3.5 第1课时 一元二次方程在增长率问题和经济问题中的应用-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

3.5 一元二次方程的应用 ©第1课时 一元二次方程在增长率问题和经济问题中的应用 1 基础在线少和识要点分类练 列方程为(30+x一20)(300一10x)=3750,对 所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是 知识点1运用一元二次方程解决增长率问题 () 1.(教材P120例1变式)某药品经过两次降价， A.(30十x)表示涨价后玩具的单价 每瓶零售价由128元降为108元，已知两次降 B.10x表示涨价后少售出玩具的数量 价的百分率相同，设每次降价的百分率为x, C.(300-10x)表示涨价后销售玩具的数量 根据题意列方程，得 () D.(30十x一20)表示涨价后的每件玩具的单价 A.128(1+x)2=108B.128(1-x2)=108 5.(教材P121例2变式)某商店以每件16元的价 C.128(1+x2)=108 D.128(1-x)2=108 格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润 2.某厂家1~5月份的口罩产量统计如图所示. 不得超过30%，若每件商品售价定为x元，则可 设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均 卖出(170-5x)件，商店预期要盈利280元，那么 月增长率为x,根据题意可得方程 () 每件商品的售价应定为元 1~5月份某厂家的口罩产量统计图 6,某水果经销商以10元/千克的价格向当地果 产量万只) 500 461 农收购某种水果，该水果的市场销售价为 400H 368 442 300 20元/千克，根据市场调查，经销商决定降价 200L 100 13180 销售.已知这种水果日销售量y(千克)与每千 01月2月3月4月5月月份 克降价x(元)(0≤x<10)之间满足如图所示 A.180(1-x)2=461B.180(1+x)2=461 的一次函数关系。 C.368(1-x)2=442D.368(1十x)2=442 (1)求y与x之间的函数关系式； 3.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能 (2)若经销商计划这种水果每日获利440元， 源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具，某国产 那么这种水果应降价多少元进行销售？其相 品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜 应的日销售量为多少？ 爱，在某地区的销售量从1月份的10万辆增 (仟克) 长到3月份的12.1万辆，求这两个月该汽车 90… 销售量的月平均增长率. 60 4 x(元) 知识点2运用一元二次方程解决利润问题 4.某商场将每件进价为20元的玩具以30元的 价格出售时，每天可售出300件.经调查，当单 价每涨1元时，每天少售出10件.若商场想每 天获得3750元利润，设每件玩具涨x元，可 第3章82 ②能力在线沙方法规律踪合然 的是第几档次的产品？ 7.2026北京图书订货会于2026年1月10日在中 国国际展览中心（朝阳馆）圆满落幕.1月8日至 1月10日活动期间，入场观众超过10万人次. 假设活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一 天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次，若 进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天 减少率.设进馆人次的每天减少率为x,依题 意可列方程为 ( A.4(1-x)2=10 B.4(1-x)+4(1-x)2=10 3 拓展在线沙培优拔尖提升练 C.4(1-x-x2)=10 10.某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次 D.4+4(1-x)+4(1-x)2=10 锻炼后数据如下表.与第一次锻炼相比，王老 8.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定 师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步 价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的 长减少的百分率的3倍.设王老师第二次锻炼 定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有 时平均步长减少的百分率为x(0<x<0.5). 游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 项目 第一次锻炼 第二次锻炼 20元的费用.当房价定为多少元时宾馆当天 步数（步） 10000 的利润为10890元？设房价定为x元，则有 平均步长（米/步） 0.6 距离（米） 6000 7020 注：步数X平均步长=距离， A.(180+x 20)(50-0)-10890 (1)根据题意完成表格填空； R.-20)(60-80 =10890 (2)求x的值； (3)王老师发现好友中步数排名第一为 C(500 -50×20=10890 24000步，因此在两次锻炼结束后又走了 500米，使得总步数恰好为24000步，求王老 D.(x+180)(50-) -50×20=10890 师这500米的平均步长. 9.某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一 档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每 件利润10元.调查表明：生产提高一个档次的 蛋糕产品，该产品每件利润增加2元. (1)若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件 利润为多少元？ (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个 档次，一天产量会减少4件.若生产的某档次 产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产 83探究在线九年级数学（上）·X灯11.20,2z.x·15=36012.=15 .该三角形的周长为2十6十6=14. 2 2 拓展在线 13.(1)m1=2+3y2 ,x2=23V2 14.[x2+1,x]※[5-2k,k]=0, 2 .k(x2+1)+(5-2)x=0. (2)=-1=号 整理，得kx2+(5-2k)x十k=0. 当k=0时，此时方程为5x=0,解得x=0. 当≠0时， (3)-子4-1. 方程有实数根，.△≥0且k≠0. 即(5一2k)2一4k2≥0且k≠0， 14.a2-8a+20=(a-4)2+4. 5 .(a-4)2≥0，∴.(a-4)2+4>0 解得k≤4且k≠0. .不论a为何值，方程(a2一8a十20)x2+2ax十1=0都是 一元二次方程. “友的取值范国是≤号 15.(1)把x=2代入方程， 3.4 得p2一2p一3=0，解得1=3，p2=一1. 一元二次方程根与系数的关系 (2).p2-2p-3=0,∴.p2-2p=3. 基础在线 代入原方程，得x2-6x+8=0. 1.A2.D3.8 .x1=2,x2=4..方程的另一根为4. 4.(1).a=5,b=1,c=-3, 16.(1)设所求方程的根为y,根据题意，y是原方程根的相反 且b-4ac=1+60=61>0, 数，因此y= ..1十x2=一m=-5x01x2=C =一 3 分 即x=一 5 x=-y代入原方程2x2-x-5=0, (2)方程化为6x2一5x+1=0, 得2(-y)2-(-y)-5=0, .a=6,b=-5,c=1, 则2y2+y一5=0. 且b-4ac=25-24=1>0, (2),'a(2x+3)2+2bx=3(1-b), x1十x2=-b=5 .移项，得a(2x十3)2+2bx十3b-3=0, a61x2==1 a a(2x+3)2+b(2x十3)-3=0， 5.B6.B7.x1=3,x2=1,k=6. 设之=2x十3，则方程变为az2十bz-3=0, 8.(1)由题意，得{公二m+8≥0，解得m≥0. lm≥0， 方程ax2+bx一3=0的两个根分别是1和一3 故m的取值范围是m≥0. ∴.az2十bz-3=0的根为之=1和x=3, 当z=1时，2x十3=1，解得x=一1； (2),方程的两根为x1,x2, 当z=-3时，2x十3=-3，解得x=-3; ∴.x1+x2=-√m,x1x2=-2. 则方程a(2x+3)2+2bx=3(1一b)的两个根是x1=-1, (x1-x2)2-17=0, x2=一3. .(x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2=17. 3.3 一元二次方程根的判别式 即m+8=17,解得m=9. 基础在线 ∴.m的值为9. 1.D2.C3.C 9.A 4.(1)△=(-2)2-4×3×(-1)=16>0， 能力在线 .方程有两个不相等的实数根. 10.C11.B12.-113.-1 (2)原方程可整理为x2+2x十2=0， 14.由题意可知，m,n是方程x2一x一3=0的两个不相等的 △=22-4X1×2=-4<0, 实数根， ,.方程没有实数根. 根据根与系数的关系可知，m十n=1,mn=一3. (3)原方程可整理为x2-2x十1=0， 又，n2=n+3, .△=(2)2-4×1×1=0. 则22-mn+2m+2024=2(n+3)-mn+2m+2024= ∴.方程有两个相等的实数根 2(m+n)-mn+2030=2×1-(-3)+2030=2035. 拓展在线 5.B6.D7.9 111 8.(1)△=[2(k-1)]2-4(k2-1)=4k2-8k+4-4k+4= 15.(1)2,3’5 (答案不唯一) -8k+8. (2)证明：x1,x2是关于x的方程ax2十bx十c=0(a,b, :方程有两个不相等的实数根，∴一8k十8>0，解得k<1, c均不为0)的两根， 即实数k的取值范围是k<1. x1十2=- a1·x2= (2)0可能是方程的一个根. 假设0是方程的一个根， 1+1=十= b 则把x=0代入方程，得 1 c 02+2(k-1)·0+k2-1=0 ,x是关于x的方程bx十c=0(b,c均不为0)的解， 解得k=-1或k=1(舍去). C .x3=一 .1=-b 故当k=一1时，0就为原方程的一个根， 方心… 此时，原方程变为x2一4x=0, :1十1=，“，2西可以构成“和谐三数组” 解得x1=0,x2=4, 1 .它的另一个根是4. 微专题6一元二次方程根的判别式及根 9.D 与系数的关系的应用 能力在线 1.B2.B3.B 10.C11.D12.0 4.(1)把t=3代入方程中，得x2一2x-3=0, 13.(1)证明：x2一(m十1)x+2(m-1)=0, (x+1)(x-3)=0, △=[-(m+1)]2-4×2(m-1)=m2+2m+1-8m+8 x1= -1,x2=3. =m2-6m十9=(m-3)2≥0， .原方程的根为x1=一1，x2=3. 所以，无论m取何值，这个方程总有实数根. (2)方程有两个相等的实数根，∴△=0. (2)当6为等腰三角形ABC的腰时，将x=6代入方程，得 ,.(-2)2-4×1×(-t)=0..t=-1. 36-6(m+1)+2(m-1)=0,解得m=7. 5.(1)由题意可知，△=(-4)2一4×1×（一2k十8）≥0，整理， 即方程为x2一8x十12=0，解得x1=2,x2=6, 得16十8k-32≥0，解得k≥2， ,.三角形的三边为6,6,2； ,k的取值范围为k≥2 当6为等腰三角形ABC的底时，△=(m一3)2=0， (2)由题意，得xx2十xx2=1x2[(0十2)2一2o1x2]=24. .∴.m=3. x1+x2=4,x1x2=-2k+8, 即方程为x2一4x十4=0，解得x1=x2=2, .(-2k+8)[42-2(-2k+8)]=24, ,2+2<6,.2,2,6不能构成三角形 整理，得k2一4k十3=0，解得k1=3,k2=1, 一探究在线·九年 又由(1)可知k≥2，.k的值为3. 3.5 一元二次方程的应用 I.当点P在线段AB上时，即0≤≤号时， 第1课时 一元二次方程在增长率问题和 经济问题中的应用 如图@，Sa0=2PB·BC=号(10-30)×8=15， 基础在线 t25 1.D2.B 2 3.设这两个月该汽车销售量的月平均增长率为x, Ⅱ.当点P在线段BC上时，即9<≤6时， 根据题意，得10(1+x)2=12.1, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍去). 如图③，BP=3t-10,CQ=16-2t 答：这两个月该汽车销售量的月平均增长率为10%. 4.D5.20 Saw=2PB.CQ=7(3-10)(16-20)=15, 6.(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b(0≤x<10), ∴t=5或=19（舍）. 将(1,60)，(4,90)代入y=kx十b,得k=10,b=50, 3 故y与x之间的函数关系式为y=10x十50(0≤x<10). (2)依题意，列方程，得(20一10一x)(10x十50)=440， 即清足条件的1的值为或5。 整理，得x2一5x一6=0， 解得x1=6,x2=一1（不合题意，舍去）. 当x=6时，y=10×6+50=110. 故该种水果应降价6元进行销售，其相应的日销售量为 110千克 0图② 图③ 能力在线 微专题7一元二次方程的实际应用 7.D8.B 9.(1)10+2×(5-1)=18(元). 1.x(x+3)=号[10(x+3)+]2.D 答：该档次蛋糕每件利润为18元. (2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品， 3.设有x家公司出席了这次交易会， 根据题意，得[10+2(x-1)门×[76-4(x一1)]=1024，整 则有2x(x-1)=78, 理，得x2-16x十48=0， 解得x1=4,x2=12(不合题意，舍去). 解得x1=13,x2=-12(舍去). 答：该烘焙店生产的是第四档次的产品。 答：有13家公司出席了这次交易会 拓展在线 4.3 10.(1) 5.(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得 项目 第一次锻炼 第二次锻炼 x+1+(x+1)x=36, 步数（步） 10000 10000(1+3x) 解得x=5或x=-7(舍去). 平均步长（米/步） 0.6 0.6(1-x) 答：每轮传染中平均一个人传染了5个人. (2)根据题意，得5×36=180（人）. 距离（米） 6000 7020 答：第三轮将又有180人被传染 (2)由题意，得0.6(1-x)×10000(1+3x)=7020, 6.(1)设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平 解得=0.1=品>0.5（合去）. 均增长率应达到x,由题意，得28%(1十x)2=35%. ,.x的值为0.1. 整理，得(1十x)=.解得x=士5-1. 2 (3)由题意，得 10000+10000×(1+0.1×3)=23000(步)， >0,-9-122-1=0.1=10%. 500÷(24000-23000)=0.5(米) .王老师这500米的平均步长为0.5米. 答：从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均 第2课时 一元二次方程在面积问题中的应用 增长率应达到10%. (2)35%×(1+10%)2=35%×1.21=42.35%>40%. 基础在线 1.A2.x(x+1)=33.C4.B 所以照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗 5.(1)2t(5-t) 位率可超过40% (2)存在. 7.(1)设每件服装降价x元.由题意，得 (90-x-50)(20+2x)=1200, 由题意可得△PBQ的面积为BP·BQ=2L5,一) 解得x1=20,x2=10, 2 :△PBQ的面积等于4cm2, 为使顾客得到较多的实惠，应取x=20. 答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利 :.24(5,一0=4，解得=1,2=4（不合题意，舍去）， 1200元，同时又使顾客得到较多的实惠. 2 ∴.当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2. (2)不可能.理由如下： 依题意，得(90一x-50)(20十2x)=2000, 能力在线 整理，得x2一30x十600=0. 6.A7.4+23或4-2√58.4 .△=(-30)2-4×600=900-2400=-1500<0， 9.设小正方形的边长为x 原方程无实数解. .a=4,b=2,.BD=2+4=6. .不可能每天盈利2000元. 在Rt△BCD中，DC2+BC2=DB, 8.设长方形养鸡场AB边的长度为x米，则BC边的长度为 即(4+x)2+(x+2)2=62, (42-3x)米， 整理，得x2十6x一8=0， 由题意，得x(42一3x)=120,解得x1=4,x2=10. 而矩形ABCD的面积为(x十4)(x十2)=x2+6x十8=8+ 8=16, 42-3x<16∴≥9∴x=10 .矩形ABCD的面积为16 答：围成长方形养鸡场AB边的长度为10米. 拓展在线 9.(1),矩形ABCD的周长为120米， 10.(1)如图①，过点A作AM⊥CD于点M ,.2(AB+BC)=120,即2(x+BC)=120, .直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠C .BC=60-x. =90°，.四边形ABCM是矩形， (2)四边形EFGH是边长为6米的正方形， ..CM=AB=10,AM=BC=8, ∴.与AB平行的两条小路长度之和为(x-6)米，与BC平 在Rt△ADM中，AD=10,AM=8 0 行的两条小路长度之和为(60一x一6)米， 根据勾股定理，得DM=6, 图① 每条小路的宽度都为2米， .∴.CD=DM+CM=16. '.铺设鹅卵石区域的面积为6×6十2(x-6)十2(60-x (2)存在. 6)=132(平方米). 答：铺设鹅卵石区域的面积为132平方米 级数学（上）·XJ一 19