专题14 圆的几何综合（3年汇编）（四川专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦四川中考圆的几何综合专题，汇编2024-2026年真题及模拟题，覆盖切线证明、几何计算、动态探究等核心考点，适配中考高频解答题型训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3年真题46题+模拟15题，每题10-12分|切线判定（2026巴中题(1)）、垂径定理（2026攀枝花题(1)）、动点最值（2026宜宾题(3)）|多问递进（基础证明-计算-探究），跨模块综合（圆与二次函数/旋转），贴合四川中考“第三问拉分”命题规律|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题14圆的几何综合 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 考点01圆的几何综合26年真题 1.(1)证明：连接OC,如图所示： D :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° .∠CAB+∠ABC=90°， :∠BCH=∠CAB .∠BCH+∠ABC=90°， ..OC=OB .∠OCB=∠OBC, .∠BCH+∠OCB=90°，即∠OCH=90°， .OC⊥CH, .OC是⊙0的半径， CH为OO的切线. ②证明：“D是4C的中点， :0-ò .∠ABD=∠DAC, :DE⊥AB,AB是⊙O的直径， .∠ADB=∠AED=90°， 1/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°. .∠ADE=∠ABD=∠DAC, .AF=DF (3)解：DG=2,GB=3, .DB=DG+BG=5, ,∠ABD=∠GAD,∠ADB=∠GDA, .△ABDAGAD, ADDB GD DA' .AD2=DG·DB=10, AD=10 2.(1)解：OB⊥OC,理由如下： 如图所示，连接OE,OF,OG. AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点， .∠OEB=∠OFC=∠OGC=90°. OE=OF 在Rt△OBE和Rt△OBF中，OB=OB, RtAOBES≌RtAOBF(HL) ∴.∠EOB=∠FOB、 同理可证RtAOFCS≌RtAOGC, .∠FOC=∠GOC. .∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=2∠FOB+2∠FOC=2∠BOC=180°， 2/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠B0C=90°， 即OB⊥OC. (2)解：由(1)知，OB⊥OC,RtAOFCS≌RtaOGC, :.∠BOC=90°，∠OCD=∠OCB. :an∠0cD=3 4 .tan∠OCB= BO 3 0C4· B0=3, .0C=4, 在RtOCB中， BC=NOB2+0C2=V32+4=5 .∠BOC=∠OFB=90°，∠OBF=∠CB0, .△BOCP△BFO, 小8C00,即年，解得Or= OB OF 3 OF 5 12 ⊙0的半径为5· 3.(1)证明：如图，连接OC,OF， B 在△BOC和△FOC中， .OC=OC,OB =OF,BC=FC. △BOC≌AFOC(SSS) 3135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠OFC=∠OBC, .∠ABC=90°， .∠0FC=90°， :OF为半径， .CF为半圆O的切线： (2)解：如图，连接OC,交BF于点K,过点G作GH⊥AB于点H, :∠ABC=90°，AB为半圆O的直径， ∴.BC为半圆O的切线，∠AFB=90°，∠BOC+∠BC0=90°， ,CF为半圆O的切线， .BC=CF, .OB=OF, 六0C垂直平分Br,即∠OKB=90,BK=8F, :.∠OBF+∠BOC=90°， .∠OBF=∠BCO, :∠OBF=∠ABr,tan∠AF= 2 六.tan∠BCO=tan∠OBF=tan∠AEF= 2, tan∠OBF=GH-1 BH 2' 设GH=x,则BH=2x, .AB=10. :.0B=)AB=5, 2 4/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC= OB =10 tan∠BCO ∴.△ABC为等腰直角三角形， .∠BAC=45°， ∴△AGH为等腰直角三角形， .AH=GH=x,AG=2x, .AB=AH+BH=3x=10, 0 3’ :1G=v2x=10W2 3. 4.(1)解：，∠AB0=∠CD0=90°，∠AOB=∠COD=30° :.△OBA∽△ODC,∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB,即∠AOC=∠BOD, OB OA .0D0C, OA OC :OB OD' .∠AOC=∠BOD .△AOCn△BOD. .∠OAC=∠OBD 如图，记AE,BO交于点T, C B E 图2 .∠OTE=∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠AEB .∠AEB=∠AOB=30°： 5/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：：0A=6,∠A0B=30°， :AB=04=3 2 如图，连接OE, C E 图2 .BE∥OA, .∠OBE=∠AOB=30°，∠OAE=∠AEB=30°， .∠OAE=∠AOB,∠OBE=∠AEB, .TA=TO,TE=TB. ,∠ATB=∠OTE」 ,△ATB≌△OTE(SAS) .∠TE0=∠TBA=90°，OE=AB=3, 0C=4, :CE=V0C2-0E2=V4-3=万 (3)解：连接OE, 由(I)知∠OAC=∠OBD,记直线AE与BO交于点T, A T B D E .∠ATO=∠BTE, .△ATO∽△BTE, 6/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AT OT BT ET' AT BT .OT ET' .∠ATB=∠OTE, .△ATB∽△OTE, .∠OET=∠ABT=90°， .∠OET=∠CD0=90°， “C,O,E,D四点共圆， .∠CDE+∠COE=180°， 当CD=DE时，∠ECD=∠CED=30°， .∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=120°， ∴.∠C0E=60°， 、CE=0 Cxsin∠C0E=4x9=230E=0 Cxc0sZC0E=4x2 2 2 :E=VA02-0E=V6-2=4V2 4C-AE-CE-4-2 在Rt△CD0中，OC=4,∠COD=30°， :CD=C0=2, 当CD=CE=2时，同理可得∠OET=90°， :0E=V0c2-CE=42-2=2W5 :AE=0P-0E=V6-(25=26, :1C=AE+CE=26+2 7/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4/ D 综上：若C,D,B三点构成以CD为腰的等腰三角形，4C的长为45-25或26+2 或 5.4)解，抛物线"=a++c(a0)与*销交于1(-10、B(2,0)两点， :.y=a(r+1(x-2) :抛物线与'轴交于点C(0,-2) ∴.-2a=-2, 解得a=1 =(+0x-2）.即5=-x-2 (2)△ABD是等腰直角三角形，理由如下： -11 对于抛物线y=-x-2,对称轴为直线x=2x2, 设直线BC:y=pr+9,代入点 B(2,0)C(0,-2) [2p+q=0 ∴.9=-2 p=1 解得9=-2 ∴直线BC:y=x-2 将x互代入y=x-2,得y2号 2 8/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 i i2-.0-G到小可5.0---哥-2 .'AD =BD, ∴.AD2+BD2=AB2 .∠ADB=90°， ∴，△ADB为等腰直角三角形： (3)解：如图，过点B作BK⊥AC于点K, 0 B A (-1,0)C0,-2) .0A=1,0C=2. AC=VO+0C2=5 tRul0c.m0C-瓷后-子5 BK⊥AC, 在R△ABK中，BK=AB×sin∠OAC=3x名5=6V5 5 B(2,0)C(0,-2) …点 9/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OB=OC=2 .∠B0C=90° .△BOC为等腰直角三角形， .∠ABC=45° ∴.∠EBF=∠ABC=45o 作△EBF的外接圆，记作⊙T,连接TE,TF,TB,过点T作TR⊥AC于点R,连接BR, 则∠ETF=2∠EBF=90°， .TE=TF ∴.△TEF为等腰直角三角形，∠TEF=∠TFE=45°， .TR⊥AC, △TRE,△TRF 均是等腰直角三角形， .RE=RF=RT, 设RE=RF=RT=x, 则TE=VTR2+ER2=2x :7B=7E=2x .TB+TR≥BR≥BK, +≥弩5 x2610-6V5 解 5, 6W10-65 当点B,T,R三点共线，且点K,R重合时，x取得最小值为5 .EF ER+FR=2x. 60-65×2=1210-125 .此时EF取得最小值为5 5, 而商k-号5为定位， 10/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1210-125x55-365-36 .△EBF的面积最小值为2 5 5 5, 36√2-36 ∴.△EBF的面积为 5 6 (2)证明：由(1)知∠BCE=90°， .EB是△BCE的外接圆的直径，设圆心为点O,连接OC, E :AC=BC,∠ACB=120° :∠B=∠C4B=180°-∠ACB=30 2 ..OC=OB ∴.∠OCB=∠B=30° ·.∠AC0=LACB-LOCB=90°， :0C为半径， .AC与△BCE的外接圆相切： 3)解：PA=2PD,理由如下： 连接OP,设OP=OE=OC=R, ∠CAB=30°，∠ACO=90° .A0=2C0=2R, ..CE=CE 11/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠COE=2∠B=60 CA=CB,点D是AB中点， .CD⊥AB .∠DC0=90°-∠C0E=30°， :.OD-10C-R. 2 2 :.ODxOA=-Rx2R=R=OP 2 OD OP ·OPOA .∠DOP=∠POA .△DOP∽△POA PD OP R1 PA OA 2R 2' ∴PA=2PD 7(1)解：连接0C, B D ⊙0半径为3， .0C=0A=3, :AH=2, .OH=OA-AH=3-2=1. CDLAB,AB为直径， .∠OHC=90°，CD=2CH, 在Ra0CH中，CH=VOC2-OH=V32-F=22 12/135 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CD=2x22=45 (2)(2)证明：连接0E, B D G ,点G在EF的垂直平分线上， .GE=GF, .LGEF=∠GFE. :∠GFE=∠AFH, .∠GEF=∠AFH. CD⊥AB, .∠AHF=90°， .∠A+∠AFH=90°， OA=OE, .∠A=∠OEA, .∠OEA+∠GEF=90°， .∠OEG=90°， .OE⊥EG, :OE是⊙0半径， .EG是⊙0的切线。 8.(Q)①证明：如图1所示，连接4D,OD, 13/135 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A M F D 图1 ,AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BC, AC=AB .CD=BD,即点D为BC的中点， 又，点O为AB的中点， .OD是△ABC的中位线， .OD‖AC, :DM⊥AC, .DM⊥OD .OD是⊙0的半径， DM是⊙O的切线： ②解：如图1所示，连接4D,OD, 图1 ,AB为⊙O的直径， ∠ADB=90°： 4D=AD .∠AOD=2∠AED=60°， OA=OD. “.△AOD是等边三角形， 14/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B4D=04E0B4B304D=60 ,BD=AB.sin.∠DAB=6·sin60°=3v3 片5m40BD×3x35=9y5 2 2, :点O为AB的中点， .5.m 1 4, S90o=180°-∠40D=120 :S影=S形a0o-San= -120x×3.9y5-3m-9 3604 4; (2)解：如图2所示，取AC的中点T,连接DT, E B 图2 由(1)可得点D为BC的中点， .DT为△ABC的中位线， .DT Il AB AE EF 1 ATFD2 设AE=x,AT=CT=2x,则AC=AT+CT=4x, .'AB=AC=4x ,AB是⊙O的直径， .∠AEB=90°； 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=AE2+BE2, 15/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .(4x=x2+(2. 解得x=2或x=-2(舍去)， .AE=2. 9.(1)证明：如图所示，连接OC, D B 0B=0C, .∠B=∠BCO ∠ACD=∠B, ∴.∠ACD=∠BCO AB为⊙O的直径， ∠ACB=90° ∴.∠ACO+∠BCO=90° :∠ACD+LAC0=90°，即∠OCD=90°， 又OC是⊙0的半径， .CD为⊙O的切线： (2)解：由(1)得∠0CD=90°， tanD=3 4,⊙0的半径为3， .0C333 CD4,即CD4 CD=4, 0D=V0C2+CD2=V32+42=5 ∴.AD=OD-OA=5-3=2 10.(1)证明：连接OC, 16/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .0A=OC ∴.∠OAC=∠OCA ∠BCF=∠BAC .∠BCF=∠OCA ,AB是⊙O的直径 ∴.∠ACB=90° ∴.∠OCA+∠OCB=90° .∠BCF+∠OCB=∠OCF=90° 又：点C在⊙0上 .CF是⊙O的切线： (2)解：由(1)得∠ACB=90°， .CE=3,BE=5 BC=BE2-CE2=4 ,AC平分∠BAD .∠CAD=∠CAB CD=CB .CD=CB=4 :∠BAC=∠BDC,∠ABD=∠ACD ∴.△DECn△AEB DC CE ·ABBE 43 ·AB5 17/135 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=20 3 1 1.2010 ..OA=AB=x 2 233 10 ∴00的半径为3· 11.(I)证明：：四边形ABCD内接于⊙0， .∠ADC+∠ABC=180°」 :∠ADC+∠EDC=180°， .∠EDC=∠ABC, AC=BC, .∠BAC=∠ABC, ∠BDC=∠BAC, .∠BDC=∠EDC, .DC平分∠BDE. (2)证明：连接OC, E D B .OC=OD. ∴.LODC=∠0CD, 由(1)可知，∠ODC=∠EDC, .∠OCD=∠EDC, ..OCIl DE .CE⊥DE, .OC⊥CE, ,OC是⊙0的半径， .CE是⊙O的切线. 18/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：如图，过点O作OG⊥AD于点G, E D 夕 由(1)可知，OC⊥CE :CE⊥AD,OG⊥AD, ∴.四边形OCEG是矩形， ..OG=CE=4, ,BD是⊙O的直径， ∴.BD=2OD,∠BAD=90°，即BA⊥AD, ..OGII BA. .△DGO ADAB OG DO DO 1 ·BADB2D02' .BA=20G=2×4=8, ,⊙0的半径为5，即OD=OC=OB=5, .BD=2OD=10. 在RtABD中，MD=VBD2-AB2=V102-8=6 由(2)可知，OC∥AD. ..ACOF ADF, OC OF DA DF' ..OF =OD-DF =5-DF, 55-DF ·6DF’ :DF=30 11· 19/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.1)证明：连接DC, D B A E .:∠ECA=∠B+∠BAC ∠EAB=∠CAE+∠BAC ,∠ECA=∠EAB ∠B+∠BAC=LCAE+∠BAC, ∠B=∠CAE, :AD是⊙O的直径， ∠ACD=90°， ∠D+∠DAC=90°， ∠B=∠D. ∠CAE=∠D :∠CAE+∠DAC=90°， DA⊥AE, ∴AE是⊙O的切线 (2)解：CF‖AE ,∠FCA=∠CAE」 ∠CAE=∠B, ∠FCA=∠B, 在△ACF和△ABC中， I∠FCA=∠B |∠CAF=∠BAC, △ACF∽△ABC, AC AF AB AC, AC2=AB·AF, 20/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=9,AF=2, AC2=9×2=18, :4C=3V2 13.(1)证明：连接0D G E B 是 的直径，弦 于点E, D :AB⊙O CD⊥AB :.BC=BD∠BOD+∠ODE=90° ∠BOD=2∠A, :2∠A+∠0DE=90°， 4-号cG :∠CDG=2LA, ∠CDG+∠ODE=90°， ∠0DG=90°， .DG是⊙O的切线： (2)解：设BF=x, AB。⊙ 是 的直径，弦CDL AB=10,CD=6 于点E, ..OB=OD=5,DE=3 .OE=OD2-DE2=4 ..BE=OB-OE=1. ..OF=OB+BF=(5+x),EF=BE+BF=x+1 ,CD⊥AB.∠ODG=90°， 21/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G C EB D ..OF2-OD2=DF2=DE2+EF2 (x+5}2-52=32+(x+1)2 解得了 4 故BF的长为4· 14.(1)相等，等底等高的三角形面积相等 (2) B 图2 点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A)· 证明：连接OD ,O是AB中点，D是AC的中点， .OD是△ABC的中位线 :OD‖BC 又AB是直径 .∠ACB=90°， .∠ADO=∠ACB=90° 点D在以OA为直径的圆上 又，点A、C不重合，故点D不与点A重合， ∴点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A), 22/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：过点G作GK II ME,交CD于K,交AB于P, —B SEMG =SEMK 由(1)可得： MN⊥CDMN=4SAEG=l2 ÷.wKE-M=2,即吃E4=i2, 解得：KE=6, .GK IME,ABII CD, ∴.四边形KEMP是平行四边形， .PM=KE=6. 又：MG⊥ME,即∠GME=90°， .∠MGP=90°， .点G在以PM为直径的半圆弧(AB上方，不含P、M两点)上运动， 取pM小点0，则0G=0M-PM-×6=3,连接ONOG .OG+NG≥NG 当点G在ON延长上时，NG最大，最大值为OG+NG, :ABIICD,MN⊥CD, .MN⊥AB,即∠OMN=90°， :0N=VOM2+MN=32+4=5 .0W+0G=5+3=8, 23/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即NG最大值为8， 15.(1)证明：连接0D, 与 分别是弧 所对的圆心角和圆周角， D C:∠HOD ZB AD .∠AOD=2∠B 又∠C+2∠B=180°， .∠AOD+∠C=180°， 在四边形OACD中，∠OAC+∠C+∠ODC+∠AOD=360°， .∠0AC+∠0DC=360°-180°=180° :AC为⊙O的切线，AB为直径， ∴.OA⊥AC,即∠OAC=90°， .∠ODC=180°-∠OAC=90°，即OD⊥CD, 又OD为⊙0的半径， ∴.CD是⊙O的切线， (2)解：连接OC、AD,OC交AD于点E, 由(1)知CA、CD是OO的两条切线， ..CA=CD ..OA=OD ∴.OC是AD的垂直平分线， :OCAD:即A∠EC=90,且4E=ED-号4D, 作AH⊥CD于点H, 在RtAHC中，∠AC=90,AC-10:cos∠ACD- 5, :c1=4Cs∠4cD=10g6, .AH=AC2-CH2=8 24/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CD=CA=10. .HD=CD-CH=10-6=4, 在R△AHD中，AD=VAH2+HD=⑧2+4=4V5 4e=4n=25, 又5ocE40-h-0, .CE·AD=AH·CD=8×10=80. :.CE=80=4V5 AD :AB为⊙0的直径， .∠ADB=90°， ∴.∠AEC=∠BDA=90°. :∠EAC+∠BAD=90°，∠EAC+∠ACE=90°， ∴.∠BAD=∠ACE. :D=CE=45 △AEC≌△BDA(ASA). :AC=BA, :AC=10 .AB=10 B D 16.1)PB与⊙0相切，理由如下： 连接AO, :PA与⊙0相切， 25/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠PA0=90° .AC∥OP, .∠AOP=∠OAC,∠ACO=∠POB ..OA=OB=OC, .∠OAC=∠AC0, ∴.∠AOP=∠POB .OP=OP, .△PAO≌△PBO, .∠PB0=∠PA0=90°. .PB⊥BO, .PB与⊙O相切： A (2)解：如图所示，过点O作OD⊥AC于点D, AD-CD-74C-2. 在RtAOD中，OA=OB=V6,AD=2 根据勾股定理，得0D=VO1-AD-V6-2=V2 .∠CAO=∠POB,∠PBO=∠ADO=90° ∴.△ADOAOBP. AD OD ∴OBPB' 2V2 即V6PB, 解得PBV3 26/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B 17.1)证明：，AB为的⊙0直径， .∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90 又，CDL AB .∠BCD=90°-∠ABC=∠CAB .CE=CB ∴.∠CBE=∠CAB .∠ACD+∠CBE=90°： (2)解：设⊙0的半径为r, 由(1)可得∠BCD=∠CAB ·sin∠BCD=sinA= 6 r+7 BC 5 BC=2r6 解得：r=18,BC=30 .AB=2r=36, 在Rt△ABC中， :AC=VAB2-BC2=V362-302=6N而 :cos水4C-面而 AB366 .CE-CB .CE=CB 如图，过点C作CF⊥BE于点F,则EF=BF 27/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C B D .∠CBE=∠CAB .Cos∠CBE=cos∠CAB BF面 ∴.BC6 片aF=30x四-=5而 6 BE =2BF =10v11 18.(I)证明：，D为BC中点，E在OD的延长线上， .OE⊥BC, ..EM IBC, .OE⊥EM, .EM是⊙O的切线； (2)PC=PA+PB或PC=PB-PA,理由如下： 当点P在MB上时，如图，在PC上取点T使得，PT=PA D MF E :△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC, 4C-AC 28/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠APC=∠ABC=60°， .△APT是等边三角形， .AT=AP,∠PTA=60°， .∠ATC=120°， ,四边形APBC是⊙O的内接四边形， .∠APB+∠ACB=180° .∠APB=120°， .∠APB=∠ATC, 又AP=伊 .∠ABP=∠ACT, ,△ABP≌△ACT(AAS) .PB=TC. .PC=PT+TC=PA+PB:PC=PA+PB, 当点P在1C上时，如图所示，在CP的延长线上取PS=PA, O MF 同理可得∠APB=∠ACB=60°， ,四边形APBC是⊙O的内接四边形， .∠APB+∠ACB=180°， .∠APB=120° .∠APS=60°， “.△APS是等边三角形， ∴.∠S=∠APB, 又，AB=AC,∠ABP=∠ACP, 29/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △SAC≌△PAB(AAS) .PB=SC=PC+PS=PC+PA,PC=PB-PA: ②：点P在优 BAC上， ∴当点P到CE的距离最大时，PO⊥CE,如图所示，设PO,CE的交点为M,连接OC,OB, A E 图2 :△MBC是等边三角形， AB=25 BC=AB=23∠BAC=60° .∠B0C=2∠BAC=120°， .OE⊥BC, 0c=8C=5,∠B0C-3B0c=60e、 又.0E=OC, .△OCE是等边三角形， 0c0-=540c5=30, &0n-50c,pc-N0c-0D-500: ∴.OD=1,则OC=2,EC=OC=2, .OM⊥EC,CD⊥OE, :OM=CD=sim60°x2=V5 :.CM-IEC=1, 2 30/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PM-OP+OM=2+ 在RtPCM中，PC=VPM2+CM=V2+5+P=V2+6, :∠B0C=120°，OB=OC, .∠OBC=OCB=30°， ∴.∠OBC=∠BCE=30°， .OB∥EC, .PO⊥EC, .PO⊥OB, 又.OB=OP, :∠P80=∠BP0=45°，PB=V2P0=2N2 由()可得P在MB上，PC=PA+PB :PA=PC-PB=2+v6-2W2=6-2 如图，过点P,B分别作BC,EF的垂线，垂足分别为G,H,则四边形BHED是矩形， BH=DE=OE-OD=2-1=1. BAGD心 M FH 图2 ,∠BPC=∠BAC=60°，OP=OC, .∠OPC=∠BPC-∠BP0=60°-45°=15°， :.∠PCE=90°-∠OPC=75° .∠PCB=∠PCE-∠BCE=75°-30°=45°， 片PG=PC∠rCB=9xC=1+5 2 31/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :im∠P8G=e=1+5-5+v6 PB 22 4 .BC∥ME, ∴.∠BFH=∠PBG, BH BF=- BH 1 sin∠BFH sin∠PBGV2+V6 =6-2 4 P4+BF-6-5+6-2.5-1. :.PB 2W2 19.(1)证明：连接OC,则OC=OB, B D .∠OCB=∠OBC, ,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D, .OC⊥CD, .∠BCD+∠OCB=90 :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° ∴.∠CAD+∠ABC=90°」 :∠OCB=∠OBC,即：∠OCB=∠ABC, .∠CAD=∠BCD; (2)解：设O0的半径为r,则OB=OC=r, 0C2 在RiAOCD中，sinD= OB+BD3· BD=3, ·r+33 ∴.r=6, 32/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OD=OB+BD=9 :.CD=V0D2-0C2=3W5 如图，连接CO并延长交AE于点G, B D :AElICD,OC⊥CD. .OG⊥AE, &AG=EG=LAb〉 .CG垂直平分AE, .CA=CE, .AElICD, ∴.△A0GADOC. AG OG OA 6 2 ·CD0C0D93 4G-号cD=25,0c-0c=4, :1E=24G=45.CG=0C+0G=10 CE=4C=AG2+CG2=230 AEl/CD .ACFD△EFA, EF AE 4 CF-CD-3 rc6-20-80 7 33/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点01圆的几何综合25年真题 1.(1) BC与⊙O的位置关系是相切： 理由如下： 如图，连接OM, .AM是∠BAC的平分线， .∠BAM=∠OAM, ..OA=OM, .∠OMA=∠OAM, .∠OMA=∠BAM, .OM∥AB ∠B=90°」 .∠OMC=∠B=90°， 即OM⊥BC, .OM为圆的半径， .BC与⊙O的位置关系是相切. M (2) 证明：如图，连接FM, ,AF是圆的直径， .∠AMF=90°=∠B. :AM是∠BAC的平分线， ∴.∠BAM=∠OAM .∠AMB=90°-∠BAM=90°-∠OAM=∠AFM, :.∠AMC=180°-∠AMB=180°-∠AFM=∠MFC, 34/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.aCFM∽aCMA, CF CM .CMCA· 即CM2=CF.CA; M C (3)解：如图，连接OM,EF, 由(1)知∠OMC=90°， 在RIAOMC中，snC=OY=3 0c=5, 设0M=OF=3a,则OC=5a, .CF=0C-0F=2a=2, 解得a=1, .OF=3,AF=2OF=6, ,AF为圆的直径， .∠AEF=90° ∠B=∠AEF=90°， EF∥BC, .∠AFE=∠C, sin∠AFE=4E=3 AF=5 、、—=六 5· E B M 35/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(I)证明：，六边形ABCDEF是正六边形， .BC=EF=CD=AF=AB=DE,∠C=∠D=∠DEF=∠EFA=∠FAB=∠ABC, 又CH=FG, :aBCH≌aEFG(SMS) .BH=EG, CD=AF,CH=FG. .CD-CH=AF-FG,DH=AG, △DEH≌△ABG(SAS) .EH=BG, :四边形BGEH是平行四边形： (2)解：如图，连接OB,OA,OF, B D ,O是正六边形ABCDEF的中心， 六0B=01=OF,∠Ba6=5-1x180 =120°， 6 片A1OB≌aA0F(SSS) :∠0AB=∠0AE=)∠BAE=60】 .△OAB和△OAF都是等边三角形， ∴.OB=OA=OF=AB=AF=4,∠AOB=∠AOF=60°， R∠B0F=∠AoB+40F120PS4o=SrY3B2=43 4 120×42×元16π .S扇形BOF= 3603 36/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 阴形容分的面积为S5amSm1645-4516-85】 3 3.(1) 证明：如图，连接OE, 0 B 0 A由题意，得 与 相切于点卫， BD ⊙0 ∴.OE⊥BD. 又AD⊥BD, ..OEll AD, .∠OEA=∠DAE, :OA和OE都是⊙0的半径， ..OA=OE, .∠OEA=∠OAE, .∠DAE=∠OAE, .AE平分∠BAD: (2)解：由(1)，得OE⊥BD, :点F在⊙0上， ..OF=OE, ∴.OD=OF+DF=OE+1, 在Ra0ED中，0D=0E2+DE,即(OE+=0E2+3 解得OE=4, .0A=4, .AB=OB+OA=OB+4=kOB, 4 :.0B--1 ,∠B=∠B,∠OEB=∠ADB=90, 37/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .aOBE△ABD. BE OB BE 1 ·BDAB,即BE+3k, ·BE= 3 k-1, 在Ra08e中og-a4oe,号广-24 1 设1=k=1,则(4}=(3)+4， 解得一（负值已舍去） 14v7 k-17, +1 4 (3)解：由圆周角定理，得∠EOF=2∠EAF, 如图，过点O作OM平分∠EOF,交DE于点M连接MF D M E B C 由(2)，得OE=0F, :OM平分∠EOF, :.∠DOM=∠EOM=,∠DOE=∠EAF, 21 又OM=OM, ,△OEM≌aOFM(SAS) .EM=FM,∠OFM=∠OEM=90°， 38/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DM DE-EM =3-FM, 在RIADMF中，DM=DF2+FM,即（3-FM)=P+FM2 解务1 ∴.在RtAOFM中， OM=VOF+FM_410 3, cos∠D0M=OF=43i0 OM4V1010 3 :os∠EAF=cos∠DOM=3i0 10. 4.(1) 证明：连接OC,则OC=OA, D B ~E:.∠EAC=LOCA :CD与⊙O相切于点C, .CD⊥OC, :AD⊥CD, .AD∥OC, .∠DAC=∠OCA, ∴.∠DAC=∠EAC, .AC平分∠DAE: (2)解：作OF⊥AD于点F,∠AF0=∠OCE=90°， D E.tanE=5 =12CE=12 39/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OC=OC=tan E=5 .CE12 12, .0A=0C=5, .OC⊥CD, E0=V0C2+CE2=V52+122=13 .AD川OC ∠OAF=∠EOC, .△OAF∽△EOC, FOOA 5 ∴.CEEO13, F0=5cE=5 13 12=60 13 13, :∠OFD=∠D=LOCD=90°， ∴四边形OCDF是矩形， c=0-8 60 :O0的半径长为5，DC的长为13· 5.(1)解：：⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F, .AB⊥QD,BC⊥QE,CA⊥CF, .∠ODB=∠OEB=∠OEC=LOFC=90°， .∠DOE=120°，∠EOF=150°， .∠B=360°-∠QDB-∠QEB-∠D0E=60°，∠C=360°-∠0EC-∠OFC-∠E0F=30°， .∠A=180°-∠B-∠C=90°， .∠A、∠B、∠C的度数分别为90°.60°.30°. (2) 证明：由切线长定理得AD=AF,BD=BE,CF=CE, .BD+CF=BE+CE=BC, .AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC. .2AF=AB+AC-BC, 40/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ODA=∠OFA=∠A=90° .四边形ADOF是矩形， ..OD=AF, :⊙0的直径为d,OD为⊙0的半径， ..d=20D=2AF, ..d=AB+AC-BC. 6.(1) ①证明：~PA、PB是⊙O切线， ∠PA0=∠PB0=90°， 又：AO=BO,PO=PO, ∴.Rt△PAO≌Rt△PBO(HL) ②证明：点C在⊙0上、 .∠AOB=2∠C, 由①可知：Rt△PAO≌Rt△PBO, :∠AOP=∠BOP=I∠AOB. 2 .∠BOP=∠C, ,AC∥PO (2)解：连接AB. 是 的直径， B BC⊙O .∠BAC=90°， 又：∠PAO=90°，∠AOP=∠C=∠BOP, ∴.△ACB∽△AOP :4C、40 CB OP' 41/135 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2-V5 2V50p, ∴OP=5 7. 【详解】(1)解：，∠CAD=∠EAB .∠CAD+∠DAB=∠EAB+∠DAB,即∠CAB=∠DAE AE·AB=AD·AC, AE AD ACAB· .△ABC∽△ADE(两边对应成比例且夹角相等)， .∠C=90°， :.∠E=∠C=90° 1 AF:AE=54B-AD:AF.AF-4B.AD 2 AF AD ·.ABAE 四边形ABCD是矩形，AB=3BC=4, ∠BAD=∠B=90°，BC=AD=4, .FA⊥EA, ..∠FAE=90 ∴.∠FAD=LBAE=90°-∠DAE ∴.△ABE∽△AFD ..∠AFD=∠B=90° .F在以AD为直径的圆上运动， ÷F到BC的最大距离为54D÷A8×4+3=5。 (3)解：：梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=AB=8,BC=16, -5x(4D+BC)xAB=6&+16x8=12. .GE⊥FE, 42/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AGEF=2,即GE.EF=24 ,点E是线段AB的中点， 1 :.BE=5AB=4 2 如图，取BQ=6,作矩形QPEB,则PE=QB=6,∠PEB=∠B=90°，连接PG, D P- OF 图③ .EB×PE=4×6=24, ∴EB·PE=GE·EF, EG PE EB EF 又∠GEF=∠PEB=90°， .∠GEP=∠FEB=90°-∠PEF, ∴.△PEG∽△FEB, .∠PGE=∠FBE=90°， .G在PE为直径的圆上， ∴当△ADG的面积最小时，G在过O点且垂直于PE的直线上，则此时△PGE是等腰直角三角形， .、P=E=2PE=3√② 2 8. 【详解】(1)解：将 (4,0)代入y=+br-4得 16a-4b-4=0 ∴.4a-b-1=0即b=4a-1 1 (2)解：a=2 43/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :b=4x3-1=1 2 .抛物线解析式为y2x+x-4 当x=0时，y=-4 :C(0,-4) 设直线BC的解析式为'=+b≠0)，代入B(-4,0),C0,4) 「-4k+b=0 得b=-4 [k=-1 解得：b=-4 .y=-x-4 当P在BC的下方时，如图，过点P作PO⊥x轴，交BC于点Q, B 图① 1 设Pm2m+m-4 则(m,-m-4) .PQ=-m4-2n2-m+4=-2m22n .B(-4,0) ∴.B0=4 .八Pc=4 44/135 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PQ×B0=4 :.2 2m2-2m=4 解得：m=-2 ∴2(-2-2-4=4 P(-2,4),则(-2,2) :P0=-×(-2y-2x(-2)=2,PC=2且pc1y轴， ..PC=PO .△PCQ是等腰直角三角形 ∴.∠PC0=45° ∴.P到BC的距离为2 p0=5 如图，延长P吧交'轴于点M,则M(-2,0) 图① .△AQM是等腰直角三角形，且BM=2 .M到CB的距离为2 BM=5 :.八Pcs4 当P在BC上方时，点P在过点M与BC的平行线上，设过点M与BC的平行线交抛物线于点，B, 45/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设直线BM的解析式为y=-x+t 代入M(-2,0) .0=2+t 解得：t=-2 :--2 联立 y=-x-2 x=-2+22x=-2-2V2 解得：y=-22或y=22 :P(2+22,-22)或P(2-22,22) 综上所述，P(-2,4)或P-2+25,-22)或P(2-22,22) (3)抛物线方程为=ar+-4,由（少知5=4如-1 当=0时，y=4,则C0,-4) y=ax2+(4a-1)x-4 故抛物线为： 设(k,0) 当'=0时，ar2+(4a-r-4=0 时， B(40) .4,5=k +5=-4a-1 a 即-4+k=-4a-1 。,解得 a 46/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△AOC是直角三角形， ∴.△AOC的外接圆的圆心在AC上，且为AC的中点， co.4后0 ∴.△AOC的外接圆的圆心坐标为： 因为直线BC的解析式为y=-x-4 如图，设e(月，QM的中点为N,过点0作70∥轴交8C于点T .OB=OC=4 ∴.△OBC是等腰直角三角形， ∴.∠OBC=45% ∠WTQ=∠OBC=45 ∴△QTN是等腰直角三角形， O,M关于BC对称， QM⊥WT,QN=WM .NM=NT, ,△WTM是等腰直角三角形， 1 图② 47/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .N在BC上， .MT=OT 2-ys1 -x 2a +2② :.x-y=2a x=-2 联立①②得， 2a 0-2,-4- ,Q在抛物线上，代入抛物线方程： 4-1=4a-2(4a-1）-4 2a 1-5 解得：a 4或“4 .a>0 4 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，三角形的外心的性质，等腰直角三 48/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 角形的性质与判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识是解题的关键 9.(1) 证明：如图，连接OC, G OE :过点D的直线与⊙O相切于点C, .OC⊥DF, ,FE⊥AB, ∴.∠3=∠F=90°-∠D .OC=OB. .∠1=∠2， ·∠3=∠1+∠2 .∠3=2∠2， .∠F=2∠2， 即∠F=2∠B: (2)解：AD=OE=1,OC=OA=4, .0D=1+4=5,ED=1+4+1=6, OC⊥DF, :DC=V0D2-0C2=3 :∠D=∠D,∠DEF=∠DCO=90°， ∴.△DCO∽aDEF, DC DO CO DE DF FE' 49/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 354 6DF EF' .DF=10,EF=8 设∠B=x,∠F=2x 则∠FGC=∠BGE=90°-x, .∠FCG=180°-∠F-∠FGC=90°-x=∠FGC, .FG=FC=DF-DC=7. 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外 角性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键， 10.(1) 证明：由作图方法可得OM=ON,MC=NC, 又0C=0C, :aM0C≌aN0C(SsS) .∠MOC=∠NOC,即∠AOC=∠BOC: (2)解：：∠AOB=60°， 2A0C=∠B0c=∠A0B=30, 又：OM=2. 30m×2π ·ME的长= 1803· 11.(1) 证明：·直径AB垂直于弦DE, .BE=BD,∠AFD=90°， .'BE BD. ∴.∠E=∠BDE .∠DBC=∠DEB .∠DBC=∠BDE, .DE∥CB. 50/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABC=∠AFD=90°， 即OB⊥BC, ,OB为半径， “.BC为⊙O的切线： (2)解：：BE‖CD,DE∥CB, .四边形BCDE是平行四边形， .∠E=∠C,BE=CD=5, 3 .tanE tanc- ,AB⊥ED, .'tanF= BF_3 EF 4 设BF=3x,EF=4x, BE=BF2+EF=5x=5 x=1, .BF=3,EF=4, 连接OE，如图： A D 设OE=OB=y,则OF=y-3 在Rt△OEF中，由勾股定理得OF2+EF2=OE2, :4+0-3=y2 51/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25 解得：y= 6 61 12.(1) 证明：连接OD :⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°，OA=OD. .∠OAD=∠ODA. :DE∥BC, .∠AED=∠ACB=90°， ,∠BAC的平分线交⊙O于点D, ∴.∠EAD=∠BAD, .∠EAD=∠ADO, .OD‖AE, .∠ODE=180°-∠AED=90°， :OD为⊙0的半径， .DE是OO的切线： D B (2)解：设OD交BC于点F, :∠BAC=60°，∠ACB=90°， .∠ABC=30 CE∥DF,DE∥CF,∠E=90° 四边形CEDF为矩形， :∠DFC=90°，DF=CE=5 52/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠0FB=90°， 设O0的半径为，则：OB=0D=/,0F=00-DF=r-5 :∠OFB=90°，∠ABC=30°， ..OB=20F, :r=2(-5). :P=25 .:00 的半径为25 13.(1) 解：连接OD, 则OD=OE, B .∠ODE=∠OED, :∠AED=∠ADC, .∠ODE=∠ADC, :AE是⊙O的直径， .∠ADE=90°， .∠ODC=∠ADC+∠ODA=∠ODE+∠ODA=90°， 直线BC是OO的切线： (2):∠C=∠ADE=90,∠ADC=∠AED, .∠CAD=∠DAE, ÷an∠CAD=tan∠DAE=3 4 :tan∠DAE=DE AD' 53/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE 3 ·AD4' 4D-4DE 3 .AD2+DE2=AE2,AE=10. 2 DE=6. D B .∠BDE=∠CAD,∠CAD=∠DAE, .∠BDE=∠DAE, .∠B=∠B, ∴.△BDEABAD, BE DE 3 ·BDAD4 BE-3BD 4 :0D=0E=4E=5, OB-OE+BE-543BD .OD2+BD2=OB2. :5+BD2=5+3BD 4 解得BD=0(舍去)或D=120 7: (3)过点E作EG⊥BF于点G, 则∠DGE=90°， 54/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 当四边形ADE 面积最大时，△1B面积最大，点严到15的距最大，点P是亚， 的中点， :Af=乐 .AF =EF, ,∠AFE=90°， :∠AEF=∠EAF=)I80°-∠AFE)=45°， .∠EDF=∠EAF=45°， ∴.∠DEG=90°-∠EDF=45°， .DG=EG, .DG2+EG2=DE2,DE=6, DG=EG=32 .AE=10. : AE=5√2 2 FG=EF2-EG2=42 DF-DG+FG-7 14. 【详解】(1)解：，AB是OO直径，BG是⊙O的切线， ∴.∠ABF=90° .∠AFB=70°， .∠BAF=20°， 55/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4C=2BD .∠ADC=2∠BAF=40°， .∠GDF=∠ADC=40°， ∴.∠G=∠AFB-∠GDF=70°-40°=30°： Q0证明：AC-2D ·.∠ADC=2∠BAD .OA=OD,∠ADC=2∠BAD .∠OAD=∠ADO. .∠ADC=2∠ADO, .∠ODC=∠ODA, OC =OD .∠OCD=LODC, .∠OCD=∠OAD, 又，OC=OA, .∠OCA=∠OAC, .∠CAD=∠ACD 又.MD=MD :△CMD≌aAMD(AAS) :∠AMD=∠CMD=18 -=90° .DM⊥AC: 连接0 ② E D B G 56/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB是OO直径， .∠ADB=90°， ∴.∠ADB=∠ABF, 又∠BAD=∠BAD, ∴.△ABDP△AFB, AD AB :.AB AF' .AB2=AD·AF, 由①知，∠CAD=∠ACD, .AD=CD, AB2=CD·AF, CD·AF=16, .AB=4」 15.(1)解：：直线4P与P爪所在9 0相切于点P, .⊙0 ∴∠APO=90°， :∠PA0=45°， .∠PON=90°-∠PA0=45°： (2)解：：直线B0与N ⊙0 所在相切于点， .∠BQ0=90°， ∠QB0=60° ·cos∠QB0=cos600=Be-1 BO2· 设BQ=x,B0=2x. 00=OP=BO:-BO=3x .AB=8.0m. 57/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A0=AB+BO=(8.0+2x)m ,在RtAAPO中，∠A=45°， 片sinA=sin450- PO2 A02, 3x-V2 .8.0+2x2, 解得：x=(46+8)m :0P=5×(46+8)=(122+8v3)m 45π×12V2+8V5 ·PW的弧长为： ≈24.1m 180 答： P四的弧长为24,1m 16.(1) 证明：连接OC,OE,BC,则：OC=OA, .∠OAC=∠OCA, :CD是OO的切线， .OC⊥CD, .∠BCD+∠BCO=90°， ,AB为O0的直径， .∠ACB=90°」 .∠OCA+∠OCB=90°， .∠OCA=∠BCD, .∠BAC=∠BCD, BE l CD .∠CBE=∠BCD, .∠BAC=∠EBC, 58/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BOC=2∠BAC,∠COE=2∠CBE .∠BOC=∠COE, ..CE-CB E B (2)解：延长CO交⊙0于点F,连接AF,则：CF为OO的直径， .∠FAC=90」 :⊙0的半径为2， .0C=2 ∴CF=20C=4, 由(1)知： CE=CB ZEAC=∠BAC=)∠BAE=309 .∠ACF=∠OAC=30°， ,1C=CFos∠ACr=4x =25 17.1)证明：如图所示，连接OA, .OB=0A, .∠OAB=∠ABE, :∠ABE=∠CAE、 .∠OAB=∠CAE, BC是⊙0的直径， .∠BAC=90°， 59/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠OAC+∠CAE=∠OAC+∠OAB=90°， .∠0AE=90°， ∴.OA⊥AE :OA是⊙0的半径， AE是⊙O的切线： B (2)解：CD⊥AE, .∠ADC=∠CDE=90°」 .∠BAC=∠ADC=90°， 又：∠ABE=∠CAE, .△BAC∽△ADC. AC BC ‘CDAC: :△ABC的面积是△ADC的面积的3倍， SABC= 4C) =3 SMDC CD AC_BC= CD AC 设CD=x, .AC=3x BC=3x 40=BC=3x 2 2 :∠E=∠E,∠OAE=∠CDE=90°， .AOAEACDE. CE CD2 OE A0 3 CE=12, .OE=18. 60/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0C=0E-CE=18-12=6. ∴.0A=0C=6 在Rt△A0E中，AE=VOE2-O=V182-6=12√2 18.(1) 证明：连接OC, E F A >D GO H ,AB是直径， ∠ACB=90°，即∠1+∠2=90°， .OA=OB ∴.∠A=∠1， .∠BCD=∠A, .∠BCD=∠1， ∠BCD+∠2=90°， 即∠OCD=90°， ∴.OC⊥CD, .CD是⊙O的切线： (2)解：连接EC, ∠BCD=A,∠D=∠D, .△CDACAD, CD BC BD ·ADAC CD' ,BD=2,CD=4. 4 BC 2 :AD AC 4' BC 1 AD=8'AC 2' 61/135 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=AD-BD=8-2=6, 设BC=a,则AC=2a, ..AC2+BC2=AB2, (2a}'+a2=62 65 5, BC=6/5 5, :点E是1C的中点， .AE-EC ..∠3=∠4， .∠CEB=∠A, .△CEB∽AFAB」 BE BC ·ABBF' 即BE·BF=AB·BC, EH⊥AB, ,AB垂直平分EH, .BE=BH, BE·BF=BH·BF=AB·BC, :BF-BH=6x6536V5 55. 19.(1)解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形， 图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：③： (2)解：：∠BAC=90°，AB=3,AC=4, 62/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=VAB+AC=5 ,四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC=90° A,B,C,D四点共圆，且BC为直径， 把BC的中点记为点O,即A,B,C,D四点在⊙0上， 连接BD,AO,相交于点H, BC=5, BO=OA=5 2, 设0H=x: AH=5 , AB=AD .AO⊥BD,BH=DH 则在RteABH中，BH=AB2-AH, 在RtABOH中，BH2=BO-OH2, ..BO2-OH2=AB2-AH2 --得 解得x=0.7, .AH=2.5-0.7=1.8 则BH=V32-1.82=2.4 即BD=2.4×2=4.8, 63/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BC是直径， .∠BDC=90°， BH=DH,BO=OC, .OH是△BDC的中位线， .DC=2H0=1.4. 则Sax0x0c-48x14=336 2 S.4=)xBD×AH=)X4.8×1.8=4.32. 2 ·四边形ABCD】 =SBDc+SBD4=3.36+4.32=7.68 的面积 20.1) 证明：如图所示，连接OD, :BD平分∠ABC .∠OBD=∠CBD, .OB=OD .∠ODB=∠OBD, .∠ODB=∠CBD, :.OD lI BC, .∠C=90°， .∠ODA=∠C=90°. .OD⊥AD, :OD是⊙0的半径， .AC是⊙O的切线： D (2)解：点E为AO的中点， ∴.OA=2OE. .OD=OE, 64/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OA=20D 由(1)可得∠0DA=90°， 在R14DO中，cos∠A0D=OD-{ OA2· .∠AOD=60°， ..OD AD 3 an∠A0Dam60°=V5, =x3x5- 0mx(V53W5-元 .S阴影=SAOD-S扇形DOE 2 360 2； (3)解：：BE是⊙0的直径， .∠BDE=90°， 在Rt△BDE中， sin∠DBE=DE-V5 BE 5, 设DE=BE=V5x BD=BE2-DE=2x .∠ADO=∠BDE=90°， ∴.∠ADO-∠ODE=∠BDE-∠ODE, .∠ADE=∠ODB, .OB=OD .∠ODB=∠OBD. .∠ADE=∠OBD. 又∠A=∠A, .△ABDr△ADE. AD AE DE x1 ·AB AD BD2x2' .'AB=2AD,AD=2AE, .AB=4AE .'BE AB-AE=3AE, 65/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 :0A=AE+OE=54E】 2 COSA=4D=24E_4 在 中， AE S RtADO 21.(1) 如图所示，连接OA,OC, B 与 相切于点A, PA⊙O .PA⊥OA, .∠PA0=90°， ∠CA0+∠PAC=90°， ∴.2∠CA0+2∠PAC=180° ..OA=OC, .∠OAC=∠OCA, :∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°， :.∠AOC+2∠0AC=180°， .∠AOC=2∠PAC, 又：∠AOC=2∠ABC, .∠PAC=∠B; (2) 证明：由(1)可得∠PAC=∠B, 又∠P=∠P, △PACOAPBA, PA PC .PB PA' .PA2=PB.PC: 66/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：：∠BAC=45°， .∠BOC=2∠BAC=90°， .⊙0的半径为1， ∴.OA=OB=OC=1 在Rt△B0C中，由勾股定理得BC=VOC+OB=VF+F=V2, .∠AOB=150°. ∴.∠AOC=∠AOB-∠B0C=60°， 又.OA=OC, .△OAC是等边三角形， .AC=OA=1,∠OAC=60°， ,BC的延长线与过点A的切线相交于P, .PA⊥OA .∠PA0=90°， .∠CAO+∠PAC=90°， :∠0AC=60°， .∠PAC=30° .∠PAB=∠PAC+∠BAC=45°+30°=75°， :<48c-40c=30 .∠P=180°-∠ABP-∠BAP=75°. .∠ACP=180°-∠P-∠PAC=75°， .∠P=∠ACP .'AP=AC=1; 设PC=x,则PB=PC+BC=(x+2)】 由(2)可得PA=PB·PC, :P=x(x+2) 67/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :r+2x-1=0 解得2女v6 =v2-V6 2或 2（舍去)， :PC=2+6 2 22.(1) 证明：如图：连接OE, F 3 XE D M B 在△ODM与△OEM中， OD=OE OM=OM DM=EM' AODM≌AOEM(SSS) ∴.∠OEM=LODM=90°， .ME为⊙O的切线， (2)解：如图：连接DF. ∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠A+∠B=∠A+∠ACD=90° ·∠B=∠ACD· sin∠ACD=sinB=4 CD为直径， ∠CFD=90° sin∠ACD=DF CD· DF=4x,CD=5x,CD2=DF2+CF2, 68/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (5x°=(4x)}+32 ∴x=1,CD=5’ OD=5 2· .△ODM≌aOEM, ∴.1=∠2 ,∠1+∠2=∠3+∠4. .OC =OD. .∠3=∠4， ∠1=∠3， .OM∥BC :sin∠OMD=sinB=4 · ..OM = 0D25 in∠OMD8· 23.(1) 解：连接OC,则：OA=OC, ∴.∠OAC=LOCA, ,过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D, .OC⊥CD. .∠BCD+∠OCB=90°， ,AB为直径， ∠ACB=90° .∠0CA+∠OCB=90°， .∠OCA=∠BCD .∠CAB=∠BCD ..EC-BC .∠CAE=∠CAB=∠BCD. ∠CAB=∠EBC, .∠EBC=∠BCD, 69/135 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BEl CD E B D (2)设半圆O的半径为r,则OC=OB=r, ,BD=1, .OD=r+1, .OC⊥CD, :.sin D=Oc=_r2 OD r+1 3' ∴.r=2,即：半圆0的半径为2： .AB=2r=4, 连接AE,则：∠AEB=90°， .BE CD, ∴.∠ABE=∠D, :.sin /ABE=sin D=AEAE 2. AB43, :AE=8 3 BE-VAB5 3, EC-BC .∠EAF=∠BAF, ∴.AF平分∠BAE, F到AE,AB的距离相等，都等于EF的长， 70/135 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 S.AEE =2 AE.EF EF S.ABF I B.EF BF EFAE_2 ·BFAB3 EF 2 .BE5' EF-2BE-85 5 Γ15. 24.解：探究发现：：PD⊥AC,PE⊥BC,AF⊥BC SAABC=SAAPC+S.BPC A号BCXAF)AC×DP+5BC×PE .AC=BC, .AF=DP+PE: 故答案为： S.BPC DP PE. 实践应用：如图，过点C,F分别作AB,CG的垂线，垂足分别为M,N, GM B 图2 :△ABC是等边三角形，AC=3, .AB=AC=3, .CM⊥AB, AM BM=2 ZACM=/BCV- 71/135 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .cw-c-) 33 2, .AG=1,BG=AB-AG=3-1=2. MG-BG-BM-2-3-1 22, 在 中，CG=VCM2+GM2 RtACMG ,将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF, CG=CF,∠GCF=60° .△CGF是等边三角形， ÷cNow-cG=9 NF=CN= 2,则 2, 由探究发现可得： PD+PE-FN= 2. 拓展延伸：如图，延长AC,BE交于点T,过点P作PS⊥BE于点S,连接BC, T C E B 图3 设CD=x, ,AB是半圆O的直径， .∠ACB=90° 4B=10.AD=2.BD=4/5 72/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△ABC中， BC2=AB2-AC2=102-(2+x2 在RtABCD中， BC2=BD2-CD2=(4N5-x2, (45-x2=102-(2+x). 解得：x=4, .BE=AC=AD+CD=2+4=6, AC-BE .AE-BC ∴.∠ABT=∠BAT, ..TA=TB ∴由探究发现可得：BC=PD+PS, .BC=VAB2-AC2=102-62=8 ..PD+PS=8, AC=BE, SAPAC+SAPBE LACXPD+1BExPS =1xAC(PD+PS) 2 -68=24 25.1)PB是⊙0的切线， 理由如下：如图，连接OA,OB, A D O B .OA=OB 73/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAO=∠ABO ..PA=PB, ∴.∠PAB=∠PBA, :PA是⊙O的切线， .∠PAO=∠BAO+∠PAB=90°， .∠PBO=∠ABO+∠PBA=90°， 又，OB是⊙0的半径， PB是OO的切线： (2)解：：∠P=60°，PA=PB, .△ABP是等边三角形， .AB=PA=PB,∠PAB=∠PBA=60°， .∠DCE=60°， .∠BCE+∠ACD=180°-∠DCE=120°， :∠ADC+∠ACD=180°-∠PAB=120°， ∴∠ADC=∠BCE, .△ADC∽△BCE, AD_AC_CD BC BE CE' CD 1 CE2’ :.AD-IBC.AC=IBE 2 ..4AD+BE =2BC+2AC=2AB: 如图.连接0AOB,过点0作OF1AB于点F,则FB, :PA是⊙O的切线， .∠PA0=90°， 74/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠0OAF=∠PAO-∠PAB=90°-60°=30°， 1 ∴在RtAAOF中，AO=r, OF=140=r 2 2 =o-op-2--9】 :B=2Ar=2x5, r=3r 2 44D+BE=2r O AO BO 26.(1)解：如图，连接 A 01 B C D :o0⊙0， 和 相交于B两点，且O0经过0的圆心0 :40=B0=40,=80,=00,.4B100 AOBO 四边形 是菱形， △4A0,0△B0,0:是等边三角形， ∠0，B02=60° 1 ·∠AB0,=2×60°=30°. (2) 证明：如图，连接BC, 75/135 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A O- 02 N C D 由(1)得： △40O,ABO,0是等边三角形， ∠A0,0=∠B0,0=60° ∠B0,C=60° 0B=0,c △BO,C 为等边三角形， ∠O,CB=60°=∠O2BCCB=O,B DB=O,B .'DB=BC, &∠BDC=∠BCD-号∠0，sc=30 ∠0，CD=60°+30°=90° 02C 为半径， :CD为o0 2的切线： (3)解：DC=35.∠BDC=30°∠0，CD=90 :0,C=CD-am30°=35x5-3 3 76/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A0,B=60°+60°=120° 120m×3=2元 ·.⊙0，上AB的长180 27.1) 证明；如图所示，连接OE, C A ⊙ D ,BE是OO的切线， .OB⊥BE,即∠OBE=90°， 在△OEC和△OEB中， OC=OB OE=OC CE=BE △OEC≌AOEB(SSS) .∠0CE=∠0BE=90°， .OC⊥CE, ,OC是⊙0的半径， .EF是OO的切线； (2)解：如图所示，过点C作CH⊥BF于H,过点D作DM⊥BF于M, M A HO D 设OA=OC=r,则OF=OA+AF=r+10, 77/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(1)可得∠OCF=90°， 在R△OCF中，sinF=OC=! OF 3 .30C=0F, .3r=r+10, .r=5, .0A=0C=5, .AB=CD=20A=10,OF=15, .BF=OF+OB=20. 在Rt△0CF中，由勾股定理得CF=VOF2-0C=V1S-了=102 片of-CF=10222 Γ0F153: 在 中， r-部是15 RtABEF 3 .CE=EF-CF=5 BE=EF.sinF=5 在R△CDE中，由勾股定理得DE=VCE+CD=52)+102=5V6： CH-OF-0C-CF 2 CH-OCCE501 OF 15 3, :∠CH0=∠DM0=90°，∠COH=∠DOM,OC=OD, :aD0M2△COH(A4S) DM=CH=10v2 3； .∠DMG=∠EBG=90°，∠DGM=∠EGB, ∴.△DGMr△EGB」 78/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EG5√23 EG BE DG 10V2 2 ·DG=DM' 即 3 3 EG= DE=36 2+3 考点01圆的几何综合24年真题 1.(1) 证明：：DE是OO的切线， .∠ODE=90°， ..OA=OD ∠OAD=∠ODA, AD平分∠BAC, .∠OAD=∠EAD, ∴.∠ODA=∠EAD .OD∥AC, .∠CED=∠ODE=90°， .AE⊥DE: (2)解：AD平分∠BAC, .∠OAD=∠EAD=36°， .∠BOD=2∠BAD=2×36°=72°， :AB=2,AB是⊙O的直径， ⊙0的半径r=1, 72π×12元 .S扇形BOD= 360=5· 2.(1) 证明：：BF是⊙O的直径， .∠BAF=90° .AF⊥AB, :CD⊥AB, .CD∥AF, 79/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DG∥AF, .∠AFB=∠BGD. .AC=AC .∴.∠ADC=∠ABC, AB=4B .∠ACB=∠AFB ∴.∠ADC=∠BGD, .AD∥GF, ∴.四边形ADGF为平行四边形： (2)解：设BE=x, AB=AC=5, .AE=AB-BE=5-x, .AB⊥CD, .∠BEC=∠AEC=90°， .'BC2-BE2=AC2-AE2=CE2, .BC=25 :(25-2=52-(5-,解得x=2. .BE=2,AE=3」 BE 2 ·AE3 由(1)知，∠ADC=∠BGD, :∠AED=∠BEG, .△ADE∽△BGE, BG BE 2 ADAE3' BG 2 ∴AD3· (3)解：如图：过点D作DH⊥AC于H, 80/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A 在RtBCE中，CE=VBC2-BE2-=25-2=4, BD=BD, .∠BAD=∠BCD ,∠AED=∠CEB, .△AED∽aCEB, BC BE CE AD DE AE' 2W5-2-4 .AD DE 3, ·D=35D正=2 2 CD=CE+DE=4+3-11 22, S.-CD-AE=号4C-Dn, 2 ×3=5DA,即DH=8 .2 10 sin∠HAD=DH_33x211V5 在RteADH中， AD103W525, :sin∠CAD=15 25. 3.(1) 证明：如图，连接OD, 81/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,点为 的中点， D BC .OD⊥BC, :DF∥BC, .DF⊥OD,且OD是⊙O的半径， .DF是⊙O的切线； (2) 证明：：点D为8C 的中点， .BD-CD .∠CBD=∠BAD. ,BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE, ,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠DBE=∠CBD+∠CBE, .∠DBE=∠DEB, .DB=DE: (3)解：如图，连接CD, .DE=5,BD=DE, .BD=5, .BD=CD .CD=BD=5. 82/135 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D ,BC∥DF, .∠ACB=∠F,而∠ACB=∠ADB, ∠ADB=∠F, ,四边形ABDC为⊙O的内接四边形， .∠ABD+∠ACD=180°=∠ACD+∠DCF, .∠DCF=∠ABD, ∴.△FDC∽ADAB. FC CD .DBAB,而CF=4: 4-5 :.5 AB' :4B=2 ,经检验，符合题意： 4.(1) 证明：如图所示，连接OC, C B P OD 是的直径， AB⊙O .∠ACB=90°， .∠BC0+∠OCA=90°， .OB=OC. .∠B=∠BCO ,∠PCA=∠B, .∠PCA=∠BCO, .∠PCA=∠OCA=90°， 83/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OC⊥PC, .PC是⊙O的切线： (2) 证明：sin∠B=} 2, .∠B=30° .∠PCA=∠B=30°， 由(1)知∠ACB=90°， .∠CAB=60° .∠P=∠CAB-∠PCA=30°， .∠PCA=∠P .'.AC=AP: (3)设AD=x, 在Rt△ACB中，CD⊥AB, ·.∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90° ∴.∠B=∠ACD .∠BDC=∠ADC=90° .△BDC∽△CDA BD CD ·CDAD .CD2=AD×BD=6x, ,∠P=∠P,∠PCA=∠B, .△PACOAPCB, PA PC ·PCPB PC2=PAPB=4(6+4+x)=4(10+x) 在Rt△PCD中，由勾股定理得PD+CD=PC2, 即（4++6x=4(0+),整理得2+10x-24=0, 84/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得=2.5=-12 (舍去)， 故AD=2 【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握 以上知识点. 5.(1) 证明：连接OC,如图， 刀 B OA=OC DG=DC :.∠OAC=∠OCA.∠DGC=∠DCG, ∠AGF=∠DGC, .∠AGF=∠DCG, 又：DF⊥AB, ∠AFG=90°， ∴.∠OAC+∠AGF=180°-∠AFG=180°-90°=90°， .∠OCD=∠OCA+∠DCG=∠OAC+∠AGF=90°， :DE是⊙O的切线： (2)解：如(1)图，∠0CE=90° 又：∠DFE=90°，LOEC=∠DEF, .ADFE∽aOCE. OC CE ‘DFFE, :⊙0的半径为6，CE=8, ∴.OC=OB=OA=6 0E=0C2+CE,即0E=6+8=10 又点F为线段OA的中点， 85/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .EF=OF+OE=3+10=13, 68 DF 13 ·DF=39 · 6.(1) 证明：AB 为00的弦，C为的中点， 由垂径定理的推论可知：OC⊥AB, :CD∥AB .OC⊥CD, :0C为⊙0的半径， .CD是⊙O的切线： (2)解：OB=OA=OC=3,BD=2, .OD=OB+BD=5」 :CD=V0D2-0C2=4 :S,0D=2×0CxCD=6 7.(1) 证明：连接OD AC=BC,∠ACB=90°， ∴.△ACB为等腰直角三角形， .∠CAB=45°， .∠COD=2∠CAB=90°， 86/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DE‖CF, .∠COD+∠EDO=180°， .∠ED0=180°-∠COD=90°， .DE为⊙O的切线. (2)过点C作CH⊥AB于点H, ,△ACB为等腰直角三角形，AC=4, .AB=4V2, CHI=AH=2 :tan∠CFD=2, CH :FH =2, :.FH=2, ..CF2=CH2+FH2, .CF-vio 在Rt&FOD中，：tan∠CFD=OD OF 2, -=2 设半径为r,.V10- 2W10 3. C /D 8.(1) 证明：如图1，连接OC. 87/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 图1 C E :CD为OO的切线 .∠OCD=90°，即∠DCA+∠OCA=90°. 又AB为直径， .∠ACB=90°，即∠1+∠OCA=90° ∴∠DCA=∠1 .OC=OB, .∠1=∠2. AC=CE ∠2=∠3」 .∠DCA=∠3 .DC∥AE (2)解：如图2，连接OE、BE」 A F B 图2 C E ,EF垂直平分OB, ..OE=BE 又：OE=OB, .△OEB为等边三角形 .∠BOE=60°，∠AOE=120° .OA=OE. .∠OAE=∠OEA=30° .DC∥AE, .∠D=∠OAE=30° 88/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：∠OCD=90°， .∠D0C=60° 0A=0C, ∴.△AOC为等边三角形. .∠OCA=60°，OA=OC=AC .∠DCA=30° .∠D=∠DCA .DA=AC=OA=OC=OE=3 EF-OEsin60 3W5 2. :5e-10-E=94g 2 4. 又.S扇形OA _120π×32 =3元， 360 :影=S彩0e-SOuE=3玩-9 4, 95 3π- 阴影部分的面积为 4. 9.(1) 证明：连接OA, 是 的直径， .BE⊙O ∠BAE=90°， .∠BA0+∠OAE=90°， .·OA=OB」 .∠ABC=∠BAO, 89/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠EAC=∠ABC, ∴.∠CAE=∠BAO ∠CAE+∠0AE=90°， .∠OAC=90°， OA是⊙0的半径， ∴CA是⊙O的切线： (2)解：∠EAC=∠ABC,∠C=∠C, ∴.△ABC△EAC. .AC_CE BC AC, 84 BC 8' .BC=16 :BE BC-CE=12, 连接BD, AD平分∠BAE, .∠BAD=∠EAD, .BD=DE :BD=DE, BE是OO的直径， .∠BDE=90°， DE-BD-BE-6 2 B D 10.(1) 证明：连接OD 90/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B OA=OD .∠2=∠3 ,AD平分∠BAC, .∠1=∠2， .∠1=∠3」 ..ODII AC ∴.∠ODF=∠AED :DE⊥AC, .∠AED=90°， .∠ODF=90°. 即OD⊥EF, :OD是⊙0的半径 .EF是⊙O的切线： (2)解：连接MD,AN, B ,∠F=30°， 在RtAODF中，OF=2OD=4, 由勾股定理得：DF=VOF2-OD=2√5 91/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AF=2+4=6, ,在RtAEF中，∠F=30°， ÷48-4r=3, .∠F=30°，OD⊥EF .∠D0F=60°=∠2+∠3，而∠2=∠3， .∠2=30° ∠2=∠F, :4D=DF=25 ..ODI AE .△DGOn△AGE, DG OD 2 AG AE 3, c-号04G-4D, AM=AM, ∴.∠ANG=∠MDG, .∠MGD=∠AGN, .△MGD∽△AGN, MG GD ·AGGN' owow=m61=号4D40-若4D-若-器 5 25 11.(1) 证明：，AB是⊙O的直径 .∠ACB=90° 又，CE⊥AD .∠AEC=90°， .∠ACB=∠AEC, :C是BD的中点， 92/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC-DC .∠BAC=∠EAC, .△ACE∽△ABC; (2) 证明：连接OC DA AI A OA=OC .∠CAO=∠ACO. :∠BAC=∠EAC, .∠EAC=LACO, .OC∥AE, CE⊥AD, .CE⊥OC, :OC是⊙0的半径， .CE是⊙O的切线： (3)解：连接DB、OD 刀 A :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°. :∠AEC=∠ECO=90°， 93/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四边形DECF是矩形， .DF=EC, 0C是￥径，C是BD 的中点， DF=FB,OC⊥DB, 即DB=2DF=2EC, AD=2CE. .'AD=DB, .∠DAB=∠DBA=45° .∠D0A=2∠DBA=90°， ∴.S阴影部分=S扇形AOD一S。AOD= 360 2 12.(1) 证明：连接OC, E OG B .OB=OC ∴.∠OBC=∠OCB :∠DCA=∠OBC, ∴.∠DCA=∠OCB」 而AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° .∠DCA+∠OCA=∠OCA+∠OCB=90°， ∠0CD=90°， .DC是⊙O的切线： (2)解：设0C=OA=r, 94/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 'sin D=OC_4 OD 5 r_4 “r+25: r=8, ..OC=0A=8. 在Rta0CD中，CD=V0D2-0C=V8+2-8=6 '∠DCA+∠ECF=∠BFG+∠CBA=90°， ∴.∠ECF=∠BFG, 又∠BFG=∠EFC, .∠ECF=LEFC, .EC=EF, 设EC=EF=x, '∠D=∠D,∠DCO=∠DGE, .△DOC∽△DEG, DO OC 108 :.DEEG,则x+6x+2, 解得：x=14 经检验x=14是所列方程的解， .CE=14 13.(1) 证明：，∠BAC的平分线交OO于点D,∠BAC=60°， .∠BAD=∠CAD=30°. BD=CD :B、C是⊙O上两定点， BC 点D为BC的中点，是一定点 (2)①DF与⊙O相切，理由如下： 如图，连接OD, 95/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B D BD=CD .OD⊥BC, :BC∥DF, .OD⊥DF, OD为半径 .DF是⊙O的切线： ②如图，当∠ABC=90°时， AC为直径，AC=10, :∠BAC=60°， ∴.∠ACB=30°」 :.AB=5.BC=V102-5=-55 A Q D OD⊥BC, :0=c0= 2, :∠BQD=90°=∠FQD=∠ABC=∠FBQ, 四边形BFDQ为矩形， 96/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Dr=80=53 : 如图，连接BD,当∠ACB=90°， B D :∠ACB=90°，OD⊥BC, .OD∥AC. ∠BOD=∠BAC=60°， ..OB=OD .△BOD为等边三角形， .00=OD, Bo=5 同理可得： 2, BC∥DT, ..AOBOAOFD 0Q BO 1 ·0DDF2, DF =2BO=53 .当△ABC为锐角三角形，DF的取值范围为 53<DF<55 14.(1) :BD是OO的直径 ∴.∠BFD=90°=∠C 又：∠CEB=∠FDB 97/135 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △EBC∽ADBF EC CB DF FB .BC·DF=BF.CE (2)由(1)可知，△EBC∽aDBF ∴.∠EBC=∠DBF ∴.∠EBC-∠FBE=∠DBF-∠FBE ∴.∠CBF=∠EBA ,∠A=∠CBF .∠A=∠EBA ..AE=BE :∠A=∠CBF ∴.90°-∠A=90°-∠CBF .∠ABC=∠CFB :tan∠BFC=√5 tan∠BFC=tan∠ABC=V5 CB_AC=5 CF BC 不妨设CF=x,那么 CB=5x .AF=45 :+45 5 5x .x=5 CF=5 CB=5x=5x5=5 不妨设BF=y,那么4E=4F-EF=45-y=E 在RtCEB中，CE=EF+CF=y+5CB=5BE=4W5-y 98/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (y+V5+52=(45-y月 y=5 :.EF=5 在RtACFB中， CF=5 BC=5 BF=VCF2+BC=5}+52=V30 .·∠CEB=∠FDB ,∴.tan∠CEB=tan∠FDB .CB_BF CE DF 5 30 5+5DF .DF=2V6 BD=VDF2+BF=26+(30=36 ∴⊙0 6 的直径是 15.(1)证明：AF=BE .AF=BE, .∠ABF=∠BAE :∠CAD=∠CDA,∠ADC+∠ABF+∠BAE+∠CAD=18O° .∠BAE+∠CAD=90°. 即∠BAD=90°， AD⊥AB」 又：OA为半径， AD是⊙O的切线. 99/135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：连接AF. .BE=4 .AF=BE=4. AB是直径， .∠AFB=90, .∠AFD=90° 在Rt△AD DF=AD2-AF2=2 中， 'tanD=AB、4AF AD DE AB 4 252 .AB=45 又AB是直径 ∴⊙0 2V5 的半径长为 16.(1) 证明：，AB是OO的直径， .∠ACB=90°」 .∠BCD=90°， ∠D+∠CBD=90°： :BD是⊙O的切线， .∠ABD=90°， .∠ABC+∠CBD=90°， .∠ABC=∠D 100/135 专题14 圆的几何综合 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点01 圆的几何综合 三年各地必考 四川中考高频解答大题，绝大多数地市每年必考。 1. 设问结构一般为多小问递进：第 1 小问以切线的判定与证明为主，常用 “连半径证垂直、作垂直证半径”；第 2 小问侧重几何计算，求半径、线段长度、阴影面积，主要运用垂径定理、圆周角定理、切线长定理，搭配勾股定理、相似三角形、解直角三角形解题；第 3 小问为拉分探究问，涉及四点共圆、定角定弦隐圆模型、动点轨迹、线段最值、线段数量关系，需要截长补短、分类讨论。 2. 命题载体丰富：普通圆几何、三角形内切圆、正多边形与圆，部分试题实现跨模块综合，将圆与二次函数、矩形、梯形、旋转相结合。 3. 辅助线固定套路：遇切线连接切点半径；见直径构造直角；遇动点角度不变思考隐圆。 4. 整体难度中档到偏难，第三小问区分度大，是试卷重要拉分点。 考点01 圆的几何综合26年真题 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是的直径，点C、D在圆上，D是的中点，于点E，交于点，、交于点，在延长线上且． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，，，分别与相切于，，三点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 3．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆交于点，为半圆上一点，连接交于点，连接，且． (1)求证：为半圆的切线； (2)连接，若，，求的长． 4．（2026·四川广元·中考真题）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律． 在与中，，，，，将绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与直线相交于点． 【初步探究】 (1)如图2，的度数为__________； 【尝试应用】 (2)如图2，若，求的长； 【创新提升】 (3)若，，三点构成以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 5．（2026·四川宜宾·中考真题）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接．试判定的形状，并说明理由； (3)如图，点、是直线上两动点，且．求面积的最小值． 6．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是等腰三角形，，，点是中点，平分交于点． (1)求的度数； (2)求证：与的外接圆相切； (3)为外接圆上任意一点，试探究与的数量关系，并说明理由． 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 8．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中， ，以边 为直径作 ，交于点 ，交的延长线于点 ，连接交 于点 ． (1)如图1，过点 作于点 ． ①求证： 是 的切线； ②若，，求阴影部分的面积； (2)如图2，连接，若，，求的值． 9．（2026·四川乐山·中考真题）如图，为的直径，点为圆上一点，点在延长线上，连接，且． (1)求证：为的切线； (2)若，的半径为，求的长． 10．（2026·四川眉山·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分交于点，点在的延长线上，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 11．（2026·四川凉山·中考真题）如图，四边形内接于，是的直径，连接交于点F，且，过点C作的垂线交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 12．（2026·四川广安·中考真题）如图，内接于，是的直径，过点作射线交的延长线于点，使． (1)求证：是的切线； (2)过点作交于点，若，，求的长． 13．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 14．（2026·四川达州·中考真题）综合与探究 【方法探究】 (1)如图1，直线，A，B两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是______，理由是______ (2)如图2，是的直径，C是上的动点（C不与A重合）、D是的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； (3)【问题解决】如图3，直线，是上一点，，垂足为N，、是射线上的动点，连接，过点在上方作射线，是上的一点，连接，，求线段的最大值． 15．（2026·四川南充·中考真题）如图，在中，为直径，为切线，点D在上，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 16．（2026·四川达州·中考真题）已知：如图，P为外一点，与相切于点A．连接，，为的直径、连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为、，求的长． 17．（2026·四川成都·中考真题）如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取一点，使连接，． (1)求证：； (2)若，求的半径和的长． 18．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，等边内接于，为中点，连接并延长交于点，作． (1)求证：是的切线． (2)如图2，点为射线上的动点，连接并延长与的优弧交于点（与点，不重合），连接，． ①在点运动过程中，请探究线段，，的数量关系并说明理由： ②连接，若，当点到的距离最大时，请直接写出的值． 19．（2026·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，点，在上，过点作的切线交的延长线于点，交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 考点01 圆的几何综合25年真题 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． 4．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 6．（2025·四川巴中·中考真题）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径． (1)求证： ①． ②． (2)，，求的长． 7．（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 8．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标； (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． 9．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的直径，点D是线段延长线上一点，过点D的直线与相切于点C，过线段上一点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．（2025·四川广元·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，2为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 11．（2025·四川乐山·中考真题）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 12．（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 13．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求与的长度； (3)在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 14．（2025·四川德阳·中考真题）在中直径与弦交于点，，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点． (1)若，求的度数； (2)连接，，再连接并延长交于点， 证明：； 若，求的直径． 15．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） (1)求圆心角的度数； (2)求的弧长（结果精确到米）． 16．（2025·四川眉山·中考真题）如图，为的直径，点C为圆上一点，过点C作的切线，交延长线于点D，过点B作，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求的长． 17．（2025·四川广安·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． (1)求证：是的切线． (2)过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长． 18．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是上的一点，连接，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值． 19．（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． (2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 20．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积； (3)连接，若，求的值． 21．（2025·四川凉山·中考真题）如图1，是的直径，与相切于点A，连接交于点C，连接，则，理由如下： 是的直径， ， ， 与相切于点A， ， ， ， ． (1)小明根据以上结论，自主探究发现：如图2，当是非直径的弦，而其他条件不变时，仍然成立，请说明理由； (2)小明进一步探究发现：如图3，线段与线段存在如下关系：．请你替小明证一证； (3)拓展应用：如图4，是的内接三角形，，，的延长线与过点A的切线相交于P，若的半径为1，请你利用小明的探究结论求的长． 22．（2025·四川南充·中考真题）如图，中，于点D，以为直径的交于点E，交于点F，M为线段上一点，． (1)求证：是的切线． (2)若， ，求的长． 23．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求半圆O的半径及的长． 24．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 25．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，试求与半径的数量关系． 26．（2025·四川自贡·中考真题）如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接． (1)___________度； (2)求证：为的切线； (3)若，求上的长． 27．（2025·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 考点01 圆的几何综合24年真题 1．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点，． (1)求证：； (2)若，求扇形的面积． 2．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)求的值； (3)求的值． 3．（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． ∵点为的中点， ∴， ∵， 4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 5．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 6．（2024·四川·中考真题）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．    (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求的面积． 7．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 8．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 9．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值． 11．（2024·四川内江·中考真题）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．    (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求阴影部分的面积． 12．（2024·四川广安·中考真题）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 13．（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若为锐角三角形，求的取值范围． 14．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的直径． 15．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径长． 16．（2024·四川泸州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F． (1)求证：； (2)过点C作于点G，若，，求的长． 17．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求和的长． 18．（2024·四川达州·中考真题）如图，是的直径．四边形内接于．连接，且，以为边作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)过点作交于点．若，求的值． 19．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接． ①求证：是的切线； ②若，，求的半径． 20．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 1．（2026·四川达州·模拟预测）如图，已知是的外接圆，，D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 2．（2026·四川雅安·一模）如图1，在菱形中，，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于． (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E运动到何处时，图中阴影部分面积最小，并求出这个最小值； (3)当时，求的周长． 3．（2026·四川成都·三模）如图，在中，，以为直径的交于点D，交延长线于点E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，，求半径和的长． 4．（2026·四川成都·模拟预测）如图，中，，以为直径的交于点，连接．于点，交于．和的延长线交于点． (1)求证：是切线； (2)若，半径为，求的长度． 5．（2026·四川成都·模拟预测）如图，等腰三角形中，，点在上，且，为的外接圆，的延长线交于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求和的长． 6．（2026·四川雅安·二模）如图，上有，，三点，是直径，点是的中点，连接交于点，点在延长线上且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的值． 7．（2026·四川成都·模拟预测）如图，点在以为直径的上，且，点为上一点，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接交于点．若，，求半径及线段的长． 8．（2026·四川自贡·模拟预测）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点P在线段上，连接并延长交于点Q，连接，当时，求的值． 9．（2026·四川成都·三模）如图，为的直径，为上一点，点为的中点，连接，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于点，连接交于点（如图2），若，，求的半径和的长． 10．（2026·四川成都·三模）如图，是的外接圆，是的直径，交于点，是的切线，点在的延长线上． (1)求证：； (2)过点作于，交于点，若，，，求的直径和的长． 11．（2026·四川广元·三模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，交的延长线于点 E， 恰好平分． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求的长． 12．（2026·四川成都·三模）如图，已知是的直径，点和点在上，点为延长线上一点，，垂足为，且是的切线，连接，，，且有． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 13．（2026·四川遂宁·二模）已知：如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，连接，是的切线，与的延长线相交于点D． (1)求证：； (2)求证：． 14．（2026·四川成都·三模）如图，内接于，，连接，过B作的切线交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，求直径以及的长度． 15．（2026·四川南充·三模）如图，是的直径，是左半圆上的动点，于，的平分线与交于． (1)求证：为定点．（点不随点位置变化而改变．） (2)若，，试求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题14圆的几何综合 3年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 四川考情(20242026) 命题规律 四川中考高频解答大题，绝大多数地市每年必 考。 1.设问结构一般为多小问递进：第1小问以 切线的判定与证明为主，常用“连半径证垂 直、作垂直证半径”；第2小问侧重几何计 考点01圆的几 算，求半径、线段长度、阴影面积，主要运用 三年各地必考 何综合 垂径定理、圆周角定理、切线长定理，搭配勾 股定理、相似三角形、解直角三角形解题；第 3小问为拉分探究问，涉及四点共圆、定角定 弦隐圆模型、动点轨迹、线段最值、线段数量 关系，需要截长补短、分类讨论。 2.命题载体丰富：普通圆几何、三角形内切 圆、正多边形与圆，部分试题实现跨模块综 1/202 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 合，将圆与二次函数、矩形、梯形、旋转相结 合。 3.辅助线固定套路：遇切线连接切点半径：见 直径构造直角：遇动点角度不变思考隐圆。 4.整体难度中档到偏难，第三小问区分度大， 是试卷重要拉分点。 三年真题分类园 考点01圆的几何综合26年真题 1.(2026四川巴中中考真题)如图，4B是O0的直径，点C、D在圆上，D是4C的中点，DE上4B于 点E,交AC于点F,AC、DB交于点G,H在AB延长线上且∠BCH=∠CAB (1)求证：CH为⊙O的切线： (2)求证：AF=DF; B)若DG=2,GB=3,求AD的长. 【答案】(I)证明：连接OC,如图所示： D B :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° .∠CAB+∠ABC=90° 2/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠BCH=∠CAB, :.∠BCH+∠ABC=90°， .OC=OB. .∠OCB=∠OBC, .∠BCH+∠OCB=90°，即∠OCH=90° .OC⊥CH, 0C是⊙0的半径， .CH为OO的切线. AC (②)证明：D是4的中点， AD=CD .∠ABD=∠DAC, :DE⊥AB,AB是OO的直径， .∠ADB=∠AED=90°， .∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°. ∴.∠ADE=∠ABD=∠DAC, ∴AF=DF 6)D=V10 【分析】(1)连接OC,由题意易得∠ACB=90°，则有∠BCH+∠ABC=90°，然后可得 ∠BCH+∠OCB=90°，进而问题可求证： (2)由题意易得∠DAC=∠ABD,然后可得∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°，则有 ∠ADE=∠ABD=∠DAC,进而问题可求证； AD DB (3)由题意易得。ABD2&GAD,然后可得GDDA,进而问题可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：，DG=2,GB=3, .DB=DG+BG=5, .∠ABD=∠GAD,∠ADB=∠GDA, 3/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△ABDAGAD, AD DB ·GDDA' .AD2=DG·DB=10, :D=0 2.(2026四川甘孜中考真题)如图，AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点，且AB川CD (1)判断OB与OC的位置关系，并说明理由： 2)若B0=3,tan∠OCD=4,求⊙0的半径 【答案】I)解：OB⊥OC,理由如下： 如图所示，连接OE,OF,OG」 :AB,BC,CD分别与OO相切于E,F,G三点， .∠OEB=∠OFC=∠OGC=90°， OE=OF 在Rt△OBE和Rt△OBF中， OB=OB, RtAOBE≌Rt△OBF(HL) 4/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠EOB=∠FOB. 同理可证RtAOFC≌RtAOGC, .∠FOC=∠G0C. :∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=2∠FOB+2∠FOC=2∠BOC=180°， .∠B0C=90°， 即OB⊥OC, 2 (②)o0的半径为5 【分析】(I)利用圆的切点的性质证得RtAOBES≌RtAOBF和RtAOFCS≌RtAOGC,得出∠EOB=∠FOB, ∠FOC=∠G0C,再根据这四个角相加为180°求解： 3 (2)由(1)可得∠B0C=90°，∠0CD=∠0CB,利用tan∠0CD=tan∠OCB= 4求出OC的长度，再根据 勾股定理求出BC的长度；再根据已知条件证明△BOC∽△BFO,利用相似求解. 【详解】(1)解：OB⊥OC,理由见答案 (2)解：由(1)知，OB⊥OC,RtAOFCS≌RtAOGC, .∠BOC=90°，∠OCD=∠OCB :tan∠0cD=3 49 :tan∠OCB= BO 3 0C4 B0=3, .0C=4, 在RtOCB中， BC=VOB2+0C2=V32+42=5 :∠BOC=∠OFB=90°，∠OBF=∠CBO, ∴.△BOCABFO」 8C0C,即亏年，解得or=品 OB OF 3 OF 5 12 ⊙0的半径为5. 3.(2026四川广元中考真题)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆O交AC于点E, F为半圆O上一点，连接BF交AC于点G,连接CF,且CF=CB. 5/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 了E B (I)求证：CF为半圆O的切线： ②)连接EF,若an∠AEF=) 2:AB=10:求AG的长. 【答案】)证明：如图，连接OC,OF, F 在△BOC和△FOC中， .OC=OC,OB=OF,BC=FC, △BOC2AFOC(SSS) ∴.∠OFC=∠OBC, .∠ABC=90°， .∠0FC=90°， OF为半径， .CF为半圆O的切线： 10W2 (2)3 6/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)连接OC,OF 证明 B0C≌aF0C(SSS),可得∠0FC=90°，即可求证： (2)连接OC,交BF于点K,过点G作GH⊥AB于点H,根据切线长定理可得BC=CF,从而得到OC 垂直平分BF, 进而得到an∠Bc0=tam∠OBF=tam∠AEF),设GH-x,则BH-2x,再证明AM8C 为等腰直角三角形，可得△AGH为等腰直角三角形，从而得到AH=GH=x,AG=√2x,进而得到 AB=AH+BH=3x=10,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接OC,交BF于点K,过点G作GH1AB于点H, B ,∠ABC=90°，AB为半圆O的直径， .BC为半圆O的切线，∠AFB=90°，∠BOC+∠BCO=90° ,CF为半圆O的切线， .BC=CF, .OB=OF, 0c垂直半分BF·副∠0x8=90e.8张=8P, ∴.∠OBF+∠BOC=90°， ∴.∠OBF=∠BCO, :∠OBr=∠4Br,tan/AEF= ’ :tan∠BC0=tam∠OBF=tan∠AEF=2, 1 ∴.tan∠OBF= GH 1 BH 2, 7/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设GH=x,则BH=2x, .AB=10 08=48=5, .BC= OB an∠Bc0-10, ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴.∠BAC=45°， ∴.△AGH为等腰直角三角形， ∴.AH=GH=x,AG=V2x, .AB=AH+BH=3x=10, :0 3 :4G=V2r=102 3 4.(2026四川广元·中考真题)在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后 将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律 在△A0B与△COD中，∠AB0=∠CD0=90°，∠AOB=∠COD=30°，OA=6,OC=4,将△COD绕点 O顺时针旋转，旋转角为 (0°<a<180 ）,直线BD与直线4C相交于点E, D D B E 图1 图2 备用图 【初步探究】 (1)如图2，∠AEB的度数为 8/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【尝试应用】 (②)如图2，若BE∥OA,求CE的长： 【创新提升】 3)若C,D,E三点构成以CD为腰的等腰三角形，请直接写出AC的长， 【答案】(1)30° e今 6)45-25成26+2 或 【分析】(I)先证明△OBA∽△ODC,再证明△AOC∽aBOD,则∠OAC=∠OBD,然后根据三角形的 外角性质求解即可； (2)连接0E,证 △M7B2△OTE(SAS),则可得∠TE0=∠TB1=90°，然后对Rt△COE运用勾股定理 求解即可： (3)连接OE,由(1)知∠OAC=∠OBD,记直线AE与BO交于点T,证明∠OET=∠CD0=90°，则 C,O,E,D四点共圆，可得∠CDE+∠COE=180°，然后分CD=DE和CD=CE两种情况求解即可. 【详解】(1)解：，∠ABO=∠CD0=90°，∠AOB=∠COD=30° :.△OBA∽△ODC,∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB,即∠AOC=∠BOD, OB OA .0D0C, OA OC :OB OD' .∠AOC=∠BOD .△AOC∽aBOD. .∠OAC=∠OBD」 如图，记AE,BO交于点T, 9/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 今B D 图2 .∠OTE=∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠AEB. .∠AEB=∠AOB=30°： (2)解：0A=6,∠A0B=30°， 4B=)01=3 如图，连接OE, B D 图2 ,BE∥OA, .∠OBE=∠AOB=30°，∠OAE=∠AEB=30°， ∴.LOAE=∠AOB,LOBE=∠AEB, .TA=TO,TE=TB. ,∠ATB=∠OTE, △ATB≌△OTE(SAS) .∠TE0=∠TBA=90°，OE=AB=3, 0C=4, :CE=V0C2-0E2=4P-32=V万 10/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：连接OE, 由(1)知∠OAC=∠OBD,记直线AE与B0交于点T, A B D E .∠ATO=∠BTE, .△ATO∽△BTE, AT OT ·BTET AT BT ·OTET, :∠ATB=∠OTE, .△ATB∽△OTE, .∠OET=∠ABT=90°， ∠0ET=∠CD0=90°， C,O,E,D四点共圆， .∠CDE+∠COE=180° 当CD=DE时，∠ECD=∠CED=30°， .∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=120°. ∴.∠COE=60°， CE=0Cxim∠C0E=4x5-2N50E=0 Cxcos.∠C0E=4x5-2 2 2 :4E=VA02-0E2=V6-2=42 :1C=AE-CE=42-25 在Rt△CD0中，OC=4,∠COD=30°， cD=2c0=2, 11/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当CD=CE=2时，同理可得∠OET=90°， :0E=V0C2-CE2=V4-2=25 AE=0-0E2=6-(2=26, :1C=AE+CE=26+2 综上：若C,D,B三点构成以CD为腰的等腰三角形，4C的长为4W5-2W5成26+2 5.(2026四川宜宾中考真题)抛物线=a++(a0)与‘轴交于1(1,0、B(2,0)丙点，与'轴交 C(0,-2) 于点 B B F 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (②)如图1，连接BC,交抛物线的对称轴于点D,连接AD.试判定△ABD的形状，并说明理由： B)如图2，点E、F是直线AC上两动点，且∠EBF=∠ABC.求△EBF面积的最小值. 【答案】)=-x-2 (2)△ABD是等腰直角三角形，理由如下： 12/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -11 对于抛物线)=x-x-2,对称轴为直线x=2x2, 设直线BC:y=m+9,代入点 (2,0)C(0,-2) 2p+q=0 ∴.q=-2 p=1 解得9=-2 直线BC:y=x-2 将代入y=-2得号2》 g别 ÷2-w,0-日-（可5m--0写5 ∴.AD=BD, ∴.AD2+BD2=AB2 .∠ADB=90°， ∴.△ADB为等腰直角三角形： 36v2-36 3)5 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)先求出直线BC的表达式，然后求出点D坐标，再由勾股定理逆定理求解即可； (y过点分年BK1AC于点K,解RAOC,果业sm∠0C-5,可解R△ABx中，求 BK=4Bxsn∠01C-号5，可得。BOC为等膜直角三角形，则∠ABC-45,作△EBF的外接圆，记作 13/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙T TE,TF,TB TTR⊥AC R BR ∠ETF=2∠EBF=90° ，连接 ,过点作 于点，连接，则 ,可得 △TEF,△TRE,△TRF 为等腰直角三角形，则设RE=RF=R7=,那么TB=E=V2x 由于 x≥610-6V5 TB+TR≥BR≥BK,则 ,求 5,故当点B,T,R三点共线，且点K,R重合时， 6√10-6√5 1210-12√5 x取得最小值为5，则此时EF取得最小值为 5,而△EBF的高BK为定值，即可求 解面积最小值. 【详解】(1)解：：揽物线'=ar+r+ca≠0)与'铂交于4-，0)、B(20)两点， y=a(c+1)(x-2) ·抛物线与轴交于点C(0,-2) ∴.-2a=-2, 解得a=1 4=(+0x-2）,即3=--2 (2)略 (3)解：如图，过点B作BK⊥AC于点K, 14/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -l,0)C0,-2) .0A=1,0C=2 AC=O+0C=5 RA0c中，m<04c瓷后-子5 BK⊥AC, :在RAABK中，K=4Bxsn∠04C=-3x号5-g5, :点B(20)）、C0-2) ∴.OB=OC=2 .∠BOC=90° .△BOC为等腰直角三角形， ∴.∠ABC=45° .∠EBF=∠ABC=45° 作△EBF的外接圆，记作⊙T,连接TE,TF,TB,过点T作TR⊥AC于点R,连接BR, 则∠ETF=2∠EBF=90°， .TE=TF ∴.△TEF为等腰直角三角形，∠TEF=∠TFE=45°， ,TR⊥AC, △TRE,△TRF 均是等腰直角三角形， .RE RF =RT, 设RE=RF=RT=x, 则TE=VTR+ER2=V2x :7B=7E=2x .TB+TR≥BR2BK, 4✉之g5】 15/202 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x≥6N10-6W5 解 5 6W10-6W5 当点B,T,R三点共线，且点K,R重合时，x取得最小值为 5 .EF =ER+FR=2x, 610-65×2-1210-125 .此时EF取得最小值为 5 5, 而前K号5为定值， 1×12i0-125×55-365-36 -X ∴.△EBF的面积最小值为2 5 5 36√2-36 ,△EBF的面积为 5 6.(2026四川宜宾中考真题)如图，△ABC是等腰三角形，AC=BC,∠ACB=120°，点D是AB中点， CE平分∠ACD交AB于点E. E (I)求∠BCE的度数： (②)求证：AC与△BCE的外接圆相切； 3)P为△BCE外接圆上任意一点，试探究PD与PA的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)90° (2)证明：由(1)知∠BCE=90°， ,EB是△BCE的外接圆的直径，设圆心为点O,连接OC, 16/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E :AC=BC,∠ACB=120°， ∠B=∠CAB=180-∠ACB =30° 2 .OC=OB. .∴∠OCB=∠B=30° .∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°， :OC为半径， .AC与△BCE的外接圆相切： (3)解：PA=2PD,理由如下： 连接OP,设OP=OE=OC=R, ∠CAB=30°，∠AC0=90° .A0=2C0=2R, ..CE=CE ∴.∠COE=2∠B=60° CA=CB,点D是AB中点， .CD⊥AB .∠DC0=90°-∠C0E=30°， ..OD=10C=1R 2 2 :.ODxOA-1Rx2R-R=OP 17/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OD_OP .OP OA .∠DOP=∠POA ∴.△DOP∽△POA PD OP R 1 PAOA 2R 2' .PA=2PD 【分析】(1)根据等腰三角形的“三线合一”性质以及角平分线的定义求解即可： (2)可得EB是△BCE的外接圆的直径，设圆心为点O,连接OC,先由等腰三角形的性质以及三角形内 角和定理得到∠B=∠CAB=30°，再由OC=OB,得到∠0CB=∠B=30°，则 ∠AC0=∠ACB-∠OCB=90°，即可证明： (3)连接OP,设OP=OE=OC=R,导角证明△DOP∽△POA即可求解 【详解】(1)解：AC=BC,∠ACB=120°，点D是AB中点， ∠BCD=∠ACD=∠ACB=60 ,CE平分∠ACD ∠DCE=∠ACD=30 .∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90° (2)略 (3)略 7.(2026四川攀技花中考真题)如图，4B是O0的直径，弦CD18,垂足为”.E为 D上一点，连 接AE交CD于点F,EF的垂直平分线交CD的延长线于点G,连接GE, B D 18/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)若⊙O的半径为3，AH=2,求CD的长： (2)求证：EG是⊙O的切线. 【答案】a)42 (2)证明：连接OE, C ,点G在EF的垂直平分线上， ..GE=GF, .∠GEF=LGFE, .∠GFE=∠AFH, ∴.∠GEF=∠AFH, .CD⊥AB, .∠AHF=90°， .∠A+∠AFH=90°， .OA=OE, .∠A=∠OEA, .∠OEA+∠GEF=90°， ∴.∠0EG=90°， .OE⊥EG, :OE是⊙0半径， 19/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .EG是⊙O的切线。 【分折】()连接OC,先求出OH长度，利用垂径定理符CH-DH-CD,再在R4OCH中由勾股定 2 理算出CH,进而求出CD; (2)连接OE,由垂直平分线性质得GE=GF,等边对等角得LGEF=∠GFE,结合CD⊥AB推出 ∠A+∠AFH=90 OA=OE,∠A=∠OEA 等量代换证明<OEG=90 EG ，再利用 得 依据切线判定定理证 为切线。 【详解】(1)解：连接OC, D ⊙0半径为3， .0C=0A=3, .AH=2, .OH=OA-AH=3-2=1. CD⊥AB,AB为直径， .∠OHC=90°，CD=2CH, 在Ra0CH中，CH=V0C2-0H=V32-P=22 CD=2×2N2=4V2 (2)略 8.(2026四川内江中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,以边AB为直径作⊙0，交BC于点D, 交CA的延长线于点E,连接DE交AB于点F. 20/202 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M F D 图1 图2 I)如图1，过点D作DM⊥AC于点M. ①求证：DM是⊙O的切线： ②若LCED=30°，AB=6,求阴影部分的面积： EF 1 ②)如图2，连接BE,若FD2,BE=2W5,求AE的值. 【答案】(I)①证明：如图1所示，连接AD,OD, M D B 图1 :AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BC, AC=AB :.CD=BD,即点D为BC的中点， 又点O为AB的中点， :.OD是△ABC的中位线， ODI‖AC, DM⊥AC. .DM⊥OD OD是⊙0的半径， DM是⊙0的切线； ⑨n96 4 21/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)2 【分析】(1)①连接AD,OD,可证明AD⊥BC,得到点D为BC的中点，则OD是△ABC的中位线，进 而可证明OD‖AC,进一步可证明DM⊥OD,则可证明DM是⊙0的切线：②由圆周角定理可得 ∠10D=60°，则可证明△10D是等边三角形，得到MD=3,∠01D=60°，解直角三角形得到5 BD=33 9V5 求出oo=2Sa0a 4,根据S阴影=S扇彩BoD-So列式求解即可； (2)取AC的中点T,连接DT,可证明DT为aABC的中位线，则DT‖AB,由平行线分线段成比例定理 AE EF 1 得到A7=FD2:设AE=x,则AB=AC=4x,由勾股定理得(4x)'=x2+(2⑤，解方程即可得到答 案。 【详解】(1)①略； ②解：如图1所示，连接AD,OD, M ○ 图1 ,AB为⊙O的直径， ∠ADB=90°： AD-AD .∠AOD=2∠AED=60°， ..OA=OD. .△AOD是等边三角形， AD=01=0B=4B=3,201D-60, 22/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BD=AB:sin∠DAB=6-sin60°=3N5 2×3x3v5=9V3 2, ,点O为AB的中点， 1 4, :5.0o=180°-∠A0D=120 :5s=S0形an-Sa ,-120xx3.95-3元-95 360 4 4； (2)解：如图2所示，取AC的中点T,连接DT, E A B 图2 由(I)可得点D为BC的中点， DT为△ABC的中位线， .DT Il AB AE EF 1 ·ATFD2: 设AE=xAT=CT=2x,则AC=AT+CT=4x, .'AB=AC=4x: ,AB是OO的直径， .∠AEB=90°； 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2=AE2+BE2, (4=2+(2, 解得x=2或x=-2(舍去)， 23/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AE=2. 9.(2026四川乐山中考真题)如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在BA延长线上，连接 CD,且∠ACD=∠B. B (I)求证：CD为⊙O的切线： 2)若anD=3 ,⊙0的半径为3，求4D的长. 【答案】(1)证明：如图所示，连接OC, :OB=OC, .∠B=∠BCO ∠ACD=∠B ·∠ACD=∠BCO :AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠AC0+∠BC0=90° .∠ACD+∠ACO=90°，即∠OCD=90°， 又，OC是⊙0的半径， .CD为⊙O的切线： (2)2 【分析】(1)由等腰三角形的性质得到∠B=∠BCO,则可证明∠ACD=∠BCO,由直径所对的圆周角是 直角得到∠AC0+∠BCO=90°，则可证明∠ACD+∠AC0=90°，即∠OCD=90°，据此可证明CD为⊙0的 24/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 切线； (2)解直角三角形得到CD=4,由勾股定理可得OD=5,再由线段的和差关系可得答案. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得∠0CD=90°， tanD=3 ⊙0的半径为3， 0C3 33 CD=4,即CD-4, CD=4, .0D=V0C2+CD2=V32+42=5 AD=OD-OA=5-3=2」 10.(2026四川眉山中考真题)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AB是⊙0的直径，对角线 AC平分LBAD交BD于点E,点F在AB的延长线上，且满足LBCF=∠BAC. D (I)求证：CF是OO的切线； (2)若CE=3,BE=5,求⊙0的半径. 【答案】(1)证明：连接OC, .OA=OC 25/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠OAC=∠OCA :∠BCF=∠BAC ∴.∠BCF=∠OCA :AB是OO的直径 ∴.∠ACB=90° ∴.∠OCA+∠OCB=90° ∴.∠BCF+∠OCB=∠OCF=90° 又，点C在⊙0上 .CF是⊙O的切线： 、10 ②)3 【分析】(1)连接OC,由OA=OC,得到∠OAC=∠OCA,然后由圆周角定理得到∠ACB=90°，再结 合已知条件进行等量代换证明∠BCF+∠OCB=∠OCF=90°即可： (2)先由勾股定理求解BC,然后根据圆周角定理得到CD=CB=4,再由△DEC∽△AEB求出AB,即可 求解半径。 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得∠ACB=90°， ,CE=3,BE=5 BC=BE2-CE2=4 :AC平分∠BAD '.∠CAD=∠CAB CD=CB ∴.CD=CB=4 ,∠BAC=∠BDC,∠ABD=∠ACD .△DEC∽AAEB DC CE ·ABBE 43 ·AB5 26/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=20 3 1 1.2010 ..OA=AB=x 233 10 ∴⊙0的半径为3· 11.(2026~四川凉山中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙0，BD是⊙0的直径，连接AC交BD于 点F,且AC=BC,过点C作AD的垂线交AD的延长线于点B. B (I)求证：DC平分∠BDE: (②)求证：CE是⊙O的切线； 3)若⊙0的半径为5，CE=4,求DF的长. 【答案】(1)证明：，四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠ADC+∠ABC=180°， :∠ADC+∠EDC=180°， .∠EDC=∠ABC, AC=BC, ∴.∠BAC=∠ABC, ∠BDC=∠BAC, .∠BDC=∠EDC, .DC平分∠BDE. (2)证明：连接OC, 27/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B .OC=OD .∠ODC=LOCD」 由(1)可知，∠ODC=∠EDC, .∠OCD=∠EDC, ..OCII DE, .CE⊥DE .OC⊥CE. .OC是⊙0的半径， .CE是⊙O的切线. O0r-9 【分析】(I)由四边形ABCD内接于⊙O,可得∠EDC=∠ABC,再由AC=BC与圆周角的性质可得 LBDC=LEDC,则DC平分LBDE. (2)先证明OC‖DE,由CE⊥DE,可得OC⊥CE,即可证明CE是⊙O的切线： (3)过点O作OG⊥AD于点G,可求得AD=6,再证明△COF∽△ADF,即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，过点O作OG⊥AD于点G, D B 28/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(1)可知，OC⊥CE .CE⊥AD,OG⊥AD, ∴.四边形OCEG是矩形， ∴.OG=CE=4, :BD是OO的直径， .BD=2OD,∠BAD=90°，即BA⊥AD, ..OGII BA, :.△DGO∽ADAB OG DODO 1 BA DB 2DO 2' :BA=20G=2×4=8, :⊙0的半径为5，即OD=OC=OB=5, .BD=2OD=10, 在Rt△ABD中，AD=VBD-AB=V102-8=6 由(2)可知，OC∥AD .△COF∽△ADF, OC OF ·DADF, ·OF=OD-DF=5-DF, -5-DF .6 DF· :DF=30 11· 12.(2026四川广安·中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，AD是⊙O的直径，过点A作射线AE交BC的 延长线于点E,使∠EAB=∠ECA, 29/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A E (1)求证：AE是OO的切线： ②)过点C作CF‖AE交AB于点F,若AF=2,AB=9,求AC的长. 【答案】(I)证明：连接DC, D A E ∠ECA=∠B+∠BAC∠EAB=∠CAE+∠BAC ,∠ECA=∠EAB, ∴.∠B+∠BAC=∠CAE+∠BAC, ∠B=LCAE, AD是⊙O的直径， ∠ACD=90°， .∠D+∠DAC=90°」 ∠B=∠D, ∴.∠CAE=∠D ∴.∠CAE+∠DAC=90°， DA⊥AE, ∴AE是⊙O的切线： ②3v2 【分析】(1)连接DC,由题意易得∠B=∠CAE,∠ACD=90°，则有∠D+∠DAC=90°，然后可得 30/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DA上AE,进而问题可求证： (2)由题意易得∠FCA=∠CAE,则有∠FCA=∠B,然后可得△ACF∽△ABC,进而可得AC2=AB·AF, 则问题可求解 【详解】(1)略 (2)解：CF‖AE ∴.∠FCA=∠CAE」 ∠CAE=∠B, ∠FCA=LB, 在△ACF和△ABC中， 「∠FCA=∠B ∠CAF=∠BAC, △ACF∽△ABC, AC AF AB AC, AC2=AB·AF, AB=9,AF=2, AC2=9×2=18. :4C=3v5 13.(2026四川遂宁·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB于点E,连接AC,过点D的直线 分别与AB、4C的延长线交于点F、G,且A=<CDG 2 G B 1)求证：DG是⊙0的切线： 31/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)若AB=10,CD=6,求BF的长. 【答案】(1)证明：连接OD G H B 是 的直径，弦 于点卫， AB⊙O CD⊥AB :.BC=BD∠BOD+∠ODE=90° .∠BOD=2∠A, .2∠A+∠ODE=90°， 4=4c ∠CDG=2∠A, .·.∠CDG+∠ODE=90° .∠ODG=90°， DG是⊙O的切线： 5 【分析】(1)连接OD,证明∠ODG=90°即可证明DG是⊙0的切线； (2)设BF=x,得到OF=OB+BF=(6+x)EF=BE+BF=x+1 根据勾股定理得到 OF2-OD2=DF2=DE2+EF2 解答即可 【详解】(1)略 (2)解：设BF=x, AB⊙O CD⊥AB AB=10,CD=6 是 的直径，弦 于点E, ∴.OB=OD=5,DE=3 ∴.OE=VOD2-DE2=4 32/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..BE =OB-OE=1. ..OF=OB+BF=(5+x),EF=BE+BF=x+1 ,CD⊥AB,∠ODG=90°， G C EB D ..OF2-OD2=DF2=DE2+EF2 (x+52-52=32+(x+1)2 解羽 4, 故BF的长为4 14.(2026四川达州中考真题)综合与探究 G D A MB B B 12 CE ND 图1 图2 图3 【方法探究】 ①如图1，直线4,4，B两点在直线上，C,G,G三点在直线上，连接0 AC AC2 AC BC BC2 BC3 △ABC△ABC,△ABC ，我们发 面积的数量关系是 一，理由是 2)如图2，AB是⊙0的直径，C是⊙0上的动点(C不与A重合)、D是AC的中点，用圆规和无刻度直 尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； B)【问题解决】如图3，直线AB∥CD,M是AB上一点，MN⊥CD,垂足为N,MN=4、E是射线 NC上的动点，连接EM,过点M在AB上方作射线MF⊥ME,G是MF上的一点，连接EG, 33/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SAEMG =12 NG 求线段心的最大值 【答案】(1)相等，等底等高的三角形面积相等 (2) B 图2 点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A), 证明：连接OD, ,O是AB中点，D是AC的中点， .OD是△ABC的中位线 .ODlI BC 又，AB是直径 .∠ACB=90°， .∠ADO=∠ACB=90° ∴.点D在以OA为直径的圆上. 又，点A、C不重合，故点D不与点A重合， ·点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A). 3)8 【分析】(1)根据平行线间的距离处处相等即可得出结论： (2)根据三角形中位线性质可得OD‖BC,由此得出∠AD0=∠ACB=90°，根据90°角所对弦是直径，可 得点D的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A)； (3)过点G作GKMc,交CD于K,交48于P,利用)可得5 S.EMG =S.EMK =12 ,根据 34/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SaG-KE,MW=2求得KE-6:再由四边形KEMP是平行四边形，可得PM=KE=6:由MGLME 可得AMGP是直角三角形，取pM中点O,则OG=OM-PM=3,根据点到圆上一点的距离最值即可 得OG+NG≥NG,即当点G在ON延长上时，NG最大，最大值为OG+NG △ABC1△ABC2△ABC 【详解】(1)解： 面积相等. 理由： 它们共底边AB,且由于 /顶点GG,C到直线的距(即)相等，故面积相等， (2)略 (3)解：过点G作GKME,交CD于K,交AB于P, M -B D S.EMG =S.EMK 由(1)可得： MN LCD MN=4 SAENG =12 S.ow-KE:MN-12,:4-12, 解得：KE=6, .GK II ME,ABI CD, ∴.四边形KEMP是平行四边形， .PM=KE=6, 又.MG⊥ME,即∠GME=90°， .∠MGP=90°， 点G在以PM为直径的半圆弧(AB上方，不含P、M两点)上运动， 35/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 取pw中点0：则0G-0N-N6=3,连接0NOG, .OG+WG≥NG, 当点G在ON延长上时，NG最大，最大值为OG+NG, ABIICD,MN⊥CD, .MN⊥AB,即∠OMN=90°， :.ON=VOM2+MN2=V32+4=5 .ON+OG=5+3=8, 即NG最大值为8. 【点睛】解题关键是利用平行转化三角形面积，抓“定角对定弦”构造辅助圆，化“动”为“静”；利用 “圆外一点到圆上点的最大距离 d+r）,模型，巧解线段最值 15.(2026四川南充中考真题)如图，在⊙0中，AB为直径，AC为切线，点D在⊙0上， ∠C+2∠B=180° 0 D (1)求证：CD是⊙O的切线， (②)若AC=10, cosC=3 ,求4B的长。 【答案】(1)证明：连接OD, 与分别是弧 所对的圆心角和圆周角， D C∠AOD∠B AD .∠AOD=2∠B 36/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又∠C+2∠B=180°， ∴.∠AOD+∠C=180°. 在四边形OACD中，∠OAC+∠C+∠ODC+∠AOD=360°， .∠0AC+∠0DC=360°-180°=180°， :AC为⊙O的切线，AB为直径， ∴OA⊥AC,即∠OAC=90°， .∠ODC=180°-∠OAC=90°，即OD⊥CD, 又OD为⊙0的半径， CD是⊙O的切线. (2)10 【分析】(1)连接OD,由同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得∠AOD=2∠B,结合己知 ∠C+2∠B=180°，推出∠A0D+∠C=180°，再利用四边形0ACD的内角和为360°，得到 ∠OAC+∠0DC=180°，而AC为切线，∠0AC=90°，于是∠ODC=90°，从而CD为切线. (2)连接OC、AD,OC交AD于点E,作AH⊥CD于点H,利用余弦的定义求CH,进而求出 AH,HD AD CE △AEC≌△BDA(ASA) 和 ,利用面积法求出，再证 可得等于直径B AC 【详解】(1)略 (2)解：连接OC、AD,OC交AD于点E, 由(I)知CA、CD是O0的两条切线， ..CA=CD .OA=OD .OC是AD的垂直平分线， 0cL0,即∠AEC=0,且4E=D-40, 作AH⊥CD于点H, 在RtAIC中，乙AHC=90,AC=10:cos∠ACD 5, CH=4aCes∠4cD=10g6, ..AH=AC2-CH2=8 37/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CD=CA=10. .HD=CD-CH=10-6=4, 在R△AHD中，AD=VAH2+HD=V⑧2+4=45 4服=40=25， 又5acE40-h-0, .CE·AD=AH.CD=8×10=80. :CE=80=4W5 AD :AB为⊙O的直径， .∠ADB=90° .∠AEC=∠BDA=90°， :∠EAC+∠BAD=90°，∠EAC+∠ACE=90°， ∴.∠BAD=∠ACE. .AD=CE=4V5 △AEC≌△BDA(ASA). :AC=BA, :AC=10 .AB=10 B D 16.(2026四川达州中考真题)已知：如图，P为⊙0外一点，PA与⊙0相切于点A.连接OP, ACIIOP BC⊙O C为00的直径、连接PB. 38/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)试判断PB与⊙0的位置关系，并说明理由： 若O0的半径为N6、4C=4,求PB的长 【答案】(I)PB与⊙O相切，理由如下： 连接AO, :PA与⊙0相切， .∠PA0=90° :AC∥OP, ∠AOP=LOAC,LACO=∠POB .OA=OB=OC. .∴∠OAC=∠ACO ∴.∠AOP=∠POB ..OP=OP, .△PAO≌APBO .∠PBO=∠PAO=90°， ∴PB⊥BO, :PB与⊙0相切： A e3 【分析】(1)连接OA,根据切线的性质得∠PA0=90°，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明 ∠AOP=∠POB,然后根据“边角边”证明△PAO≌aPBO,可得∠PBO=90°，进而得出答案； 39/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)作OD1AC 根据垂径定理得D=2, OD=2 ,再根据勾股定理求出 ，然后说明44 DO6OBP AD OD 可得OB=PB,则此题可解. 【详解】(1)略 (2)解：如图所示，过点O作OD⊥AC于点D, :AD-CD=14C-2 2 在RtaA0D中，OA=OB=V6,AD=2 根据勾股定理，得D=VOA-AD=VN6}-2=V2 :·∠CAO=∠POB,∠PB0=∠AD0=90° .△ADOAOBP, AD OD ∴OBPB· 2-2 即V6PB, PB=3 解得 A B 17.(2026四川成都中考真题)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC,BC,过点C作CD⊥AB, 垂足为P,在圆上取一点E,使E=CB连接CE,BE 40/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C DO B L)求证：∠ACD+∠CBE=90°： 若nA=。0D=7,求OO的半径和BE的长. 6 【答案】(I)证明：：AB为的⊙O直径， .∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90° 又，CD⊥AB, ·.∠BCD=90°-∠ABC=∠CAB ..CE-CB ∴.∠CBE=∠CAB .∠ACD+∠CBE=90°： eo0 18BE=10V1 半径为， 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，得出∠ACD+∠BCD=9O°，进而根据同角的余角相等得出 ∠BCD=∠CAB,结合已知得出∠CBE=∠CAB,进而可得∠ACD+∠CBE=90°： r+7 BC 5 (2)设⊙0的半径为，由(1)可得∠BCD=∠CAB,根据正弦的定义，可得BC=2=6,求得 F=18,BC=30,勾股定理求得AC,进而求得cosA=V1 6,证明CE=CB,过点C作CF⊥BE于点F, 则EF=BF,进而解Rt△CBF,求得BF,进而求得BE的长，即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：设⊙0的半径为r, 由(1)可得∠BCD=∠CAB 41/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.sin∠BCD=sinA= 5 6 r+7-BC-5 ·BC=2r6 解得：r=18,BC=30 .AB=2r=36, 在Rt△ABC中， :.AC=VAB2-BC2=V362-30=6N :os小4C-面而 AB366 ..CE=CB .CE=CB 如图，过点C作CF⊥BE于点F,则EF=BF C B .'∠CBE=∠CAB ∴.coS∠CBE=coS∠CAB BF-面 ∴.BC6 :ar=30x0-5m 6 BE=2BF=10v11 18.(2026四川自贡中考真题)如图1，等边△ABC内接于⊙0，D为BC中点，连接OD并延长交⊙0 于点E,作EM I BC, 42/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10 D B D M E MF 图1 图2 (1)求证：EM是⊙O的切线， ②如图2，点F为射线BM上的动点，连接FB并延长与O0的优B1C交于点P(与点B,C不重合)， 连接PA,PC ①在点F运动过程中，请探究线段PA,PB,PC的数量关系并说明理由： PA+BF ②连接CE,若AB=2√3，当点P到CE的距离最大时，请直接写出PB的值. 【答案】(I)证明：：D为BC中点，E在OD的延长线上， .OE⊥BC, .EM lI BC. .OE⊥EM, ∴EM是OO的切线； (②)PC=PA+PB或PC=PB-PA,理由如下： 当点P在B上时，如图，在PC上取点I使得，PT=PA A D MF E .△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC, AC-4C 43/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠APC=∠ABC=60°， .△APT是等边三角形， .AT=AP,∠PTA=60, .∠ATC=120°， ,四边形APBC是⊙O的内接四边形， .∠APB+∠ACB=180°， .∠APB=120°， .∠APB=∠ATC, 又AP=AP .∠ABP=∠ACT, ,△ABP≌△ACT(AAS) .PB=TC. .PC=PT+TC=PA+PB:PC=PA+PB, 当点P在AC上时，图所示，在CP的延长线上取PS=PA, S B E 同理可得∠APB=∠ACB=60°， ,四边形APBC是⊙O的内接四边形， ∴.∠APB+∠ACB=180°， .∠APB=120° .∠APS=60°， .△APS是等边三角形， ∴.∠S=∠APB, 又，AB=AC,∠ABP=∠ACP, 44/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △SAC≌△PAB(AAS) .PB=SC=PC+PS=PC+PA,PC=PB-PA: 【分析】(1)根据垂径定理可得OE⊥BC,根据EMBC得出OE⊥EM,即可得证： (2)分情况讨论，当点P在B上时，在PC上取点I使得，PT-PA,证明△1BPO1CT(1S）,得出 PB=T ,进而根据线段的和差关系，即可得出结论：当点P在4C上时，如图所示，在CP的延长线上取 PS=PA,证明 SMC≌△PAB(AMS), 进而根据线段的和差关系，即可得出结论： ②根据题意得出当点P到CE的距离最大时，PO⊥CE,设PO,CE的交点为M,连接OC,OB,解直角 三角形，分别求得PA,BF,PB的长，再求比值，即可求解. 【详解】(1)略 (2)①略 ②：点P在优 BAC 上， 当点P到CE的距离最大时，PO⊥CE,如图所示，设PO,CE的交点为M,连接OC,OB, MF E 图2 ..4BC 是等边三角形， AB=2√5 BC=AB=2√3∠BAC=60° .∠BOC=2∠BAC=120°， OE⊥BC, 45/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Dc=8C=5.∠B0C=B0c=60, 又0E=0C, ∴.△OCE是等边三角形， 片40n-0c5=0, :0D-0c,c-v0c-0n-50D “.OD=1,则OC=2,EC=OC=2, .OM⊥EC,CD⊥OE, OM=CD=sin60x2= :.CM=EC-1. 2 :PM=0P+0M=2+5 在RtPCM中，PC=VPM+CW=2+V5+P-2+6, :∠B0C=120°，0B=0C, .∠OBC=OCB=30° ∴.∠OBC=LBCE=30°， .OB∥EC, :PO⊥EC, .PO⊥OB, 又：OB=OP, :∠P80=∠BP0=45°，PB=V2P0=2N2 由(1)可得P在B上，PC=PA+PB :.PA=PC-PB=2+v6-2W2=6-V2 如图，过点P,B分别作BC,EF的垂线，垂足分别为G,H,则四边形BHED是矩形， 46/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BH=DE=OE-OD=2-1=1, M FH 图2 :∠BPC=∠BAC=60°，OP=OC, :.∠0PC=LBPC-∠BP0=60°-45°=15°， .∠PCE=90°-∠OPC=75°、 :.∠PCB=∠PCE-∠BCE=75°-30°=45°， :PG=PCsin∠PCB=V2 PC=1+3 2 :n∠P8G=e-1+55+6 PB 22 Γ4， :BC∥ME, .∠BFH=∠PBG, BH BH 1 BF= =√6-√5 sin∠BFH sin∠PBG√2+V6 4 PA+BF6-5+6-5=5-1, PB 2W2 19.(2026四川泸州中考真题)如图，AB是⊙0的直径，点C,E在⊙0上，过点C作⊙0的切线交 AB的延长线于点D,CE交AB于点F,连接AC,AE,BC. (I)求证：∠CAD=∠BCD: 47/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 (②)若AE∥CD:BD=3,sinD= ,求EF的长. 【答案】(1)证明：连接OC,则OC=OB B D .∠OCB=∠OBC, ,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D, .OC⊥CD, .∠BCD+∠OCB=90°， :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠CAD+∠ABC=90° .∠OCB=∠OBC,即：∠OCB=∠ABC, ∴.∠CAD=∠BCD； 8√30 (2)7 【分析】(1)连接OC,切线的性质得到∠OCD=90°，圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等边对等角， 以及等角的余角相等，即可得出结论： 0C-2 (2)设⊙0的半径为，在Ra0CD中，根据sinD=OB+BD5,求出，的值，进而求出OD,CD的长， E长C0交A6于点G,表平行线的f频，垂径定星，推出4G=BG4,C4-CE,证明 △AOG∽ADOC AG,OG AE.CG AC ,求出 的长，进而得到 的长，勾股定理求出的长，再证明 4 CFDEFA:推出EF=CE,即可得出结果 7 【详解】(1)略 48/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：设⊙0的半径为r,则OB=OC=r, 0C2 在RtAOCD中，sinD= OB+BD 3, BD=3. r2 r+33’ .r=6, ..OD=OB+BD=9. :CD=V0D2-0C2=35 如图，连接CO并延长交AE于点G, B D E AElICD,OC⊥CD. .OG⊥AE, 16G=号4， .CG垂直平分AE, .CA=CE, .·AE/CD. .△A0GADOC AG OG OA 6 2 CD-OC-OD93 4G=cD=25,0G=20C=4 3 :4E=24G=45CG=0C+0G=10 CE=AC=AG2+CG=230 49/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE//CD .△CFDAEFA, EF AE4 CF CD 3' EF=4cE=4×2N30=850 7 7 7. 品 考点01圆的几何综合25年真题 1.(2025四川雅安中考真题)如图，△ABC中，∠B=90,AM是角平分线，O是AC上一点，经过点 A、点M的⊙O分别交AB,AC于点E,点F. (1)判断BC与⊙0的位置关系，并说明理由： (2)求证：CM2=CF.CA; 3)若CF=2' sinC=3 ,求AE的长. 【答案】(1) BC与⊙O的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接OM, ,AM是∠BAC的平分线， ∴.∠BAM=∠OAM, ..OA=OM, ∴.∠OMA=∠OAM. .∠OMA=∠BAM, 50/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.OM∥AB .∠B=90°， ∠0MC=∠B=90°， 即OM⊥BC, ,OM为圆的半径， .BC与⊙O的位置关系是相切. 0 B (2) 证明：如图，连接FM, ,AF是圆的直径， .∠AMF=90°=∠B, ,AM是∠BAC的平分线， .∠BAM=∠OAM, .∠AMB=90°-∠BAM=90°-∠OAM=∠AFM, .∠AMC=180°-∠AMB=180°-∠AFM=∠MFC, .△CFM∽aCMA, CF CM ..CM CA' 即CM2=CF.CA; M 18 3)5 【分析】(1)连接OM,由角平分线的性质及等腰三角形的性质得OM∥AB,再由∠B=90°即可得 51/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OM⊥BC,从而得BC与OO的位置关系是相切： (2)连接FM,证明△CFM∽aCMA即可； (3)③连接OM,EF在RAOMC中，由sinC 5,设0M=0F=3a,则0C=5a'从而CF=2a=2: 求得a的值，则可得AF,再由正弦函数关系即可求得AE的值. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，连接OM,EF, 由(1)知∠0MC=90」 在RIAOMC中，sinC=OY=3 0C5, 设0M=OF=3a,则0C=5a, .CF=0C-0F=2a=2, 解得a=1, .OF=3,AF=2OF=6, ,AF为圆的直径， .∠AEF=90° ∴.∠B=∠AEF=90°， .EF∥BC. .∠AFE=∠C, :si∠AFE=E-3 AF5 片AE=AF=18 · 0 B 2.(2025四川绵阳中考真题)如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G,H分别在边AF,CD 上，且不同于正六边形的顶点，CH=FG. 52/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)证明：四边形BGEH为平行四边形： (②)若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影 部分的面积。 【答案】(I)证明：：六边形ABCDEF是正六边形， :.BC=EF=CD=AF=AB=DE,∠C=∠D=∠DEF=∠EFA=∠FAB=∠ABC, 又CH=FG △BCH≌△EFG(SAS) .BH=EG, ,CD=AF,CH=FG」 .CD-CH=AF-FG,DH=AG, △DEH≌△ABG(SAS) ∴EH=BG, .四边形BGEH是平行四边形： 16r-83 (2) 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根 据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键 (1)根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用 两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； (2)根据正六边形的概念，确定∠BAF的度数，进而确定∠BOF的度数和OB的长，再通过作差法计算阴 影部分的面积即可， 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接OB,OA,OF 53/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B H ,O是正六边形ABCDEF的中心， 0B=0A=0r,∠BAE=5-1k180 =120°， 6 △AOB≌△AOF(SSS) <01B=∠0AE-=BMB=60。 :.△OAB和△OAF都是等边三角形， .OB=OA=OF=AB=AF=4,∠AOB=∠AOF=60° ∠80F=∠40B+∠40r=120,S.am=Ss=5 B2=43 4 120×42×π_16π .S扇形BOF= 360 3 二阴影部分的面积为Sas-5m-Sm-16-4N5-45-16-8N5 3 3 3.(2025四川绵阳中考真题)如图，点A,C在⊙0上，连接A0,C0并延长，分别与⊙0的切线相交 于点B,点D,切点为E,CD与⊙O交于点F,连接AE,AF,AD⊥BD,垂足为点D,DE=3,DF=1, D B C 备用图 (I)求证：AE平分∠BAD: 54/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)设AB=kOB(k>0),求k的值： 3)求cos∠EAF的值. 【答案】(1) 证明：如图，连接OE, E A由题意，得 与 相切于点E, BD OO .OE⊥BD, 又AD⊥BD, .OEI‖AD, ∴.∠OEA=∠DAE, :OA和OE都是⊙O的半径， ..OA=OE. .∠OEA=∠OAE. :.∠DAE=∠OAE, ∴.AE平分∠BAD: +1 6)cos∠EAF=3V10 10 【分析】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理，借助圆的背景，灵活运用圆周角定理找出角 度关系，和运用勾股定理解三角形是解题关键. (I)连接OE,通过切线的性质得到OE⊥BD,从而推出OEAD,再利用平行线的性质和等边对等角推 理论证即可； (2)连接OE,借助Rt△ODE,利用勾股定理求出OE(即半径)的长，再利用平行线分线段成比例（或 证明相似三角形)，用k表示出BE和OB,借助Rt△OBE,利用勾股定理求解即可； 55/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)借助圆周角定理，推得∠DOE=2∠EAF,作∠DOE的平行线，借助△DOE,利用角平分线的性质和 勾股定理求解即可。 【详解】(1)略 (2)解：由(1)，得OE⊥BD, :点F在⊙0上， ..OF =OE. ∴.OD=OF+DF=OE+1, 在Ra0ED中，OD=0E2+DE,即(OE+1=0E+32 解得OE=4, ∴.0A=4, .AB=OB+OA=OB+4=kOB, :0B=k- 4 .∠B=∠B,∠OEB=∠ADB=90°， .aOBE∽AABD BE OB BE 1 BDAB,即BE+3K, 3 .BE= k-1: 在Ru0ae中，os-G+0e.司÷广-24 1 设1=k一，则(4=(3)+4， 4V6 t= 解得7（负值已舍去）， 14W7 .k-17 -+1 4 56/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：由圆周角定理，得∠EOF=2∠EAF, 如图，过点O作OM平分∠EOF,交DE于点M,连接MF D M人 B C 由(2)，得OE=OF, .OM平分∠EOF, S∠DOM=∠EOM=∠DOE=∠EAF. 又OM=OM, .△OEM≌△OFM(SAS) ∴.EM=FM,∠OFM=∠OEM=90°. .DM DE-EM =3-FM, 在RtDMF中，DM2=DF2+FM,即B-FM=P+FM2 解得W子 六在RiOFM中， OM=VOF+FM4 3, cos∠DOM=OF=4_3Ni0 OM4V1010 3 cos∠EAF=cos∠DOM=3Vi0 10. 4.(2025四川中考真题)如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上的一点，AD和过点C的切线互相垂直， 垂足为D.延长DC交AB的延长线于点E. 57/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B (I)求证：AC平分∠DAE; 2)若anE=5 =12,CE=12,求o0的半径和CD的长. 【答案】(1) 证明：连接OC,则OC=OA, D B E.∠EAC=LOCA :CD与⊙O相切于点C, .CD⊥OC, :AD⊥CD, AD∥OC, ∴.∠DAC=∠OCA. ∴.∠DAC=∠EAC, .AC平分∠DAE: 0 (②)o0的半径长为5，CD的长为13 【分析】(I)连接OC,由等边对等角得到∠EAC=∠OCA,由切线的性质得CD⊥OC,而AD⊥CD, 则AD川OC,再由平行线的性质以及等量代换即可证明AC平分∠DAE. OC=OC=tam E=5 (2)作OF1AD于点F,因为amE=2,CE=12,所以CED 12,则OA=OC=5,求得 FO OA 5 E0=VOC2+CE2=13△O4Fn△EOC,可证明，得CEE013,求得F0=dCE=6 -8,则C=0-g,即 可求解半径和CD 【详解】(1)略 (2)解：作OF⊥AD于点F,∠AF0=∠OCE=90°， 58/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 5 CE=12 0C_0C ∴.CE-12 =tanE=5 2, ∴.0A=OC=5. .OC⊥CD. .E0=V0C2+CE2=V52+122=13 AD‖OC LOAF=∠EOC, .△OAFn△EOC, FO OA 5 .CEE013, F0=5cE= 13 13 12=60 13, ∠OFD=∠D=∠0CD=90°， 四边形OCDF是矩形， c=0-8, 60 :.O0的半径长为5，DC的长为13， 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形 的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键 5.(2025四川攀枝花中考真题)如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点 D、E、F,∠DOE=120°，∠EOF=150°. 59/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求△ABC的三个内角的大小； (②)设⊙O的直径为d,证明：d=AB+AC-BC 【答案】(1)∠A、∠B、∠C的度数分别为90°.60°30° (2) 证明：由切线长定理得AD=AF,BD=BE,CF=CE, .BD+CF=BE+CE=BC. .AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC, .2AF=AB+AC-BC. ,∠ODA=∠OFA=∠A=90°， .四边形ADOF是矩形， ..OD=AF. ,⊙0的直径为d,OD为⊙0的半径， .d=20D=2AF, ∴.d=AB+AC-BC 【分析】(1)根据题意得∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°. ∠B=360°-∠QB-∠QEB-∠D0E=60°，∠C=360°-∠OEC-∠0FC-∠E0F=30°，所以 ∠A=180°-∠B-∠C=90°.即可求出. (2)由切线长定理得AD=AF,BD=BE,CF=CE,则BD+CF=BE+CE=BC,由 AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC,得2AF=AB+AC-BC,由∠ODA=∠OFA=∠A=90°，得 到四边形ADOF是矩形，则OD=AF,结合⊙0的直径为d,OD为⊙0的半径，得到d=2OD=2AF,即 可求出。 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、 矩形的判定等知识。 【详解】(1)解：：⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F, .AB⊥QD,BC⊥CE,CA⊥C :.∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°. .∠D0E=120°，∠E0F=150°， 60/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠B=360°-∠QB-∠CEB-∠DaE=60,∠C=360°-∠0EC-∠0FC-∠E0F=30°， .∠A=180°-∠B-∠C=90°， .∠A∠B、∠C的度数分别为90°60°30° (2)略 6.(2025四川巴中中考真题)如图，P为⊙0外一点，PA和PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC 为直径 B (1)求证： ①△APO≌△BPO ②PO∥AC 包4C=2.0c=5,求0rA 的长 【答案】(1) ①证明：PA、PB是⊙O切线， ∠PA0=∠PB0=90°， 又：AO=BO,PO=P0 ∴.Rt△PAO≌Rt△PBO(HL) ②证明：点C在⊙0上. ∴.∠AOB=2∠C 由①可知：Rt△PAO≌Rt△PBO, ∴.∠AOP=∠BOP= ∠AOB 2 .∠BOP=∠C, ,AC∥PO (2)5 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，熟练掌 61/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 握切线的性质是解题的关键 (1)根据切线长定理得出∠PAO=∠PB0=90°，结合AO=B0,PO=PO,即可证明. (2)根据圆周角定理得出∠AOB=2∠C,由①可知：Rt△PAO2Rt△PBO,得出 ∠A0P=∠B0P-号40B,即可正疾∠BOP=∠C,进得到p0/HC (3)连接AB.根据圆周角定理得出∠BAC=90°，证明△ACB∽△AOP,根据相似三角形的性质即可求解 【详解】(1)略 (2)解：连接AB 0 是 的直径， :BC⊙O ∴.∠BAC=90° 又：∠PAO=90°，∠AOP=∠C=∠BOP, .△ACB∽△AOP :4C、A0 CB OP 2-V5 250p, .OP=5 7.(2025四川广元中考真题)综合与实践 (1)【初步感知】如图O,△ABC和△ADE中，∠C=90°，AE·AB=AD·AC,∠CAD=∠EAB,求∠E 的度数； 图① 62/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)【深入探究】如图②，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是线段BC上一点，连接AE,过点 A在AE上方作FA1EA,使S-2S凭m,连接DF,请证明△MBE∽△MFD:并直接写出点P到 BC的距离的最大值； D E 图② (3)【学以致用】如图③，梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=AB=8,BC=16,点E是线段 AB的中点，点P是线段BC上一点，连接EF,过点B在EF上方作GELFE,使S.m日Sm,当 △ADG的面积最小时，求EG的长. D B 图③ 【答案】(1)∠E=90°： 1 &4E4B:D.即E=B0 AF AD ·ABAE ,四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, .∠BAD=∠B=90°，BC=AD=4, FA⊥EA, ∴.∠FAE=90 .∠FAD=∠BAE=90°-∠DAE 63/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△ABE∽△AFD .∠AFD=∠B=90° F在以AD为直径的圆上运动， ·F到BC的最大距离为2 AD+AB=号×4+3=5 (3) EG=3V2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形和梯形的面积计算及几何最值问 题，解题的关键是通过角度关系和线段比例证明相似三角形，利用面积关系转化线段关系，结合图形性质 求解. (I)初步感知：由∠CAD=∠EAB推出∠CAB=∠DAE,结合AE·AB=AD·AC得比例式，证明 △ABC△ADE,利用∠C=90°得出∠E的度数. (2)深入探究：由矩形面积和△AEF面积关系得AE·AF的定值，结合FA⊥EA和矩形中∠ABE=90°，证 明△ABE∽△AFD;得出∠AFD=90°，即可得出F在以AD为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求解. (3)学以致用：先计算梯形面积和△EFG面积，结合GE⊥FE得FEGE的定值；根据(2)构造矩形 OPEB △PEGFEB ∠PGE=∠FBE=90° ,证明 ,得出 ,得出6在PE为直径的圆上，进面求得出当 △ADG的面积最小时，得出△PGE是等腰直角三角形，勾股定理即可得出EG长. 【详解】(1)解：：∠CAD=∠EAB .∠CAD+∠DAB=∠EAB+∠DAB,即∠CAB=∠DAE AE·AB=AD·AC, AE AD AC AB “,△ABC∽aADE(两边对应成比例且夹角相等). :∠C=90° .∠E=∠C=90° (2)略 (3)解：梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=AB=8,BC=16, .S.EFG= og40-c0k48=-10x8=2. .GE⊥FE 64/202 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 )G6EF=2,即GE.EF=24 ,点E是线段AB的中点， 1 .BE=AB=4 如图，取BQ=6,作矩形QPEB,则PE=OB=6,∠PEB=∠B=90°，连接PG, D P- OF 图③ .EB×PE=4×6=24, ∴EB·PE=GE·EF, EG PE EB EF' 又∠GEF=∠PEB=90°， .∠GEP=∠FEB=90°-∠PEF, ∴.△PEG∽△FEB, .∠PGE=∠FBE=90°， .G在PE为直径的圆上， ∴，当△ADG的面积最小时，G在过O点且垂直于PE的直线上，则此时△PGE是等腰直角三角形， GP-GE-PE-3 2 8.(2025四川广元中考真题)在平面直角坐标系 x0中，抛物线 =am2+bx-4(a>0)与'轴交于点 A和点B(-4,0),与'轴交于点C (I)求b与a的关系： 1 2)如图①，当a=2时，点p在抛物线上，SPc=4,求点p的坐标： 65/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图① (3)如图②，若抛物线上一点Q关于直线BC的对称点是△AOC的外心M,求a的值. 图② 【答案】(1)b=4a-1 aP(-2-4)成P-2+25,-22)或P(-2-22,22) ⊙1 【分析】（山将8(-4,0）代入=r+x-4,即可求解： (2)先求得直线BC的解析式y=-x-4,当P在BC的下方时，如图，过点P作PO上x轴，交BC于点， 进而求得PQ的长，根据三角形的面积公式建立方程，即可求解；当P在BC上方时，过点M作BC的平行 P:P 线交抛物线与点 ，得出直线B 的解析式为少=--2 ,进而联立抛物线，即可求解； M 1 ,0 (3)根据题意先求得 根据直角三角形的外心在斜边的中点上得出 2a2.设0x). QM的中点为N,过点Q作0∥x铺交BC于点T,进而得出A7M是等医直角三角形，则2a,根 1 锯中点坐标求得，代入C得出yX6,根据T上OT,得出2y大，联立求得 66/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q24之，进面将Q-24品代入趋物线解析式，印时术部。 1 2a 【详解】(1)解： B(4,0)代入y=ar+b-4得 16a-4b-4=0 .4a-b-1=0即b=4a-1 (2)解：：a=2 6=4x}1=1 心抛物线解折式为 22+x-4 当x=0时，y=-4 :c0-4) 设直线BC的解折式为”=+bk≠0)，代入B(-4,0.C(0,4 [-4k+b=0 得b=-4 k=-1 解得：b=-4 y=-x-4 当P在BC的下方时，如图，过点P作POLx轴，交BC于点Q, V B 图① 设m2m+m-4 1 则2(m,-m-4) 67/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PQ=-m-4 2m2-m+4=- 2m2-2n .B(-4,0) ∴B0=4 S.PBC=4 P0×B0=4 … x4-m2-2m=4 ….221 解得：m=-2 2或-244 P(-2,4),则(-2,2) P0=×(-2-2x(-2)=2,PC=2且pc1y抽. PC=Pg」 ∴.aPC卫是等腰直角三角形 ∴.∠PCQ=45° ∴.P到BC的距离为 20=5 如图，延长P吧交*轴于点M,则M(-2,0) 图① .△AOM是等腰直角三角形，且BM=2 68/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.M到CB的距离为2 BM=5 S.Pac=4 :当P在BC上方时，点P在过点M与BC的平行线上，设过点M与BC的平行线交抛物线于点 ,P 设直线BM的解析式为y=-x+t f代入M(-20) .0=2+t 解得：t=-2 .y=-x-2 -+4 联立 y=-x-2 x=-2+2V2[x=-2-22 解得：y=-22或y=22 P(2+25,-22)或P-2-22,22) 综上所述，P(-2,4)或P-2+22,-22)或P(-2-22,22) (3)抛物线方程为'=ar+hr-4 由(1)知b=4a-1 当=0时，y=4,则C(0,4) y=ax2+(4a-1)x-4 故抛物线为： 设4k,0) 当少0 ax2+(4a-1)x-4=0 时， B40) 69/202 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :方s45=k +x=- 4a-1 a 即4+k=-4a-1 a :△AOC是直角三角形， ∴.△AOC的外接圆的圆心在AC上，且为AC的中点， co.4后o ∴.△AOC的外接圆的圆心坐标为： 因为直线BC的解析式为y=-x-4 如图，设(，），QM的中点为N,过点P作0∥x轴交BC于点T .OB=0C=4 .△OBC是等腰直角三角形， .∠OBC=45o ∠NT9=∠OBC=45° “△QTN是等腰直角三角形， :2,M关于BC对称， QM⊥NT,QN=WM .NM=NT, :.△NTM是等腰直角三角形， 70/202 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA M 图② 0x.4品2 1 :N在BC上， 1 y-2 x+ 2 -4 .2 2 2a① :.M7=07 1 .-2-y= 2a -x ∴.x-y= +2② 2a x=-2 1 联立①②得， y=-4- 2a .0-2,-4- ,Q在抛物线上，代入抛物线方程： 4-1=4a-2(4a-1）-4 2a a=15 a=5 解得 4 4 71/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .a>0 081 4 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，三角形的外心的性质，等腰直角三 角形的性质与判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识是解题的关键， 9.(2025四川广元中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点D是线段BA延长线上一点，过点D的直线 与⊙O相切于点C,过线段OB上一点E作AB的垂线交DC的延长线于点F,交BC于点G. G D A OE (I)求证：∠F=2∠B； 2)若A0=4,AD=OE=1,求FG的长. 【答案】(1) 证明：如图，连接OC G 3 2 OE B ,过点D的直线与⊙O相切于点C, OC⊥DF, .FE⊥AB, .∠3=∠F=90°-∠D 72/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OC=OB. .∠1=∠2， :∠3=∠1+∠2 .∠3=2∠2， .∠F=2∠2， 即∠F=2∠B; (2)7 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质得到OC⊥DF,而FE⊥AB,则∠3=∠F=90°-∠D,再根据 等边对等角以及三角形的外角性质即可证明： (2)先证明△DCO∽aDEF,求出DF,EF,再证明FG=FC,最后由线段和差即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：AD=0E=1,OC=OA=4, :.OD=1+4=5,ED=1+4+1=6, .OC⊥DF, :DC=V0D2-0C=3 :∠D=∠D,∠DEF=∠DCO=90° .△COADEF, DC DO CO ·DE DF FE' 354 ∴6DFEF, DF=10,EF=8, 设∠B=x,∠F=2x 则∠FGC=∠BGE=90°-x, ∴.∠FCG=180°-∠F-∠FGC=90°-x=∠FGC, ..FG=FC=DF-DC=7 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外 73/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 角性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键 10.(2025四川广元中考真题)如图，己知∠A0B,以点0为圆心，2为半径画弧，交0A于点M,交 OB于点N,分别以点M,N为圆心，大于2MW的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C,画射 线OC交 '于点E,连接MC,WC A B (1)求证：∠AOC=∠BOC; 2)若∠A0B=60 ME ,求 的长， 【答案】(1) 证明：由作图方法可得OM=OW,MC=NC, 又.0C=0C, .△MOC≌aNOC(SSS) ∴.∠MOC=∠NOC,即∠AOC=∠BOC: o 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，求弧长，熟知相关知识是解题 的关键， (1)由作图方法可得OM=ON,MC=NC,再利用SSS可证明△MOC≌aNOC,据此可证明结论： (2)根据(1)所求可得∠M0E=30°，再根据弧长公式求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：.∠AOB=60°， :.∠AOC=∠BOC=5∠AOB=30° 又.OM=2, 74/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30π×2π ·WE的长=180=3， 11.(2025四川乐山中考真题)如图，⊙O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE,垂足为点F.点 C为圆外一点，连结BE、BC、CD,∠DBC=∠DEB D B (I)求证：BC为⊙O的切线： ②若BEICD,tamC=3 4,CD=5,求OF的长. 【答案】1) 证明：，直径AB垂直于弦DE, .BE=BD,∠AFD=90°， .BE BD, ∴.∠E=∠BDE .'∠DBC=∠DEB .∠DBC=∠BDE. .DE∥CB ∠ABC=∠AFD=90°， 即OB⊥BC, .OB为半径， .BC为⊙O的切线： 1 (② 【分析】(I)先由垂径定理得到BE=BD,则BE=BD,再导角证明DE∥CB,则∠ABC=∠AFD=9O° 即可证明： (2)可证明四边形BCDE是平行四边形，则∠E=∠C,BE=CD=5,然后解RtaBEF求出 75/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BF=3,EF=4 ,连接0E,设5=OB=y0听=y-3R△0D一 ”,则 ,在 中，由勾股定理得 4+(0-3)=少，求出y,再由OF=y-3即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：·BECD,DE∥CB, .四边形BCDE是平行四边形， .∠E=∠C,BE=CD=5, .tanE =tanc=3 ,AB⊥ED, .tanE=BF3 EF 4 设BF=3x,EF=4x」 BE-VBF2+EF-5x-5 .x=1, .BF=3,EF=4 连接OE，如图： B 设OE=OB=y,则OF=y-3 在Rt△OEF中，由勾股定理得OF2+EF2=OE2, 4+0-3=严 76/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25 解得：y= 6 .OF= 532 7 6 6 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质， 熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键. 12.(2025·四川资阳中考真题)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交 ⊙0 BC AC 于点D,过点D作的平行线交的延长线于点E. E C B 1)求证：DE是⊙0的切线： Q)若∠BMC=60°，CE=5 的半径. 【答案】(I) 证明：连接OD ,⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°，OA=OD .∠OAD=∠ODA, :DE∥BC, ∴.∠AED=∠ACB=90°， ,∠BAC的平分线交⊙O于点D, ∴.∠EAD=∠BAD, ∴.∠EAD=∠ADO. .ODI AE .∠ODE=180°-∠AED=90°， 77/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OD为⊙0的半径， .DE是OO的切线： ®26 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形： (1)连接OD,圆周角定理，得到∠ACB=90°，平行得到∠AED=90°，证明OD‖AC,求出 ∠ODE=90°，即可得证： (2)设OD交BC于点F,易得四边形CBDF 为矩形，得到 CE=DF=3 根据含30度角的直角三角形 的性质，结合线段的和差关系，进行求解即可， 【详解】(1)略 (2)解：设OD交BC于点F, :∠BAC=60°，∠ACB=90° .∠ABC=30° CE∥DF,DE∥CF,∠E=90°， ∴.四边形CEDF为矩形， :∠DFC=90°，DF=CE=5 .∠0FB=90°， 设O0的半径为，则：OB=0D=,OF=OD-DF=r-5 .∠OFB=90°，∠ABC=30°」 ..OB=20F, :r=2-5) 78/202 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :=25 ⊙0 25 的半径为 13.(2025四川宜宾中考真题)如图，已知AE是⊙0的直径，D是⊙0上一点，过D作直线DB与AE 的延长线交于B点，过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE,且∠AED=∠ADC, (I)求证：直线BC是⊙O的切线： ②)若AE=10 tan∠CAD 4,求DE与BD的长度： (2②的条件下，若F为正上的动点，且F在直线B上方，连结 AF、DF、EF 当四边形 ADEF面积最大时，求DF的长度. 【答案】(1) 解：连接OD, 则OD=OE, .∠ODE=∠OED, :∠AED=∠ADC, .∠ODE=∠ADC, :AE是⊙O的直径， .∠ADE=90°， .∠ODC=∠ADC+∠ODA=∠ODE+∠ODA=90°， 79/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴直线BC是⊙O的切线： ②)DE=6' BD=120 7 3)DF=72 【分析】(1)连接OD,可得∠ODE=∠OED,∠ODE=∠ADC,由直径性质，得∠ADE=90°，可得 ∠ODC=90°，即得直线BC是⊙0的切线： (2)证明∠C4D=∠DAE,得am∠CMD=an∠DAE=3,得DE=3 =4,得AD4,可得DE=6,证明BDE6BAD: BEDE=3BE=4BD,由OD2+BD2=OB2得BD/20 得BDAD4 79 (3)过点B作EG⊥BF于点G,则∠DGE=90°，当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F是 的中点，可得4F=BF,得∠AEF=∠BF=45°，得∠BDF=∠E=45°，A∠DEG=45 AE ,得 得 DG=EG=35,由EF=55,得FG=4W5,即得DF=75 ,即得 【详解】(1)略 (2):∠C=∠ADE=90,∠ADC=∠AED, .∠CAD=∠DAE, :ta∠CAD=tan∠DAB=3 tan∠DAE= DE AD· DE 3 AD4’ 40-等0， .AD2+DE2=AE,AE=10, DE1DR-10 .DE=6, 80/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E O B ,∠BDE=∠CAD,∠CAD=∠DAE, .∠BDE=∠DAE, ,∠B=∠B」 ∴.△BDE∽△BAD, BE DE 3 BDAD4' g如 :OD=0E=24AE=5, :OB=OE+BE=5+2BD】 .:OD2+BD2 =OB2, 5+BD= 5+3BD 2 4 解得BD=0(舍去)或BD=120 : (3)过点E作EG⊥BF于点G, 则∠DGE=90° E 当四边形 ADEF 面积最大时，△1F面积最大，点到E的距最大，点r是 的中点， :Af=球 .AF EF, 81/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠AFE=90°， :∠AEF=∠BAF=,I80°-∠AFE)=45°」 .∠EDF=∠EAF=45°， ∠DEG=90°-∠EDF=45°， .DG=EG, .DG2+EG2=DE2,DE=6, DG=EG=32 ,AE=10」 EF= AE=5√2 2 FG=VEF2-EG=42 DF=DG+FG=2 【点睛】本题考查了圆与三角形综合.熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定和性质，正切定义，勾 股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键 14,(2025四川德阳中考真题）在00中直径4B与弦CD交于点，C=2BD,连接4D,过点B作 OO的切线与AD的延长线相交于点F,CD的延长线与BF的延长线相交于点G. E D B (1)若∠AFB=70°，求∠G的度数； (②)连接CO,AC,再连接DO并延长交AC于点M, ① DM⊥AC 证明： 82/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②CD·AF=16 ⊙0 若 ,求的直径. 【答案】(1)30°： 2①证明：AC=2BD .∠ADC=2∠BAD. ..OA=OD. .∠OAD=∠ADO. ∴.∠ADC=2∠ADO .∠ODC=∠ODA, .OC=OD. .∠OCD=∠ODC. .∠OCD=∠OAD. 又.0C=OA, .∠OCA=∠OAC, .∠CAD=∠ACD, 又.MD=MD △CMD≌△AMD(AAS) :.∠AMD=∠CMD=18 =90° 2 :.DM⊥AC: ②4 【分析】（小）先由切线的性质可得∠4BF=90°，则∠BF=20°，又AC=2BD 所以 ∠ADC=2∠BAF=40°，最后通过三角形外角性质即可求解： (2①由AC=2BD,则∠ADC=2∠BMD,因为O1=0D,故有∠01D=∠AD0,则 ∠ADC=2∠AD0,得到∠ODC=∠ODA,通过等腰三角形的性质可证明 △CMD≌△AMD(AAS) 再根据全 83/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 等三角形的性质可得∠AMD=∠CMD=180 =90°，从而求证： AD AB ②连接BD,证明。ABD6AFB,则有AB=AF,所以AB'=AD·AF,由①知∠CAD=∠ACD,故有 AD=CD,即4B=CD1 ,然后代入求解即可， 【详解】(1)解：：AB是⊙0直径，BG是⊙0的切线， :.∠ABF=90°， ,∠AFB=70° .∠BAF=20°， AC=2BD .∠ADC=2∠BAF=40° ∴.∠GDF=∠ADC=40°， .∠G=∠AFB-∠GDF=70°-40°=30°： (2)解：①略 ② BD 连接 D B G :AB是⊙O直径， .∠ADB=90°， ∴.∠ADB=∠ABF, 又∠BAD=∠BAD, .△ABDP△AFB, AD AB ·ABAF, 84/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB2=AD·AF, 由①知，∠CAD=∠ACD, .AD=CD, .AB2=CD·AF, .CD.AF=16, .AB=4. 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角 形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键 15.(2025四川宜宾中考真题)如图，扇形OW为某运动场内的投掷区， PN 所在圆的圆心为O、A、 A.N0在月直线上.直线4P与P爪所在O0相切于点P.此时测得∠P10=45”:从点1处沿0 方 QB0=60° 向前进8.0米到达B处.直线 线0与四所在O0相切于点°，此时测得 （参考数据： √2≈1.41，V3≈1.73，π≈3.14 P 45°60P B (I)求圆心角∠PON的度数； ②求P的弧长（结果精确到0.1米）. 【答案】(1)45° (2)24.1m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是 解题的关键。 (1)由圆的切线的性质得到∠AP0=90°，再由直角三角形锐角互余即可求解： 85/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3x2 (2)先解RtBO0,设B0=x,B0=2x,O0=OP=5x,再解RtAAPO得到8+2x2,求出x,求 出半径，再由弧长公式即可求解. 【详解】)解，直线1P与P爪所在0相切于点P, ⊙0 ∴.∠AP0=90°， :∠PA0=45°， :∠P0N=90-∠PA0=45°； (2)解：：直线0与P 所在⊙ 0相切于点2， .∠BQ0=90°， :∠QB0=60°， .c0s∠QB0=cos60°=B2-1 BO 2 设B0=x,B0=2x, :O0=0P=VB02-B0=V5x .AB=8.0m, A0=AB+BO=(8.0+2x)m ,在RtAP0中，∠A=45°， :sin4=sin45°=P0-V2 A02, 3x 2 .8.0+2x2, 解得：x=(46+8)m :OP=5×(46+8-(2W2+8v3)m 86/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 45π×12V2+85) ·PN的弧长为： ≈24.1m 180 PN 24.lm 答： 的弧长为 16.(2025四川眉山中考真题)如图，AB为⊙0的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙0的切线，交 AB BE∥DC⊙O AE、AC 延长线于点D,过点B作 ，交于点E,连接 E (1)求证： CE=CB ②)若LBAE=60°，⊙0的半径为2，求AC的长. 【答案】(1) 证明：连接OC,OE,BC,则：OC=OA, ∴.∠0AC=∠OCA, :CD是⊙O的切线， .OC⊥CD, .∠BCD+∠BCO=90°， :AB为⊙O的直径， ∠ACB=90°， .∠0CA+∠OCB=90°， .LOCA=∠BCD .∠BAC=∠BCD, .BEll CD, :.∠CBE=∠BCD 87/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAC=∠EBC, :∠BOC=2LBAC,∠COE=2∠CBE ∴.∠BOC=∠COE, .CE-CB E B Q3 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关 键： (1)连接OC,OE,BC,等边对等角，得到∠OAC=∠OCA,切线推出∠BCD+∠BC0=90°，直径得 到∠ACB=90°，进而得到∠OCA+∠OCB=90°，推出∠BAC=∠BCD,平行线的性质，结合圆周角定理得 到∠BOC=∠COE,等角对等弧，即可得证： (2)延长C0交O0于点F,连接AF,由(1)可推出△FAC是含30度角的直角三角形，利用三角函数 进行求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：延长CO交⊙0于点F,连接AF,则：CF为⊙O的直径， .∠FAC=90°， ⊙0的半径为2， ∴0C=2 .CF=20C=4, CE=CB 由(1)知： 88/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠EAC=∠BMC=2 BAE=30° .∠ACF=∠OAC=30°， AC=CF·cos∠ACF=4× -23 2 17.(2025四川广安中考真题)如图，⊙0是△ABC的外接圆，BC是⊙0的直径，点E在BC的延长线 上，连接AE,∠ABE=∠CAE, I)求证：AE是⊙O的切线. (2)过点C作CD⊥AE,垂足为D,若△ABC的面积是△ADC的面积的3倍，CE=12,求AE的长 【答案】1)证明：如图所示，连接OA, :OB=OA, .∠OAB=∠ABE, :∠ABE=∠CAE, ∴.∠OAB=∠CAE. :BC是⊙O的直径， .∠BAC=90°， .∠OAC+∠CAE=∠OAC+∠OAB=90°， .∠OAE=90° .OA⊥AE :OA是⊙0的半径， AE是⊙O的切线： D 89/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 e22 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等 等，熟知切线的判定定理，相似三角形的性质与判定定理是解题的关键， (1)连接OA,由等边对等角得到∠OAB=∠ABE,则∠OAB=∠CAE,由直径所对的圆周角是直角得到 ∠BAC=90°，则可导角证明∠0AE=90°，据此可证明结论： SABC 4C)2 (2)证明△BAC△ADC,得到S.MDC CD 3,则S-C-5.t0D=州40= CE CD 2 BC=3x,证明OAEACDE,得到OE=A03,则OE=18,据此可求出OA=OC=6,再利用勾股定 理即可求出答案。 【详解】(1)略 (2)解：CD⊥AE, .∠ADC=∠CDE=90°」 .∠BAC=∠ADC=90° 又：∠ABE=∠CAE, .△BACn△ADC, AC BC CD AC' :aABC的面积是△ADC的面积的3倍， S.ABC= (AC)2 =3 SMDC CD AC_BC=3 CD AC 设CD=x, :AC=3x BC=3x :.40=IBC=3x 2 , ·∠E=∠E,∠OAE=∠CDE=90°， ∴.OAEACDE. 90/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE CD 2 OE AO3 CE=12, OE=18. .0C=0E-CE=18-12=6, ∴.OA=OC=6 在Rt△A0E中，AE=NOE2-OAP=V182-6=122 18.(2025四川遂宁中考真题)如图，AB是O0的直径，C是⊙0上的一点，连接AC、BC,延长AB 至点D,连接CD,使∠BCD=∠A. E Gδ D B H Q)求证：CD是⊙O的切线. ②点E是C的中点，连接BE,交1C于点F,过点E作H1B交O0于点”，交4B于点G,连接 BH,若BD=2,CD=4,求BF·.BH的值. 【答案】(1) 证明：连接OC, E A GO D B H AB是直径， :∠ACB=90°，即∠1+∠2=90°， .OA=OB .∠A=∠1， 91/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BCD=∠A, .∠BCD=∠1， LBCD+∠2=90°， 即∠OCD=90°， .OC⊥CD, .CD是OO的切线： 365 (2)5 【分析】(1)连接0C,由圆周角定理得∠I+∠2=90°，又由等腰三角形的性质及已知可得∠BCD=∠1， 即得∠BCD+∠2=90°，进而即可求证： 4=BC_2 BC 1 (2)连接EC,由BCDP6CAD得ADAC4,即得AD=8,AC=2,即得到AB=AD-BD=6? ▣BC=6V5 设BC=a,则4C=2a,由勾股定理得(2a+a=6,解得BC 5,再证明△CEB∽aFAB,得 BE BC ABBF,即得BEBF=ABBC,进而由BE=BH得BEBF=BHBF=ABBC,代入计算即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：连接EC, ,∠BCD=A,∠D=∠D, ∴△BCDP△CAD, CD BC BD .AD AC CD' .BD=2,CD=4, 4BC_2 ·ADAC4' BC 1 .AD=8'AC 2' AB=AD-BD=8-2=6, 设BC=a,则AC=2a, 92/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC2+BC2=AB2, .(2a}'+a2=62 6√5 : 5, .BC=6v5 5, :点E是1C的中点， AE=EC ∴.∠3=∠4， ,∠CEB=∠A, ∴.△CEB∽△FAB」 BE BC .ABBF· 即BE·BF=AB·BC, ,EH⊥AB, ∴.AB垂直平分EH, .BE=BH, .BE·BF=BHBF=AB·BC, ,BF-BH=6x65=365 55 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理， 勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键 19.(2025四川遂宁·中考真题)我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形 叫这个圆的内接四边形.我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻 等内接四边形”. (1)请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形.其中是邻等 内接四边形的有一（填序号）. 93/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ① ② ③ ④ (2)如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC=90°，AB=3,AC=4,AB=AD,求四边形 ABCD的面积. 【答案】(1)③ (2)7.68 【分析】(1)根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答. (2先根据勾股定理球出B8C=VA6+4C=5,设OH=,41- x,结合勾股定理整理得 BO2-OH2=AB2-AH2 代入数值得=07 OHm△BDC DC=2H0=1.4 ，再证明“是 一的中位线，则 ,分别算 SBDC和 AD,即可作答· 【详解】(1)解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形， 图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：③： (2)解：：∠BAC=90°，AB=3,AC=4, BC=VAB+AC2=5 ,四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC=90 A,B,C,D四点共圆，且BC为直径， 把BC的中点记为点O,即A,B,C,D四点在⊙O上， 连接BD,AO,相交于点H, 94/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H BC=5, :B0=OA=5 2’ 设0H=x' AH=5 x, AB=AD .AO⊥BD,BH=DH 则在RtABH中，BH=AB2-AH, 在RtABOH中，BH2=BO2-OH2, .BO2-OH2=AB2-AH2 解得x=0.7」 AH=2.5-0.7=1.8 则BH=V32-1.82=2.4 即BD=2.4×2=4.8, BC是直径， .∠BDC=90°， BH=DH,BO=OC, .OH是△BDC的中位线， .DC=2H0=1.4, 1 1 则S,m-2×BDxDC=2×4.8x14=3.36 95/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 S.BDA= DxAh-×48x1.8=432】 四边形 ABCD 的面积 SBc+SB4=3.36+4.32=7.68 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正确掌握相关 性质内容是解题的关键。 20.(2025四川内江中考真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D,点O 是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D,交AB于点E. D 1)求证：直线AC是⊙O的切线： 2)若点E为A0的中点，AD=3,求阴影部分的面积； (3)连接DE,若 in∠DBA= 5,求cosA的值. 【答案】(1) 证明：如图所示，连接OD, :BD平分∠ABC .∠OBD=∠CBD, .OB=OD ∴.∠ODB=∠OBD, .∠ODB=∠CBD, .ODI‖BC ∠C=90° ∴.∠ODA=∠C=90°， .OD⊥AD, .OD是⊙0的半径， 96/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.AC是⊙O的切线： C D E 3V3-π (2)2 6)5 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾 股定理等等，熟知相关知识是解题的关键。 (1)连接OD,由角平分线的定义得到∠OBD=∠CBD,再由等边对等角得到∠ODB=∠OBD,则 ∠ODB=∠CBD,据此可证明ODI‖BC,得到∠ODA=∠C=90°，由此可证明AC是⊙0的切线： (2)根据线段之间的关系证明0A=20D 解直角三角形可得∠40D=60°，则可求出 D=3 再根据 S影=S400-S彩0e列式计算即可： (3)由直径所对的圆周角是直角得到∠BDE=90°，解Rt△BDE得到 sin∠DBE=DE=VS BE5,设 DE=水BE=V5r,由勾股定理可得0=2，证明∠ADE=∠OBD,进而证明△4BD△MDE,得到 AD AE DE 1 D8D2,则AB=2AD,AD=2HB,4B=44E,进而可求出0A=AE+0E=号4E,再无 2 余弦的定义可得答案。 【详解】(1)略 (2)解：点E为AO的中点， .OA=20E, ...OD=OE ..OA=20D 由(1)可得∠ODA=90° 97/202 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtADO中，Cos∠AOD= OD 1 042, .∠AOD=60° .OD=_ AD 3 tan∠4OD tan60° =5 e=-5m-5aae35- 0m×(V53W5-元 360 2 (3)解：BE是OO的直径， .∠BDE=90°， sin∠DBE= DE 5 在Rt△BDE中， BE 5, 设DE=BE=5r BD=BE2-DE=2x :∠ADO=∠BDE=90°， .∠ADO-∠ODE=∠BDE-∠ODE, ∴.∠ADE=∠ODB, .OB=OD ∴.∠ODB=∠OBD .∠ADE=∠OBD. 又∠A=∠A, .△ABD∽△ADE, AD AE DE=x1 AB-AD BD 2x 2' .AB=2AD,AD=2AE, .AB=4AE, .BE=AB-AE=3AE, OE-DEE 98/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OA=AE+OE= CosA= AD 2AE 4 在 中， OA5 AE tAADO 21.(2025四川凉山中考真题)如图1，AB是⊙0的直径，PA与⊙0相切于点A,连接PB交⊙0于点 C,连接AC,则∠PAC=∠B,理由如下： 是 的直径， A 图1 AB⊙O .∠ACB=90°， .∠CAB+∠B=90°， PA,⊙O 与相切于点A, .PA⊥AB, ∠PAB=90°， .∠CAB+∠PAC=90°， .∠PAC=∠B P B ·O 0 A A 图2 图3 图4 (I)小明根据以上结论，自主探究发现：如图2，当AB是非直径的弦，而其他条件不变时，∠PAC=∠B仍 然成立，请说明理由： (②)小明进一步探究发现：如图3，线段PA与线段PC,PB存在如下关系：PAP=PCPB,请你替小明证一 证： 99/202 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)拓展应用：如图4，△ABC是⊙0的内接三角形，∠BAC=45°，∠A0B=150°，BC的延长线与过点A 的切线相交于P,若⊙O的半径为1，请你利用小明的探究结论求PC的长： 【答案】(1) 如图所示，连接OA,OC, B 与 相切于点A, A PA⊙O .PA⊥OA, .∠PA0=90°， ∠CA0+∠PAC=90°， ·.2∠CA0+2∠PAC=180° .OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA, :∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°， .∠AOC+2∠OAC=180°， .∠AOC=2∠PAC. 又：∠AOC=2∠ABC, ∴.∠PAC=∠B; (2) 证明；由(1)可得∠PAC=∠B 又∠P=∠P, ∴.△PAC∽△PBA, PA PC ·PBPA' .PA=PB·PC; 100/202