴题中，该模型主要考查的有高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角和定理等）；对于初学者来说，设角的未知数，再通过设的角表示其他角，就可以搭建关联角之间关系的桥梁；本专题主要讲解双角平分线模型，可以帮助学生快速得到角的关系，求出所需的角，运用结论做题，事半功倍，但需要注意特殊题型要特殊分析。 1 模型趣事 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到24-25世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2024·山西临汾·模拟预测）阅读下面内容，并解答问题． 探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律 在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果． 规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半． 规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半． 如图，已知点是的内角平分线与的交点，点是的外角平分线与的交点．则，． 证明：规律1，∵，是的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ∴． 规律2，∵，， ∴． ∴． 请解决以下问题： （1）写出上述证明过程中依据的一个定理：______； （2）如图，已知点是的内角平分线与的外角平分线的交点，试探究和的数量关系？并说明理由． （2023·江苏常州·模拟预测）如图①，在中，与的平分线相交于点P．    (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系． (3)如图③，延长线段、交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，已知两个内角的角平分线交于点D，两个内角的平分线交于点E，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）如图，中，与的角平分线相交于点I．，则为（　　） A． B． C． D． 例3（2024九年级·北京·专题练习）如图，、是任意中、的角平分线，可知，把图中的变成图中的四边形，，仍然是，的平分线，猜想与、的数量关系是 ． 例4（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若，是高，求的度数； (2)若，是角平分线，求的度数． 例5（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，的角平分线和交于点I，记． (1)当时，则_______； (2)求的度数（用含的式子表示）； (3)如图2，若和的角平分线交于点G，则_______（用含的式子表示）． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 例2（24-25八年级上·福建厦门·期中）综合与实践 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； *请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至．已知的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知． 例3（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）[习题回顾]如图1，在中，角平分线、交于点O．求的度数． （1）若，请直接写出________°． [变式思考] （2）试猜想与的数量关系，并说明理由； [拓展延伸] （3）如图2，在中，角平分线、交于点O，，交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若，求和的度数． 例4（2024七年级下·上海·专题练习）如图1，、的角平分线、相交于点， (1)如果，那么的度数是多少，试说明理由； (2)如图2，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出的度数； (3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示（直接写出答案） 解：（1）结论： 度．说理如下：因为、平分和（已知）， 所以， ． 因为 ， ，（完成以下说理过程） 例5（23-24八年级上·广东湛江·期中）如果两个角的差等于，就称这两个角互为“兄弟角”．其中一个角叫做另一个角的“兄弟角”．例如，，，则和互为“兄弟角”，即是的“兄弟角”，也是的“兄弟角”．    (1)已知和互为“兄弟角”．，且和互补，求的度数． (2)在中，，是的角平分线， ①如图1，点在射线上，平分，与射线交于点，若与互为“兄弟角”，且，求的度数． ②如图2，若，射线平分且与射线交于点，若与互为“兄弟角”，且，求的度数． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 例2（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    例3（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1−图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； (2)在（1）的条件下，如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (3)如图5，中，的三等分线分别与的角平分线交于点，，若，，则的度数为 ． 例4（24-25八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，，求的度数（用含α的式子表示）． (2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 例5（23-24七年级下·四川乐山·期末）在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 1．（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，是的角平分线，且，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）如图，，的角平分线交于点P，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，和的角平分线交于点，延长BO与的外角平分线交于点，若，则 ． 4．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，点P是的外角和的角平分线的交点，若，则    5．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，在中，与的角平分线交于点O． （1）若，则 ． （2）若，则 ． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），连接交于点． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 7．（24-25八年级上·辽宁辽阳·开学考试）已知：如图1，在中，和的平分线相交于点P． (1)若，求的度数； (2)设（n为已知数），则的度数______； (3)如图2，在中，的三等分线与的角平分线分别交于点D、E，若，，则______°； (4)如图3，在中，和的三等分线交于点E、D，若，，则_______°． 8．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）某数学兴趣小组对“三角形内（外）角平分线形成的夹角与第三个内角之间的数量关系”进行了探究． (1)如图（1），在中，与的平分线交于点，若，则______； (2)如图（2），的内角的平分线与的外角的平分线交于点．若，则______（用含的式子表示）； (3)如图（3），的两外角与的平分线交于点．请写出与之间的数量关系，并说明理由． 9．（23-24七年级下·吉林长春·期中）教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页部分内容． 如图，在中，，，平分，平分，求的度数．   解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得________°． ∵（               ）， ∴（等式的性质） ________ ________． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 问题推广： （2）如图，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则________度． （3）如图，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则________度． 10．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． 模型探究 （1）如图1，在规形中，请探究之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （2）应用（1）中探究的结论解决下列问题： ①如图2，在规形中， 与的角平分线交于点E，若，则的度数是_________； ②如图3，在规形中，若的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 11．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】如图①，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，，则________；（直接写出答案） （2）若，求出的度数； （3）写出与之间的关系并证明； 【拓展】 （4）如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 12．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）综合与探究 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整． ，分别是和的平分线， ，． ， ， …… 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 13．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 14．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 15．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：． 性质理解： （1）如图1，在“对顶三角形”与中，则，则　　°． 性质应用： （2）如图2，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数． 拓展提高： （3）如图3，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，请尝试求出的度数（用含的式了表示）． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 17．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数； ②直接写出与的数量关系． 18．（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）已知，． (1)如图1，若垂足为点F，，则______． (2)如图2，的角平分线交于点H，若，则_____． (3)如图2，的角平分线交于点H，若，，则_____．（用，的代数式表示）． (4)如图3，在图2的基础上，、分别平分和，若，则_____．（用含有的代数式表示） 19．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角的角平分线交于点，试探索之间的数量关系． (3)如图③，延长线段、交点中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数． 20．（23-24七年级下·河北唐山·期末）的两条角平分线、相交于点 I． (1)如图1： ①若求 的度数； ②若直接写出 °(用含β的式子表示)； (2)如图2，连接， 平分，作分别交、于点D、E．你发现与一定相等的角有 ； 与一定相等的角有 ． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 三角形中的倒角模型是考试中经常出现的题型，尤其是在压轴题中，该模型主要考查的有高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角和定理等）；对于初学者来说，设角的未知数，再通过设的角表示其他角，就可以搭建关联角之间关系的桥梁；本专题主要讲解双角平分线模型，可以帮助学生快速得到角的关系，求出所需的角，运用结论做题，事半功倍，但需要注意特殊题型要特殊分析。 1 模型趣事 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到24-25世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2024·山西临汾·模拟预测）阅读下面内容，并解答问题． 探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律 在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果． 规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半． 规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半． 如图，已知点是的内角平分线与的交点，点是的外角平分线与的交点．则，． 证明：规律1，∵，是的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ∴． 规律2，∵，， ∴． ∴． 请解决以下问题： （1）写出上述证明过程中依据的一个定理：______； （2）如图，已知点是的内角平分线与的外角平分线的交点，试探究和的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）三角形内角和定理；（2），见解析 【分析】（1）根据题意直接进行解答即可； （2）由题意易得，，然后根据三角形内角和及外角的性质可进行求解． 【详解】解：（1）答案不唯一，如三角形内角和定理或者三角形的内角和等于180°或者三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）． 理由如下： ∵，平分和， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形角平分线、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形角平分线、三角形内角和及外角的性质是解题的关键． （2023·江苏常州·模拟预测）如图①，在中，与的平分线相交于点P．    (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系． (3)如图③，延长线段、交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，已知两个内角的角平分线交于点D，两个内角的平分线交于点E，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，解答的关键是对结合图形分析清楚各角之间的关系．由三角形的内角和可求得，再由角平分线的定义可得，，，，从而可求得，，则有，再利用三角形的内角和即可求． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 平分，平分， ，， ，， ， ． 故选：A． 例2（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）如图，中，与的角平分线相交于点I．，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用角平分线的性质得，再根据得，所以求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点I， ∴，即，解之得：， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系进行求解． 例3（2024九年级·北京·专题练习）如图，、是任意中、的角平分线，可知，把图中的变成图中的四边形，，仍然是，的平分线，猜想与、的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的计算，解决此题的时候，注意构造三角形，直接运用已知的结论，再进一步利用三角形的外角的性质进行转换．延长、相交于点．根据已知的结论，得．结合三角形的外角的性质，得，再进一步代入化简即可． 【详解】解：延长、相交于点． 根据已知的结论，得． 又． ． 即． 故答案为： 例4（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若，是高，求的度数； (2)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形高的定义． （1）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （2）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：是的高， ， ，是的角平分线， ， ； （2）解：， ， 、是的角平分线， ，， ， ． 例5（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，的角平分线和交于点I，记． (1)当时，则_______； (2)求的度数（用含的式子表示）； (3)如图2，若和的角平分线交于点G，则_______（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关系的三角形内角和问题： （1）根据三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得，据此根据三角形内角和定理求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）由角平分线的定义得到，进而根据角平分线的定义得到，则可推出，再同（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的角平分线和交于点I， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵的角平分线和交于点I， ∴， ∴， ∴； （3）解；∵， ∴， ∵的角平分线和交于点I， ∴， ∵和的角平分线交于点G， ∴， ∴ ∴， ∴． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 例2（24-25八年级上·福建厦门·期中）综合与实践 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； *请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至．已知的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出，再推导出，进而可以求解 （3）延长，交于点M，延长、交于点N，可得，进而即可求解 【详解】解：（1）如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点 ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴， ∴； ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N， 如图所示， ∵、平分 ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． 例3（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）[习题回顾]如图1，在中，角平分线、交于点O．求的度数． （1）若，请直接写出________°． [变式思考] （2）试猜想与的数量关系，并说明理由； [拓展延伸] （3）如图2，在中，角平分线、交于点O，，交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若，求和的度数． 【答案】（1）110 （2），理由见解析 （3）， 【分析】本题考查了双角平分线模型，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线性质，推理出各个角之间的关系是本题的关键． （1）利用三角形内角和和角平分线性质，可求得角度； （2）同（1）利用三角形内角和和角平分线性质得到相应角的关系，可求得角度的关系； （3）利用三角形外角的性质和角平分线性质即可求解． 【详解】解：（1）， ， 、分别平分、， ，， ， ， 解：（2）、分别平分、， ， ， ； ， 即； （3）为的外角， ， ， 、分别平分、， ，， 为的外角， ， ， ， ， ， 即， 由（2）知， ， ， ， ， ， ． 例4（2024七年级下·上海·专题练习）如图1，、的角平分线、相交于点， (1)如果，那么的度数是多少，试说明理由； (2)如图2，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出的度数； (3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示（直接写出答案） 解：（1）结论： 度．说理如下：因为、平分和（已知）， 所以， ． 因为 ， ，（完成以下说理过程） 【答案】(1)34；角平分线的定义；；；理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确解决（1），读懂题意是关键． （1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解； （2）根据（1）的解法即可直接求解； （3）利用（1）（2）的结论求解． 【详解】（1）解：结论：．理由如下： 因为、平分和（已知）， 所以，  角平分线的意义  ． 因为，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 所以， 因为， 所以， 故答案为：34；角平分线的定义；；； （2）解：∵、平分和（已知）， ∴，  角平分线的意义  ． ∵，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴， ∵， ∴． （3）解：由(1)(2)得， 设，， ∴， ， ， ∴． 例5（23-24八年级上·广东湛江·期中）如果两个角的差等于，就称这两个角互为“兄弟角”．其中一个角叫做另一个角的“兄弟角”．例如，，，则和互为“兄弟角”，即是的“兄弟角”，也是的“兄弟角”．    (1)已知和互为“兄弟角”．，且和互补，求的度数． (2)在中，，是的角平分线， ①如图1，点在射线上，平分，与射线交于点，若与互为“兄弟角”，且，求的度数． ②如图2，若，射线平分且与射线交于点，若与互为“兄弟角”，且，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2)①；②． 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和平行线的性质等知识，解题的关键是能够根据条件找出角与角之间的数量关系． （1）根据和互为“兄弟角”，且和互补，列出方程组，求解即可； （2）①根据已知条件求出，，再根据三角形内角和定理和“兄弟角”即可求解； ②先求出已知条件和三角形内角和定理求出，再根据与互为“兄弟角”，即可求解． 【详解】（1） 解：∵和互为“兄弟角”，，且和互补， ∴， 解得：， ∴的度数为； （2）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴①， ∵与互为“兄弟角”，， ∴②， 得：， 把代入②得：； ②∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与互为“兄弟角”， ∴， ∴． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①，②的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论； 【详解】（1）解：； ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ； （3）解：①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 例2（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    【答案】探究一：（1）122；（2）55；探究二：，证明见解析 【分析】探究一：（1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据三角形的内角和定理求出，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； 探究二：先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：探究一：（1）∵在中，， ∴， ∵，分别是两个内角，的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：122； （2）∵在中，， ∴， ∴， ∵，分别是两个外角，的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：55； 探究二：，证明如下： ∵在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴． 例3（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1−图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； (2)在（1）的条件下，如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (3)如图5，中，的三等分线分别与的角平分线交于点，，若，，则的度数为 ． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识： （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 熟练掌握三角形内角和定理，以及熟悉常考的基本图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； 如图2，    ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； 如图3，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； （2）如图4，    ∵，的三等分线交于点， ∴， ∵平分，平分，平分 ∴ ∴ ∴； （3）如图5    ∵，， ∴ ∵的三等分线分别与的平分线交于点，， ∴，， ∴ ∴ ∴． 例4（24-25八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，，求的度数（用含α的式子表示）． (2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键． （1）首先根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线的定义，得出，再由三角形的外角的性质得出，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义，可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】（1）解： O是与的平分线和的交点， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： O是与外角的平分线和的交点， ， 是的一外角， ， ， 是的一外角， ； （3）解：，理由如下： O是外角与外角的平分线和的交点， ， ， ， ， ． 例5（23-24七年级下·四川乐山·期末）在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； （4）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解∶（1） 平分，平分，，， ，， ， 故答案为：； （2） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （3） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （4）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 1．（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，是的角平分线，且，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理和的度数求得另外两个内角的和，利用角平分线的性质得到这两个角和的一半，用三角形内角和减去这两个角的一半即可． 【详解】解：∵， ， ∵、是的角平分线， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 2．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）如图，，的角平分线交于点P，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交于点．先利用三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，据此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点．    ∵是的外角，， ∴． ∵是的外角，， ∴， ∴， ． ∵，的角平分线交于点， ，， 设与相交于，则， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，和的角平分线交于点，延长BO与的外角平分线交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】由是的平分线，为的外角平分线，可得，，则，根据，可得，然后计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，为的外角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，点P是的外角和的角平分线的交点，若，则    【答案】/61度 【分析】根据三角形内角和公式可得，再根据角平分线定义可得，再运用三角形内角和定理即可解答； 【详解】， 又， ， ， 又分别是外角和的角平分线， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到三角形的内角和是 这一隐含的条件． 5．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，在中，与的角平分线交于点O． （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求解即可； （2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：（1），， ， 又、为与的角平分线， ， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， 又、为与的角平分线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），连接交于点． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【答案】(1)与的周长差为1 (2) 【分析】（1）根据三角形周长计算公式可得到与的周长差为：，再由三角形中线的定义得到，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）∵的周长为：，的周长为：， ∴与的周长差为：， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴，即与的周长差为1； （2）∵是的平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形中线和高，三角形的周长，三角形的内角和，角平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键． 7．（24-25八年级上·辽宁辽阳·开学考试）已知：如图1，在中，和的平分线相交于点P． (1)若，求的度数； (2)设（n为已知数），则的度数______； (3)如图2，在中，的三等分线与的角平分线分别交于点D、E，若，，则______°； (4)如图3，在中，和的三等分线交于点E、D，若，，则_______°． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是与角平分线，三等分线有关的内角和定理； （1）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理得，，则，整理得到，然后把代入计算即可； （2）把代入（1）中的结论即可； （3）由条件可得，，可得，再代入数据进一步可得答案； （4）由条件可得，，可得，再代入数据进一步可得答案； 【详解】（1）解：如图， ∵和的平分线相交于点P． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ 当时，； （2）解：由（1）得：当时，； （3）解：∵的三等分线与的角平分线分别交于点D、E， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （4）解：∵和的三等分线交于点E、D， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 8．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）某数学兴趣小组对“三角形内（外）角平分线形成的夹角与第三个内角之间的数量关系”进行了探究． (1)如图（1），在中，与的平分线交于点，若，则______； (2)如图（2），的内角的平分线与的外角的平分线交于点．若，则______（用含的式子表示）； (3)如图（3），的两外角与的平分线交于点．请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）根据三角形外角的性质和角平分线的定义，求出，，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，（角平分线的定义）， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）解：；理由如下： ∵与是的外角， ∴，， ∵，分别是与外角的平分线， ∴，． ∵， ∴， ． 9．（23-24七年级下·吉林长春·期中）教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页部分内容． 如图，在中，，，平分，平分，求的度数．   解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得________°． ∵（               ）， ∴（等式的性质） ________ ________． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 问题推广： （2）如图，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则________度． （3）如图，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则________度． 【答案】（1）25；三角形的内角和等于；；；（2）114；（3）49 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，继而得到，再由垂线的定义得到，则； 【详解】解：（1）∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 故答案为：，三角形内角和定理，，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 故答案为：； （3）平分，平分， ，， ，即，， ， ， ， 即， ； 故答案为：49； 10．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． 模型探究 （1）如图1，在规形中，请探究之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （2）应用（1）中探究的结论解决下列问题： ①如图2，在规形中， 与的角平分线交于点E，若，则的度数是_________； ②如图3，在规形中，若的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）① 115；②，理由见解析； 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，熟练运用三角形的外角性质以及角平分线性质是解题的关键． （1）连接，并延长到点E，根据三角形的外角性质得到，两式相加即得解； （2）① 由（1）知，结合角平分线性质，得到、，代入得到，再利用第（1）问结论可得，即可求解； ② 由（1）知，结合角平分线性质，得到，，利用三角形的外角性质得到，代入即可得解； 【详解】解：（1）， 理由：如图1，连接，并延长到点E， 则， ∴， 即； （2）① 由（1）知， ∵平分、平分， ∴、， ∴， ∴， 则； ② ， 理由：如图3， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， 即． 11．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】如图①，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，，则________；（直接写出答案） （2）若，求出的度数； （3）写出与之间的关系并证明； 【拓展】 （4）如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）；证明见解析；（4） 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理求解； （3）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （4）结合（3）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】解：（1）∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． （2）∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； （4）． 如图，延长，交于点E，由（3）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 12．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）综合与探究 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整． ，分别是和的平分线， ，． ， ， …… 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①，②或 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，， ，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论； 【详解】[问题发现] （1），分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； [问题探究] （2），分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ， [问题拓展] （3）①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即，， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为 或 ． 13．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 【答案】（1），理由见解析 （2）（i），；（ii） （3） （4）或 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线线的定义及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． （1）连接并延长至点F，根据外角的性质，可得，再求解即可； （2）（i）在中，，可得，再由角平分线的定义可得，可得出 ，在中，，可得，再求解即可；当时，按照同样的方法求解即可； （ii）先求出，再由角平分线的定义可得，再求解即可； （3）先求得， 再由外角的性质可得，即：，得出，即可得到，在中，，再求解即可； （4）分为，，，，这四种情况求解即可． 【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点F， 根据外角的性质，可得， 又∵，， ∴； （2）（i）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 故答案为：，； （ii）由（1），可得， ， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图④， ∵是的外角，， ∴， 即， ∵是的外角， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （4）如图⑤，由前面结论易得 ； 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①， ∴ ∴； ②， ∴，   ， ∴； ③ ∴ ∴； ④，不存在 ∴在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 故答案为：或． 14．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． （1）由题意易得，，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化简，最后将、代入计算即可； （2）利用（1）的相关结论即可解答； （3）如图3，延长交于点F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质可得，再代入进行化简可得,最后将、代入即可解答． 【详解】（1）解：如图2，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得，即 故答案为； （3）解：如图3，延长交于F， ∵， ∴， ∵平分，平分, ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴． 故答案为． 15．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：． 性质理解： （1）如图1，在“对顶三角形”与中，则，则　　°． 性质应用： （2）如图2，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数． 拓展提高： （3）如图3，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，请尝试求出的度数（用含的式了表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）由对顶三角形可得，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）由对顶三角形的性质以及三角形内角和定理得到，再根据已知即可求解； （3）利用三角形内角和定理求得，再利用角平分线的定义求得，，最后根据对顶三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）由对顶三角形可得， 在中， ， ， 故答案为：； （2）在中，， ， 、分别平分和， ， ， ， ，； （3） 理由：在中，， ， 、分别平分和， ， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ， ， 故：． 【点睛】本题考查了几何新定义，三角形的角平分线，三角形内角和定理，理解新定义，会根据新定义的进行计算是解题的关键． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 【答案】探索一：，探索二：；探索三：；应用一：，；应用二：；拓展一：；拓展二： 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长，，交于点A，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案； 拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【详解】探索一：如图1，，， ， 故答案为； 探索二：如图2，、分别平分、， ，， 由（1）可得：，， ， 即， ，， ， 故答案为； 探索三：由①， 由②， ①②得： ． ． 故答案为：． 应用一：如图4，由题意知延长、，交于点， ，，， ，， ； 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：，； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点， ，，， ， 平分，平分， 平分，平分， 由应用一得：， 故答案为：； 拓展一：如图6，由探索一可得： ，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：； 拓展二：如图7， 平分，平分的邻补角， ，， 由探索一得：①，②， ②得：③， ③①，得：， ， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数； ②直接写出与的数量关系． 【答案】（1）20；（2）；（3）①；② 【分析】（1）设，由角平分线定义得，，，由三角形外角定理得，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，交于，延长，交于，先求出，，再根据，得，则，由此可得的度数； ②由①可知，，，则，据此可得与的数量关系． 【详解】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：20． （2）和是邻补角， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）①延长，交于，延长，交于，如下图所示： ，， 即， 同理：， ，， ， 由（1）可知：， ； ②由①可知：，，， ， ． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 18．（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）已知，． (1)如图1，若垂足为点F，，则______． (2)如图2，的角平分线交于点H，若，则_____． (3)如图2，的角平分线交于点H，若，，则_____．（用，的代数式表示）． (4)如图3，在图2的基础上，、分别平分和，若，则_____．（用含有的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查“猪蹄模型”，平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行的性质得到，即可求出答案； （2）过点作，过点作，证明，得到，即可得到答案． （3）由（2）得到，即可得到答案； （4）由（2）知，，证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， 是与的平分线， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， 是与的平分线， ， ， ， ， ， ； （4）解：由（2）知， ， 、分别平分和， ， ． 故答案为：． 19．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角的角平分线交于点，试探索之间的数量关系． (3)如图③，延长线段、交点中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 20．（23-24七年级下·河北唐山·期末）的两条角平分线、相交于点 I． (1)如图1： ①若求 的度数； ②若直接写出 °(用含β的式子表示)； (2)如图2，连接， 平分，作分别交、于点D、E．你发现与一定相等的角有 ； 与一定相等的角有 ． 【答案】(1)①；② (2)，；， 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． （1）①先求出，然后根据角平分线的定义求出，，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可； ②先求出，然后根据角平分线的定义求出，，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线定义得出，根据垂线定义得出，根据解析（1）得出，根据三角形外角性质得出，，得出；根据，，即可得出． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知，， 根据三角形外角的性质可知：， ， ∴； 根据解析（1）可知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$