微专题1 相似三角形的基本模型-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

5..BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上， .∠DBA=∠CAE. 提--器-震-2=专=2， 又ABBD √2 .AB-BC_AC ?√10 CA AE =3,.△ABD∽△CAE. DE EF DF 6.不正确.理由： :由已知条件不能得到能-瓷。 .△ABC∽△DEF(三边成比例的两个三角形相似) .∠DEF=∠CBA=a, .不能证得△AEDc△BEC. 又./CAB=/FDE=135°，./DFE=45°-a. 能力在线 13.:AD是△ABC的高，E,F分别是AB,AC的中点， 7.B8.C9.1 10.(1)证明：易证DE-CE=1 ∴DE=AB,DF=合AC,EF=BC AEBE2· 又：∠DEC=∠AEB,△DCE∽△ABE. 器 =2.△DEF∽△ABC (2)由1)知DC-DE1 拓展在 AB-AE2 14.(1)△ABCc∽△DEF,由三边对应成比例可知 11.∠B=∠D=90, (2)如图. 当AB:PD=BP:CD时，△ABP∽△PDC, 4Bp,解得BP=2或12 6 BP AB:CD=BP:DP时，△ABP∽△CDP, 6 BP -14-Bp,解得BP=8.4. 当以点P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时，BP 微专题1相似三角形的基本模型 的长为2或12或8.4. 1.B 拓展在线 12.(1)证明：过点C作CF⊥AB于点F, 2.(I)证明：ED∥BC,△ADE△ABC.AE=DE .∠A=90°，AB∥CD, 'BE平分∠ABC,∴.∠DBE=∠EBC. .∠D=90°，四边形AFCD为矩形 .ED∥BC,.∠DEB=∠EBC. ..AF=CD=1,BF=1. .∠DBE=∠DEB.∴.DE=BD BC=3,∴.在Rt△BCF中，CF=2√2 ..AE_BD E为AD的中点， AC-BC,即AE·BC=BD·AC ·EA=DE= -AD-CF-/3. (2)△EAD与△EDB在AB边上的高相等， CD_1_V2DE_V2.CD_DE SAADE AD EAV22'AB=2“EA=AB 8DDE6,A4D=9,4g15 :∠D=∠A=90°，∴.△CDE∽△EAB. (2)△CDEc∽△CEB.证明如下： :AB△ADE,器-铝即S-号 69 △CDE∽△EAB,∴∠CED=∠EBA. 故BC=10. ,∠EBA+∠BEA=90°， 3.,∠ADE=∠ACB,∴.180°-∠ADE=180°-∠ACB: ∴∠CED+∠BEA=90°，∴.∠CEB=90° 即∠BDF=∠ECF. 又：∠BFD=∠EFC,∴.△BDF∽△ECF. 在Rt△CDE中，CE=√（√2）2+12=√3， RD-DE 在Rt△EAB中，EB=√/(W2)2+22=√6. EcCF,即8-D =DF=4, 品后器晨店罡器 4.相似.理由如下： EO_DO EO BO BO-CODO-CO' ·∠D=∠CEB=90°，∴.△CDEp△CEB. ∠BOE=∠COD,∠DOE=-∠COB, 第4课时相似三角形的判定定理3 '.△BOEC∽△COD,△DOECOB 基础在线 '.∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO 1.A2.B3.B4.A ∠ADE=∠DCO+∠DEO,∠ABC=∠EBO+∠CBO, 5.(1)12.515(2)128 .∠ADE=∠ABC. 6.∠B=∠AED.理由如下： '∠A=∠A,∴.△ADE∽△ABC :AD=3,AE=6,DE=5,BD=15,CE=3,BC=15, 5.'∠BAC=90°，AD⊥BC, .AC=AE+EC=6+3=9,AB=AD+BD=3+15=18. :∠BAC=∠ADB=9O :∠CBA=∠ABD,∴△ABCD△DBA. AB DB ÷己侣-瓷ADEAACB. -品器∠BAD=∠C AD⊥BC,E为AC的中点， ∴.∠B=∠AED. 1湘理由：品-器-器：△ABC∽△DBE, .DE=EC,∴.∠BDF=∠CDE=∠C, DFDBEADF .∠ABC=∠DBE, .AB_DF ∴.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, .DB-DE AD=AF·AC=AF 即∠ABD=∠CBE, 6.(1):∠DAB=∠EAC,.∠DAE=∠BAC AB_BC 品部器 又·∠ADE=∠ABC,.△ADE∽△ABC. (2).'△ADE∽△ABC, ∴.△ABDC∽△CBE. 8.A 铝能罡怨 ·AEAC 能力在线 9.D10.C.△DEF号 又·∠DAB=∠EAC,∴△ADBn△AEC.AP=BD AE CE 7.D 12.根据勾股定理可知，AB=2√2，BC=2I0,DE=√2，EF 8.(1)证明：，AB=AC,∴.∠B=∠C =/10,又AC=4,DF=2, .'∠APC=∠B+∠BAP,∠APC=∠APD+∠CPD: ∠APD=∠B,∴∠BAP=∠CPD, F∠B=ZC,.△ABPOAPCD. 14 一探究在线·九 (2):BC=12,点P为BC的中点，.BP=PC=6, ..PA:PB-PE:PF, :△ABP∽△PCD,P光 ,即0-6 AB BP 6CD EC=PF,路器-D PBPE 解得CD=3.6. 在△ECP和△CNM中， (3)当△APD为等腰三角形时，BP的长为2或号. ,CP⊥MN于点Q,.∠QCN+∠QNC=90° 又∠QCN+∠QCM=90°，∴.∠QCM=∠QNC, 微专题2相似三角形中常见辅助线的作法 1.连接DF. RAPECRMCN系-器 E,F是边BC上的两个三等分点， ..BE=EF=FC 即瓷兴② D是AC的中点，∴AD=CD. .DF是△ACE的中位线. 由①@，得路兴，则PA:PB=CMCN ∴DF∥AE,且DF=AE∴DF∥PE 7.延长GF,AC交于点H, CD⊥AB,FG⊥AB,.CD∥FG, _BP .∴.△AFG∽△AED, △BEP∽△BFD.B能 △AFH∽△AEC. .'BF=2BE,.'.BD=2BP..'BP=PD .AF-EG AF-FH FG FH DF∥AE.APD品-8部 AE-ED'AE-EC.∴-C 又E为CD的中点，.ED=EC,.FG=FH 设PE=a,则DF=2a,AP=AE-PE=3a. 易证得Rt△CFH∽Rt△GFB, ..PQ:QD-AP:DF-3:2. .BP:PQ:QD=5:3:2 器票PGFH=CBE 2.过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G :FG=FH,∴FG=FC·BF .CG∥AB,.∠DAF=∠G. 阶段测评1(1.2~1.4) 又D为CF的中点，∴CD=DF ∠DAF=∠G, 1.C2.A3.D4.C5.B6.C.号 8.8 在△ADF和△GDC中，{∠ADF=∠GDC, DF-DC, 9.∠C=∠E或∠B=∠ADE(答案不唯-)10，司 .△ADF≌△GDC(AAS).∴.AF=CG ,BF:AF=3:2,∴.AB:AF=5:2. 12.①③ AB∥CG,∴△ABEn△GCE. BE AB AB 5 EC CG AF 2 3.(1)作AG∥BC,交BE的延长 1,:矩形ABCD与矩形DEPC相似是-S, 线于点G, 即品号DE-号 .'AG∥BC,.△AGF∽△DBF .AF=4DF,∴.AG=4BD. D ·AE=AD-DE=5-4=21 5 .CD=3BD,.BC=4BD,.'.AG=BC. AE_AG-1. 14.(1)证明：：∠AED=∠B,∠DAE=∠BAC, 又AG∥BC,.△AGEn△CBE,C=BC ∴.∠ADF=∠C. (2)证明：BD2=DF·AD,ADBD: .BD DF 又：ADDF AC=CG△ADF∽△ACG ∠BDF=∠ADB,.△BDF∽△ADB, (2 AADF△ACG÷把-沿-，即能 =1 FG ∴.∠BAD=∠FBD. 又：∠ABD=∠ACB,.△ABD△BCE, 15.(1)证明：四边形ABCD是正方形， 2说CE,AB=D,AC .∠B=90°，AD∥BC,AD=AB..∠EAM=∠AMB EF⊥AM,.∠AFE=90°..∠AFE=∠B. 又.'AB=AC,BC=4BD, ∴.△ABMp△EFA. (2)在Rt△ABM中，AM=√AB2+BM=13. CE·AC=BC·BC,BC=4CE·AC 4.过点C作CF∥AB交DP于点F, :点F是AM的中点，AF=合AM= 2 13 △PBD∽△PCE.Bg=B CF NAD∥CF,.∠ADE=∠EFC. △EFAn△ABM,AE 品即背-言， AF」 .'AD=AE,∴.∠ADE=∠AED 解得AE=16.9, '∠AED=∠CEP,∴∠EFC=∠CEP ..DE=16.9-12=4.9. Ec-cR部肥 1.5 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的性质定理1 5.(1)证明：由∠BAC=∠BEF=90°，得∠1+∠AEB=∠2 基础在线 +AEB=90°，，./1=/2. 1.A (2)过点F作FG⊥AC于点G, 2..AC平分∠BAD,·∠BAC=∠CAD, 由(1)知，∠1=∠2，.△ABEp△GEF :4B :∠ABC=∠ACD,△BACD△CAD, -2， :BMLAC..CNLAD,兴-把即景-号 ..GE=2GF .CN=1.8. 由作图知，△GFC为等腰直角三角形， 3.A ..GF=CG,.GE=2CG. 4.:△ABC∽△DEF,AM,DN分别是△ABC,△DEF的角 “E为AC的中点，名行 平分线器-器 Gp∥AB器=8 .AB=10 cm,DE=5 cm,AM=12 cm, 6.过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥CB D-6 cm. 于点F,则四边形CEPF为矩形. 5.A .PF∥EC,PF=EC .∠A=∠B=45°， 6是- =2,∠A=∠D, '.Rt△AEP∽Rt△BFP, ,∴.△ABC∽△DEF,且相似比为2：1. 级数学（上）·XJ一微专题1相似三 ■■专题解读■ 几何图形大多数由基本图形复合而成，因此 熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确 地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方 法，相似三角形的五类结构图如下 1.平行线型 (DE∥BC (CD∥AB) (CD∥AB 2.相交线型. 3.子母型. 4.旋转型。 5.一线三等角型. 专题训练 类型①平行线型 1.如图，在矩形ABCD中，对 角线AC与BD相交于 点O,AE:ED=1:2,BE与 AC相交点F,则C的值为 A c号 D 17探究在线 九年级数学（上）·X灯 三角形的基本模型 2.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于 点E,过点E作ED∥BC交AB于点D. (1)求证：AE·BC=BD·AC; (2)如果SAADE=3,SADE=2,DE=6,求BC 的长 类型②相交线型 3.如图，∠ADE=∠ACB,BD=8,CE=4,CF=2, 求DF的长. 4.如图，D,E分别为△ABC的边AC,AB上的 点，BD,CE交于点O,且铝-品试间 △ADE与△ABC相似吗？请说明理由， 类型3子母型 5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于 点D,E为AC的中点，ED的延长线交AB的 延长线于点F. 求证能 类型④旋转型 6.如图，已知∠DAB=∠EAC,∠ADE=∠ABC. 求证：(1)△ADE∽△ABC; (2品器 类型⑤一线三等角型 7.(中考·海南)如图，点A(0, 3),B(1,0),将线段AB平移 得到线段DC,若∠ABC= 90°，BC=2AB,则点D的坐标是 () A.(7,2)B.(7,5)C.(5,6)D.(6,5) 8.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,点P 是BC边上的一个动点（不与点B,C重合）， 点D是AC边上的一个动点，且∠APD=∠B. (1)求证：△ABP∽△PCD; (2)当点P为BC的中点时，求CD的长； (3)当△APD为等腰三角形时，请直接写出 BP的长. 第1章18