专题04 三角形（3年汇编）（辽宁专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编2024-2026辽宁中考三角形真题及模拟题，覆盖6大核心考点，注重几何推理与实际应用，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约15题|角平分线、等腰三角形性质等|结合平行线考查角度计算，如2026辽宁卷角平分线题| |填空题|约10题|相交线、相似比等|尺规作图与几何计算结合，如2024辽宁卷四边形作图题| |解答题|约20题|直角三角形旋转、锐角三角函数应用等|综合几何变换与实际情境，如收割机拨禾轮角度探究题；融入文化元素，如“出入相补”原理证明题|

专题04 三角形 3年真题1年模拟 考点分类 辽宁考情（2024-2026） 命题规律 考点01角、角平分线 2026辽宁卷 2025辽宁卷 以选择题形式考查；三角形角与角平分线的基础命题。基考查角度简单运算，以选择出现。命题坚持数形结合，串联平行、垂直等三角形知识，兼顾基础计算与逻辑证明，侧重几何推理与综合应用能力考查。 考点02 相交线与平行线 2024辽宁卷 以填空题形式考查；考查尺规作图中相交线和平行线的关系。整体难度偏低，属于试卷基础得分点，较少与复杂几何图形深度综合，主要检验学生对相交线、平行线核心概念的掌握程度。 考点03 等腰三角形的性质与判定 2026辽宁卷 2025辽宁卷 2024辽宁卷 以选择题、解答题形式考查；常结合等边三角形、等腰三角形，考查“三线合一”等知识点。常与圆、平行四边形结合，推出弧相等、半径垂直平分底边，体现性质的串联应用。 考点04 直角三角形的性质与判定 2025辽宁卷 2024辽宁卷 以选择题、解答题形式考查；常结合平行四边形、全等三角形，考查直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半等知识点。在几何旋转题中，以直角三角形为载体，结合垂直平分线性质，涉及分类讨论思想，难度偏高。 考点05 相似与全等 2026辽宁卷 2025辽宁卷 2024辽宁卷 以选择题、填空题形式考查；常以尺规作图为载体，结合公共边相等的条件，判定全等，侧重基础证明。考查相似图形中的线段比例知识点。整体命题既注重基础判定方法，也会结合几何变换，考查逻辑推理与计算能力。 考点06 锐角三角函数及其应用 2026辽宁卷 2025辽宁卷 2024辽宁卷 以填空题、解答题形式考查；常以直角三角形为载体，直接考查正弦、余弦、正切的定义，比如给出直角三角形的边长，求某个锐角的三角函数值。需要利用三角函数求出线段长度，再结合勾股定理计算，比如在正方形中利用正切求边长，再算对角线或其他线段。会结合实际问题，通过分析图形位置变化，利用三角函数设计讨论方案。 考点01 角、角平分线 1．（2026年辽宁省中考数学试题）如图，，直线分别与，相交于点，，的平分线交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2025年辽宁省中考数学试题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 考点02 相交线与平行线 1．（2024年辽宁省中考数学试卷）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为______（用含的代数式表示）． 考点03 等腰三角形的性质与判定 1．（2024年辽宁省中考数学试卷）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 2．（2026年辽宁省中考数学试题）如图，在中，，，点D在边上，点E在边上，连接，将线段绕点D逆时针旋转α得到． (1)当，且点E与点C重合时， ①如图1，若点F落在上，求的度数； ②如图2，若，连接并延长，交的延长线于点G，求证：； (2)如图3，当，，时，连接，，求的周长． 3．（2025年辽宁省中考数学试题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 考点04 直角三角形的性质与判定 1．（2025年辽宁省中考数学试题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 2．（2025年辽宁省中考数学试题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 3．（2024年辽宁省中考数学试卷）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 考点05 相似与全等 1．（2025年辽宁省中考数学试题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（2026年辽宁省中考数学试题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 3．（2024年辽宁省中考数学试卷）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 考点06 锐角三角函数及其应用 1．（2025年辽宁省中考数学试题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________（结果精确到．参考数据：，）． 2．（2026年辽宁省中考数学试题）2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 3．（2024年辽宁省中考数学试卷）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 一、单选题 1．（2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题）如图，，与相交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026年辽宁葫芦岛市兴城市初中学业水平考试模拟数学试卷（一））如图，在平面直角坐标系中，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2026年辽宁省阜新市海州区二模数学试题）如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为，则的面积是（     ） A．6 B．9 C．10 D．15 5．（2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离的长为（   ） A． B． C． D． 6．（辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷）小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，秋千旋转了，小朋友的位置从点运动到了点，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（辽宁省锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一）数学试卷）图1是纸鸢坊的同学们利用含角的直角三角形设计的风车示意图．图2是风车中两个直角三角形，在中，，，将绕顶点逆时针旋转，顶点的对应点恰好落在边上．若，则点与点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（2026年辽宁鞍山市九年级下学期第二次质量调查数学试卷）某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，D，A，E三点共线，是水管，垂直于台面．是开关，可整体绕点A上下旋转，且，，连接，，，．则的长度为（结果保留整数）（参考数据：，，）（  ） A． B． C． D． 9．（2026年辽宁营口市初中学业水平考试第一次模拟考试数学试卷）如图，中，与分别是和的平分线，相交于点，于点，于点，，相交于点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2026年辽宁省本溪市一模数学试题）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点A落在延长线上的点F处，交于点G，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题）如图，直线，直线与，分别相交于点G，H，以点G为圆心，的长为半径画弧，与直线相交于点P，连接．若，则的度数为_______． 12．（2026年辽宁省阜新市海州区二模数学试题）如图，已知，，，将沿所在直线翻折得到（和在同一平面内），延长交于点，则的长是________． 13．（2026年辽宁营口市初中学业水平考试第一次模拟考试数学试卷）某河堤横断面如图所示，堤高米，斜面坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，则长为__________米（结果保留根号）． 14．（2026年辽宁葫芦岛市兴城市初中学业水平考试模拟数学试卷（一））春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线长，风筝线与地面夹角，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离为__________．（结果精确到，参考数据：） 15．（2026年辽宁省本溪市一模数学试题）如图，是订书机的底座，是订书机的托板，．连接杆的D点固定在压柄上，点E在上，托板与压柄夹角．已知，则点C到托板的距离约_____．（结果精确到．参考数据：，，） 16．（2026年辽宁省抚顺市望花区九年级中考二模数学试题）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 17．（2026年辽宁省葫芦岛市绥中县二模数学试题）如图，的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P，Q均在格点上．连接交于点M，连接，则的长是________． 18．（2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模））如图，在中，，，，点为中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，若刚好经过点，则的长为________． 19．（2026年辽宁葫芦岛市兴城市初中学业水平考试模拟数学试卷（一））如图，中，与交于点，则的长为_____． 三、解答题 20．（2026年辽宁省抚顺市望花区九年级中考二模数学试题）计算、化简： (1)计算：； (2)化简：． 21．（辽宁省辽阳市宏伟区2025-2026学年下学期九年级第二次综合模拟数学试题）计算 (1) (2) 22．（2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模））丹东草莓品质优良，果肉饱满香甜，深受大众喜爱．当地一农户为拓宽收入渠道，打算利用自家闲置土地，修建草莓采摘园．已知农户计划借助自家院内，两面墙（墙足够长），用栅栏围一块直角梯形的采摘园，，，．（参考数据：，，） (1)如图1，若栅栏的长为10米，求此时段墙的长度；（结果精确到0.1米） (2)如图2，该农户计划用48米的栅栏进行围建采摘园，并在边上留一个2米宽的门，若农户想要采摘园面积最大，求此时的长．（结果精确到1米） 23．（2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题）图1是某公交站台的遮雨棚，遮雨棚的截面示意图如图2所示．两根立柱与分别垂直于地面，且水平距离为，遮雨棚由水平板，和倾斜板三部分组成，其中，，，倾斜板与水平板形成的，求倾斜板的长．（结果精确到．参考数据：，，） 24．（辽宁省葫芦岛连山区2026年年九年级第二次模拟考试数学试题）某种水龙头关闭时如图所示，将其简画成图，，，三点共线，是水管，台面．是开关，可整体绕点上下旋转，且，，连接，，，．    (1)求的长度（结果保留一位小数）； (2)如图，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 25．（2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷）如图1，为某两足人形机器人行走时的实拍图，图2为该时刻下半身对应的几何示意图（所有点均在同一平面内），行走时，机器人前脚跟、后脚尖同时着地，着地点分别为W，N，为后脚跟离地的最大距离，点A为髋关节，大腿与小腿在一条直线上，与地面垂直．经测量大腿长均为，小腿长均为，，，，． (1)行走时的身高与直立时的身高相差多少？ (2)行走时每步的步长是多少？ （结果精确到，参考数据：，，，） 26．（2026年辽宁省盘锦市兴隆台区中考一模数学试题）已知，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转得到，使点C的对应点E落在边上，射线交于点F，连接． (1)如图1，当时． ①求证：点E是的中点； ②求出的度数； (2)如图2，当时，在DF上截取，连接，判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，直接写出的长． 27．（2026年辽宁省阜新市海州区二模数学试题）综合实践 (1)如图，已知，，点、分别在边、上（不与线段、端点重合），连接、，若使需要再添加一个条件，则以下条件能符合的是________； ；；； (2)如图，已知菱形，点是边上一点（不与点、重合），连接，以点为圆心，线段的长为半径作弧交延长线于点，求证：； (3)如图，已知，，，点是边中点，连接，于点，点在线段上，，当时， 求线段的长； 直接写出的面积． 28．（2026年辽宁绥中县中考一模数学试题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，D在上，，D、E、F三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 29．（2026年辽宁营口市初中学业水平考试第一次模拟考试数学试卷）已知中，，，点是边上任意一点（不与点，重合），将沿所在直线翻折，点的对应点为点． (1)如图，过点的直线，当点在直线l上时，请画出点和折痕（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），判断此时四边形的形状，并说明理由； (2)连接并延长，与的延长线相交于点， 如图，若，，当时，求的长； 当点与中点不重合时，猜想，，的关系（用含有的式子表示），并说明理由． 30．（辽宁阜新市海州区2025-2026学年九年级下学期素质测评数学试卷（一））如图1，在矩形中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点． (1)连接，当时， ①求证； ②若点在线段上，猜想，，之间的数量关系，并证明； (2)如图2，若，点落在矩形对角线上，延长交于点，求值； (3)如图3，连，若，的面积为，直接写出线段长． 31．（2026年辽宁葫芦岛市连山区中考模拟测试（一模）数学试卷）如图1，在中，，，，将三角形纸片折叠，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕． (1)求证：； (2)在（1）基础上，将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转，得到，点E，C的对应点分别是点F，G，与交于点M，与交于点P． ①如图2，当时，求长； ②如图3，当的延长线经过点B时，连接，求的面积． 32．（辽宁省铁岭市部分学校2025-2026学年下学期第一次模拟考试九年级数学试卷）中，，，分别为，的中点，点为边上一点，过点作垂足为，交直线于，连接． (1)的长度是________； (2)如图，当点在线段上时，求证：； (3)当时，求的面积． 33．（辽宁省沈阳市于洪区2025-2026学年度下学期第一次模拟测试九年级数学试卷）在中，，D是边的中点，E是射线上一点，将沿翻折得到，点F是点B的对应点． (1)如图1，点E在线段上，，分别交于点G，H． ①求证：四边形是菱形； ②连接，求的面积； (2)如图2，点E在延长线上，分别交于点M，N．连接，，若，求的长． 34．（2026年辽宁葫芦岛市兴城市初中学业水平考试模拟数学试卷（一））和中，在线段上移动（点在点的右侧），的位置随的位置变化而变化． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，与交于点，的延长线交于点，若，求的长； (3)在运动的过程中，与直线交于点，与线段交于点，若，请直接写出的长． 35．（2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题）如图，在中，，D，E是边上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F是内一点，，． ①求证：； ②与相交于点G；且G是的中点，求的值； ③如图3，在②的条件下，当时，求的长． 36．（2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模））如图，中，，，，点，点分别是，的中点，连接，将绕着点逆时针旋转得到（旋转角度小于的度数），点、的对应点分别是、，与交于点． (1)________； (2)如图1，求证：； (3)如图2，当所在直线经过点时，求的长； (4)如图3，当所在直线经过点时，求四边形的面积． 37．（2026年辽宁省盘锦市中考一模数学试题）利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，是等边内一点，，，．求的度数． 为了利用已知条件，可以把绕点顺时针旋转得到，连接，则可求出的长为2；在中，易证，且的度数为，综上可得的度数为． (1)请你写出推理过程； 【类比探究】 (2)如图2，是等腰内一点，，，，，请直接写出的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，，请求出的长． 38．（2026年辽宁省本溪市一模数学试题）几何综合探究： (1)如图1，将沿对角线剪开，将绕着点A逆时针旋转度得到，，分别延长，交于点G． ①求证：； ②如图2，当时，，，，求的面积 (2)如图3，在中，，D是边的中点，点E在上，过点E作交的平行线于点F，若，，求的值． 39．（辽宁省鞍山市2026年九年级第一次质量调查数学试卷）根据所学知识，解答以下问题 (1)如图1，在中，延长至点，使，点为边上一点，连接，使，延长至点，连接，使，求证：． (2)如图2，在中，，，，分别为，，边上三点，且，，求证：． (3)如图3，在中，，点为边上一点，连接，，延长至点，使得，连接，以为底边在其上方作，使，若，，，求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 考点01角、角平分线 1.C 2.C 考点02相交线与平行线 1.a-10 考点03等腰三角形的性质与判定 1.c 2.(1)①22.5°： ②证明：，DF∥BC, .∠FDA=∠B=a=45°，∠AFD=∠G, ,∠FDC=a=45°」 .∠ADC=∠FDA+∠FDC=90°， .CD⊥AB, .AC=BC, ∴.AD=CD=BD. ,由旋转有CD=DF, .AD=DF=CD. 在AAFD中，∠PAD=∠AFD=10-P4-675r. 2 ∴.∠G=∠AFD=67.5°， .∠G=∠FAD 1/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BA=BG 218+3v3 3.(1)135 1 2)2 考点04直角三角形的性质与判定 1.D 2.(1)证明：，PB=PC, .∠PBC=∠PCB,即∠DBC=∠ACB, :∠BAC=∠CDB,BC=CB, :△ABC≌aDCB(AAS) (2)CM=3V6 7 (3)w=32 7. 3.(1) 证明：如图， B E 由题意得， CA=CD,∠ACD=90° ∴∠1+∠2=90° :DE⊥BC, .∠DEC=90° .∠1+∠D=90°. ∴.∠2=∠D, .∠ABC=90°， 2/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠B=∠DEC, △ABC≌△CED(AAS) (2)PC=PD 3)30 考点05相似与全等 1.B 2.3 3.12 考点06锐角三角函数及其应用 1.7.4 2.(1)121.2cm (②)WF=6.8cm,小组所设计的方案可行 3.(1)6m (2)2.7m V 一年模拟练测园 1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.A 7.c 8.B 9.C 10.B 3/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.110 12.35 13.12v5 14.31 15.7.2 3W21 16.2 26126 17.3/3 18. 20W13 13 9 19.5 20.03+1 、a-3 ②)a 21.(1)4 (②)x+1 22.(1)BF段墙的长度约为11.2米 (2)20米 23.倾斜板GH的长为0.5m 24.(1)12.1cm 26cm (2 25.(1)行走时的身高与直立时的身高相差1.6cm; (2)行走时每步的步长MW约是62.6cm, 26.(1)①见解析：②30° 4/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)DF=BF+AF,理由见解析 4024 3)AF的长为7或7 27.1)②③： ②)证明：在AD边上取点G,使AG=AE,连接BG,如图， D E B ,四边形ABCD是菱形， .AB=AD .∠BAG=∠DAE, 片a1BG2aADE(S,4S) ∴.DE=BG,∠AED=∠AGB, DE BF, .BG=BF, .∠BFA=∠BGA, ∴.∠BFA=∠AED: (3)1BE= 8V382 3；②33. 28.2.1m 29.(1) 如图，点E,AD即为所求， A E B 2)@Dp=11V5 6 5/13 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②AF,CF,CE的关系为CF+ cE=owa4r政cr-cE=coaF,i如下， 当点D在BC中点右侧时，作AH⊥CE, B 由①可知AC=AE,△ACD∽△AFC, :CH=EH-2CE,∠F=∠B=a FH :.AF cosa. 1 CF+CE cosa AF :.CF+CE-cosaAF, 当点D在BC中点左侧时， 延长ED与AB相交于点M, A M B D F 由翻折可知，AB=AE=AC,∠ADB=∠ADE, <C4=∠CDE ACE=∠ABc,BH-cE, 又∠BDM=∠CDE, :.∠ADB-∠BDM=∠ADE-∠CDE,即∠ADM=∠ADC, 又∠ACE+∠AEC+∠CAE=180°，∠ADM+∠ADC+∠CDE=180°， 6/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADM=∠AEC. 又∠ADM+∠ADE=I80°，∠AEC+∠AEF=180°， ∴.∠ADE=∠AEF, 又∠DAE=∠EAF, .△ADE∽△AEF, :LF=ZB=a, FH :.AF cosa CF-CE cosa, AF :.CF-1CE-cosaAF: 2 综上可得：，CF,CE的关系为CF+号CE=couF政CF-cE=6aa4 30.(1) ①证明：如图1，由旋转知：AN=AM,AE=AB,∠NAM=∠EAB=a, .∠NAM-∠EAM=∠EAB-∠EAM,即∠NAE=∠MAB, :.△ABM≌△AEN(SAS) ②MF+EF=EN NK 2 (2)NF11 3)5 31.(1) 证明：由折叠可知：AD=CD, ∠DAC=LC, ∠BAC=90° .∠BAD+∠DAC=90°，∠B+∠C=90°， .∠BAD=∠B, :AD=BD: 7/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 147 2)①3：②100 32.1)7 (2) 证明：如图，连接AE,延长AE交BH延长线于M, E G B 图1 Rt△ABC中，AB=AC=14,E为BC的中点， .AE⊥BC,∠AEF=∠BEM=90°，AE=BE,∠C=∠ABC=45°， .∠MBE+∠M=90°， .BG⊥AF, .∠MAG+∠M=90°， ∴.∠EAF=∠EBM, ∠EAF=∠EBM AE=BE 在 和 中， △AFE△BME ∠AEF=∠BEM=90°' .△AEF≌aBEM(ASA), .AF=BM,EF EM, ,DE为△ABC的中位线， .DE Il AB,∠CED=∠ABC=45°， :.∠AED=∠CED=45°， 8/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠MEH=LFEH=45°， EM=EF ∠MEH=∠FEH 在 和 中， △MEH△FEH EH=EH .△MEH≌FEH(SAS) ∴.MH=FH, .BM BH+MH, ∴.AF=BH+FH. 2128 3)。BFH的面积为4或3 33.(1) ①证明：，将△BDE沿DE翻折得到△FDE, △BDE≌△FDE, ∴.BE=FE,BD=FD,∠BED=∠FED :EF∥BC, ∠FED=∠EDB, .∠BED=∠EDB, .BE =BD, .BE EF FD=BD, ∴四边形BEFD是菱形： 2 ②S,pGr=25 jcr 34.(1) 证明：：∠BAC=∠EDF=90°，AB=DF=8,AC=ED=6, :△1BC≌aDFE(SAS) .∠C=LDEF, ,EF经过点A, 9/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AC=AE: .14 Q15 3)4或3 35.(1) 证明：，AB=AC, .∠B=∠C, BD=CE, .BD+DE =CE+DE,BE =CD, :△ABE2aACD(SMS) (2)①证明：：△ABE≌△ACD, .∠ADC=∠AEB: AB=AC, .∠ABC=∠ACB: .∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠BAD=2∠ACF-45°， .∠ADC=∠ABC+2∠ACF-45°， :∠AED=2∠ACF, .∠ADC=2∠ACF. .2∠ACF=∠ABC+2∠ACF-45°， .∠ABC=45°， .∠ABC=∠ACB=45°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°： ②2；③1+V5 6.月 (2)见解析 25 3)24 10113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 490 439cm 37.(1):△ABC是等边三角形， .AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° ,把△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△AP'C,连接PP, .BC,AC ∠PCP'=60°，PC=P'C=2PB=PA=V3,∠BPC=∠AP'C 重合， .△CPP'是等边三角形， .PC=P'C=Pp'=2,∠CPp'=∠CPP=60°， 在△APP中， AP =1,AP'=3,PP'=2 :.4P+(AP)=P+()-4=(PP) ∴.△APP是以PP为斜边的直角三角形， .∠PAP'=90°， sin∠PP'A= AP 1 PP-2, .∠PPA=30° .∠AP'C=∠BPC=∠AP'P+∠CP'P=30°+60°=90°. (2)∠APC=90° 3)BD=10 38.(I)①证明：由题意可知，△ABC≌△EFA, ∴.∠E=∠BAC, 在△AEF中，∠E+∠EAF+∠EFA=180°， .∠BAC+∠EAF+∠EFA=180°， :∠GAF+∠EAF+∠EAC+∠BAC=180°， :.∠EFA=∠FAG+∠EAC. :∠EFA是△AFG的外角， .∠EFA=∠FAG+∠G, .∠G=∠EAC； 11/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ②6V5 CE_3 (②)AE7 39.(1) 证明：：∠ADC+∠ACD+∠A=180°，∠ACE+∠ACD+∠ECF=180°， 又：∠ADC=∠ACE, ∠A=∠ECF, :∠E=∠ACB,AC=CE, ,∴.△CFE≌△ABC(ASA) (2) 证明：延长AB,FD交于点N, BL D ,∠EBD+∠EDB+∠BED=180°∠EDF+∠EDB+∠FDC=18O° 又：∠EDF=∠EBD, ∠BED=∠FDC, ∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A+∠AFN+∠N=180°， 又：∠AFN=∠ABC, .∠C=∠N DE=DF, ∴.△END≌ADCF(AAS) ..DN=CF, 12/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .FN=DF +DN=DF +CF, .AB=BC, .∠A=∠C, ∠A=∠N, ..AF FN, AF DF+CF 169 3)10 13/13函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形 3年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 辽宁考情(2024-2026) 命题规律 以选择题形式考查；三角形角与角平分线的基 础命题。基考查角度简单运算，以选择出现。 考点01角、角平 2026辽宁卷 命题坚持数形结合，串联平行、垂直等三角形 分线 2025辽宁卷 知识，兼顾基础计算与逻辑证明，侧重几何推 理与综合应用能力考查。 以填空题形式考查；考查尺规作图中相交线和 平行线的关系。整体难度偏低，属于试卷基础 考点02相交线与 2024辽宁卷 得分点，较少与复杂几何图形深度综合，主要 平行线 检验学生对相交线、平行线核心概念的掌握程 度。 2026辽宁卷 以选择题、解答题形式考查：常结合等边三角 考点03等腰三角 形的性质与判定 2025辽宁卷 形、等腰三角形，考查“三线合一”等知识 1/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点。常与圆、平行四边形结合，推出弧相等、 2024辽宁卷 半径垂直平分底边，体现性质的串联应用。 以选择题、解答题形式考查：常结合平行四边 2025辽宁卷 形、全等三角形，考查直角三角形中30°角所 考点04直角三角 2024辽宁卷 对直角边是斜边一半等知识点。在几何旋转题 形的性质与判定 中，以直角三角形为载体，结合垂直平分线性 质，涉及分类讨论思想，难度偏高。 以选择题、填空题形式考查；常以尺规作图为 2026辽宁卷 载体，结合公共边相等的条件，判定全等，侧 考点05相似与全 2025辽宁卷 重基础证明。考查相似图形中的线段比例知识 等 2024辽宁卷 点。整体命题既注重基础判定方法，也会结合 几何变换，考查逻辑推理与计算能力。 以填空题、解答题形式考查；常以直角三角形 为载体，直接考查正弦、余弦、正切的定义， 2026辽宁卷 比如给出直角三角形的边长，求某个锐角的三 考点06锐角三角 2025辽宁卷 角函数值。需要利用三角函数求出线段长度， 函数及其应用 2024辽宁卷 再结合勾股定理计算，比如在正方形中利用正 切求边长，再算对角线或其他线段。会结合实 际问题，通过分析图形位置变化，利用三角函 2/105 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数设计讨论方案。 三年真题分类园 考点01角、角平分线 1.(2026年辽宁省中考数学试题)如图，AB∥CD,直线I分别与AB,CD相交于点E,F,∠BEF的 平分线交CD于点G.若LCFE=140°，则∠EGF的度数为() B A.50° B.60° C.70° D.80° 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等，求出∠BEF的度数，再利用角平分线的定义与两直线平行内错角相 等求解 【详解】解：AB∥CD,∠CFE=140°， ∴.∠BEF=∠CFE=140°， :EG平分∠BEF, ∴BEG=ZBEF= 2*140°=70° 又：AB∥CD ∴.∠EGF=∠BEG=70° 2.(2025年辽宁省中考数学试题)如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB,垂足为D,DE∥OA, 若∠EDB=40°，则∠ACD的度数为() E 0 B A.50° B.120° C.130° D.140° 【答案】C 3/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到∠O=∠EDB,再根据三角形 的外角的性质，求出∠ACD的度数即可 【详解】解：CD⊥OB,DE∥OA,∠EDB=40°， ∴.∠CD0=90°，∠O=∠EDB=40° .∠ACD=∠CD0+∠0=90°+40°=130°： 故选C 考点02相交线与平行线 1.(2024年辽宁省中考数学试卷)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，,AD>AB,AD=a,AB=I0」 以点A为圆心，以AB长为半径作图，与BC相交于点E,连接AE.以点E为圆心，适当长为半径作弧， 分别与EA,EC相交于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于号W的长为半径作弧，两驱在 ∠AEC的内部相交于点P,作射线EP,与AD相交于点F,则FD的长为一（用含a的代数式表示）. 【答案】a-10 【分析】本题考查了作图-作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关 键。 利用基本作图得到AE=AB=10,EF平分∠AEC,,接着证明∠AEF=∠AFE得到AF=AE=10,然后 利用FD=AD-AF求解。 【详解】解：由作法得AE=AB=10,EF平分∠AEC, .∠AEF=∠CEF, :AD‖BC, ∴.∠AFE=∠CEF, .∠AEF=∠AFE, .AF=AE=10, .FD=AD-AF=a-10 故答案为：a-10 4/105 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03等腰三角形的性质与判定 1.(2024年辽宁省中考数学试卷)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时， ∠AEB为() D A.30° B.45° C.60° D.120° 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键. 由矩形ABCD得到ADBC,继而得到∠AEB=∠EBC,而△EBC是等边三角形，因此得到 ∠AEB=∠EBC=60° 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， ..ADII BC, ∴.∠AEB=∠EBC, ,△EBC是等边三角形， .∠EBC=60°， .∠AEB=60°， 故选：C 2.(2026年辽宁省中考数学试题)如图，在△ABC中，AC=BC,∠B=a,点D在边AB上，点E在边 BC上，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转a得到DF C G C(E) C(E) F D B D D (图1) (图2) (图3) (1)当a=45°，且点E与点C重合时， ①如图1，若点F落在AC上，求∠BCD的度数； 5/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②如图2，若DF∥BC,连接AF并延长，交BC的延长线于点G,求证：BA=BG: (②)如图3，当C=60°，AB=11,BE=2AD=6时，连接AF,CF,求△ACF的周长. 【答案】0)022.5°： ②证明：：DF∥BC, ∴、∠FDA=∠B=a=45°，∠AFD=∠G, .∠FDC=a=45°， .∠ADC=∠FDA+∠FDC=90°， CD⊥AB, .AC=BC, .AD=CD=BD. ,由旋转有CD=DF, .AD=DF CD. ∴在AAFD中，∠FAD=∠AFD=180-,∠FD4-6.59 .∠G=∠AFD=67.5° .∠G=∠FAD, ∴.BA=BG 218+3V5 【分析】(I)①根据已知条件，利用等边对等角，再通过角度和差计算即可求得∠BCD的度数： ②由平行的性质得出∠FDA=45°，从而确定CD⊥AB,利用等腰三角形三线合一及旋转的性质得到 AD=CD=DF,进而求得∠FAD=∠AFD的度数，进一步推出∠G的度数，最后根据等边对等角即可证得 结论： (2)过点F作FK⊥AC交AC于点K,取BE的中点G,连接DG,过点G作GH⊥AB交AB于点H,由 已知条件确定出△ABC是等边三角形，利用三角形内角和定理和平角定义推出∠FDA=∠DEG,证明 △FDA≌△DEG(SAS ,再利用解直角三角形和勾股定理推出4F=DG=7,角度和差关系与三角形外角的性 质推出∠FAC=∠GDH,证明△FMK≌aGDH(AAS), 利用勾股定理求出CF的长度，最终求出△ACF的周 长 【详解】(1)解：①，AC=CB,∠B=a=45°， 6/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠A=∠B=45°， .∠ACB=180°-∠A-∠B=90°， ,由旋转得CD=DF,∠CDF=a=45° :∠FCD=∠CFD=180-∠CDF =67.5° .∠BCD=∠ACB-∠FCD=90°-67.5°=22.5°」 ②略 (2)解：如图，过点F作FK⊥AC交AC于点K,取BE的中点G,连接DG,过点G作GH⊥AB交AB 于点H, G D H B .AC=BC,∠B=a=60°， .△ABC是等边三角形， .AB=AC=BC=11, BE=2AD=6,点G为BE的中点， ·AD=3, EG-GB-BE-3 ∴.AD=EG, ,∠EDF=∠B=a=60°， .∠EDB+∠FDA=∠EDB+∠DEG=180°-a=120°， .∠FDA=∠DEG. 在△FDA和△DEG中， AD=EG ∠FDA=∠DEG FD-DE △FDA≌ADEG(SAS) ∴.AF=DG,∠FAD=∠EGD. 7/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :在Rt△GBH中，∠B=60°， ：BH=GBc0sB=3cos60°=3 GH-BG-sin B=3sin603 2, DH=AB-AD-BH=1-3-3=13 22 在RtDHG中，DG=VDH+HG=7 ∴.AF=DG=7. ,∠FAD=∠EGD. .∠FAK+∠CAB=∠GDB+∠B, :∠CAB=∠B=60°， .∠FAK=∠GDH, 在△FAK和△GDH中， [∠FKA=∠GHD=90° ∠FAK=∠GDH FA=GD △FAK≌AGDH(AAS) ·fK=G=3 ,K=DH=13 , :CK=AC-AK=11-13-9 22, 在RiACK 中，CF=VCK2+FK2=35 C△4cF=AF+AC+CF=7+11+3N3=18+3V5 3.(2025年辽宁省中考数学试题)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径作⊙0，与AC相交于点 D.连接OC,与⊙0相交于点E. 8/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (图1) (图2) (I)如图1，连接DE,求∠ADE的度数： 知图2，若点D为1C的中点，且4C=6,求DE的长. 【答案】1)135 , 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公 式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键. (1)连接OD,先证明 OAC≌AOBC(SSS ,得到∠A0C=∠B0C=90°，由等腰三角形性质得到 ∠OAD=∠ODA,∠ODE=∠OED ∠OAD=∠ODA=x,∠ODE=∠OED=y OADE ,设 ，在四边形中，由四边 形内角和等于360°计算即可； (2)根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求∠DOE度数，再由弧长公式即 可求解。 【详解】(1)解：连接OD, D B ..CA=CB,OA=OB,OC=OC :aO1C≌aOBC(SSS) 9/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .ZAOC=ZBOC, .∠AOC+∠BOC=180°， ∴.∠A0C=∠B0C=90°， .OA=OD=OE, .∠OAD=∠ODA,∠ODE=∠OED 设∠OAD=∠ODA=x,∠ODE=∠OED=y, 在四边形OADE中，.∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360° .x+x+y+y+90°=360°， :∠ADE=∠AD0+∠0DE=x+y=135°： (2)解：连接OD B :∠AOC=90°，D为AC中点， :.OD=AD=1 ..OD=OA=AD=3, “.△AD0为等边三角形， .∠AOD=60°， .∠D0E=90°-60°=30°， 30π×31 六DE的长为：180=2元 考点04直角三角形的性质与判定 1.(2025年辽宁省中考数学试题)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC,连接CE,若 AB=3,AE=4,则CE的长为() 10/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1 B.5 C.2② 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求 出BE的长，进而得到BC的长，推出AD的长，进而求出DE的长，再利用勾股定理求出CE的长即可. 【详解】解：矩形ABCD, ∴.∠A=∠D=90°，AD=BC,CD=AB=3, BE=VAE+AB=5 .BC=BE=5, AD=5, .DE=AD-AE=1, .CE=CD+DE=10 故选D。 2.(2025年辽宁省中考数学试题)(1)如图1，在△ABC与△DCB中，∠BAC=∠CDB,AC与DB相交 于点P,PB=PC,求证：△ABC≌△DCB: (2)如图2，将图1中的△DCB绕点B逆时针旋转得到△D'C'B,当点D的对应点D在线段BA的延长线上 时，BC'与AC相交于点M:若AB=2,BC=3,∠ABC=60°，求CM的长： (3)如图3，在(2)的条件下，连接CC并延长，与BD'的延长线相交于点N,连接MN,求△AMN的 面积. 11/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D' Dy A A C M M 5 (图1) (图2) (图3) 【答案】(1)证明：，PB=PC, ,∴.∠PBC=∠PCB,即∠DBC=∠ACB, :∠BAC=∠CDB,BC=CB, △ABC≌△DCB(AAS) (2CM-36 7 (3)w=3 7. 【分析】(I)利用等边对等角求得∠DBC=∠ACB,再利用AAS证明△ABC≌△DCB即可： (2)由题意得△ABC≌△D'C'B,得到∠BAC=∠C'D'B,AB=D'C'=2,AC=BD',作AE⊥BC于点E, 利用直角三角形的性质结合勾股定理求得E=1,BD=4C=万，证明4M少CD ,推出 △BAM一△BD'C',利用相似三角形的性质列式计算即可求解： (3)设∠BCC=a,由旋转的性质得BC'=BC,则∠BC'C=∠BCC'=a,利用三角形内角和定理以及平 角的性质求得∠BNC=120°-a,∠D'CN=120°-a,推出∠BNC=∠D'CN=120°-a,求得 N=AC=V7,作CF⊥BN于点F,求得Sow=32I 4,再求得AM:CM=4:3,据此求解即可. 【详解】解：(1)略 (2),△ABC≌△DCB,即△ABC≌△DCB, .∠BAC=∠CD'B,AB=D'C'=2,AC=BD', 作AE⊥BC于点E, 12/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E ,∠ABC=60°， .∠BAE=30°， BE-4-1.AE-AR-BE5 ..CE=BC-BE=2. AC=E+CE= BD'=AC=V万 :∠BAC=∠CD'B, AM∥C'D', .△BAM~△BD'C', .BA AM 2 AM BDCD,即V7=2, :4Ms46 7, CM=AC-AM =3 : (3)设∠BCC=a, 由旋转的性质得BC'=BC,则∠BC'C=∠BCC'=a, ∠ABC=∠D'C'B=60°，∠NBC+∠BCN+∠BNC=180°，∠BC'C+∠BC'D'+∠D'C'N=180°， .∠BNC=120°-a,∠D'C'N=120°-a, .∠BWC=∠D'C'N=120°-a, :AM∥CD', .∠ANC=∠ACN, 13/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AN=AC=√万 作CF⊥BN于点F, W B ,∠ABC=60°， .∠BCF=30°， :BC=3, :3 2 .CF=BC2 -BF2 =33 片S=4Nxcr=x7x35_3 2 2 24, :Ms46 CM=37 7, 7,即AM:CM=4:3, _3√21 7. 3,(2024年辽宁省中考数学试卷)如图，在△1BC中，∠ABC=90°，∠4CB=a(0°<a<45) 将线段 CA绕点C顺时针旋转9O°得到线段CD,过点D作DE⊥BC,垂足为E. 14/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A B B E 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△ABC≌△CED (2)如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F,连接DF,DF的延长线与CB的延长线相交于点 P,猜想PC与PD的数量关系，并加以证明： (3)如图3，在(2)的条件下，将△BFP沿AF折叠，在变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接 EF」 ①求证：点F是PD的中点： ②若CD=20,求aCEF的面积. 【答案】(1) 证明：如图， E 由题意得， 2 D CA=CD,∠ACD=90° .∠1+∠2=90° :DE⊥BC, .∠DEC=90°， .∠1+∠D=90°， ∴∠2=∠D, .∠ABC=90°， .∠B=∠DEC 15/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABC≌ACED(AAS) (2)PC=PD (3)30 【分析】(1)利用“AAS”即可证明： (2)可知∠A=90°-a,证明△ACF≌aDCF,则∠CDF=∠A=90°-a,可得∠BCD=90°-a,则 ∠BCD=∠CDF,故PC=PD: (3)①翻折得FP=FE,根据等角的余角相等得到∠FED=∠FDE,故FE=FD,则FP=FD,即点F是 PD中点： ②过点F作FM∥CP交CD于点M,连接EM,设CE=m,DE=CB=n,则BE=CB-CE=n-m,由翻 折得PB=BE=n-m,故PE=2n-2m,因此PC=2n-m=PD,在Rt△PDE中，由勾股定理得： (2u-m=(2n-2m+解得：n=3m或=m(舍，此时a=45),在R△CDE中，由勾股定理得： 矿+如-3解：m-0:期C50E-=0,南W12C将到520-1， SAey=Sac,因此SACE-236am=30,故SacE=30 【详解】(1)略 (2)猜想：PC=PD 证明：：∠ABC=90°，∠ACB= .∠A=90°-a, ,CF平分∠ACD, .∠ACF=∠DCF, ..CA=CD,CF=CF .△ACF≌aDCF, .∠CDF=∠A=90°-a, :∠ACD=90°，∠ACB=a, .∠BCD=90°-a, .∠BCD=∠CDF, ..PC=PD: 16/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：①由题意得FP=FE, ∴.∠P=∠FEP, .∠DEC=90° .∠PED=90°， ∴.∠P+∠FDE=90°，∠FEP+∠FED=90°， ∴.∠FED=∠FDE, ∴FE=FD, ∴.FP=FD,即点F是PD中点： ②过点F作FM∥CP交CD于点M,连接EM, B: M .△ABC≌△CED, .DE=CB, 设CE=m,DE=CB=n, .BE=CB-CE=n-m, 由翻折得PB=BE=n-m, .PE=2n-2m, .PC=PE+CE =2n-m=PD, 在Rt△PDE中，由勾股定理得：(2n-m=(2m-2m+2 整理得，3m2-4mn+n2=0, 解得：n=3m或n=m(舍，此时a=45°)， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：m+(3m=20 17/105 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：m2=40, .'.SACDE= E.DE 1 2 2mx3m= m2=60 .FM BC DF DM .PF CM =1,SACEM =SACEF' .点M为CD中点， 1 .SACEM =SACED =30. 2 S△cEF=30 考点05相似与全等 1.(2025年辽宁省中考数学试题)如图，在△ABC中，AB=16,BC=12,CA=10,∠ABC的平分线 BP与AC相交于点D.在线段AD上取一点K,以点C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交于点 M和点N,再分别以点M和点N为圆心，大于2MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q,作射线CQ,与 AB相交于点E,连接DE.则△DAE的周长为() B A.12 B.14 C.16 D.18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知 CE⊥BD,证明△BOC≌aBOE,得到OC=OE,BC=BE，,进而求出AE的长，得到BD垂直平分CE,得 到DE=CD,进而推出△DAE的周长等于AE+AC的长即可 【详解】解：由作图可知，CE⊥BD,设CE,BD交于点O,则：∠BOC=∠BOE=90°， 18/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D X :BP平分∠ABC, .∠ABO=∠CBO, 又OB=OB, ∴.△BOC≌ABOE, ∴.OC=OE,BC=BE=12, ∴.BD垂直平分CE,AE=AB-BE=4, .DE =CD, .△ADE的周长为AE+DE+AD=AE+AD+CD=AE+AC=14: 故选B 2.(2026年辽宁省中考数学试题)如图，AB∥CD,AD与BC相交于点E,AF⊥BC,DG⊥BC,垂 AF 足分别为P,G.若AB=10,CD=15,则DG的值为 红G 【答案】 3 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明△ABF∽△DCG,利 用相似三角形对应边成比例即可求解. 【详解】解：，AB/CD, .∠B=∠DCG. .AF⊥BC,DG⊥BC, .∠AFB=∠DGC=90°， .△ABF∽ADCG. 19/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF AB ·DGCD' :AB=10,CD=15, AF102 .DG153· 3.(2024年辽宁省中考数学试卷)如图，AB∥CD,AD与BC相交于点O,且△AOB与△DOC的面积 比是1：4，若AB=6,则CD的长为 A 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键。 可得△AOB∽△DOC,再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解. 【详解】解：AB∥CD, .△AOBADOC, S△MOB ∴.SDoc CD, .CD=12, 故答案为：12 考点06锐角三角函数及其应用 1.(2025年辽宁省中考数学试题)如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C,在C处测得 ∠ACB=51°BC=6m AB .0.lm sin51°≈0.78 ,则树的高约为」 (结果精确到.参考数据： cos51°≈0.63，tan51°≈1.23 20/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C51 B 【答案】7.4 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键. 在Rt△ABC中，由AB=BC×tan∠ACB即可求解. 【详解】解：由题意得AB⊥BC, ∴.在Rt△ABC中，AB=BC×tan∠ACB=6×1.23≈7.4m, 故答案为：7.4. 2.(2026年辽宁省中考数学试题)2026年夏，我国多地冬小麦丰收.为助力“科学收粮，颗粒归仓”， 青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分 内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 1.查阅有关资料： 活动准备 2.准备皮尺、测角仪等测量工具. 收割机的前端装置 拨禾轮 包含拨禾轮、支撑 Bt- 臂和割台等，拨禾 O 轮的侧面是正五边 采集信息 形.图1是收割机 D 前端部分装置侧面 割台 示意图： 图1 1.点A是拨禾轮 21/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 中心，OA是拨禾 轮支撑臂： 2.0C⊥CD, AB⊥0C, AD⊥CD; 3.OA=80cm, AN =40cm, 0C=90cm; 4.收割作业前， ∠AOC=113° 为减少小麦漏收情 况，收割作业时需 要将拨禾轮下降， 使拨禾轮最低点与 割台之间的垂直距 离NF保持在 5-10cm之间. o 拨禾轮 确定方案：绕点O 旋转拨禾轮支撑臂 EL-- 设计方案 OA,将拨禾轮下 降，使 割台 ∠AOC=57° 图2 图2是拨禾轮下降 后部分装置侧面示 意图： 1.0C1CF, AE⊥OC,点A, N,F在一条直 线上，AF⊥CF: 22/105 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2. OA,AN, OC的长度保持不 变 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39 sin57°≈0.84，cos57°≈0.54)： (1)求图1中AD的长： (②)求图2中NF的长，并判断小组所设计的方案是否可行. 【答案】1)121.2cm 2)NF=6.8cm,小组所设计的方案可行 【分析】(1)解Rt△AOB得出BO=31.2cm,根据题意得四边形ABCD是矩形，进而求得AD的长： (2)解Rt△AOE得出EC=46.8cm,进而求得NF的长，结合题意，即可求解. 【详解】(1)解：：∠AOC=113 .∠AOB=180°-∠A0C=67°， 在RtAAOB中，BO=AO.cos AOB≈80×0.39=31.2cm 依题意，四边形ABCD是矩形， .AD=BC=B0+0C=31.2+90=121.2cm (2)解：在Rt△AOE中，E0=A0.cos AOE≈80×0.54=43.2cm .EC=0C-0E=90-43.2=46.8cm 依题意，四边形AFCE是矩形， .AF=EC=46.8cm, .NF=AF-AW=46.8-40=6.8cm, .5<6.8<10 小组所设计的方案可行. 3.(2024年辽宁省中考数学试卷)如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖 直向上提起.起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m，∠CAB=60°；停止 位置示意图如图3，此时测得∠CDB=37°（点C,A,D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中 所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.（参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80tan37°≈0.75V5≈1.73、 23/105 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 内4 -------->D 图1 图2 图3 (I)求AB的长： (2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.lm). 【答案】(1)6m (2)2.7m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键. (I)解Rt△ABC即可求解： (2)在Rt△ABC ，由勾股定理得，BC=35,解Ria8CD BD=5V3 得 由题意得， C BDE-BC+AB-BD-6-3CE2.7m 【详解】(1)解：由题意得，∠BCA=90°， :AC=3m,∠CAB=60°， 在RIAABC中，由os∠A=4C AB 3 1 得：B=cos60°=2， ..AB=6m, 答：AB=6m; (2)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， BC=AB2-AC2=33 BC 在RtaBCD中，sin∠CDB= BD sin37°=3V3 =0.6 BD ,BD=5√5 由题意得，BC+AB=BE+BD」 24/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE=BC+AB-BD=3√5+6-55=6-2√5 :CE=BC-BE=35-(6-2W5)=55-6≈2.7m 答：物体上升的高度约为2.7m 一 年模拟练测园 一、单选题 1,(2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题)如图，AB川CD,AD与CB相交于点E,若∠B=30°， ∠AEB=100°，则∠D的度数为() A.30° B.50° C.80° D.100° 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出∠A,再由平行线的性质即可求出∠D的度数 【详解】解：∠A+∠B+∠AEB=180°，∠B=30°，∠AEB=100°， .∠A=50°， 又：AB IICD .∠D=∠A=50° 2.(2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题)如图，在△ABC中，∠ABC=80°，D是AC上一点. DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,DE=DF,连接BD,则∠ABD的度数为() A.40° B.50° C.70° D.80° 25/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】A 【分析】根据DE⊥AB,DF⊥BC,DE=DF可求得RtADBES≌RtDBF,从而有对应角相等 ∠DBE=∠DBF,即可求∠ABD的度数. 【详解】解：DE⊥AB,DF⊥BC,且知∠ABC=∠DBE+∠DBF,DE=DF, ∠DEB=∠DFB=90°， 在RtADBE和Rt△DBF中， BD=BD DE=DF, ∴.Rt△DBE≌RtADBF(HL) ∠DBE=∠DBF=∠ABC=)×80°=40， ∴.∠ABD=∠DBE=40° 3.(2026年辽宁葫芦岛市兴城市初中学业水平考试模拟数学试卷（一）)如图，在平面直角坐标系中， 点4,2），线段01绕点0逆时针旋转90°得到线段0B,则点B坐标为《） A.（-1,2) B.（-2,1) c.（5,2) D.（-1-2) 【答案】B 【分析】过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D,根据旋转得∠AOB=90°，OA=OB,证 明△MOC≌aOBD(ASA)得AC=OD,0C=BD,即可求解 【详解】解：如图，过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D, 26/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y C D .∠AC0=∠ODB=90°， :点02) .AC=1,OC=2, 根据旋转得∠AOB=90°，OA=OB, ∴.∠BOD+∠AOC=90°，∠BOD+∠OBD=90°， .∠AOC=∠OBD, 在△AOC和△OBD中， I∠AOC=∠OBD OA=OB ∠ACO=∠ODB' △AOC≌△OBD(ASA) .AC=OD=1,OC=BD=2. ”点B在第二象限， “点B坐标为 -2,1) 4.(206年辽字省单新市海州区二模数学试题)如图，在。4BC中，BC-4,ABC的平分线BD交 2 AC边于点D.若△ABC的面积为25，则△BCD的面积是() D B A.6 B.9 C.10 D.15 【答案】D 【分析】因为BD是∠ABC的角平分线，所以可根据角平分线的性质，得到点D到AB、BC的距离相等， 27/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即△ABD和△BCD的高相等；因为两个三角形高相等，所以面积比等于对应底AB和BC的长度比，结合已 知BC与AB的比例，可得到△ABD和△BCD的面积比；因为△ABC的面积是△ABD和△ABD的面积之和， 所以结合总面积和两个三角形的面积比，可求出△BCD的面积. 【详解】解：过点D作DE⊥AB,DF⊥BC, D B :BD平分∠ABC, ∴DE=DF, .BC=3 AB AB 2 即BC3, ABXDE 1 SABD AB 2 :S.BCD 1 xBCxDF BC 3, 2 .S.4BD 2 S.BCD 3 又，△ABC的总面积25， S.ABC =S.ABD+S.BCD=25 ·3 SBCD+SBcD=25 S.BCD=15 解得 5.(2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题)如图，一架长为6m的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子顶 端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离AO的 长为() 28/105 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.6sinam B.6cosam C.6tanam D. 60 sina 【答案】A 【详解】解：由题意得，在Rt△ABO中，AB=6m,∠AOB=90°，∠ABO=a, .A0=AB.sin 2ABO=6sin am 6.(辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷)小朋友荡秋千的 侧面示意图如图所示，秋千旋转了70°，小朋友的位置从A点运动到了B点，连接AB,则∠OBA的度数为 () A.55° B.65° C.70° D.75° 【答案】A 【分析】根据题意可知，△OAB为等腰三角形，∠AOB=70°，结合三角形内角和公式计算∠OBA」 【详解】解：根据题意可知，∠AOB=70°，OA=OB, 则<0BA=180°-700 =55° 2 7.(辽宁省锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一）数学试卷)图1是纸鸢坊的同学们利 用含30°角的直角三角形设计的风车示意图.图2是风车中两个直角三角形，在△ABC中，∠C=90°， ∠B1C=30,将△1BC张顶点”送时针旋转△18C,顶店C的对应点C恰好落在4B边上.若4C=45 C 则点A与点A'之间的距离为() 29/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 入 图1 图2 B.4V5 C8 D.85 【答案】C 【分析】连接AA,先解Rt△BCA求出BC,AB,再由旋转的性质得到'C垂直平分AB,即可求解。 【详解】解：如图，连接AA', ∠C=90°，∠BAC=30°AC=45 :.BC=AC.tan∠BAC=4, .AB=2BC=8 由旋转可得，BC=BC'=4,∠ACB=∠C=90°，即AC⊥AB,AB=AB=8, .AC'=BC=8-4=4, ,AA=A'B=8. 8.(2026年辽宁鞍山市九年级下学期第二次质量调查数学试卷)某种水龙头关闭时如图1所示，将其简 画成图2，D,A,E三点共线，E-A-B-C是水管，AE垂直于台面MN.A-D-F是开关，可整体绕 点A上下旋转，且AD⊥DF,AE⊥AB,连接AF,∠FAD=71°，AE=14cm,DF=12cm.则DE的长 度为（结果保留整数）（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.9）() 30/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A C M E 图1 图2 A.17cm B.18cm C.19cm D.20cm 【答案】B 【分析】在Rt△ADF中，解直角三角形求出AD,再根据DE=AD+AE即可求解. 【详解】解：由题意得：AD⊥DF,即∠ADF=90°， ∴.△ADF是直角三角形： 又D,A,E三点共线， .DE=AD+AE, 在Rt△ADF中，∠FAD=71°，DF=12cm' tan/FAD=DF AD ·AD=DF≈12≈4.1cm tan71°2.9 ..AE =14cm, .DE=AD+AE≈4.1+14=18.1≈18cm 9.(2026年辽宁营口市初中学业水平考试第一次模拟考试数学试卷)如图，△ABC中，B0与C0分别是 ∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点O,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点P,且 ∠BPC=108°，则∠BOC的度数为() A.112° B.118 C.126° D.128° 【答案】C 【分析】先通过四边形内角和定理和对顶角相等得出∠A=72°，所以∠ABC+∠ACB=108°，然后通过角 平分线定义与三角形内角和定理即可求解， 31/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：：BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F, ·.∠AFC=∠AEB=90°， ∠A+∠AFC+∠AEB+∠EPF=360°，∠EPF=∠BPC=108°， .∠A=72°， :∠A+∠ABC+∠ACB=180°， .∠ABC+∠ACB=108°， :BO与CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线， <0nc=ABC,∠0 CB-2/ACB, :∠OBC+∠OCB+∠B0C=180°， E2∠ABC+∠ACB)+∠B0C=180A ÷2×108°+∠B0C=180 .∠B0C=126° 10.(2026年辽宁省本溪市一模数学试题)如图，在菱形ABCD中，∠A=30°，AB=6,点E在边4D上， DG 连接BE,将AABE沿BE折叠，若点A落在AD延长线上的点F处，BF交CD于点G,则CG的值为 () B G ED 2 A.3 B.5-1 C.6-33 D.63-6 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得出一些线段BE、AE、AD、BC的长，再根据折叠的性质求出DF的长度， 根据AF‖CB,进而得到△FDG与△GCB相似，再根据相似三角形的对应边成比例从而得到所求的比值， 【详解】：菱形ABCD, ∴.AB=BC=CD=AD=6,BC∥AF 由折叠性质得：AB=BF=6,AE=EF,BE LAF, 32/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtABE中，∠A=30°，AB=6, BE=4B=3,AE=48-0s30°=35： 2 :4F=2AE=65,DF=F-4D=6N5-6 :BC∥DF, ..AGDFAGCB. DG DF CG BC f代入DF=65-6BC=6 DG_65-6-5-1 ∴.CG 6 二、填空题 11.(2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题)如图，直线AB‖CD,直线EF与AB,CD分别相交 于点G,H,以点G为圆心，GH的长为半径画弧，与直线CD相交于点P,连接GP.若∠EGB=70°，则 ∠GPD的度数为 E H D 【答案】110 【分析】利用平行线的性质得出∠GHP=∠EGB=7O°，根据作图可得∠GPH=∠GHP=70°，最后利用邻 补角的定义求解。 【详解】解：，AB‖CD, .∠GHHP=∠EGB=70°， 由尺规作图可知，GH=GP, .∠GPH=∠GHP=70°， ∴.∠GPD=180°-∠GPH=110° 12.(2026年辽宁省阜新市海州区二模数学试题)如图，己知△ABC,AB=AC=4,BC=7,将△ABC 33/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 沿AC所在直线翻折得到△DAC(△ABC和△DAC在同一平面内)，延长DA交BC于点E,则AE的长是 D B E 【答案】33 【分析】结合已知条件和AE所在的图形可证明△AEC∽△CED,进而利用对应边成比例求解即可. 【详解】解：：AB=AC=4 ∴.∠B=∠ACB :△ABC和△DAC关于AC对称， ∴.∠B=∠ACB=∠ADC=∠ACD,AD=AB=4,CD=BC=7. 在△AEC和△CED中， 「∠AEC=∠CED ∠ACE=∠CDE .△AECOACED AE EC AC 4 EC-EDCD7· 7 EC 4 设ME=x,则有BC=,ED=x+4:代入ED7,得 44 7x+4 64 解得x= 33 AE=64 3 13.(2026年辽宁营口市初中学业水平考试第一次模拟考试数学试卷)某河堤横断面如图所示，堤高 BC=12米， 斜面坡度为 =1:v 是指坡面的铅直高度BC与水平宽度1C之比，则1C长为. 米 (结果保留根号)， 34/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 i=1:3 123 【答案】 【分析】直接根据坡度的定义列式解答即可， 【详解】解：，斜面坡度为 i=1:5BC=12米， BC 1 121 ·AC,即4C5: AC=123 米 14.(2026年辽宁葫芦岛市兴城市初中学业水平考试模拟数学试卷（一）)春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗 句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣.如图， 己知风筝线AB长51m,风筝线与地面夹角∠ABC=37°，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地 面的垂直距离AC为. m. (结果精确到1m,参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) B C 【答案】31 【分析】直接根据sin∠ABC=4C B进行计算即可. 【详解】解：如图， A C 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=51m,∠ABC=37°， 35/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :sin∠ABC=AC AB· AC=AB·sin37°≈51×0.6=30.6≈31(m) 15.(2026年辽宁省本溪市一模数学试题)如图，MN是订书机的底座，AB是订书机的托板，AB∥MN 连接杆DE的D点固定在压柄BC上，点E在AB上，托板与压柄夹角∠ABC=37°.已知AB=BC=12cm, 则点C到托板AB的距离约 —cm.(结果精确到0.1cm.参考数据：sin37°≈0.60，cos37≈0.80， tan37°≈0.75) B 【答案】7.2 【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H,如图， ,∠ABC=37°.AB=BC=12cm, .CH=BCsin∠ABC=12×sin37°≈12×0.60=7.2 即点C到托板AB的距离约7.2cm. 16.(2026年辽宁省抚顺市望花区九年级中考二模数学试题)“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠 基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的.我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平 方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就.如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图” 其中四边形4BCD、BEFC、MG均为正方形.若4D=3.SE方mc=30,又 ,则 △GH= 36/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D朱出 K 朱方 青入 B C G 青入 青方 H 朱入 青出 青出 E 3√21 【答案】2 【分析】根据方形= 0,得出G1=V50,正明Ra1BG2 Rt/FG(HL）,得出G1=AG=V50 IF=AB=AD=3,勾股定理求得GF,进而根据三角形的面积公式，即可求解， S正方形AHG=30 【详解】解： G1=√30 ,四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形， .AG=GI,∠ABG=∠F=90°，BG=GF, RtAABG≌RtAIFG(HL) :G1=4G=V30.F=AB=4D=3 在RtAGIF中，GF=VGI-F2=30-3=V2 S.on-FGF-x3x 23 2 2. 17.(2026年辽宁省葫芦岛市绥中县二模数学试题)如图，4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为 格点，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,P,Q均在格点上.连接PO交AC于点M,连接BM, 则BM的长是 37/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【1君函 分析1由区格特征得4P1CO,正A4 MP2CMO,推出C2,即CM=;AC,利用股定理求 AC=22,验证LC=90°，在Rt△BCM中计算 BM=26 3 【详解】解：由图可得，AP∥CQ,AP=2,CQ=1, .△AMP∽aCMg」 AM AP ·CM=co: AM Cm=2, .AM+CM=AC, 2.CM-4C. :AC=V2+2=22,AB=P+32=10BC=P+P=V2 .CM=4c-22 3 ,AC2+BC2=AB2, .∠C=90°， Γ3 18.(2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模）)如图，在Rt△ABC中， 38/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BAC=90,BC=2,AC=4,点D为4B中点，将△1BC绕点D逆时针旋转 0(0°<0<90°) 得到 △A'BC',连接CC',若B'C刚好经过点A,则CC的长为 D 【答案】 20W13 13 【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，根据中点定义得到AD的长，进而求出CD的长；根据旋转的性 质得到△AB'C'兰△ABC,从而得到对应边和对应角相等：利用DA=DB及点A在B'C'上，证得△DAB为 等腰三角形，利用三角形外角性质得出旋转角8与∠B'的关系；最后在等腰△CDC'中利用三角函数求解 CC的长 【详解】解：如图所示，连接CD,CD,过点D作DM LCC'于点M, B 在RtABC中， ∠BAC=90°，BC=2V13,AC=4 ∴由勾股定理得4AB=VBC2-AC2=V213)2-4=6 点D为AB中点， AD=D-号4B=3, ：在RtACAD中，CD=VAC2+AD2=V42+3=5 由旋转的性质可知，△A'B'C'=△ABC,∠CDC'=∠ADA'=O 39/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=AB=6,AC'=AC=4,B'C'=BC=2V13,∠BAC'=∠BAC=90° ~点D为AB中点，旋转中心为点D, 点D为AB中点， 4D=DR'-4B-3. 旋转前后线段长度不变， :DA=3.DA=DB', ∴△DAB是等腰三角形， ∴.∠DAB'=∠DB'A, 在Rt△AB'C中， 8瓷誓 A B'C A,B',C' 点“在上，即 三点共线， ∠DAB'=∠B', ∴∠ADA=∠DAB'+∠DB'A=2∠B,即B=2∠B, :DC=DC'=5,∠CDC'=0 ∴△CDC是等腰三角形， DM I CC', ∴CC'=2CM=2Dc-sin 2, .0 =∠B' CC'=2x5xsi∠8=10x213_203 13 13 19.(2026年辽宁葫芦岛市兴城市初中学业水平考试模拟数学试卷（一）)如图，△ABC中， ∠A=90,∠ABC=60,BC=6,tam∠ABD=25,BD=E,4B与CD交于点E,则BE的长为一 40/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E/ B 【答案】5 【分析】过点D作DFLB于点R,由m∠1BD=25 和勾股定理求出 F=1,DF=23 ,求出 ∠ACB=30,得4B-号8c=3,4C=NBC-AB=3N5,AF=AB-BF=2,由ACEFDE,符 2-EF3 EF 求出F 手即得E-Br+Bn号 【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F,则∠BFD=90°， tan∠ABD=2V5 DF ·BF =25 DF =23BF DF2+BF2=BD2 BD=13 BF=1 DF=2 :∠A=90°，∠ABC=60°， .∠ACB=30°， .BC=6 .AB=BC=3 2 :.4C-BC:-AB-3 AF=4B-BF=2 .AE=2-EF, 41/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AC∥DF, .△ACEn△FDE, AE AC 33 3 .EF DF 23 2, 2-EF3 EF 2 你 BE-BF+EF= 三、解答题 20.(2026年辽宁省抚顺市望花区九年级中考二模数学试题)计算、化简： √12-2sin60°+（π-2026）° (1)计算： a2-6a+9 (2)化简： a2-2a 【答案】)5+1 a-3 ②a √12-2sin60°+（π-2026）° 【详解】(1)解： =25-2x +1 2 =25-V5+1 =V5+1 (2)解： 2 =(a-3y÷a-3 a(a-2）a-2 42/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =(a-3)2a-2 a(a-2)a-3 =4-3 a 21.(辽宁省辽阳市宏伟区2025-2026学年下学期九年级第二次综合模拟数学试题)计算 旷-s60+l-8+8 +22) xx 【答案】1)4 (2)x+1 【1少解，照就1295-141-55-4- x(x+2)-(2x+1)x (2)解：原式 x-1 -x2+2x-2x-1x x x-1 (x+1)(x-1)x x x-1 =x+1 22.(2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模）)丹东草莓品质优良，果肉饱满香 甜，深受大众喜爱，当地一农户为拓宽收入渠道，打算利用自家闲置土地，修建草莓采摘园.已知农户计 划借助自家院内BA,BC两面墙（墙足够长），用栅栏围一块直角梯形的采摘园DEFB,DB∥EF, ∠EDB=∠DEF=90°，∠ABC=116.57°.（参考数据：sin26.57°≈0.45，cos26.57°≈0.89， tan26.57°≈0.50) B D E GH 图1 图2 43/105 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图1，若栅栏DE的长为10米，求此时BF段墙的长度；（结果精确到0.1米） (2)如图2，该农户计划用48米的栅栏进行围建采摘园，并在EF边上留一个2米宽的门GH,若农户想要 采摘园面积最大，求此时DE的长.（结果精确到1米） 【答案】I)BF段墙的长度约为11.2米 (2)20米 【分析】(1)过B作BM⊥EF于M,根据矩形的判定与性质求出BM=DE=10,∠DBM=90°，则 ∠MBF=26.57°，然后在Rt△BMF中根据余弦的定义求解即可： (2)设DE=x,采摘园的面积为S,过B作BM⊥EF于M,根据矩形的判定与性质求出BM=DE=1O, ∠DBM=90°，则∠MBF=26.57°，然后在RtABMF中根据正切的定义求解MF=0.5x,如果根据梯形面积公 5 式求了= x+50x,最后根据二次函数的性质求解即可. 4 【详解】(I)解：过B作BM⊥EF于M, B :∠EDB=∠DEF=90°， ∴.四边形DEMB是矩形， .BM=DE=10,∠DBM=90°， ∠ABC=116.57° .∠MBF=∠ABC-∠DBM=26.57°， .BF= BM 10 ≈11.2 cos∠MBF0.89 即BF段墙的长度约为11.2米： (2)解：设DE=x,采摘园的面积为S,则FE=48-x+2=50-x, 过B作BM⊥EF于M, D GH 44/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同(1)可求BM=DE=x,∠MBF=26.57°，DB=EM, :ta∠MBF=MF BM ·BM=tan26.57°*0.50 MF ∴.MF=0.5x .DB=EM=(48+2)-1.5x 5=50-15x+0-x 2+50x 、 41 =-0x-20j°+50 .当x=20时，S取最大值， 即采摘园面积最大，DE的长为20米. 23.(2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题)图1是某公交站台的遮雨棚，遮雨棚的截面示意图如 图2所示.两根立柱AB与CD分别垂直于地面，且水平距离BD为2m,遮雨棚由水平板EG,HF和倾斜 板GH三部分组成，其中EG∥HF∥BD,EG=HF=2GH,AE=CF=0.24m,倾斜板GH与水平板HF 形成的∠GHF=160°，求倾斜板GH的长.（结果精确到0.1m.参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94， tan20°≈0.36) EA (图1) (图2) 【答案】倾斜板GH的长为0.5m 【分析】过G作GM⊥HF延长线于M,由∠GHF=160°得∠GHM=20°.设GH=x,结合BD=2m、 1E=CF=024m,推出M=2.48-4r:在R△Gy中，利用c0s20- GH列方程，解得x≈0.5m 【详解】解：过点G作GM⊥HF的延长线于M,延长FH至AB于点I,如图， 45/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EA■ G CF B D .∠GHF=160°， .∠GHM=180°-160°=20°， 设GH=m,根据题意EG=HF=2GH=2xm, AE=CF =0.24m,BD=2m, ,AG=EG-AE=2x-0.24(m）HC=HF-CF=2x-0.24(m） :EG∥HF∥BD,且AB与CD分别垂直于BD, 、.∠B=∠D=∠HCD=∠BIH=∠BAG=∠AIM=90°， 又：∠GMI=90°， .四边形AGMI和BDCI都为矩形， .AG=MI,BD=CI, .HIM BD-AG-HC =2-（2x-0.24)-(2x-0.24) =2.48-4x(m） 在R△GhW中，cos20°= GH· .HM=GH.cos20° 2.48-4x=x.0.94 2.48=4x+0.94x 4.94x=2.48 解得x≈0.5， ∴.倾斜板GH的长为0.5m。 24.(辽宁省葫芦岛连山区2026年年九年级第二次模拟考试数学试题)某种水龙头关闭时如图1所示，将 其简画成图2，D,A,E三点共线，E-A-B-C是水管，AE⊥台面MN,A-D-F是开关，可整体 46/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 绕点A上下旋转，且AD⊥DF,AE⊥AB,连接AF,∠FAD=71°，AE=15.8cm,AD=4cm」 D B 图1 图2 图3 (I)求AF的长度（结果保留一位小数）； (2)如图3，当开关开到最大时，△ADF旋转到△AD'F'的位置上，旋转角∠F'AF=41°，求此时点F'到台 面y sin71°≈0.95cos71°≈0.33tan71°≈2.90V2≈1.4 的距离（结果保留整数）·（参考数据： 517) 【答案】a)l2.1cm 26cm (2) 【分析】(I)在Rt△ADF中，利用余弦的定义求解即可： (2)过点F'作FH⊥MN,垂足为H,交AB于点G,在Rt△FAG中，利用正弦的定义求FG的长度， 再进一步求解即可， 【详解】(（少解：在Rt△ADr中，cos∠FAD= AF· AF=44 c0s71°0.33 ≈12.1(cm)」 答：AF的长度约为12.1cm (2)解：如图，过点F'作FH⊥MN,垂足为H,交AB于点G,延长FG交MN于点H, 47/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,AE⊥AB, .∠DAB=∠BAD=90°， ∴.四边形AEHG是矩形， .AE=GH =15.8cm, :∠FAD=71°， ∠FAB=90°-71°=19°， 根据旋转可得F'A=AF=12.lcm,∠FAF=41°， .∠FAG=∠F'AF+∠FAB=41°+19°=60°， 在Rt△FAG中，sin∠FAG=FG AF, FG=Ar%n60°≈12.1x5≈10,3(cm） 2 AE=15.8cm, F'H=FG+GH≈10.3+15.8≈26(cm) 答：点F'到台面MN的距离约为26cm」 25.(2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷)如图1，为某两足人形机器人行走时的实拍 图，图2为该时刻下半身对应的几何示意图（所有点均在同一平面内），行走时，机器人前脚跟、后脚尖 同时着地，着地点分别为W,N,TM为后脚跟离地的最大距离，点A为髋关节，大腿AE与小腿EW在一 条直线上，AB与地面MW垂直.经测量大腿AC,AE长均为36cm,小腿CT,EW长均为44cm, CD⊥MW,∠TCD=45°，∠CAB=30°，∠BAW=10°， 48/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M N D B W 图1 图2 (I)行走时的身高与直立时的身高相差多少cm? (2)行走时每步的步长MW是多少cm? 0.1cm (结果精确到 ，参考数据： sin10°≈0.17cos10°≈0.98tanl0°≈0.18V2≈1.41 【答案】(I)行走时的身高与直立时的身高相差l.6cm; (2)行走时每步的步长MW约是62.6cm 【分析】(1)根据题意得出AW=AE+EW=80cm,然后解RtABW即可： (2)过C作CP⊥AB于点P,过T作T01CD于点Q,则∠APC=90°，∠CQT=90°，根据图形得出 BW=AW.sin∠BAW≈13.6cm,CP=AC.sin∠CAP=18cm,再由矩形的判定和性质确定BD=CP=18cm 然后结合解三角形即可求解。 【详解】(1)解：，AE=36cm,EW=44cm, .'AW=AE+EW =80cm, ,AB⊥MW, ∴∠ABW=90°， 在RtABW中，∠BAW=1OP,cos∠BAp= AW, AB=cos10°·AW≈0.98×80=78.4cm, .AW-AB=80-78.4=1.6cm」 答：行走时的身高与直立时的身高相差1.6cm (2)如图，过C作CP⊥AB于点P,过T作T0⊥CD于点O,则LAPC=90°，∠COT=90° 49/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E M ND BW 在Rt△ABW中，∠ABW=90°，∠BAW=10°，AW=AE+EW=80cm, sin∠BAW= BW AW, .BW=AW·sin∠BAW≈13.6cm 在Rt△ACP中，∠APC=90°，∠CAP=30°，AC=36Cm, ·sin∠CAp=CP AC, :.CP=AC·sin∠CAP=18cm. .∠CPB=∠PBD=∠BDC=90° 四边形CDBP是矩形， .BD=CP=18cm. 在RtACTO中，∠CQT=90°，∠TC0=45°，CT=44Cm, sin∠7co=T CT .170=C7sin∠7c0=222*31.02am 同理四边形TQDM是矩形， ∴.MD=Tg=31.02cm .MW MD+DB+BW =62.6cm 答：行走时每步的步长MW约是62.6cm. 26.(2026年辽宁省盘锦市兴隆台区中考一模数学试题)己知，在△ABC中，∠BAC=60°， ∠BCA=(60°<a<120)△ABC ,将 1BC绕点A逆时针方向旋转得到△1DE,使点C的对应点B落在边1B上， 射线DE交BC于点F,连接AF. 50/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (1)如图1，当a=90°时. ①求证：点E是AB的中点： ②求出∠BAF的度数： (2)如图2，当≠9O°时，在DF上截取DG=BF,连接AG,判断AF,BF,DF之间的数量关系，并说 明理由： 3)若AB=8,BC=7,直接写出AF的长. 【答案】(1)①见解析：②30° (2)DF=BF+AF,理由见解析 4024 3)4F的长为7或7 【分析】(1)①当W=90°时，∠BCA=90°，由三角形内角和定理可得∠B=30°，由直角三角形的性质 可得1C2B,由旋转的性质可得AC=AB,则4B=AB,即可得证：②由旋转的性质可得： 21 ∠DEA=∠BCA=90°，则DE⊥AB,由①可得点E是AB的中点，从而可得DF垂直平分AB,进而可得 AF=BF,即可得出结果： (2)由旋转的性质可得AB=AD,∠DAE=∠BAC=60°，∠D=∠B,在DF上截取DG=BF,连接AG 证明△1DG≌aABF(SAS) 得出AG=AF,∠DAG=∠BMAF,再证明△GAF为等边三角形，得出GF=AF 即可得出结果： (3)分两种情况：当∠ACB是锐角时，作BH1AC于点H:当∠ACB是钝角时，作BH⊥AC于点H,分 别结合勾股定理以及相似三角形的性质计算即可得出结果. 【详解】(1)①证明：当a=90°时，∠BCA=90°」 .∠B=180°-∠BAC-∠BCA=30°. 4c-0 由旋转的性质可得AC=AE, 51/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,点E落在边AB上， .点E是AB的中点： ②由旋转的性质可得：∠DEA=∠BCA=90°， .DE⊥AB, 由①可得点E是AB的中点， ∴.DF垂直平分AB, .AF=BF, .∠BAF=∠B=30°： (2)解：DF=BF+AF,理由如下： 由旋转的性质可得：AB=AD,∠DAE=∠BAC=60°，∠D=∠B, 在DF上截取DG=BF,连接AG, B G 在△ADG和△ABF中， AD=AB ∠D=∠B DG=BF' △ADG≌AABF(SAS) .AG=AF,∠DAG=∠BAF, ,∠DAG+∠GAE=60°， .∠BAF+∠GAE=60°， .∠GAF=60° .△GAF为等边三角形， .GF=AF. .DF=DG+GF BF+AF: 52/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：如图，当∠ACB是锐角时，作BH⊥AC于点H, B :∠BAC=60°， .∠AHB=90°-∠BAC=30°， 4H4=4 BH=VAB-AH=43 .CH =BC2-BH =1 .AC=AH+CH=5. 由旋转的性质可得：AE=AC=5,DE=BC=7,AD=AB=8,∠D=∠ABC,∠DAE=∠BAC=60°， .BE=AB-AE=3. :∠D=∠ABC,∠DEA=∠BEF, .△DEA∽△BEF, DE AE AD 758 BE FE FB,即3FEFB, FE=5,FB=24 7， 7, 由(2)可得：AF+BF=DF, AF=DF-BF=DE+FE-BF=40 如图：当∠ACB是钝角时，作BH⊥AC于点H, E H :∠BAC=60° 53/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠AHB=90°-∠BAC=30°， .AH=3AB-4 BH=VAB-AH=43 :CH =BC2-BH=1 .AC=AH-CH=3, 由旋转的性质可得：AE=AC=3,DE=BC=7,AD=AB=8,∠D=∠ABC,∠DAE=∠BAC=60°， .BE=AB-AE=5, :∠D=∠ABC,∠DEA=∠BEF, ∴.△DEA∽△BEF DE AE AD 7 3 8 ·BEFE FB,即5FEFB, .FE=15 FB= 40 ， 7 由(2)可得：AF+BF=DF, :.AF=DF-BF=DE+FE-BF=24 7 4024 综上所述， 4F的长为7或7. 27.(2026年辽宁省阜新市海州区二模数学试题)综合实践 D E B B 图① 图② 图③ (I)如图①，己知△ABC,AB=AC,点D、E分别在边AC、AB上（不与线段AC、AB端点重合）， 连接BD、CE,若使△ABD≌△ACE需要再添加一个条件，则以下条件能符合的是一： 54/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①BD=CE②∠AEC=∠ADB③BE=CD ②)如图②，己知菱形ABCD,点E是AB边上一点（不与点A、B重合），连接DE,以点B为圆心，线 段DE的长为半径作弧交DA延长线于点F,求证：∠AFB=∠AED; )如图③，己知Rt△ABC,∠ACB=90°，AB=8,点D是AB边中点，连接CD,BE⊥CD于点E,点 G=3时， G在线段AD上，AG=CE?当BE ① BE 求线段的长； ② △AGC 直接写出 的面积. 【答案】1)②③： ②)证明：在AD边上取点G,使AG=AE,连接BG,如图， F E ,四边形ABCD是菱形， .AB=AD, ,∠BAG=∠DAE, △ABG≌△ADE(S,A,S) .DE=BG,∠AED=∠AGB, .DE BF, ..BG=BF, .∠BFA=∠BGA, ∴.∠BFA=∠AED: (3)BE= 8V58W2 3；②33. 55/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】 根据全等三角形的判定方法逐一判断即可； (②)在AD边E取点G,使4G=AC,由四边形BCD是菱形，则有AB=AD,正明△1BG9a1DE(SAS) 所以DE=BG,∠AED=∠AGB,然后通过等边对等角即可求证： (③)O作CF1BD于F,由直角三角形的性质可得CD=BD=1D=4,然后证 ABDE≌CDF(ASA),所 以EG:Dr-0E·则60r-D-,由E3,答-，设cF-E则cG=r由 勾股定理得FG=2N2x,则FD=2x,所以在RtDFC中，CF+FD=CD,即2+(2x=16,求出 x的值即可： ②由①得 服r34D2ar6nrDG.所以G6 3, 3, 3,根据全等三角形的 性质得DF=DE,BD=CD,所以BF=CE,即 ，再过x号4GxC BF=AG=4-46 即可求解 【详解】(1)解：添加①BD=CE,不能判定△ABD≌△ACE: 添加②：在△ABD和△ACE中， ∠AEC=∠ADB ∠A=∠A AB=AC △ABD≌△ACE(AAS) 添加③：：BE=CD, .AB-BE=AC-CD .AE AD, 在△ABD和△ACE中， 56/105 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD=AE ∠A=∠A AB=AC' △ABD≌△ACE(SAS) 故选：②③： (2)略， (3)解：①作CF⊥BD于F, G D E B C :∠ACB=90°，D是AB中点，AB=8, ..CD=BD=AD=4. .CE=AG .DE=DG. ,∠BED=∠CFD=90°，∠BDE=∠CDF, ABDE≌ACDF(ASA) .BE=CF,DF=DE, 1 .DF=DG=FG, CG=3. ·BE CG :CF =3 设CF=BE=x,则CG=3x, 57/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FG-CG-CP-V-2x FD=Vx ∴.在RtADFC中，CF2+FD2=CD2, 2+2=16 4v5 解得=， :E6 3: ②由①得 E=CF=43 FD-CF=4 DF=DG-1FG 3, 3 :G86 3, ,△BDE≌△CDF, ∴.DF=DE,BD=CD, BD-DF CD-DE, ..BF=CE, AG=CE, .BF=AG, BF=4G=4B-G.886 2 ,3=4-46 2 ..S.AGC=AGx CF 2 464v5 3 58/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 838√2 33, 8W582 ∴.△AGC的面积为33. 28.(2026年辽宁绥中县中考一模数学试题)一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC,D在AB 上，AD=0.6m,D、E、F三点共线，DF=3DE=3AE.当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好 为600 求D 落在地面上的投影6G的长.《精确到0.m,5≈1414,5≈1,732， D 602 G HC 图1 图2 【答案】2.lm 【分析】作EM⊥AD于M,GN⊥FN于N,则∠MED+∠MDE=90°，然后求出 ∠MED=∠BDG=90°-∠DGB=30°，枚DM=)AD=0,3m,从而得到DE-2DM=06m,可得 DF=3DE=1.8m,再证明四边形DGNF是矩形，得GN=DF=L.8m,最后在Rt GNH中，根据GH=GW sin 609 求解即可. 【详解】解：作EM⊥AD于M,GN⊥FN于N, D 60、 B HC .∠MED+∠MDE=90 :∠EDG=90° .∠MDE+∠BDG=90° 59/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠MED=∠BDG :DG∥FH, ∴.∠DGB=∠FHG=60° :.∠MED=∠BDG=90°-∠DGB=30° .DF=3DE =3AE. .'AE=DE, A.DM=号4D=03m .DE=2DM=0.6m. ∴.DF=3DE=l.8m. ,∠FDG=∠F=∠GNF=90°， “.四边形DGNF是矩形 ..GN=DF =1.8m 在RtAGNH中， ,∠GHN=60°， GH= 6-186321m sin60° 3 2 29.(2026年辽宁营口市初中学业水平考试第一次模拟考试数学试卷)已知△ABC中，AB=AC, ∠B=C,点D是边BC上任意一点（不与点B,C重合），将△ABD沿AD所在直线翻折，点B的对应点 为点E. B 图1 图2 备用图1 备用图2 60/105 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()如图1，过点A的直线川BC,当点E在直线1上时，请画出点E和折痕AD(尺规作图，保留作图痕迹， 不写作法)，判断此时四边形ABDE的形状，并说明理由； (2)连接EC并延长，与AD的延长线相交于点F, 如图子，者4C=5,8C=8,当DE1AC时，求F的长 ① ，当 ② 当点与C中点不重合时，猜想1F,CF,CE。 D BC ,的关系（用含有的式子表示），并说明理由. 【答案】) 如图，点E,AD即为所求， E 2)@DF=11V5 6； ②仁：Cr:CE的关系为CF+CE=caa或cF-一CE=6oa4P,理如下， 当点D在BC中点右侧时，作AH⊥CE, B 由①可知AC=AE,△ACD∽△AFC, :CH=BH-cE,∠F=∠B=a FH :AF =cosa 1 CF+CE =cosa, AF 61/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CF+CE=cosaAF」 2 当点D在BC中点左侧时， 延长ED与AB相交于点M, A M H 由翻折可知，AB=AE=AC,∠ADB=∠ADE, 六∠CAE=∠CDE∠ACE=∠ABC,EH=CE, 又∠BDM=∠CDE, .∠ADB-∠BDM=∠ADE-∠CDE,即∠ADM=∠ADC, 又∠ACE+∠AEC+∠CAE=180°，∠ADM+∠ADC+∠CDE=180°， .∠ADM=∠AEC, 又∠ADM+∠ADE=180°，∠AEC+∠AEF=180°， .∠ADE=∠AEF, 又∠DAE=∠EAF, .△ADE∽△AEF, .∠F=∠B=a, FH :.AF =cosa CF、I CE 2 -cosa, AF :.CF-CE-c0saAF 2 综上可得：A:CF,CE的关系为CF+CE=-coAF段CF-CE=cosaAF. 1 【分析】(1)以A为圆心，AB为半径画弧交1于点E,然后分别以B、E为圆心，大于BE长度为半径 62/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 画弧，两弧交于点F,连接AF,交BC于点D,连接DE,则点E,AD即为所求，然后通过菱形的判定 方法即可求证： (2)①作4G1BC于点C,证明△1DG2a1DM(L),所以DG=DM,则有 DM-DM=tan∠AcG=4C-3 CG4,由翻折可知∠B=∠AED ,∠ADB=∠ADE=∠BDE,AB=AE,再证明 3v5 所以D-4C,即2=5，然后求得AF=105即可求解： △ACD∽AAFC AC AF 5 AF 3 ② D BC D BC 分当点在中点右侧时，当点”在中点左侧时，两种情况求解即可。 【详解】(I)证明：由翻折可知∠BAD=∠DAE,AB=AE,BD=DE, ,AE∥BD, ∴∠ADB=∠DAE, ∴∠BAD=∠ADB, ∴.AB=BD=DE=AE, 四边形ABDE是菱形： (2)解：①作AG⊥BC于点G, .AB=AC, ∠B=∠ACB, CG-1BC=4 .4G=AC2-CG2=3 由翻折可知：∠BDA=∠CDA, 又：AM⊥DM, .AM=AG=3. 63/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..CM=AC-AM=2. AD=AD, :a1DG≌AADM(HL) .DG=DM, ,DM-DM=tan∠AcG=AC=3 .CM 2 CG 4 :.DG=DM=3 2· AD-AG+DG 2, 由翻折可知∠B=∠AED, ∠ADB=∠ADE=)∠BDE,AB=AE, 2 ∴.∠ACB=∠AED,AC=AE, ∴.∠ACE=∠AEC, 又∠AED+∠EAM=∠ACB+∠CDE=-90°， .∠CAE=∠CDE, 又∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，∠CDE+∠ADB+∠ADE=l80°， .∠ADG=∠ACE, 又∠ADG+∠ADC=180°，∠ACE+∠ACF=180°， .∠ADC=∠ACF, 又∠CAD=∠CAF, ∴.△ACD∽aAFC, AD AC ·ACAF, 35 即2=5 5 AF AF=10/5 3, 64/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DF=AF-AD=1 6 ②略 30. (辽宁阜新市海州区2025-2026学年九年级下学期素质测评数学试卷（一）)如图1，在矩形ABCD 中，4B=4,BC=6,点M在射线BC上，连接M,将线段M绕点A逆时针旋转a(0<a<90得到 线段AN,将线段AB绕点A逆时针旋转a得到线段AE,连接NE并延长交BC于点F. M (图1) (图2) (图3) (备用图) 1)连接BE,当a=60°时， ①求证△ABM≌△AEN: ②若点M在线段CF上，猜想MF,EF,EN之间的数量关系，并证明： NK ②)如图2，若BM=1'点E落在矩形ABCD对角线BD上，延长EN交AD于点K,求NF值： 3 3 ③)如图3，连ND,若ana=4,AAND的面积为5，直接写出线段BM长。 【答案】I) ①证明：如图1，由旋转知：AN=AM,AE=AB,∠NAM=∠EAB=C, ∴.∠NAM-∠EAM=∠EAB-∠EAM,即∠NAE=∠MAB, ∴.△ABM≌AAEN(SAS) ②MF+EF=EN NK 2 ②)NF11 3)5 【分析】(I)①可根据SAS证得：②连接BE,可证得△ABE为等边三角形，接着证BF=EF由①中 △ABM≌aAEN,知BM=EN,所以BM=BF+FM,即可得出FM+EF=EN; 65/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)过点K作KG⊥BC于点G,则四边形ABGK是矩形，AK=BG,AB=KG,证△AEK≌aKGF,得出 FG=EK ∠ABF=∠AEF=90°，AE=A ,因为 可证得△BEF及△DKE D=x 是等腰三角形，令 ,则 KE=FG=GC=x,AK=KF=6-x,BF=EF=6-2x RtAEFG ,在 中，利用勾股定理列方程求得，所以， NK NK=EK-NE=x-I'NF=FK-NK,因此NF可求； (3)延长NF交AB的延长线于点H,过点N作NP⊥AD于点P,交BC于点O,则PD⊥BC,在 3 Rt△AEH中，利用正切定义求出EH,AH,从而求得BH,根据。ADH的面积为求出PH,从而求得 NO △FNO∽△FHB NF EN BM=EN ；通过 求出，，最后根据 求得结果。 【详解】(1)解：①略 ②FM+EF=EN,理由如下： 在矩形ABCD中，∠ABC=90°， 如图，连接BE, AB=AE,∠BAE=60° ∴△ABE是等边三角形， 由△ABE≌aAEN可知，∠AEN=∠ABM=90°，EN=BM, .∠AEF=90° ∠ABE=∠AEB=60°， ∠EBM=∠BEF=30°， ..BF =EF, BM BF+FM, ∴，FM+EF=EN 66/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：由△ABM≌△AEN得，∠AEN=∠ABM=90°， 过点K作KG⊥BC于点G,则∠FGK=∠AEK=90°， 在矩形ABCD中，AD‖BC ∴.∠AKF=∠KFG,∠AKG=90° 四边形ABGK是矩形， .AB=KG=AE=4, ∴.△AEK≌△KGF(AAS) .AK=KF=BG,EK=FG. ∠ABF=∠AEF=90°，AB=AE ∴.∠ABE=∠AEB, ∴.∠ABF-∠ABE=∠AEF-∠AEB,即∠FBE=∠FEB=∠KED, .BF EF, ADI川BC, .∠ADB=∠DBC, ∠KED=∠KDE, ..KD=KE, :∠KGC=∠C=∠D, ∴四边形CDKG为矩形， 令DK=KE=x,则AK=FK=6-x,CG=KE=FG=x, ∴.EF=BF=KF-EK=6-2x, 在RtKFG中， ∠FGK=90°，KF2=FG+KG2 .(6-x)2=x2+42 67/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得，x= 3 :△ABM≌△AEN,NE=BM=1, 5 2 ∴.KN=EK-EN=x-1=-1=2 3 3 513 KF=6-x=6-三= 33· 13211 ∴.NF=KF-KN= 333· NK 32 WF1111: 3 M (3)解：延长NF交AB的延长线于点H,过点N作NP⊥LAD于点P,交BC于点O,则P№⊥BC, 由(2)知，四边形ABQP,POCD为矩形， ∴.PQ=AB=4,NQ‖BH NF NO HFBH· 、3 在Rt△AEH中，tan∠EAH=tana 4·AE=4 EH 3 EH 3 AE=4,即4=4， ∴.EH=3, AH=V32+42=5 由勾股定理，得 .BH-AH-4B-5-4=1.cos AH 5, :△AND的面积为5， 68/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x6.NP=5 3 1 .PN= 5 ON=PO-PN=4-1_19 55 HF=. BH1_5 在 中， RteBFH H;5,郎-Fm-8m-号 5 NOll BH .△BFH∽aQFN 19 F-5 NFNQ,即51， FH BH 3 F=19 , EF=BF=4 .EN NF-EF= 95, :BM=EN」 .BM=5 D B MO C H 31.(2026年辽宁葫芦岛市连山区中考模拟测试（一模）数学试卷)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， AB=6,AC=8,将三角形纸片ABC折叠，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕. 69/105 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D D 图1 图2 图3 (I)求证：AD=BD: Q)在(I)基础上，将△ABC沿折痕DE剪开，然后将△DEC绕点D逆时针方向旋转 (0°<a<90°) 得到 △DFG,点E,C的对应点分别是点F,G,GF与AC交于点M,DG与AC交于点P. ①如图2，当GF BC时，求AM长： ②如图3，当GF的延长线经过点B时，连接AG,求△AMG的面积. 【答案】(1) 证明：由折叠可知：AD=CD, .∠DAC=∠C, ∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠DAC=90°，∠B+∠C=90°， .∠BAD=∠B, :AD=BD: D 图1 147 2)①3：②100 【分析】(1)利用折叠的性质和等角对等边进行解答即可： (2②)①电(4)可知：4D=BD=DC=BC=5,由旋转的性质得：∠G=∠C:DG=DC=5,由 PG+PD=PM+PC得到DG=CM=5,进一步即可求出答案： ②证明MA=MG.设MA=x,则MC=MB=AC-AM=8-x,在Rt△ABM中，由勾股定理得： 7 B?+M2=MB2,解得：x4,得到MA=MG=4,利用三角形的面积公式进二步解答即可 70/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)略 (2)①解：在Rt△ABC中， BC=√AB2+AC2=10 由(1)可知：AD=BD=DC=)BC=5, 由旋转的性质得：∠G=∠C,DG=DC=5, GF∥BC, ∴.∠G=∠PDC,∠GMP=∠C, .∠G=∠GMP,∠PDC=∠C, ..PG=PM,PD=PC. ..PG+PD=PM+PC. ∴.CM=DG=5. .AM=AC-CM=8-5=3, A B D 图2 ②解：当GF的延长线经过点B时， A G D E D 图3 :∠DFG=90° ∴.DF⊥BG BD=DC=DG,∠FGD=∠C, F-GF-G ∠FBD=∠FGD=∠C ∴.MB=MC 1 又GF=CE=AE=二AC 2 71/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..BG=AC, ..BG-MB=AC-MC, ∴.MA=MG 设MA=x, 则MC=MB=AC-AM=8-x, 在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB2+AM2=MB, 62+x2=(8-x)2 7 解得：X=4, M=MG= 1 1 .721 .S-74B-AM -6x4 :△AMG与△ABM同高， SMAMG _MG MB 7 S△4wG= 21 87, 4 4 .S△AMG= 147 100 32.(辽宁省铁岭市部分学校2025-2026学年下学期第一次模拟考试九年级数学试卷)Rt△ABC中， AB=AC=14,D,E分别为AC,BC的中点，点F为BC边上一点，过点B作BG⊥AF垂足为G,交 直线DE于H,连接FH. 0 B 图1 图2 (I)DE的长度是 72/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)如图1，当点F在线段BE上时，求证：AF=BH+FH: 3)当AF=10时，求△BFH的面积. 【答案】)7 (2) 证明：如图，连接AE,延长AE交BH延长线于M, M E D G 图1 ,Rt△ABC中，AB=AC=14,E为BC的中点， .AE⊥BC,∠AEF=∠BEM=90°，AE=BE,∠C=∠ABC=45°， .∠MBE+∠M=90°， BG⊥AF, ∴.∠MAG+∠M=90°， ∴.∠EAF=∠EBM, ∠EAF=∠EBM AE=BE 在 和 中， △AFE△BME ∠AEF=∠BEM=90°' .△AEF≌aBEM(ASA), ∴.AF=BM,EF=EM, ,DE为△ABC的中位线， .DE Il AB,∠CED=∠ABC=45, .∠AED=∠CED=45°， ∴.∠MEH=∠FEH=45°， EM=EF ∠MEH=∠FEH 在 和 △MEH △FE 中，EH=EH 73/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△MEH≌aFEH(SAS). ∴.MH=FH, BM=BH+MH ∴.AF=BH+FH. 2128 B)。BFH的面积为4或3 【分析】(1)利用中位线的性质求解即可： (2)连接AE,延长AE交BH延长线于M,利用等腰直角三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质 得出∠EAF=∠EBM,即可证明△AEF≌aBEM(ASA),得出AF=BM,EF=EM,进而可证明 △MEH≌△FEH(SAS) MH=FH ,得出 ，根据线段的和差关系即可得结论： (3)当点F在BE上时，连接AE,过点F作FN⊥AB于N,过点H作HP⊥BC于P,利用勾股定理可 求出BN=FBN=6,BF=62EF=V 根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠HBP=∠FAE, 可得 tan∠HBP=tan∠FAE=PH_L PB7,即可求出 E=PH=12 8,利用三角形面积公式即可得△BFH面积；同 理，当点F在CE上时，连接AE,过点F作FQ⊥AB于Q,过点H作HK⊥BC于K,求出BF=8V2, EK=HK= 7N2 6，即可得△BFH面积：综上即可得答案. 【详解】(1)解：：AB=AC=14,D,E分别为AC,BC的中点， .DE为△ABC的中位线， (2)略 (3)解：如图，当点F在BE上时，连接AE,过点F作FN⊥AB于N,过点H作HP⊥BC于P,此时， AN>DE,即AN>7,则BN=FN<7, 74/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E H B 图2 设BW=FN=x,则AN=14-x, AF =10,AF2=AN2+FN2. x2+14-x)2=102 解得： x=6x2=8 (舍去)， BF-FN=62 ..AB=AC=14, BC=2AB=142:8E=6C=7N5, 21 EF=BE-BF= .tan∠FAE=EE=2_1 AE 2 7, ,∠FAE+∠AFE=90°，∠HBP+∠BFG=90°，∠AFE=∠BFG, ∴∠HBP=∠FAE, .tan∠HBp=tan∠FAE=PH_1 PB7 :PH⊥BC,∠HEB=45°， ∴.△EPH是等腰直角三角形，PE=PH, PE 1 PB7 PE-PH=1BE-12 8 , 75/105 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5amBF.PH=x6N2x75-斗 2 84. 如图，当点F在CE上时，连接AE,过点F作FO⊥AB于Q,过点H作HK⊥BC于K,此时，A0<DE, 即AQ<7,则BQ=FQ>7, G B 图2 同理可得，BQ=FQ=8,BF=8√2， EF-BF-BE-8-7 ZF4E- AE 7, .∠FAE+∠AFE=90°，∠HBK+∠BFG=90°， ∴.∠FAE=∠HBK, an∠HBK=tan∠FAE=R-} BK7. :∠CED=45°， ∴.△HEK是等腰直角三角形，HK=EK, HK EK 1 ·BKBK7, .EK-HK-1BE- 7√2 6 6, :5m6r-=5×82x25_28 63 2128 综上所述：ABFH的面积为4或3· 【点睛】本题是三角形的综合，涉及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，三角函数、等腰三 76/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 角形的判定与性质、解一元二次方程及勾股定理，合理作出辅助线，掌握分类讨论的思想是解题关键， 33.(辽宁省沈阳市于洪区2025-2026学年度下学期第一次模拟测试九年级数学试卷)在△ABC中， AB=AC=5,BC= ,D是BC边的中点，B是射线BA上一点，将△BDE沿DE翻折得到AFDE,点F是点 BC B的对应点。 (图1) (图2) I)如图1，点E在线段BA上，EF∥BC,EF,DF分别交AC于点G,H. ①求证：四边形BEFD是菱形： ②连接DG,求△DGF的面积： (②)如图2，点E在BA延长线上，DE,EF分别交AC于点M,N.连接BF,CF,若∠ABF=90°-∠ABC」 求CF的长. 【答案】1) ①证明：'将△BDE沿DE翻折得到△FDE, ∴△BDE≌△FDE, ∴.BE=FE,BD=FD,∠BED=∠FED EF∥BC, ·∠FED=∠EDB ∠BED=∠EDB, .BE BD, ∴.BE=EF=FD=BD, ∴四边形BEFD是菱形： 2 ②S.Gr=25 56 2CF=25 77/105 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(I)O由翻折得出BE=FE,BD=FD,∠BED=∠FED,证明∠BED=∠EDB,进而得出 BE=EF=FD=BD:即可得出结论：②先求出AD=3证明△MEG∽△ABC,得出EG=;,求出 GF=12 DM=12 ,即可求出结论： (2)连接AD,延长ED交BF于点G,证明△ABD∽aBEG,设BG=3a,GE=4a,BE=5a,则 32 DG=4a-4,根据勾股定理求出a=25,再根据勾股定理求出结论即可. 【详解】(1)①略 ②连接AD,设AD交EG于点M, ,D是边的中点， B C..AB=AC=5,BC=8 BC ∴.BD=4,AD⊥BC :EF∥BC, .AM⊥EG, 在RteABD 中， AD=AB2-BD2=3 ,四边形BEFD是菱形， .BE =BD=4. AE=AB-BE=5-4=1, EF∥BC, 、△AEG∽△ABC, AEEG AM 1 EG AM ABBC=AD,即5=8=3， 解得：EG=8 3 , AM= 5 GF=EF-EG=4-8_12 55 78/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·DM=3-312 55 -1×12x12=72 SoF=2×5x525 (2)解：：∠ABF=90°-∠ABC, ∠ABF+∠ABC=90°， 连接AD, G (图2) ,·AB=AC,BD=CD .AD⊥BC ∴.∠BAD+∠ABC=90° ·∠ABF=∠BAD. 延长ED交BF于点G, 由翻折知， EB=EF,DB=DF, 则EG⊥BF, .∠ADB=∠BGE=90°， △ABDr△BEG, ∴.BG:GE:BE=AD:BD:AB=3:4:5,∠ABD=∠BEG 设BG=3a,GE=4a,BE=5a, DB=DE=4. .DG=4a-4, 在Rt△BDG中，BD2=BG+DG, 4=(3a2+(4a-4) 32 解得：a=0(不合题意舍去)，或Q=25, 79/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 192 .BF=2BG=6a= 25, DB=DF DC, ∴.∠DBF=∠DFB,∠DFC=∠DCF '∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=18O°， .∠BFC=∠DFB+∠DFC=90°. 在Rt△BFC中， CF=BC2-BF2 192 6 25 的 34.(2026年辽宁葫芦岛市兴城市初中学业水平考试模拟数学试卷（一）)Rt△ABC和Rt△DEF中， ∠BAC=∠EDF=90°，AB=DF=8,AC=ED=6,DE 在线段上移动（点D在点的右侧），△DEF BC D E 的位 置随DE的位置变化而变化 G 图1 图2 备用图 (I)如图1，当EF经过点A时，求证：AC=AE: (②)如图2，AB与EF交于点H，,BA的延长线交DF于点G,若HG=AC,求BE的长： B)△DEF在运动的过程中，EF与直线AC交于点M,FD与线段AC交于点N,若NC=4AM,请直接 写出NC的长. 【答案】1) 证明：：∠BAC=∠EDF=90,AB=DF=8,AC=ED=6, △ABC≌ADFE(SAS) ∴.∠C=LDEF, ,EF经过点A, ∴AC=AE: 80/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .14 ②15 4 3)4或3 【分析】(1)证明 1BC≌aDFE(S4S),得∠C=∠DEF,即得MC=C, (②)建立平面直角坐标系：以B为原点，BC所在直线为x轴：设Ee0),D+6,0),F的坐标为 4.4 A 3224 3 e+6,8),求直线EF的解折式为-号e。 55，直线AB解析式为=4，当x=e+6时， y=2(e+6)3e+9 3。.9 4 5(42-9e) 28 6即得E- RaE=,文系：a0DcoD3Ee0pu+6D,Pe+68 4 4 440 (2)知，直线EF解析式为'3-3，求出直线4C解析式=了+3.联立求得M2,3 V= -x+ M1+1020-2r 得M= t+10322 20-2t 242_ 5t-14 25 3 5 3,求出N1+6,--16) 3 c-4-f+50---面c-4w.4-小24-.当0s1片所.当号44时 44 分情况解答，NC的长为4或3· 【详解】(1)略 81/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：如图，建立平面直角坐标系：以B为原点，BC所在直线为x轴， H B E 设E(e0),则De+6,0 e+6,8) F的坐标为 设直线EF的解析式为y=ax+b, [ek+b=0 得(e+6)k+b=8, 、 3 解得 49 b=-3e “直线的解新所式为 3e, 过点A作AI⊥BC于点L, BC=AB2+AC7=10 .S.ac-AB.AC=BC.Al 2 A1s24 5 .B1=VAB2-A=32 43224 .(5’5 设直线AB解析式为y=a 82/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3224 则5a= 5, 4 3 ·直线4B解析式为y= 当x=e+6时， 3 39 y=e+6)=4e+ 42, 39 Ge+6,,e+。 42, 3 y=-x 联立 44 =3- e 3 16 x-Te 解得 12 y=- e 392e 7e+42-16e 21e+126-48e 7 + 28 e 42-9e)}29(42-9e) 49 784 83/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16(42-9e)}+9(42-9e} 784 25(42-9e月 784 5(42-9e) 28 =6, :42-9e=±6x28±168 5 解得es14 42 =i5或e=5(舍去)， ..BE=14 5 (3)解：如图所示， F A M H N D B E DC 3224 设E=1,建立坐标系：B(Q0),C(0.o,亏5， E,0).D(t+6,0),F(t+6,8), 44 类比(2)知，直线EF解析式为=3-3， 设直线AC解析式为y=cx+d, 层 5 则10c+d=0· 84/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C=- 解得 40, d= 3 4.40 直线4C解析式为y= 3t+ 3· 44 y= 3-3 联立 440 y=-。x+ 33 [x=+10 2 解得 20-2t· y= 3 M t+1020-2t 、(23, t+10 322, 720-21 24)25t-14 M= 2 5 3 5 6, 440 对AC:y=- 一x+ 33 当x=t+6时， =+6)+0-416 3 3 .9 c-y04-of+046-4j+g64-4 NC=4AM, 即4-小=4x业4-列 6, .54-=214-51 当0s1s14 时，4-t≥0,14-5t20: 85/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :54-)小=2014-50） 化简20-5t=28-10t, 5t=8, 8 解得=5， 4-8)=512 NC= -X- =4 -3535 14 当51≤4时，4-1≥0,14-51<0： ✉54-0=251-14) 化简20-5t=10t-28, .15t=48, 16 解得=5， NC= 4-16=5x44 4-5353 4 综上，NC的长为4或3， 35.(2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题)如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是边BC上的点， BD=CE B D B (图1) (图2) (图3) (I)如图1，求证：△ABE≌△ACD: (②)如图2，点F是△ABC内一点，∠BAD=2∠ACF-45°，∠AED=2∠ACF. ①求证：∠BAC=90°； AG ②BF与AD相交于点G:且G是BF的中点，求AC的值： 86/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③如图3，在②的条件下，当BF=CF=2时，求AC的长. 【答案】(1) 证明：，AB=AC, ∠B=∠C, .BD=CE .BD+DE =CE+DE,BE=CD, △ABE≌△ACD(SAS) (2)①证明：，△ABE≌△ACD .∠ADC=∠AEB: ..AB=AC, .∠ABC=∠ACB: ,∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠BAD=2∠ACF-45°， .∠ADC=∠ABC+2∠ACF-45°， .∠AED=2∠ACF, .∠ADC=2∠ACF, ∴.2∠ACF=∠ABC+2∠ACF-45°， .∠ABC=45°， ∴.∠ABC=∠ACB=45° .∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°： 2 ②2；③1+V5 【分析】(1)由等边对等角得到∠B=∠C,再证明BE=CD,即可利用SAS证明△ABE≌△ACD: (2)①由全等三角形的性质得到∠ADC=∠AEB:由等边对等角得到∠ABC=∠ACB；由三角形外角的性 质得到∠ADC=∠ABC+2∠ACF-45°，则可证明2∠ACF=∠ABC+2∠ACF-45°，据此得到 ∠ABC=∠ACB=45°，则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90,②过点A作AH⊥BC于点H,连接GH, 可证明GH为△BCF的中位线，得到GH∥CF,则∠BHG=∠BCF；可证明∠AGH=∠AHG,得到 AG=AH 证明△1C 是等腰直角三角形，得到H=CH 则可证明 AC=√2AH ,进而得到 87/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AG AC=V2AG,则AC2:③过点F作FN⊥AC于点N,证明AH垂直平分BC,则可证明点F在AH上： 证明GH=GF,进而证明△AGH∽△GFH,得到AG·FH=GH2=1,则可推出AF.FH+FH=1;由勾 股定理得BH+FH=BF=4,同理可证明AH=BH,则可得到4+FH)+FH=4 ，据此求出 AF=2,证明△MNF是等腰直角三角形，推出AN=FN=L,则CN=VCF-FN=5,即可得到 AC=AN+CN=1+3 【详解】(1)略 (2)解：①略 ②如图所示，过点A作AH⊥BC于点H,连接GH, B D ..AB=AC, ∴.点H为BC的中点，∠AHB=∠AHC=90°； ,点G为BF的中点， .GH为△BCF的中位线， ∴.GH∥CF, .∠BHG=∠BCF: 由(2)①可知，∠ACB=∠ABC=45°， .∠BHG=∠BCF=∠ACB-∠ACF=45°-∠ACF, .∠AHG=∠AHB-∠BHG=45°+∠ACF: :∠ADE=∠ABC+∠BAD=45°+2∠ACF-45°=2∠ACF, .∠AGH=∠ADH+∠DHG=45°+∠ACF, ∴.∠AGH=∠AHG. ..AG=AH: 88/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△AHC中，∠AHC=90°，∠ACH=45°， :.△ACH是等腰直角三角形， .AH=CH, AC=AH+CH=2AH .AC=AG AG√2 .AC2: ③如图所示，过点F作FN⊥AC于点N, :AB=AC,AH⊥BC, .BH=CH, ∴.AH垂直平分BC, .BF=CF, ∴·点F在BC的垂直平分线上， 点F在AH上： :BF=CF=2,点G为BF的中点，且GH是△BCF的中位线， :.GH-CF-1.GF-3BF-1, 2 ..GH=GF, .∠GHF=∠GFH, 又，∠AGH=∠AHG, .∠GFH=∠AGH, .△AGH∽△GFH, GH FH .AG GH ∴AG·FH=GH2=1, 89/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AH·FH=GH2=1, ,（AF+FH）FH=1 .AF.FH+FH2=1; 在Rt△FBH中，由勾股定理得BH+FH2=BF2=2=4, 同理可证明AH=BH, .AH2+FH2=4, (AF+FH)+FH2=4 .AF2+2AF.FH+FH2+FH2=4, :P+2(4F-FH+H)=4 AF2+2=4, .AF=V2或AF=-V2(舍去)： :FN⊥AC, .∠AWF=∠CNF=90°. .AB=AC,AH⊥BC, ∠CAH=号∠BAC=45 “.△ANF是等腰直角三角形， .AN =FN, 4F-VAN+FN=FN= .AN FN=1. CN=CF2-FNF -3 AC=AN+CN=1+ 36.(2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模）)如图，Rt△ABC中，∠C=90°， BC=12cm,AB=13cm,点D,点E分别是AB,BC的中点，连接DE,将△DEB绕着点D逆时针旋转 得到△DFG(旋转角度小于∠ADE的度数)，点B、E的对应点分别是G、F,FG与BC交于点H. 90/105 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C G G C H D D D (图1) (图2) (图3) (1)DE= cm; (2)如图1，求证：HE=HF: 3)如图2，当GF所在直线经过点A时，求HE的长： 4)如图3，当DF所在直线经过点C时，求四边形AFHC的面积. 5 【答案】 (②)见解析 25 3)24 490 ④39cm 【分析】(1)利用勾股定理求出AC,再根据三角形中位线的性质求解： (2)由三角形中位线的性质得DE‖AC,推出LDEB=∠C=90°，由旋转得∠GFD=∠BED=90°， DF=DE,证明RHFD≌RtHED(L）,即可得出HE=C, (3)用勾股定理解Rt△AFD求出AF,由旋转得BD=DG,∠B=∠G,推出AD=DG,再根据等角对等 边证明HA=HB,设HA=HB=a,用勾股定理解Rt△ACH求出HA,进而求出HF,结合(2)中结论即 可求解； (4)先由等腰三角形三线合一，结合旋转的性质，证明点E在线段DG上；再证△FCH∽aECD,根据对 CF 应线段成比例求出HF,进而求出S△cH,再根据CD的值计算出S。4CF,进而即可求出四边形AFHC的面 积。 【详解】(1)解：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm,AB=13cm, :AC=VAB-BC2=V132-12=5(cm), :点D,点E分别是AB,BC的中点， 91/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DE是△ABC的中位线， -c-5cm. .DE 2 2 (2)解：DE是△ABC的中位线， .DEll AC .∠DEB=∠C=90°， ∴.∠DEH=90 由旋转得∠GFD=∠BED=90°，DF=DE, 如图，连接DH, C G F D B (图1) 在RtAHFD和RtHED中， DF=DE DH=DH, :RtoHFD≌RtHED(HL) .HE=HF; (3)解：点D是AB的中点， 13 -BD-AB-2 由(2)得∠DEB=90°， 由旋转得∠GFD=∠BED=90, DF=DE= 2 由旋转得BD=DG,∠B=∠G, .AD=DG ∴.∠GAD=∠G, 92/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠GAD=∠B, ∴.HA=HB, 设HA=HB=a,则CH=BC-HB=12-a, 在RtAACH中，AC2+CH2=AH2, .53+(12-a)2=a2 24,即HA=169 169 解得a= 24, 2分6 HF=HA-AF=169_ 25 24 由(2)得HE=HF, 0 (4)解：点D是AB的中点， CD-74B=BD-13 1 由(2)得∠DEB=∠C=90°， DE⊥BC, 由三线合-得∠CDE=∠BDE,CE=BE=号BC=6, 由旋转得DF=DE=3 2·∠FDE=∠BDG, ∴.∠BDE=∠BDG, ∴点E在线段DG上： 由旋转得∠GFD=∠BED=90°， ∴.LCFH=∠CED=90°， 又∠FCH=∠ECD. ∴.△FCH∽△ECD, CF HF ∴.CEDE .CF=CD-DF=13_5_ 艺4，CE=6,DE 2 93/105 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4HF 6 5 2· 解得HF5 3 1 1 ,510 S.cm=2CFFH=2×4x33 点D是AB的中点， 11 AC-BC=x2x5x12=15, 22 C℉48 CD-1313 2 8 8 S.ACF= ×15=120 13 13 10,120490 ScH+S4cr=3+13=39 490 即四边形AFHC的面积为39cm 37.(2026年辽宁省盘锦市中考一模数学试题)利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图1， P是等边△MBC内-点，P,PB=5,PC2.求∠BC 的度数. A B B 图1 图2 图3 为了利用已知条件，可以把△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△AP'C,连接PP',则可求出PP'的长为2； 在△PAP中，易证∠PAP'=90°，且∠PPA的度数为30°，综上可得∠BPC的度数为90°. (1)请你写出推理过程； 【类比探究】 94/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q)如图2，P是等腰 Rt△AB C内-点，∠4CB=90,PA=2.PB=5.PC=,请直接写出 APC 的度 数： 【拓展应用】 调3，在边形aCD中：BC=4CD=6,8=4C-号D,∠B4C=2Z1DC,商求#BD的长 【答案】(I),'△ABC是等边三角形， .AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ',把△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△AP'C,连接PP', BC,AC ∠PCP'=60°，PC=P'C=2PB=PA=V3,∠BPC=∠AP'C 重合， .aCPP是等边三角形， .PC=P'C=PP'=2,∠CPP'=∠CPP=60°， 在MPP中，P=lAP=5,PP=2 :AP+(4P)=P+()-4=(PP). “△APP是以PP为斜边的直角三角形， ∴.∠PAP'=90°， :sin∠PP'A=API PP2· .∠PPA=30°， :∠AP'C=∠BPC=∠AP'P+∠CPP=30°+60°=90°： (2)∠APC=90° 3)BD=10 【分析】(1)把△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△AP'C,连接PP',可得△CPP是等边三角形， ∠CP'P=60°，再根据勾股定理逆定理得到△APP是以PP为斜边的直角三角形，根据解直角三角形的计 算得到∠PP'A=30°，由此即可求解： (2)将△ACP绕点C逆时针旋转90°，得到△BCP',则∠PCP'=90°，得到aCPP是等腰直角三角形， ∠CP'P=45°，根据勾股定理逆定理得到△BPP'是以BP为斜边的等腰直角三角形，∠BP'P=45°，由此即 可求解： 95/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)将△ABD绕点A旋转得到△ACG,使得AB,AC重合，如图所示，证明△ABC△ADG,得到 DG=2BC=8,过点A作AE⊥BC于点E,证明∠ADG+∠ADC=90°，由勾股定理即可求解， 【详解】(1)略 (2)解：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ..CA=CB. 如图所示，将△ACP绕点C逆时针旋转90°，得到△BCP',则∠PCP'=90°， A .CA,CB重合，PC=P'C=l,PA=PB=2,∠APC=∠BP'C, ∴.aCPP'是等腰直角三角形，∠CPP=45° PP'=2PC=2 在ABPp中，PB+Pp2=(2+(2=4=(BPy. ∴.△BPP是以BP为斜边的等腰直角三角形， .∠BPP=45° ∴.∠BP'C=∠APC=∠CP'P+∠BP'P=90°： (3)解：AB=AC, :将△ABD绕点A旋转得到△ACG,使得AB,AC重合，如图所示， B :.AG=AD,BD=CG,∠BAD=∠CAG 96/105 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BAD-LCAD=∠CAG-∠CAD. .∠BAC=∠DAG AB=AC,AD=AG .∠ABC=∠ACB,∠ADG=∠AGD 在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，在△ADG中，∠ADG+∠AGD+∠DAG=180°， ∴.∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD, ÷*ABCADG,已知AB=AC-)D, 2 AB AC BC 1 ·AD AG DG2' .DG=2BC=8. 过点A作AE⊥BC于点E, :∠BAE=∠CE=BAC,∠BHE+∠ABE=90, 2 :∠BMC-2∠ADC:即2A0c-BAC .∠BAE=∠CAE=∠ADC, ·∠ABC+∠ADC=90°，且LABC=∠ADG, .∠ADG+∠ADC=90°， CG=BD=CD+DG2=+8=10 【点睛】本题主要考查旋转的性质，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定 理的运用，等腰三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键。 38.(2026年辽宁省本溪市一模数学试题)几何综合探究： A B B D 图1 图2 图3 )如图L,将A6CD沿对角线1C剪开，将△1CD绕若点A逆时针旋转&度得到△AEF,(0<a<∠ABC) 97/105 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 分别延长EF,BA交于点G ①求证：∠G=∠CAE； ②如图2，当BCEG时，∠G=60°，AB=2,BC=4,求△AGE的面积 (②)如图3，在△ABC中，∠B=∠C,D是BC边的中点，点E在AC上，过点E作EF⊥DE交BC的平行线 4r于点只若mB=2A-8C,求花的值 CE 【答案】I)①证明：由题意可知，△ABC≌aEFA, .∠E=∠BAC, 在△AEF中，∠E+∠EAF+∠EFA=180°， ∴.∠BAC+∠EAF+∠EFA=180°， .∠GAF+∠EAF+∠EAC+∠BAC=180°， ∴.∠EFA=∠FAG+∠EAC, :∠EFA是△AFG的外角， .∠EFA=∠FAG+∠G, ∴.∠G=∠EAC: E ②6V3 CE 3 ②)AE7 【分析】(1)①因为△ACD旋转得到△AEF,所以∠E=∠BAC,再根据三角形内角和、平角的定义和利 用三角形外角性质，结合上述角的等量关系，推导∠G与∠CAE的相等关系。 ②因为BC‖EG,结合平行四边形性质和旋转性质，可推出相关角为60°，得到等边三角形和特殊直角三 角形.利用已知边长并结合特殊三角形的性质，先求出△AGE的底和高，再用三角形面积公式计算面积， (2)因为AF‖BC,∠B=∠C,可先构造辅助线，过A作AG⊥BC,过E作EM⊥BC,EN⊥AF.因为 98/105 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 am∠B=2,D是BC中点，4F一4BC,结合EF1DE:利用相似三角形的判定定理，证明相关三角形 4 CE 相似，再结合线段比例关系求出AE的值。 【详解】(1)①略 ②解：过点A作AN⊥EG于点N, :BC‖EG,∠G=∠CAE=60°， .∠ABC=180°-∠G=120°， .ABCD. ∴.∠ADC=∠ABC=120°，AB=CD=2,AD=BC=4, ,△ACD绕着点A逆时针旋转a度得到△AEF, ∴△AEF≌△ACD ∴.AD=AF=4,∠ADC=∠EFA=120°， .∠GFA=180°-∠EFA=60°， .∠GFA=∠G=60°， ∴.△AFG是等边三角形， .AG=AF=FG=4, ∴.EG=EF+FG=2+4=6, 在Rt△AGN中，∠ANG=90°，∠G=60°， .sinG=AN AG, sin60°=4W-V5 4=2, 、AN=2V5 :Sm6N-x6x25=6N5, 99/105 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (2)解：过点E作EM⊥BC于点M,交AF于点N,连接AD, B D MO :∠B=∠C, .AB=AC, ,D是BC边的中点， :AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, .∠ADC=90°， :AF∥BC, .∠FAD=∠ADC=90°， ,EF⊥DE, .∠FED=90°， .∠AGF=∠EGD .△AGF∽△EGD. AG FG EG DG' DG FG EG AG' 又.∠FGD=∠AGE. ∴.AFGDAAGE. .∠EFD=∠CAD ∴.90°-∠EFD=90°-∠CAD,即∠FDE=∠C, 在RIADEF中，∠FED=90°，tan∠EDF=tan∠B=2, 100/105