1.4 第3课时 相似三角形的判定定理2-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

©第3课时 相似E 1基础在线沙 知识要点分类练 … 知识点两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似 1.已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与 △ABC相似的是 B5 5 30 第1题图 第2题图 2.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,且将这个四边形分成四个三角形，若OA: OC=OB:OD,则下列结论中正确的是() A.△AOB△AODB.△AOD∽△BOC C.△AOBp△BOC D.△AOBO△COD 3.如图，点D,E分别在AB,AC上，若AB= 2AE,AC-2AD,DE-5,BC- TB(0,2) A(40x 第3题图 第4题图 4.如图，在平面直角坐标系中有两点A(4,0), B(0,2),如果点C在x轴正半轴上（点C与 点A不重合)，当点C的坐标为 时，可 使得由点B,O,C组成的三角形与△AOB相似. 13探究在线九年级数学（上）·灯 三角形的判定定理2 5.如图，AB=9,AE=1,AC=3,BD=3,BD∥ AC.点B,A,E在同一条直线上. 求证：△ABDp△CAE. 易错点对判定条件的应用有误 6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线 BD,AC相交于点E,问△AED与△BEC是 否相似？有一位同学这样解答： .AB∥CD, .∠ABE=∠CDE, ∠BAE=∠DCE. ∴.△AEBO△CED. 能號 又.∠AED=∠BEC,∴.△AED∽△BEC 请判断这位同学的解答是否正确？并说明理由. 2 能力在线沙方法规律猴合骤… 7.(教材P27例5变式)如图，在△ABC中，AD 是边CB上的高，若△DAC∽△ABC,则需满 足 A.CD2=AD·DB B.AC2=BC·CD cS说 n册器 D 第7题图 第8题图 8.如图，∠AOB=90°，OA=OB=BC=CD,那么 下列结论成立的是 () A.△OAB∽△OCAB.△OABp△ODA C.△BAC∽△BDAD.以上结论都不对 9.如图，在△ABC中，已知AB =2,AD⊥BC,垂足为点D, BD=2CD.若点E是AD的 中点，则EC= 10.如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB =90°，AC,BD交于点E,且∠AEB=120°. (1)求证：△DCEp△ABE; (2②)求的值。 11.如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD= 14,点P在BD上移动，当以点P,C,D为顶点 的三角形与△ABP相似时，求BP的长. 3 拓展在线沙培代拔尖提升练 …t 12.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠A=90°， AB=2,BC=3,CD=1,E为AD的中点. (1)求证：△CDE∽△EAB; (2)△CDE与△CEB有可能相似吗？若相 似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由. 第1章14温警提示：清做完后再看答案！ 13.(1)21√2 (2)由对半裁剪可得DE=21E,DG=头 4 21 参考答案 ∴.DG:DE=√2：1. .剩余纸片（阴影部分）的长与宽之比还为2：1. 14.(1)AC,AB,CD,BC这四条线段是成比例的线段.理由 第1章图形的相似 如下： 1.1线段的比 1.1.1比例的基本性质 在R△ABC中，SA=子AC,BC=ZAB·CD, 基础在线 ..AC_CD 1.4和32和62.B3.C4.C5.(1)4:3(2)15:8 即AC,AB,CD,BC这四条线段是成比例的线段 7.(1)d=-6.(2)c=9. (2)示例：AC,AD,AB,AC这四条线段是成比例的线段. 8.x=40.(2z-1.8.(3)z-号 理由如下： 在Rt△ABC中，AC=5,BC=12, 能力在线 1.v,92v吃 由勾版定理得AB=18一肥品 9.A10B.B12是 14.22 由a可知S-是cD-ACBc-8 AB 131 15.由5a=46,得号=告， 在Rt△ADC中，AC=5,CD=0, 4--1= 1 13’ b (2=+1=号 9 由勾辰定理，得AD=得二吕品-怨 即AC,AD,AB,AC这四条线段是成比例的线段.（答案 不唯一) 1 (3)由(1)÷(2)，得8二b= 5 拓展在线 9 15.(1)四边形ABCD为正方形 a+b 9 ..AB=BC=CD=AD-2. 5 P为AB的中点，∴AP=BP=1. 16.(1)分两种情况讨论： 在Rt△APD中，由勾股定理，得 情况一：a+b十c≠0 由等比性质，k=6+o)+c+a)+a+)_2a+b+d2=2. PD=√1+2=√5=PF,.AF=√5-1. a+b+c a+b+c ,四边形AFEM为正方形， 情况二：a+b十c=0 ,.AM=√5-1，DM=2-(W5-1)=3-√5. 则6什c=一a,代入牛9中，得=二8=-1. (2)证明：A=(√5-1)2=6-2√5， a AD·DM=2X(3-√5)=6-2√5， 综上，k的值为2或一1. ∴.AMP=AD·DM. (2)一、四 (3)点M为线段AD的黄金分割点. 拓展在线 1.2平行线分线段成比例 17.(1)设a-c=-2k,a十b=7k,c-b=k, a一c=一2k, 基础在线 （a=3k, 则a十b=7k,解得b=4k, 1.D2.A c一b=k, c=5k. :a+b十c=24,.3k+4k+5k=24..k=2, AD∥BECR,÷e-器. ∴.a=6,b=8,c=10. BC=3 .AB_2 (2)a2+6=100,c2=100,a2+=c2, AC,心BC=3, ,∴.△ABC是直角三角形. 1.1.2成比例的线段 又DE=6号-县…BF=9. 基础在线 4.号5.86.B7.C8.6或12 AB 2 1 AC 6 3 BC 4 1 能力在线 6 3. 9.C10.A11.5 4号-=d=8m AG AB 2-=7m 12.h∥%，…2架-是而AG=4em,AB=2BC 架-2GF=2em 3 cm .AF=AG+GF=4+2=6(cm). DF AC 5 3 5.D6.A 后…a=2 山W6/k心品-能脚品=是∴EF=号 3 cm. 7.是.证明如下： “GF,AF,EF的长分别为2cm,6cm,3cm. 5 四边形ABEF是正方形，.AB=AF, 四边形ABCD是矩形，.AB=CD..AF=CD 13.(1)证明：过点A作AM∥DF交BC于 又AB=5-1 点M, AD 2,=5-1 LAD 2 即点F是AD的黄金分割点， aM/Dr装-架路品 AF-5 AD..DF-AD-AF-3AD. BD-DC...AE_FA ECFB 器52即器= =荒 矩形CDFE是黄金矩形. 由0能路寸 8.B ,FA=10,.FB=30.∴AB=FB-FA=30-10=20. 能力在线 拓展在线 9.C10.A11.8cm12.375 14.过点D作DG∥CA,交BF于点G, 一探究在线·九年 则祭認- :AD=6,AE=3,AB=5,写-53，EF=号 6 :E是AD的中点，GD∥AF, 易证△AEF≌△DEG,.∴EG=EF, .PG-EG-EF- BG-BG2BG10 10.(1)EC∥AB,.∠EDA=∠DAB. EF F 1 3 ∠EDA=∠ABF,∠DAB=∠ABF,AD∥BC. 又：DC∥AB,,四边形ABCD为平行四边形， E_BG+EG_BG+EF_10+3_13 ..CD=AB=6. :.EF EF EF 3 3 (2)证明：EC∥AB, 1.3相似图形 基础在线 ∴△0AA0ED,÷80-8那 1.C2.D3.94°40°24cm44.C .AD∥BC,.△OBF∽△ODA, 5.对应角：∠BAC与∠EAD,∠ABC与∠AED,∠BCA与 ∠EDA, 0888贺0m=0E0r 对应边的比例式是部-品 拓展在线 11.,四边形DEFC是正方形，.DE=DC,DE∥BC 6.B7.B ∴.△ADE∽△ACB,△ADG∽△ACF. 8.·四边形ABCD和四边形EFGH相似， ,./A=/E=60°，a=∠C=90°. CF· 8=360°-(90°+160+60)=50° 设正方形DEFC的边长为x,则DE=DC=x, ,四边形ABCD和四边形EFGH相似， ..EH_EF 器-B即号=号，懈得x=105 AD=AC-DC=15-,∴55=焉解得x=6, 15 ∴.AD=9,DE=CF=6. .a,3的值分别是90°，50°，EH的长度为10.5m. 能力在线 “0票0=0C-答-9 AC 15 9.610.B11.B 1812 12.(1).△ABCp△DAC,.AB:DA=BC:AC :.GE=DE-DG=6-= 又，'AD=3cm,AC=6cm,BC=9cm, 第2课时相似三角形的判定定理1 .AB-AD BC-3X9-4.5(cm). 基础在线 AC 6 1.B2.D3.C4.C5.△ACE△CDE (2):△ABCD△DAC, ,./DAC=/B=36°，/BAC=/D=117° 6.(1)∠BAD(2)号 ∴.∠BAD=∠DAC+∠BAC=36°+117°=153° 7.(1)证明：∠BCA=∠CDA=90° 13.(1).50cm=0.5m,BC=6m,AB=4m, ..∠B+∠BCD=∠BCD+∠ACD=90°， .EF=AB+0.5=4.5(m),FG=BC+0.5×2=7(m) .∠B=∠ACD,.△BCDn△CAD, 89 4 6 .CD_AD BD D,CD=BD·DA. 8 (2),∠ACB=90°，AC=3,BC=4， .AB=V√BC+AC=5. .石子路外边缘的矩形EFGH与矩形小花园ABCD不 '∠BDC=∠ACB=90°，∠B=∠B,.△BDC∽△BCA, 相似. (2)同(1)可知，EF=(4+0.01y)m,FG=(6+0.02x)m. .BC-BD AB_B 'AB-BC BD-BC 16 AS-9,AD=AB-BD=号 当矩形ABCD∽矩形EFGH时，罪一 8. G' 能力在线 即+0y6+0gz∴号-是。 4 6 9.D10.C11.C 12.△ABC和△GAF都是等腰直角三角形， 拓展在线 .∴.∠B=∠C=∠DAE=45 14.(1)A :∠ADC是△ABD的一个外角， (2)①相似比②相似比的平方③相似比的立方 1.4相似三角形的判定 ADeCMABEDADCAE+∠BAD=∠BAE, 第1课时用平行法判定三角形相似 13.(1)证明：，四边形ABCD为菱形， 基础在线 ∴.CD∥AB,AB=CB, 1.△DEC102.D3.D4.C 5.MN∥AB,AM=3MC,∴△CMNc∽△CAB,M=1 ..<ACD=∠CAB,∠CAB=∠ACB: ∠ACD=∠ABE, AC =4 ∴.∠ACD=∠ABE=∠CAB=∠ACB, ACAB,即=38 .MC_MN 4=A8AB=38X4=152(m). ∴.△ABCp△AEB. 答：AB的长为152m. (2②)△AB0△AB,提S即是专解得AB=9 6.DC=BD,且DC=4,∴BD=8,BC=12, 拓展在线 14.(1)15 四边形BDFE是菱形， (2)①证明：如图，在Rt△ABC中， ∴BE=EF=FD=BD=8,EF∥BD. ./B+∠BAC=90°， △AEF∽△ABC.AE=EP AE 8 ABBC,即AE年8 ∠BAC=2∠BAD, ∴.∠B+2∠BAD=90°， AE=16,即AE的长度是16. △ABD是“附余三角形”， 能力在线 ②存在.理由如下： 7.1 8.C ,△ABE也是“附余三角形”， 9.,在△ABC中，EG∥BC,.△AEG∽△ABC, .只有2∠B+∠BAE=90°， AE BCAB .4” /C=/C=90° C-10.E-3AB-5G6 .△CAE∽△CBA,可得CA2=CE·CB, .在△BAD中，EF∥AD,.△BEF∽△BAD CE=9BE=5-9=号 .EF-BE 第3课时相似三角形的判定定理2 adba 基础在线 1.D2.D3.104.(1,0) 级数学（上）·XJ一 13 5..BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上， .∠DBA=∠CAE. 提--器-震-2=专=2， 又ABBD √2 .AB-BC_AC ?√10 CA AE =3,.△ABD∽△CAE. DE EF DF 6.不正确.理由： :由已知条件不能得到能-瓷。 .△ABC∽△DEF(三边成比例的两个三角形相似) .∠DEF=∠CBA=a, .不能证得△AEDc△BEC. 又./CAB=/FDE=135°，./DFE=45°-a. 能力在线 13.:AD是△ABC的高，E,F分别是AB,AC的中点， 7.B8.C9.1 10.(1)证明：易证DE-CE=1 ∴DE=AB,DF=合AC,EF=BC AEBE2· 又：∠DEC=∠AEB,△DCE∽△ABE. 器 =2.△DEF∽△ABC (2)由1)知DC-DE1 拓展在 AB-AE2 14.(1)△ABCc∽△DEF,由三边对应成比例可知 11.∠B=∠D=90, (2)如图. 当AB:PD=BP:CD时，△ABP∽△PDC, 4Bp,解得BP=2或12 6 BP AB:CD=BP:DP时，△ABP∽△CDP, 6 BP -14-Bp,解得BP=8.4. 当以点P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时，BP 微专题1相似三角形的基本模型 的长为2或12或8.4. 1.B 拓展在线 12.(1)证明：过点C作CF⊥AB于点F, 2.(I)证明：ED∥BC,△ADE△ABC.AE=DE .∠A=90°，AB∥CD, 'BE平分∠ABC,∴.∠DBE=∠EBC. .∠D=90°，四边形AFCD为矩形 .ED∥BC,.∠DEB=∠EBC. ..AF=CD=1,BF=1. .∠DBE=∠DEB.∴.DE=BD BC=3,∴.在Rt△BCF中，CF=2√2 ..AE_BD E为AD的中点， AC-BC,即AE·BC=BD·AC ·EA=DE= -AD-CF-/3. (2)△EAD与△EDB在AB边上的高相等， CD_1_V2DE_V2.CD_DE SAADE AD EAV22'AB=2“EA=AB 8DDE6,A4D=9,4g15 :∠D=∠A=90°，∴.△CDE∽△EAB. (2)△CDEc∽△CEB.证明如下： :AB△ADE,器-铝即S-号 69 △CDE∽△EAB,∴∠CED=∠EBA. 故BC=10. ,∠EBA+∠BEA=90°， 3.,∠ADE=∠ACB,∴.180°-∠ADE=180°-∠ACB: ∴∠CED+∠BEA=90°，∴.∠CEB=90° 即∠BDF=∠ECF. 又：∠BFD=∠EFC,∴.△BDF∽△ECF. 在Rt△CDE中，CE=√（√2）2+12=√3， RD-DE 在Rt△EAB中，EB=√/(W2)2+22=√6. EcCF,即8-D =DF=4, 品后器晨店罡器 4.相似.理由如下： EO_DO EO BO BO-CODO-CO' ·∠D=∠CEB=90°，∴.△CDEp△CEB. ∠BOE=∠COD,∠DOE=-∠COB, 第4课时相似三角形的判定定理3 '.△BOEC∽△COD,△DOECOB 基础在线 '.∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO 1.A2.B3.B4.A ∠ADE=∠DCO+∠DEO,∠ABC=∠EBO+∠CBO, 5.(1)12.515(2)128 .∠ADE=∠ABC. 6.∠B=∠AED.理由如下： '∠A=∠A,∴.△ADE∽△ABC :AD=3,AE=6,DE=5,BD=15,CE=3,BC=15, 5.'∠BAC=90°，AD⊥BC, .AC=AE+EC=6+3=9,AB=AD+BD=3+15=18. :∠BAC=∠ADB=9O :∠CBA=∠ABD,∴△ABCD△DBA. AB DB ÷己侣-瓷ADEAACB. -品器∠BAD=∠C AD⊥BC,E为AC的中点， ∴.∠B=∠AED. 1湘理由：品-器-器：△ABC∽△DBE, .DE=EC,∴.∠BDF=∠CDE=∠C, DFDBEADF .∠ABC=∠DBE, .AB_DF ∴.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, .DB-DE AD=AF·AC=AF 即∠ABD=∠CBE, 6.(1):∠DAB=∠EAC,.∠DAE=∠BAC AB_BC 品部器 又·∠ADE=∠ABC,.△ADE∽△ABC. (2).'△ADE∽△ABC, ∴.△ABDC∽△CBE. 8.A 铝能罡怨 ·AEAC 能力在线 9.D10.C.△DEF号 又·∠DAB=∠EAC,∴△ADBn△AEC.AP=BD AE CE 7.D 12.根据勾股定理可知，AB=2√2，BC=2I0,DE=√2，EF 8.(1)证明：，AB=AC,∴.∠B=∠C =/10,又AC=4,DF=2, .'∠APC=∠B+∠BAP,∠APC=∠APD+∠CPD: ∠APD=∠B,∴∠BAP=∠CPD, F∠B=ZC,.△ABPOAPCD. 14 一探究在线·九 (2):BC=12,点P为BC的中点，.BP=PC=6, ..PA:PB-PE:PF, :△ABP∽△PCD,P光 ,即0-6 AB BP 6CD EC=PF,路器-D PBPE 解得CD=3.6. 在△ECP和△CNM中， (3)当△APD为等腰三角形时，BP的长为2或号. ,CP⊥MN于点Q,.∠QCN+∠QNC=90° 又∠QCN+∠QCM=90°，∴.∠QCM=∠QNC, 微专题2相似三角形中常见辅助线的作法 1.连接DF. RAPECRMCN系-器 E,F是边BC上的两个三等分点， ..BE=EF=FC 即瓷兴② D是AC的中点，∴AD=CD. .DF是△ACE的中位线. 由①@，得路兴，则PA:PB=CMCN ∴DF∥AE,且DF=AE∴DF∥PE 7.延长GF,AC交于点H, CD⊥AB,FG⊥AB,.CD∥FG, _BP .∴.△AFG∽△AED, △BEP∽△BFD.B能 △AFH∽△AEC. .'BF=2BE,.'.BD=2BP..'BP=PD .AF-EG AF-FH FG FH DF∥AE.APD品-8部 AE-ED'AE-EC.∴-C 又E为CD的中点，.ED=EC,.FG=FH 设PE=a,则DF=2a,AP=AE-PE=3a. 易证得Rt△CFH∽Rt△GFB, ..PQ:QD-AP:DF-3:2. .BP:PQ:QD=5:3:2 器票PGFH=CBE 2.过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G :FG=FH,∴FG=FC·BF .CG∥AB,.∠DAF=∠G. 阶段测评1(1.2~1.4) 又D为CF的中点，∴CD=DF ∠DAF=∠G, 1.C2.A3.D4.C5.B6.C.号 8.8 在△ADF和△GDC中，{∠ADF=∠GDC, DF-DC, 9.∠C=∠E或∠B=∠ADE(答案不唯-)10，司 .△ADF≌△GDC(AAS).∴.AF=CG ,BF:AF=3:2,∴.AB:AF=5:2. 12.①③ AB∥CG,∴△ABEn△GCE. BE AB AB 5 EC CG AF 2 3.(1)作AG∥BC,交BE的延长 1,:矩形ABCD与矩形DEPC相似是-S, 线于点G, 即品号DE-号 .'AG∥BC,.△AGF∽△DBF .AF=4DF,∴.AG=4BD. D ·AE=AD-DE=5-4=21 5 .CD=3BD,.BC=4BD,.'.AG=BC. AE_AG-1. 14.(1)证明：：∠AED=∠B,∠DAE=∠BAC, 又AG∥BC,.△AGEn△CBE,C=BC ∴.∠ADF=∠C. (2)证明：BD2=DF·AD,ADBD: .BD DF 又：ADDF AC=CG△ADF∽△ACG ∠BDF=∠ADB,.△BDF∽△ADB, (2 AADF△ACG÷把-沿-，即能 =1 FG ∴.∠BAD=∠FBD. 又：∠ABD=∠ACB,.△ABD△BCE, 15.(1)证明：四边形ABCD是正方形， 2说CE,AB=D,AC .∠B=90°，AD∥BC,AD=AB..∠EAM=∠AMB EF⊥AM,.∠AFE=90°..∠AFE=∠B. 又.'AB=AC,BC=4BD, ∴.△ABMp△EFA. (2)在Rt△ABM中，AM=√AB2+BM=13. CE·AC=BC·BC,BC=4CE·AC 4.过点C作CF∥AB交DP于点F, :点F是AM的中点，AF=合AM= 2 13 △PBD∽△PCE.Bg=B CF NAD∥CF,.∠ADE=∠EFC. △EFAn△ABM,AE 品即背-言， AF」 .'AD=AE,∴.∠ADE=∠AED 解得AE=16.9, '∠AED=∠CEP,∴∠EFC=∠CEP ..DE=16.9-12=4.9. Ec-cR部肥 1.5 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的性质定理1 5.(1)证明：由∠BAC=∠BEF=90°，得∠1+∠AEB=∠2 基础在线 +AEB=90°，，./1=/2. 1.A (2)过点F作FG⊥AC于点G, 2..AC平分∠BAD,·∠BAC=∠CAD, 由(1)知，∠1=∠2，.△ABEp△GEF :4B :∠ABC=∠ACD,△BACD△CAD, -2， :BMLAC..CNLAD,兴-把即景-号 ..GE=2GF .CN=1.8. 由作图知，△GFC为等腰直角三角形， 3.A ..GF=CG,.GE=2CG. 4.:△ABC∽△DEF,AM,DN分别是△ABC,△DEF的角 “E为AC的中点，名行 平分线器-器 Gp∥AB器=8 .AB=10 cm,DE=5 cm,AM=12 cm, 6.过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥CB D-6 cm. 于点F,则四边形CEPF为矩形. 5.A .PF∥EC,PF=EC .∠A=∠B=45°， 6是- =2,∠A=∠D, '.Rt△AEP∽Rt△BFP, ,∴.△ABC∽△DEF,且相似比为2：1. 级数学（上）·XJ一