4.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

(3)依题意，得20[x(60一x)一132]十100×132=27840， 所以二次函数y=(x十1)(x一1)化为一般形式为 整理，得x2一60x十864=0，解得x1=24,x2=36. y=x2一1，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-1. x60一x,.x30,.x=24. 4.C5.C6.y=16π-πx20<x<4 答：AB的长为24米. 7.(1)正方体的棱长为xcm,它的棱长的和为Lcm,表面 阶段测评5(3.33.5) 积为Scm2,∴.L=12x,S=6x2. 1.B2.B3.D4.D5.A6.B7.±6 (2)S=6x2是关于x的二次函数. 8.0(答案不唯一，满足小于1即可)9.一210.3 4 8.B 能力在线 11.10%12.1.4 9.B10.A11.A 13.(1)证明：：△=(k-5)2-4(1-k) 12.(1)0(2)m≠0且m≠1(3)不可能 =k2-6k+21=(k-3)2+12>0, 13.由题意可知，每件商品的销售利润为(x一30)元，那么每 ·无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根 天销售m件的销售利润为y=m(x一30)元. (2)设方程的两个根分别是x1,x2,根据题意，得 .m=162-3x,∴.y=(x-30)(162-3x), (x1-3)(x2-3)<0, 即y=-3x2+252x-4860. 即x1·x2-3(x+x2)+9<0, 又：m>≥0，.162-3x≥0，即x≤54. 又：x十x2=5-k,x1·x2=1-k, 又x≥30，.30≤x≤54. 代入，得1一k-3(5-)+9<0, ∴.所求函数表达式为y=一3.x2+252x一4860(30≤x≤54). 解得<号，则k的最大整数值为2。 拓展在线 14.(1)由题意，得 14.(1)2x(50-x) BP=12-3t,BQ=6t,0<t4. (2)由题意，得(50-x)(30+2x)=2100. ,∴·△PBQ的面积S关于运动时间t(s)的函数表达式为 化简，得x2一35x十300=0. 解得x1=15,x2=20. Sa=2(12-3)X6=-9r+36(0<14. 由于该商场为了尽快减少库存，故x=15不合题意，舍 (2)四边形APQC的面积随运动时间t(s)成二次函数关 去，所以x=20. 系变化， 答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元. 1 15.:在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm,AD S边形APac=SAAIC-SAP0=2X12X24-(-9P+36) 为BC边上的高，∴.AD=BD=CD=8√2cm. =9t2-36t+144(0<t<4). 又.'AP=√2tcm. 4.2二次函数的图象与性质 ∴S,=2AP·BD=2X√21X8E=8(cm2), 4.2.1二次函数y=ax2的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质 PD=(8√2一√2t)cm. 基础在线 易知PE=AP=√2tcm, 1.A2.A3.B 4.(1) ∴.S2=PD·PE=(82-√2t)·√2t(cm2). -3-2-10123 S=2S2,.8t=2(8W2-√2t)·√2t, 1 4 4 y- 3 3 0 3 3 解得t=0(舍去)，t2=6.即t=6s时，S1=2S2 3 3 单元综合复习（三）一元二次方程 (2)如图所示， 1 热门考点突破 1.C2.D3.14.x1=0,z2=45.1 3 6.(1)x1=1,x=2、（2)x1=1,w=-1. 7.A8.C9.10 10.(1).关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k+1=0 43-201234 有两个不等实数根， 5.C6.A7.A8.B △=(2+1)2-4(2+1)>0，解得>3 能力在线 9.C10.B11.D12.B13.D (2)由题意，得x1x2=2+1=5,解得=-2或=2， 14.(1)m=2或m=-3. 由(1)知，>年，则的值为2. 3 (2)当m=2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点 为(0,0)，且当x>0时，y随x的增大而增大. 11.A12.3 拓展在线 13.(1)设该商品每次降价的百分率为x,则 15.（1)把点B(一2,4)代入二次函数y=ax2,得4a=4,解得 60(1-x)2=48.6, a=1. 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去). 二次函数的表达式为y=x2 答：该商品每次降价的百分率是10%， 将点A(1,m)代入二次函数表达式，得m=1. (2)设第一次降价售出a件，则第二次降价售出(20一a)件， 把点A(1,1),B(一2,4)代人一次函数y=x+b,得 由题意，可得 k+b=1, [60(1-10%)-40]a+(48.6-40)×(20-a)≥200， (264,解得82· 解得≥5品 故一次函数的表达式为y=一x十2. (2)一次函数的表达式y=一x十2中，令 ↑yy=ax :a为整数，∴a的最小值是6. x=0,得y=2. 答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价。 设一次函数与y轴交于点C,则OC=2. 核心素养提升 14.1515.B SAN08 SAnoc SAco=2X1+ y=kx+b 第4章二次函数 2×2×2=3. 4.1二次函数 第2课时 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质 基础在线 1.D2.C 基础在线 1.B2.C3.D 3.(1)根据题意，得y=4x2一12x(1十x)=4x2一12x-12x2 =-8x2-12x, 4.(1) x 3 -2 -1 0 1 2 3 所以二次函数y=4x2一12x(1十x)化为一般形式为 1 14 y=一8x2一12x,二次项系数为一8，一次项系数为一12，常 y=- -3 0 一3 3 数项为0. (2)根据题意，得y=(x十1)(x一1)=x2一1， (2)如图所示. 20 一探究在线·九年 第2课时二次函数y=a(x一h)2十 的图象与性质 基础在线 1.C2.D3.C4.B5.C6.C 7.(1)图略.(2)向上 小 -6 8.(1)(0,4)(2)>1 引 (3):二次函数y=-(x-1)2+5中的a=-1<0,顶点 5.下(0,0)y轴<>006.>7.D 坐标为(1,5)， 8.(1),二次函数y=ax2的图象经过点(1，-3)， .二次函数的开口方向向下，最大值为5， .aX1=-3..a=-3. 当x=0时，y=-(0-1)2+5=4, (2)把x=3代人二次函数y=一3x2,得 当x=3时，y=-(3-1)2+5=1, y=-3×32=-27. .当0<x<3时，y的取值范围是1<y≤5. (3)抛物线的开口向下；坐标原点是抛物线的顶点；当x>0 9.C 时，y随着x的增大而减小；抛物线有最高点；当x=0时， 能力在线 y有最大值0等，（答案不唯一，写出三条即可） 10.A11.D12.m≥3或m0 能力在线 9.D10.D11.B12.B13.C 13.1)当m=2时y=-2(x-4)2-1. 14.(1)由题意，得2-4k+5=2且k-2≠0，解得k1=1, :点A(6,n)在该函数图象上， k2=3,.满足条件的的值为1或3. (2)由题意，得k一2<0， ∴n=-之×(6-402-1=-3 .当k=1时，抛物线有最高点，最高点是(0,0)， (2)若顶点是(2，-1)，则2m=2①，1-m=-1②， (3)由题意，得k一2>0， 由①，得m=1;由②，得m=2.1≠2. 当=3时，二次函数有最小值，最小值是0. 故小明的说法错误， 拓展在线 拓展在线 15.设线段AB与y轴的交点为C,由抛物 14.(1)1 线的对称性可得C为AB的中点. (2):y=(x-m)2+n的图象经过点A(3,2), .OA=OB=2√2，∠AOB=90°， ∴.(3-m)2+n=2, ∴.AC=OC=BC=2. ∴n=-(m-3)2+2, .B(2,一2). ∴当0≤m≤2时，n随m的增大而增大. 把B(2,一2)代人抛物线y=ax2(a< 当m=0时，n=-7;当m=2时，n=1. .n的取值范围为一7≤n≤1. 0),得a=一2· (3)A 4.2.2二次函数y=a(x-h)2十k的图象与性质 4.2.3二次函数y=ax2十bx十c 第1课时二次函数y=a(x一h)2的图象与性质 的图象与性质 基础在线 基础在线 1.C2.B3.D4.C5.A6.C7.B 1.B2.33.A4.A5.C6.< 8.(1)如图. 7.(1)直线x=2(2,一1) (2)其图象如图所示， y=x2-4x+3 ↑y 4 32 -201r234 3-2-02方4 (2)①图象的开口向上， ②对称轴为直线x=1. 2 ③顶点坐标为(1,0).（答案不唯一） (3)x2 9.C 能力在线 8配方：y=2-3x+1=(2-3x+是-是)+1 10.y=2(x一1)2（答案不唯一） 11.B12.A13.B -(-》- 14.(1)y=2（x-2)2. 顶点坐标是（名，-号），于是当x=是时，y达到最小值 (2)平移后的抛物线的函数表达式为y=(x十2。 4 平移方式为向左平移4个单位长度， 9.A 拓展在线 能力在线 15.C 10.D11.A12.C13.B 16.(1)易得抛物线y=a(x一1)2(a≠0)的顶点坐标是(1,0). 14.(1)把a=1代入y=a.x2-2a2x,得y=x2-2x=(x-1)2-1, :点P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2(a≠0)上的一点， .抛物线的顶点坐标为(1，一1). ∴.a=a(m一1)2.解得m=2或m=0. 点P在第一象限内，…m=2. (2)抛物线的对称轴是直线x=一 -2a2=a. (2).a<0, 当a>0时，如图①，此时3a<3,a<1. .抛物线y=a(x-1)2(a≠0)的开口向下. 又a>0,∴.0<a<1; 又，抛物线y=a(x一1)2(a≠0)的对称轴为直线x=1, y .当x>1时，y随x的增大而减小. 24T (3)a=3, 3a7 '.抛物线所对应的函数表达式为y=3(x一1)2，点P的 坐标为(2,3). 3a :PQ∥x轴交抛物线y=3(x-1)2于点Q, 由3=3(x-1)2,解得x=2或x=0. 图① 图② 当a<0时，如图②，此时-a>4,解得a<-4 点Q的坐标为(0,3).心PQ=2.SA0=2X3X2=3. 又a<0,∴.a<-4. 综上，当0<a<1或a<-4,都有yh<y2 级数学（上）·XJ一 拓展在线 解得a=2,b=1,c=一1. 15.(1)①y=x2-8x-7②4-23 ,二次函数y=2x2十x一1的图象经过A,B,C三点， (2)y=x2+2ax+a-3=(x+a)2-a2+a-3, (2)设有二次函数y=a1x2十b1x十d1,它的图象经过A, .抛物线的开口向上，.当x=一a时，y有最小值 B,D三点，则得到关于a1,b1,d1的三元一次方程组： 甲的说法合理。 d1=- (3)正确. {a1+b+d=2, 'y-=x2+2ax+a-3=(x+a)2-a2+a-3, a1-b1+d1=-4, .当x=-a时，y有最小值为-a2+a-3. 解得a1=0,b1=3,d=-1. 1211 即ymm=-a2+a-3=-（a-2) .一次函数y=3x一1的图象经过A,B,D三点.这说明 一4 没有一个这样的二次函数，它的图象能经过A,B,D三点. 号时，m有最大值，为一。 能力在线 .当a= 8.B9.C10.A 阶段测评6(4.1~4.2) 11.y=-2(x十1)2+3或y=-4(x+1)2+3 1.A2.C3.A4.A5.B6.C 12.(1)(-1,0) 7.直线x=一18.2（答案不唯一）9.一1 (2),二次函数图象的顶点坐标为(1，一4)，与x轴的一 个交点坐标为(3,0). 10.y= 10-x 0<x<10 4 .设二次函数的表达式为y=a(x一1)2一4， 11.t≤-5或t≥-312.①②④ 把(3,0)代入y=a(x-1)2-4,解得a=1, 13.(1) .y=(x-1)2-4=x2-2x-3. … -1 0 1 2 3 (3)y=-x2+2x+3 拓展在线 5 -4 2 -2 、6 13.(1),抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)与y轴交于点C, ∴.点C的坐标为(0，一5)..OC=5. (2)图略. .'OC=50B,.'.OB=1. 14.(1).二次函数y=ax2十bx十c(a>0),其图象上有不同 又点B在x轴的负半轴上，.点B的坐标为（一1,0）. 的两点，坐标分别为(m,n),(2一m,n), 将点A(4,-5),B(-1,0)代入y=ax2+bx-5中， 对称轴为直线x=m十？一m=1,抛物线开口向上， 2 得16a+46-5= a-b-5=0. 5’解得a=1, b=-4. .当x=1,最小值=一4， ∴.该抛物线的表达式为y=x2-4x一5. ∴.该二次函数图象的顶点坐标为(1，一4) (2).:v=x2-4.x-5=(x-2)2-9, (2)(m,n)在y=a(x-1)2+p的函数图象上， .顶点D的坐标为(2，一9).连接AC. .n=a(m-1)2+p,.n-p=a(m-1)2=9a, .A(4,-5),C(0,-5), .a≠0，∴.(m-1)2=9,∴.%=4，m2=-2. .AC∥x轴，AC=4. 15.(1)由二次函数)y=3(x-3m)2+4-2m知，抛物线顶点 ∴.SAABC= 2×4×5=10. 坐标为(3n,4-2n). 设x=3ny=4-2m=-号×3n+4,则y=- 2 3x十4. Sm=2×4X[-5-(-9)]=8. ∴.四边形ABCD的面积为S△ABc十S△AcD=18. 抛物线的顶点始终在直线y=一子x十4上 微专题8求二次函数的表达式 1.B2.y=-3(x+1)2+2 (2)由题意可得(b十2)十(6n十b-4)=6n,则b=1. 1 .A(3,a). 3.y=2x2-7x-14.D5.B 把A3,a代入y=专z-3m)+4-2m,得 6.由题意知，抛物线与x轴的交点坐标为(5,0)和(1,0)， 可设抛物线的表达式为y=a(x一5)(x一1)， 8-w+4-2=()+号≥， 抛物线与y轴的交点是(0,5)， .5=a(0-5)(0-1)..a=1. a>5 .抛物线的表达式为y=(x一5)(x一1)=x2-6x十5. 7.y=2x2-38.C 16.(1)将点A(1,0),B(4,0)代人y=ax2+bx+2中，得 .a把1,0).(0，号)代人抛物线y=-号r+bz十c,得 0=a+b+2, 10=16a+46+2.解得 a2 1 5 b=- 2 +b+c=0, b=-1, 2· 解得 3 3 c一2 对称轴为直线x=一2a=2 c=2’ 则抛物线的表达式为y= -x+是 1 5 (2),四边形OECF是平行四边形，OE= 29 ∴FC=OE-号C点横坐标x=OE+FC=5,在y= (2)y=- 22-x+号=-(x+1+2, 可以将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单 -号x+2中，令x=5,则y=2 1 位长度，表达式变为y=一2x,此时抛物线经过原点. .点C的坐标为(5,2) (答案不唯一) 4.3二次函数的表达式的求法 4.4二次函数与一元二次方程的关系 基础在线 基础在线 1.D2.y=-x2+1(答案不唯一) 1.B2.C3.C4.D5.C 3.二次函数的顶点为(1，-4)， 6.设y=2x2一4x-1.画出二次函数y= .设二次函数表达式为y=a(x一1)一4. 2x2一4x一1的图象如图所示.由图象知， 把(2，-3)代人y=a(x-1)2-4,得-3=a-4, 当x≈2.2或x≈-0.2时，y=0. 43 解得a=1.∴.y=(x-1)2一4. .方程2x2一4x一1=0的实数根为 4.A5.B6.A x≈2.2，x2≈-0.2. O1334 7.(1)设有二次函数y=ax2十bx十c,它的图象经过A,B,C 7.(1)根据实际情况填写，略 三点，则得到关于a,b,c的三元一次方程组： (2)解方程137=0.06x2一0.02x+120, /c=-1, a+b+c=2, 解得石-17，-一碧（含去）. a一b十c=0, 探究在线·九年 .他的年龄应该是17岁」 当x=5时，y=a(5-26)2+k=441a+k. 8.D9.0或1 :抛物线与钢柱AB有交点，.0≤441a十k≤3. 能力在线 将a=-k+5代入，得0441(-k+5)+k≤3. 10.C11.D12.2 13.(1)证明：令y=0,则x2-2kx一1=0. -2205≤-40≤-2202.÷282≤≤8 .△=(-2k)2-4X1×(-1)=4k2+4>0. 第2课时利用二次函数解决销售问题及其他问题 .一元二次方程x2一2kx一1=0中，无论飞为何值，都有 基础在线 两个不相等的实数根. 1.C2.B ,∴.二次函数y=x2一2kx一1中，无论k为何值，其图象与 3.(1)(x-20)「400-20(x-30)7 x轴都有两个交点. (2)根据题意，可列出函数为y=(x一20)[400一20(x一 (2),该二次函数图象的对称轴为y轴， 30)],整理，得 -2k 六一2X1-0,解得k=0.该二次函数为y=x2-1. y- -20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500. 令y=0,则0=x2-1,解得x1=1,x2=-1, 所以当x=35时，y取得最大值，最大值为4500. .它与x轴的交点坐标为(1,0)，（一1,0）. 故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利 润为4500元. 拓展在线 14.(1)m<4(2)m<8m8 4.(1)根据题意，得=（40十4x)(40一x) =-4(x-15)2+ (3)由题意，令x2-4x十m=2x-1, 2500(0≤x≤40) ,'.x2一6x十1=一m. (2):w=-4(x-15)2+2500(0≤x≤40)， .二次函数y=x2-4x十m的 y 则当x=15时，w有最大值，最大值为2500元 图象在x≤4的部分与一次函数 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天 y=2x一1的图象有两个公共点 最多盈利2500元. -2-1,012345678x 等价于二次函数y=x2一6x十1 (3)根据题意，得一4(x-15)2+2500=2400, 的图象在x≤4的部分与一次函 解得x=10或x=20. 数y=一m的图象有两个公共点. A ,商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， 由题意，y=x2 -6x十1= .x=20. (x-3)2-8(x≤4). y=-m 答：每件衬衫应降价20元 如图. 82 5.21m 当x=4时，y=(4-3)2-8=-7. 6.(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9 由题意，结合图象，可得一8<一m≤一7，.7≤m<8, ..当0x<13时，学生接受能力逐渐增强，当13≤x≤30 4.5二次函数的应用 时，学生接受能力逐渐减弱 第1课时 利用二次函数解决实物抛物线问题、 (2)当x=13时，学生接受能力最强，达到59.9. 能力在线 面积问题 7.D8.240 基础在线 9.(1)设y=kx十b, 1.A2.22 3.(1)设抛物线的函数表达式为y=ax2, 将(60,40)，(70,30)代入，得(90十分8解得合10d: 由题意可得B点坐标为(3，一3)， .y=-x+100. ∴.一3=aX32,解得a= (2)S=(-x+100)(x-50)=-x2+150x-5000, 3 .a=-1,b=150,c=-5000, “在此坐标系下的抛物线的表达式为y=一3x. 1 ,当x= b=75时， 2 2)当x=1时y=-子X72=1 3 S0大值=4如c-:-4X(-1)XC-5000)-150=625. 0M-8,3一号-号(m这些木板最高可维枚号n 4a 4×(-1) 8 所以，当销售单价定为75元时，该商户获利最大，最大利 润是625元. 4.16m2 拓展在线 5.(1)由题意可知，平行于墙的一边BC的长为(20一2x)m, 10.(1)当1≤x≤40时，(x+50-40)(100-x)=2800, 2088C:006=-2r+202 整理，得x2一90x十1800=0， 解得x1=30,x2=60(不合题意，舍去)， .y关于x的函数表达式为y=-2x2十20x(0<x<10)」 .x=30; (2),y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50(0<x<10), 当41≤x≤70时，(90-40)×(100-x)=2800, .当x=5时，y取得最大值50. 解得x=44 .当x=5时，矩形花圃的面积最大 答：销售该商品第30天或第44天时，当天销售利润为 能力在线 2800元. 6.能7.0.38.318 (2)当1≤x≤40时， 9.(1)S=2x2-70x+600 u=(x+50-40)(100-x)=-x2+90x+1000=-(x- (2),种植花草的面积为532m2,即S=532, 45)2+3025, ..2x2一70x+600=532,整理，得x2-35x+34=0, .'a=-1<0,1≤x≤40， ∴.x1=1,x2=34>30(不符合题意，舍去). .小道进出口的宽度为1m. .当x=40时，当天销售利润0最大，最大值=一(40一 拓展在线 45)2+3025=3000(元)； 当41≤x70时，=(90-40)×(100一x)=一50x+5000, 10.(1)由题意可得顶点F的坐标是(25,5). 设抛物线的表达式为y=a(x-25)2+5, ,-50<0,41≤x≤70， ,抛物线经过原点O, ∴当x=41时，当天销售利润w最大，大值=-50×41十 5000=2950(元). ∴.将(0,0)代入，得a(0-25)2+5=0,解得a= 1251 .3000>2950, ∴.销售该商品第40天时，当天销售利润最大，最大利 .y= 125(x-25)2+5. 润是3000元. (21 微专题9二次函数的图象与字母系数的七种关系 1.A2.C3.14.B (3)由题意，设修改钢架后抛物线的顶点坐标为(26，) ∴.抛物线的表达式为y=a(x一26)2十. 5.由图象，知28，解得(3 ln+5<0, ,抛物线经过点F(25,5), .m-3<0,m+n<-2. ,∴.5=a(25-26)2十k,獬得a=-k+5. ∴.√(m-3)7+√-|m+n=3-m-n+m十n=3. 级数学（上）·XJ一 21@4.2.3二次函数y=( 基础在线沙 知识要点分类练 …0 知识点1用配方法将二次函数由一般式化 为顶点式 1.把y=x2-10x+26化为顶点式，得 A.y=(x-5)2+26B.y=(x-5)2+1 C.y=(x+5)2+1 D.y=(x+5)2+26 2.若二次函数y=x2十bx十12配方后为y= (x一3)2+k,则k的值为 知识点2 二次函数y=ax2+bx十c的图象 与性质 3.已知抛物线y=a,x2+bx+c的开口向上，则a 的值可以是 () A.1 B.-1 C.-2 D.-3 4.(长沙阶段练习)抛物线y=一x2十4x十1的对 称轴是 ) A.直线x=2 B.直线x=一2 C.直线x=4 D.直线x=- 5.已知二次函数的表达式为y=一x2一2x十3， 则其函数图象的顶点坐标是 ( A.(1,4) B.(1,一4) C.(-1,4) D.(-1,-4) 6.(中考·内江)已知二次函数y=x2一2x十1的 图象向左平移2个单位长度得到抛物线C,点 P(2,y),Q(3,y2)在抛物线C上，则y y2(填“>”或“<”). 7.(长沙阶段练习)已知二次函数y=x2一4x十3. (1)函数的对称轴是 ,顶点坐标 为 (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数 的简图； (3)当y随x的增大而减小时，x的取值范围 是 x2十bx十c的图象与性质 y 4 3 2 1 -3-2-101234x -2 知识点3二次函数y=ax2十bx十c(a≠0) 的最值 8.(教材P148例5变式)求二次函数y=x2一3x十1 的最小值。 易错点化二次函数为y=a(x一h)2十k的形 式时，漏掉二次项系数 9.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方 法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看 到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果 传递给下一人，最后完成求解.过程如图所示： 老师 分 乙 丙 y=2x2-8x+6 顶点坐标 =x+4x-3 2+4x+4 =x+2)2-3 为(-2，-3) 接力中，自己负责的出现错误的是 A.甲和乙 B.乙和丙 C.乙和丁 D.甲和丙 2能力在线沙 方法规律综合练 10.二次函数y=x2十4x十a的最小值是3，则a 的值是 () A.3 B.5 C.6 D.7 第4章102 11.二次函数y=ax2十ax+c2+1(a,c为常数， 且a≠0)的图象可能是 12.如图，抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)的对称 轴为直线x=1,且与x轴交于点A(3,0)和 点B,下列说法错误的是 A.a<0,b>0,c>0 y↑：x=1 4 B.函数的最大值为4 C.当x<1时，y随x的增 B A(3,0) 大而减小 D.点B的坐标为（一1,0） 13.(中考·眉山)定义运算：a⑧☒b=(a+2b)(a b),例如4☒3=(4+2×3)(4一3)，则函数 y=(x十1)☒2的最小值为 () A.-21B.-9 C.-7D.-5 14.(中考·北京)在平面直角坐标系xOy中，已 知抛物线y=ax2-2a2x(a≠0). (1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知M(x1,y1)和N(x2,y2)是抛物线上 的两点.若对于x1=3a,3≤x2≤4，都有y1< y2,求a的取值范围. 103探究在线九年级数学（上）·灯 3 拓展在线沙培倪拔尖提升臻 15.（中考·广西改编)课堂上，数学老师组织同 学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax十a 一3的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. (1)老师给出a=-4,求二次函数y=x2+ 2ax十a一3的最小值， ①函数的表达式为 、分 ②当x=时，函数y有最小值，此时的y 值是 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即 求出对应的函数在x取何值时，y的最小值. 记录结果，并整理成下表： a -4-2024 … x ￥2 0 -2-4… y的最小值 *-9-3-5-15… 注：￥为②的计算结果 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数 知识，观察表格，谈谈你的发现.” 甲同学：“我发现，老师给了α值后，我们只要 取x=一a,就能得到y的最小值.” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化 而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大 后减小，所以我猜想y的最小值中存在最 大值.” (2)请结合函数表达式y=x2+2a.x十a-3, 解释甲同学的说法是否合理？ (3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确， 请求出此最大值；若不正确，说明理由.