第2章 实数的初步认识 典例精选与跟踪训练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 以“概念辨析-运算应用-综合拓展”为主线，融合方法提炼与跨知识点迁移，系统覆盖实数核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精选|3题|分式比较大小结论（分子为1时分母与值的关系）、平方根立方根定义应用|从实数概念（平方根、立方根）到运算（解方程），再到性质应用（分式比较、整数部分确定）| |跟踪训练|20题|无理数判断（定义法）、非负性应用（绝对值/平方/算术平方根）、估算技巧（夹逼法）|涵盖概念分类（有理数/无理数）、基本运算（开方、化简）、实际应用（黄金分割、数轴表示），形成“概念-运算-应用”闭环|

第2章实数的初步认识典例精选 1．解下列方程 (1) (2) 2．已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 3．对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 跟踪训练 一、单选题 1．下列各数中．是无理数的是（　　） A． B． C． D． 2．化简的结果是（   ） A．3 B． C． D． 3．是的（      ） A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根 4．下列命题是真命题的是（   ） A．0没有平方根 B．同位角相等 C．的立方根是 D．相等的角是对顶角 5．若的算术平方根是2，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．九年级要学习的黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计等方面．请你估算的值（    ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 7．下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．3 二、填空题 9．将数15.96用四舍五入法取近似数，若精确到十分位，则得到的近似数是_________________． 10．9的算术平方根是_____． 若，则的值为__________． 11．如图，在数轴上的点表示的实数是_______． 12．已知a、b满足，则的值是_________． 13．已知：，那么_______． 14．黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数和n之间，则n的值是__________． 三、解答题 15．把下列各数分别填入相应的集合里： ，，0，，，，，，（每两个2之间依次多一个1） 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 16．计算： (1)； (2)． 17．求下列各式中的的值： (1)； (2)． 18．已知：函数且是的正比例函数，的立方根是4，是的整数部分．求的平方根． 19．我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 典例精选答案 1．(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得或． （2）解：， ， ， 解得． 2．(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根，立方根的定义解答，再根据确定答案； （2）先求出，再求出算术平方根，小数部分：，然后求出差即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， 解得； ∵， ∴整数部分； （2）解：，算术平方根为4， 小数部分：， 差值：． 3．(1)①  ②③ (2)证明：，且， ； ； (3)，，或，，； 【分析】（1）①根据，利用结论，求解即可； ②根据，解答即可； ③，求解即可． （2）根据分母最大为10，结合性质，证明即可． （3）根据结论，转化成不等式，求整数解，解答即可； 【详解】（1）①解：，； ②解：， ； ③解：分母最大为19，最小为10， ． （2）略 （3）解：， ， ， ， ， 根据题意，得，，是三个正整数， 或； 当时，则， ， ， 或或， 当时，，不成立，舍去； 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， 解得；满足且都是正整数； 当时，则， 故， ， 或， 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， ， 解得；满足且都是正整数； 故，，或，，； 跟踪训练答案 1．A 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义逐一判断即可，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、∵是无理数，∴也是无理数，故选项符合题意； B、是分数，属于有理数，故选项不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，故选项不符合题意； D、，是有理数，故选项不符合题意； 故选：A． 2．A 【分析】本题考查算术平方根的定义， 表示 9 的算术平方根，结果为非负数，即可得到答案． 【详解】解： 是 9 的算术平方根，且 ， ∴ ， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了实数概念，相反数定义，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，由 与 只有符号不同，因此是相反数关系，熟知相反数定义是解题的关键． 【详解】解：∵相反数是指两个数符号不同，但绝对值相等， ∴的相反数是， ∴是的相反数， 故选：． 4．C 【分析】本题考查了平方根、立方根、同位角及对顶角，根据上述知识点逐项判断即可． 【详解】A． 0的平方根为0，原说法错误，是假命题，该选项不符合题意； B． 同位角是两个角的位置关系，在两直线平行的情况下相等，原说法错误，是假命题，该选项不符合题意； C． 的立方根是，正确，是真命题，该选项符合题意； D． 相等的角不一定是对顶角，原说法错误，是假命题，该选项不符合题意； 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义，一个非负实数的算术平方根是，则该数为的平方，据此即可求解． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查的知识点是估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握无理数的估算方法． 根据即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， 即的值在和之间． 故选：． 7．B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 8．C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据绝对值、平方及算术平方根的非负性可得，求出的值再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 9．16.0 【分析】本题考查了近似数，经过四舍五入得到的数为近似数，精确到十分位，需看百分位数字，百分位是6，大于等于5，向十分位进一，十分位9进一后为10，向个位进一，个位5变成6，十分位为0，故结果为16.0，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将数15.96精确到十分位，十分位上的数字是9，百分位上的数字是6， 由于，向十分位进一，十分位， 因此向个位进一，个位，十分位写0， 所以得到的近似数是16.0， 故答案为：16.0． 10． 3 2 【分析】本题主要考查算术平方根与立方根的定义，掌握 “算术平方根是正的平方根、立方根与原数符号一致” 是解题的关键．根据算术平方根与立方根的定义计算即可． 【详解】∵ ， ∴ 9的算术平方根是3； ∵ ， ∴ ． 故答案为：3；2． 11． 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出线段的长，进而求出线段的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得， ∴， ∵点A在原点右侧， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，求一个数的立方根等知识，根据算术平方根的非负性求出a的值，再代入求出b的值，然后计算的立方根． 【详解】解：由题意，和都有意义， 则且， 解得， 代入得， 所以， 故． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．2 【分析】本题考查无理数的估算，通过估算的值，利用夹逼法确定的范围，从而求出整数即可． 【详解】解：∵，即， ∴，即介于整数和之间， ∴； 故答案为：2 15．有理数集合为，0，，，，； 无理数集合为，（每两个2之间依次多一个1）； 正实数集合为，，，，（每两个2之间依次多一个1）； 负实数集合为，． 【分析】本题考查了实数的分类，掌握实数的分类和概念是解题的关键． 根据实数的分类，逐一判断，即可求解． 【详解】解：，， 有理数是整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数， 有理数集合为，0，，，，； 无理数是无限不循环小数， 无理数集合为，（每两个2之间依次多一个1）； 正实数是大于0的实数， 正实数集合为，，，，（每两个2之间依次多一个1）； 负实数是小于0的实数， 负实数集合为，． 16．(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂等知识点，正确计算是解题的关键： （1）先计算算术平方根，立方根，再进行加减运算即可； （2）先根据零指数幂，负整数指数幂，立方根，绝对值进行化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 17．(1) (2) 【详解】（1）解：， 整理得， 因此； （2）解：， 开立方得， 解得． 18． 【分析】本题考查了正比例函数的定义，立方根的含义，平方根的含义，无理数的整数部分，根据正比例函数的定义得出，根据立方根以及无理数的整数部分求得，代入代数式再求平方根，即可求解． 【详解】解：函数且是的是正比例函数， ， ， 的立方根是4， ， ， 是的整数部分， ； ，则的平方根为 19．(1)2 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）可得，则，再根据定义求解即可； （2）先根据无理数的估算方法得到，那么的小数部分，再估算出，然后根据定义得到 ，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算方法得到，然后根据不等式的性质得到；由， 是整数，且 ，得到 ，，再代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的小数部分； ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， 是整数，且 ， ∴ ，； ∴ ． 20．(1)，， (2)平行 (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、非负数的性质、坐标与图形性质、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质得到、、，然后计算即可解答； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与y轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5以及点B、C的横坐标为4，可以求得m的值，然后根据m的值分两种情况求的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ，，， ，，． （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴． （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时，； 当时，． 综上，的面积为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $