单元综合复习（一）图形的相似&综合与实践 制作自相似图形-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

单元综合复习(- ■■■热门考点突破■■● 考点1线段的比 1.若4m=5n(m≠0)，则下列等式成立的是（) A军-月 a算-月 C.m=4 n-5 D.m=5 2.下列四组线段中，为成比例线段的是（) A.4 cm,1 cm,3 cm,8 cm B.3 cm,4 cm,5 cm,6 cm C.4 cm,8 cm,3 cm,5 cm D.15 cm,5 cm,6 cm,2 cm 3.(中考·衡阳)在设计人体雕像 时，使雕像上部（腰部以上）与 下部（腰部以下）的高度比等于 下部与全部的高度比，可以增加 视觉美感.如图，按此比例设计 一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下 部设计高度约是（结果精确到0.01m.参考数 据：W2≈1.414，W3≈1.732，W5≈2.236)() A.0.73m B.1.24m C.1.37m D.1.42m 考点2平行线分线段成比例 4.(中考·临沂)如图，在△ABC中，DE∥BC, 品号若AC=6,则5C () A.号 B.12 C18 24 D. 5 5 第4题图 第5题图 5.如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥ CC1∥DD1,且AB=BC=CD,为使其更稳固， 37探究在线九年级数学（上）·灯 图形的相饼 在A,D1间加绑一条安全绳（线段AD1),量得 AE=0.4m,则AD1= m. 考点3相似图形和位似图形 6.下列命题中，正确命题的个数有个 ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 7.（中考·黔西南)如图，在平 面直角坐标系中，△OAB与 △OCD位似，位似中心是坐 标原点O.若点A(4,0), A 点C(2,0),则△OAB与△OCD周长的比值是 8.已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分 别为A(2,1),B(2,0),O(0,0),若以原点O为 位似中心，位似比为2，将△AOB放大，则点A 的对应点的坐标为 考点4相似三角形的判定与性质 9.(中考·贵阳)如图，在△ABC中，D是AB边 上的点，∠B=∠ACD,AC:AB=1:2,则 △ADC与△ACB的周长比是 () A.1:2 B.1:2 C.1:3 D.1:4 第9题图 第10题图 10.(中考·邵阳)如图，在△ABC中，点D在 AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 ,使△ADE p△ABC. 11.（中考·淮安)如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3,BC=4,点D是 AC边上的一点，过点D 作DF∥AB,交BC于点F,作∠BAC的平 分线交DF于点E,连接BE.若△ABE的面 积是2，则票的值是 12.(中考·盐城)如图，在△ABC与△A'B'C 中，点D,D分别在边BC,B'C'上，且△ACD ∽△A'C'D',若 ,则△ABD∽ △A'B'D'. 从部需，®部器：@∠RAD ∠BA'D这3个选项中选择一个作为条件（写 序号)，并加以证明. 考点5相似三角形的应用 13.(中考·十堰)如图，某零件的外径为10cm, 用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等） 可测量零件的内孔直径AB.如果OA:OC= OB:OD=3,且量得CD=3cm,则零件的厚 度x为 () A.0.3 cm B.0.5 cm C.0.7 cm D.1cm ←10cm+ A(F) 第13题图 第14题图 14.(中考·北部湾)古希腊数学家泰勒斯曾利用 立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立 一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度.如 图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同 一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度 BO是 米 ■■■核心素养提升。■● 15.(创新考法)（中考·河北）如图是钉板示意 图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的 小正方形顶点，钉点A,B的连线与钉点C,D 的连线交于点E,则 (1)AB与CD是否垂直？ (填“是”或 “否”)； (2)AE= E ·A B、 D 16.(中考·黄冈)如图①，在△ABC中，∠B=36°， 动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运 动至点C停止.若点P的运动速度为1cm/s, 设点P的运动时间为t(s),AP的长度为 y(cm),y与t的函数图象如图②所示.当AP 恰好平分∠BAC时，t的值为 ◆y/cm C 4 8 t/s 图① 图② 第1章38 ©综合与实践 1.将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每 条边三等分，以居中那条线段为底边向外作等 边三角形，并去掉与原来等边三角形重合的 边，即可得到一个六角形（如图②），以上称为 第一次分形.接着对每个等边三角形凸出的部 分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段 向外作等边三角形，得到一个新的图形（如 图③)，这次称为第二次分形.反复进行这一过 程，就会得到一个“雪花”样子的曲线.它是由 瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科 赫曲线或雪花曲线， △3 图① 图② 图③ 图④ (1)每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数 是前一个“雪花曲线”的 倍；每一次分形 后，三角形的边长都变为原来的； (2)第n次分形后所得图形的边数是多少？周 长是多少？（用含n的代数式表示》 39探究在线九年级数学（上）·X灯 制作自相似图形 2.定义：若某个图形可分割为若干个都与它自身 相似的图形，则称这个图形是自相似图形. 图甲 图乙 图①(1阶)图②2阶)图③3阶) 探究： (1)如图甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把 △ABC分割成2个与它自身相似的小直角三 角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说 明理由； (2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只 要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形 分割为四个都与它自身相似的小三角形.我们 把△DEF(图乙)第一次顺次连接各边中点所 进行的分割，称为1阶分割（如图①）；把1阶分 割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边 中点所进行的分割，称为2阶分割（如图②）；… 依此规则操作下去.n阶分割后得到的每两个 小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此 时小三角形的面积为Sm ①若△DEF的面积为1，S,=4,求n的值： ②当n>1时，请写出一个反映Sm-1,S,Sn+1 三者之间关系的等式（不用证明）..AP,DQ分别是△ABC和△DEF的对应中线， .AB=8,.AD=2 .AP:DQ=2:1..AP=2,∴.DQ=1. 能力在线 (2:△ADEAABC,∴-()=(H)'=G 7.B8.C9.C S△ADE=1,.S△ABc=16, 10..AD:DB=4:3,.AD:AB=4:7 四边形BFED是平行四边形，∴.EF∥AB, .DE∥BC,·△ABC∽△ADE. :CF,EG分别是△ABC与△ADE的中线，AP=EC. △EFCn△ABCS-()广=器 AB CF S△ABC SAEFC=9, 青=悬CF=7 4 ,.平行四边形BFED的面积为16一9一1=6. 拓展在线 即CF的长为7cm. 14.B 11.设正方形DEFG的边长为xcm, 则AM=AH-HM=(8-x)cm, 微专题3相似三角形的性质与判定 DE∥BC,∴△ADEn△ABC 1.√32.A3.45 .AM-DE A7Be,即8=之 4.(1)证明：，∠ACB=∠FCE=90°，∠CAB=∠CFE, 8 2,解得x=4.8. .△CABp△CFE, 答：正方形DEFG的边长为4,8cm. 拓展在线 器器器瓷∠B=∠cBr 12.(1),CD是Rt△ABC斜边上的高 :∠ACB-∠ACE=∠FCE-∠ACE, ∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∠ADC=∠CDB. ,∴·∠ACF=∠BCE ∴.∠B=∠ACD.△ACD∽△CBD. ∴.△BCE∽△ACF,∴.∠B=∠CAF, 又DF⊥BC,DE⊥AC, DF BC .∠CEF=∠CAF. DE CA (2).∠ACB=90°，AC=20,BC=15, 又C=6,Ac=8E-器=g=是 ∴.由勾股定理，得AB=√AC+BC=√202+15=25. .AE=7,.BE=AB-AE=25-7=18, (2)由1)可知DE=3 bE=主，设DF=3x,则DE=4z :△BCE△ACF,ACAF, BC BE ∴.SAACD= AC,DE=合×8X4z=16z, 1 ∴贵=A是AF=2M 2BC,DF=号×6X3x=9z 5.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠CDH=90°=∠ADE,AD=CD. 又：SaMc= 2AC·BC=号×8X6=24, 又.AE=CH,∴.Rt△ADE≌Rt△CDH(HL) (2).'△ADE≌△CDH,.∠FAH=∠DCH, 又：∠AHF=∠CHD,∴.△FAHp△DCH, 16x+9x=24,解得x=. Sam=DE.DF=4红·3x=12x=12×(2)°- 语鼎鼎票 ∠FHD=∠AHC,.△FHD∽△AHC, 6912 ∴.∠DFH=∠HAC. 625 四边形ABCD为正方形，AC为对角线， 第2课时 相似三角形的性质定理2 ∴·∠HAC=45°，∴.∠DFH=45°，即∠DFC=45° 6.B7.B 基础在线 8.(1)证明：AG⊥BC,AF⊥DE,∴∠AFD=∠AGC=90° 1.D2.253.8cm ∠DAF=∠GAC..∠ADE=∠C 4.AB∥CD,∴.△ODC∽△OBA S△oc:S△oA=1:4,∴.OC:OA=1:2. 又：∠EAD=∠BAC.∴△ADE△ACB. :△ODC与△AOD在AC边上的高相等， (2).△ADEc∽△ACB,且AE=6,AB=10. 1 .:4P AE 9.由题意，得∠BDF=∠BAE=90° 5.C6.2 .BE平分∠ABC,∴.∠DBF=∠ABE. 7.在□ABCD中，AD∥BC,.△AOD∽△EOB, 又.∠BAF+∠DAC=∠DAC+∠BCE=90°， :点E为BC的中点，BE=令BC=7AD, ∠BAF=∠BCE.·△ABFO△CBE,BS-BA BE BC ,C△oE:C△AoD=BE:AD=1:2, 10..AD⊥BC,DE LAB,./ADB=∠AED=90° C△AoD=12,.CAoE=6, 又：∠BAD=∠DAE,.△ABD∽△ADE 即△BOE的周长为6cm. 8.D ÷語是用AD=AE·AB 能力在线 同理，可得AD=AF·AC. 9.B10.5 11.3 .AE·AB=AF·AC. 12.,四边形ABCD为平行四边形， 1.6相似三角形的应用 ∴.AD∥BC,AB∥CD. 基础在线 ∴·∠DAE=∠AEB,∠BAE=∠F. 1.B2.B3.9.884.605.7.5 ,AE平分∠BAD,.∠BAE=∠DAE ∴.∠BAE=∠AEB,∠DAE=∠F. 6.BC∥DE,△ABCn△ADE,DE-AD BC AB ..AB=BE=10,DF=AD=15,CF=5 又BC=25,BD=12,DE=35, ,BG⊥AE,且BG=8,根据等腰三角形“三线合一”，得 ÷器-A亚解得AB=30, AB AG=EG=6, ∴.AE=12,△ABE的周长为AB+BE+AE=32. 答：河的宽度AB为30米。 .AB∥CD,.△ABE∽△FCE, 能力在线 且相似比为AB:FC=10:5=2:1 7.C8.22.59.54 10.由题意可知，BF=CG=12m, .△CEF的周长为2×32=16. 在Rt△CDE中，CE=50cm,CD=40cm, 13.(1),四边形BFED是平行四边形， .DE∥BF,.DE∥BC, DE=V50-40=30(em）,∴D5=30-3 CD=404 AADE△ABc0-是=÷ .∠CDE=∠CGA=90°，∠DCE=∠GCA, 一探究在线·九 ACDEACGA-器-=是 (2)(-2,-6)4 7.(4,8)或(-4，-8) .CG=12m,.GA=9m,∴.AB=9+1.6=10.6(m). 能力在线 答：旗杆AB的高度是10.6m. 8.A9.D10.(2,2√3) 拓展在线 11.(1)如图，△DEF与△D'EF'为所求作的图形. 11.A 1.7位似 第1课时位似图形的定义、性质及画法 基础在线 1.D 61 2.题图①和③中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是 题图①中的点P和题图③中的点O;题图②中的两个图形 不是位似图形. 3.B4.C5.A6.D 7.如图即为所作， (2)(2a,2b)或(-2a,-2b) 拓展在线 12.(1)如图所示. (2)mC(3)n2S 能力在线 8.D9.D 10.(1)(2)如图. 阶段测评2(1.5~1.7) 1B2.D3.A4.D5.D6.A7.3cm8. 9.32cm10.(2,1)或(0，-1)11.7.512.(2,3) 13.(1)如图，△A'B'C即为所求作的三角形. (3) 4 11.由△DE0与△AB0相似，得D-E OA OB 由△OEF与△OBC相似，得8-85，所以8R-8, OF 即OD·OC=OF·OA. 拓展在线 12.(1)△ABC与△FGC是位似图形，位似中心是点C. 在矩形ABCD中，AD∥BC, ·∠DAF=∠ECF,∠ADF=∠CEF, (2)由(I)可得△ABC∽△AB'C,且相似比为号， 六△AFD∽△CFE,:CE-CE AF AD 2 又AD=BC,票 14.设树在第一级台阶上面的部分高为 ∠ABC=90°，OE⊥BC,.OE∥AB x米，如图，则0.4=4.4千0.2解得 ·CF1 又0A=0CcB=合Bc器=安器=3 x=11.5. .4.4. .树高为11.5十0.3=11.8（米）. 即△ABC与△FGC的位似比为3. 15.(1)过点A作AH⊥BC于点H, (2)CI:BC=1:4. AB=AC=50 cm, 第2课时平面直角坐标系中的位似 .BH= 2 BC=30 cm, 基础在线 1.B2.B3.(W2W2) 4.4:1 ∴.AH=√502-302=40(cm), 5.(1)如图，四边形A'B'CD'即为所作. ∴5aAx=号X60X40=1200(cm). D (2)过点B作BM⊥AC交FG于点N,交AC于点M, 则SAaC=2AC·BM=1200, AC=50cm,∴.BM=48cm, 四边形DEFG是正方形，.FG∥DE, .BN⊥FG,△BFG∽△BAC (2)(-3,3)(-4,1)(-2,0)(-1,2) 6.(1)如图，△AB'C即为所求作. FG_BN' 8-别照-4869，rG-1200 48 49 cm, 正方形DEFG的边长为200。 cm. 49 单元综合复习（一）图形的相似 热门考点突破 1.D2.D3.B4.C5.1.26.17.2 8.(4,2)或(-4，-2)9.B 10.∠ADE=∠B(答案不唯-）11.号 年级数学（上）·XJ一 15 12选择@肥-鄂。 能力在线 证明：，△ACD∽△A'C'D', 10.A1.D12.A13.分14. 2 ∠Ac=∠ADC品-0， 15.,ED⊥AB,.∠ADE=90° 又·∠ACB=90°，∠A=∠A, ∠ADB=∠A'D'B', CD CDRRD-.CD 又：BDBD △ADE∽△ACB,A=AE,:AD_AC AC-ABAE-AB BDCD 则B0-C品-品，△ABD△AB'D CD AD AE=5,AD=4,心AC=4 AB 5' 或选择③∠BAD=∠B'A'D' sinB=4 'sinB=AC 5 证明：△ACD∽△A'CD', ∠ADC=∠A'D'C',∴∠ADB=∠A'D'B', 16.b2=(c+a)(c-a),.b=c2-a2,即a2+b=c2, .△ABC是以c为斜边的直角三角形. ∠BAD=∠B'A'D',△ABDn△A'B'D'. 13.B14.134 5b-4c=0,点=4 c 5· 核心素养提升 设b=4k,则c=5k, 15.(1)是(2)45 16.25+2 .在Rt△ABC中，a=√c2-b=3k, .sinA+sinB-ak3 4 综合与实践制作自相似图形 5 5 1.(1)4 1 17.如图，过点D作EF⊥L1,交1于点E,交 L4于点F, (2)原等边三角形的边数为3，边长为1， EF⊥l,l∥2∥3∥l4, 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为3， 1 EF和l2,l,l4的夹角都是90°， 即EF与l2,l3,l4都垂直， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为号， .DE=1,DF=2. ,四边形ABCD是正方形，.∠ADC=90°，AD=CD, 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花 aC00a-∠CDr, 曲线”的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来 ,AD=CD,∠AED=∠DFC=90°， .△ADE≌△DCF(AAS),∴.AE=DF=2, ∴.在Rt△ADE中，AD=√AE+DE=√5 ∴.第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是3×4”，边长 DE 15 为() sina-A5-55 拓展在线 六周长为3×4×（号）广=3×（告）》” 2.(1)能把△ABC分割成2个与它自身相似的小 8停 直角三角形.分割线CD如图所示. 第2课时锐角的余弦 理由：：∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°， 基础在线 .△BCDC∽△BAC. 1.C2.C3.D4.A5.B6.A7.A8.30 :∠A=∠A,∠CDA=∠BCA=90,·△CDA ∽△BCA. 9原式= -√. (2)①由图可知，每分割一次得到的图形中小三角形的个 (2)原式=一1. 数都是前一个图形中小三角形的个数的4倍，因此当n阶 10.(1)0.1736(2)0.6115(3)56.3°(4)511811" 分割后，如果设原三角形的面积为S,那么小三角形的面 能力在线 积应该是S=是， 11.B12.B13.78.46°14.25 5 ,△DEF的面积为1， 15.(1)在Rt△ABC中，由BC=5,AC=12,得AB=13, “△DEP经n阶分制所得的小三角形的面积为 :snA-S-是 5 11 S.=64=0心n=3. (2).CD⊥AB,∴.∠CDA=90°， 在Rt△ACD中，os∠ACD=sinA=3: 5 @8=是81A81 40+7, (3)由面积公式，得13CP-5X×12,得CD= 8-()‘-器81×81=品×高-器 S 2 2 13 16.1111 ∴.S%=Sa-1XSm+1 (1)证明：如图，过点B作BH⊥AC于点H, 第2章锐角的正弦、余弦、正切 则∠AHB=90° 2.1锐角的正弦和余弦 在Rt△ABH中，BH+AH=AB2, 第1课时锐角的正弦 ,COSA=AH sinA=BH AB, 基础在线 1.B2.D3.A .'sin2A+cos2A= BH2 BH2+AH2 AB2 AB2 =1. 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7,BC=24, 由勾股定理，得 (2)'.'sin2A+cos2A=1,sinA= .3 5 AB=√AC+BC=√/72+24=25， 因此，sinA=BC-24, AB 25,sinB=AC_ 7 .'.cos2A=1- (°- AB-25 4 5.2 6.、② 1 .cosA>0,..cosA= 5 2 7. 8.2 2 拓展在线 9.1)原式=2×号-×号-1-1=0. 1 17.D 2.2锐角的正切 2 基础在线 (2)原式= ()‘+×-+ ×2=2十4 1.D2.A 16 一探究在线·九年 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=√3， 在Rt△ADE中，AD=7,AE=DE, A-店9n8-能--8 由勾股定理，易得AE=7E】 2 7W2 ,1√55.60° 则sin∠ACD= AE 2 =72 AC 13 261 6,(①)原式=2。(2原武三一日 2.3解直角三角形 7.(1)0.4327(2)0.1019(3)89.4°(4)56.8° 基础在线 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5, 1.60°√6 .AB=√/BC+AC=√169=13， 2..∠C=90°，b=9,c=6√3， AB-i3,tanA=BC、5 AB13'cOsA=AC_12 .sinA=BC5 a=√(63)2-92=√27=3√3. AC=12 能力在线 865=Z∠A=30,∠B=60 'sinA=a=3131 9.D10.D1.14.0°12.号 3.'tanA= 13.(1)a=60°，B=45°.（2)a=50° 器-停A 14.如图，过点A作AE⊥BC于点E, ∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，AB=2BC=4√6. AB-AC-5,BE- ×8=4, 4.B5.C6.D ∠BAE= 2∠BAC, 7.∠C=90,6=10,∠B=30,6=70=5, a=10cos30°=5√3，∠A=90°-∠B=60°. '∠BPC=7∠BAC,∠BPC=∠BAE, 8.DE⊥AB,BD-5,cosB=4 ，在RABDE中， 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AE=√AB2-BE=√52-4=3， BE=BD·cosB=5X号=4， n∠BPC=∠BAE-器-寺 根据勾股定理，得DE=√BD一BE区=√52一4？=3， 拓展在线 AD平分∠BAC,∠ACB=90°，DE⊥AB, ∴.CD=DE=3,.BC=BD+CD=5十3=8. 15.号 9.2或4 能力在线 微专题4求锐角三角函数值的常用方法 10.A11.A12.1013.(4W5) 2四 14.(1)DE⊥AB,∴.∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90. .∠C=90°，∴.∠A+∠B=90°..∠ADE=∠B. 3.(1)如图所示 在Rt△ABC中，AC=12,BC=5,.AB=13. (2)过点D作DE⊥AB于点E,则CD =DE=3. co∠ADE-B-g%- 在Rt△ADE中， AD=AC-CD-5,DE=3,..AE=4. (2)由(1)得cos∠ADE=DE-5 AD131 ..cosA= 设AD=x,则DE=DC-3. 5 4.D 5 5.连接EF,设CF=k,由题意可得CD=AD AC=AD+DC-12,12. AB=BC=4k,BE=EC=2k,DF=3k. 根据勾股定理，得AF=5k,EF=√5k,AE 解得x=9,即AD=25 3 2√5k. 15.过点C作CDLAB于点D, EFAE=AF2 ∠B=30°，BC=12, ∴.△AEF是直角三角形，且∠AEF=90°. .CD=12sin30°=6.BD=12cos30° =EP=5k-5, :.sin/EAF-AF-5k =63. cos∠EAF=AE-25k_25 tonA-D-AD=8.AB=AD+BD=8+6V3 AF 5k 5 在Rt△ADC中，AC=√AD2+CD=10. 1 6.B7.3 拓展在线 16.(1)在Rt△ABC中， 8.∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线， ∠ACB=90°，BC=√3， ∴CD=号AB=BD.∠DCB=∠B. tan∠ABC=√2， 又：∠ACD+∠DCB=90°，∠ACD+∠CAH=90°， .AC=BC·tan∠ABC=√6. .∠DCB=∠CAH=∠B. 在Rt△ACH中，AH=2CH.∴.AC=√5CH. :点D是AC的中点，CD=号AC=写 2 ·sinB=sin∠CAH=CI_CH=V5 六在RtABCD中，BD=√BC+CD=3yE 2 AC 5CH 5 .10.号 1 (2)如图，过点C作CH⊥AB于点H,由BC=√3， 11.(1)∠B=90°，∠BDC=45°， a∠ABC器巨，易得cH=E,BH=1, ,.BC=BD=5. .CE=CB,..EH=BH=1, ∠ACB=90°，BC=√3，AC=√6，∴AB=3, sinA=AC-13,.AB=12, ∴.AE=3-2=1, ∴AD=AB-BD=12-5=7. (2)如图，过点A作AE⊥CD,交CD的延长线于点E. ∴Saam=2AECH=2×1XwE=号 2 .∠ADE=∠CDB=45°， 阶段测评3(2.1~2.3) .△ADE是等腰直角三角形， 1.A2.D3.D4.B5.B6.C7.458.0.8854 级数学（上）·XJ一