2.4 自由落体运动（培优考点练）物理人教版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础题型到高考真题梯度递进，覆盖自由落体运动全知识点，注重物理观念与科学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题型培优练|自由落体特征、规律、图像及竖直上抛基础|以选择、填空为主，如特征辨析题巩固运动观念，规律应用题培养科学推理| |拓展综合练|实验探究与多过程运动综合|含测量重力加速度实验题，如梯子下落测g，提升科学探究能力| |高考真题练|高考核心考点|选用高考真题，如2024广西题，衔接测评，体现科学本质观| |新题追踪练|生活与科技情境应用|结合水火箭、跳水等实际情境，如全红婵跳水运动分析，强化社会责任|

2.4 自由落体运动 ————————————⏩答案版⏪———————————— ✍题型培优练 ✏题型01 自由落体运动的特征 1．A 2．D ✏题型02 自由落体运动的规律及应用 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C 8．AD 9．AD 10．(1) (2) (3) 【详解】（1）小球做自由落体运动，由      代入数据得 （2）由运动学公式得    代入数据得小球下落2s时的速度 （3）前10s内的位移大小为    代入数据得 故最后2s内的位移大小为     代入数据得 11．(1) (2) (3) 【详解】（1）运动员前6s做自由落体运动，则有 代入数据可得 （2）运动员打开降落伞时的速度为 打开伞后运动员做匀减速运动，速度最终为零，则有 故飞机离地的高度为 （3）当物体速度和运动员速度相等时，两者相距最远，设物体经过，则有 解得 物体落地前和运动员间最远的距离为 代入数据解得 ✏题型03 自由落体运动的图像问题 12．C 13．C 14．D 15．C ✏题型04 竖直上抛运动的规律及其应用 16．B 17．A 18．C 19．C 20．(1)9.8m (2)能追上；时间 【详解】（1）若不考虑无人机对小球的影响，根据 代入数据，解得小球抛出后上升的最大高度为 （2）设经过时间，小球与无人机速度相同，则有 解得t=1.2s 在这段时间内小球上升的高度为，无人机上升的高度为，则有， 可知 所以小球能追上无人机。设小球与无人机相遇的时间为，则有 联立解得（舍去）或 21．(1) (2)20m/s，方向向下 (3)75m 【详解】（1）气球初始阶段做匀加速直线运动，由，解得 （2）分离时钢球的速度 分离后钢球做竖直上抛运动，取向上为正方向，分离后钢球的位移为，由 解得（舍去负根） 落地速度 即速度大小为20m/s，方向向下。 （3）分离后气球的加速度 3s内气球的位移 钢球落地时距离气球 22．(1) (2)35m或65m 【详解】（1）根据速度位移关系可得， 解得，，则 （2）小球A第一次下落的时间，解得 设小球A反弹到距地面高度处时间为，则有 代入数据得（上升过程）或（下降过程） 若在小球A上升过程相遇，相遇时小球B下落的高度 若在小球A下降过程相遇，相遇时小球B下落的高度 故小球B的释放高度或 ✍拓展综合练 23．(1) (2)不需要 (3) 【详解】（1）此梯阶通过光电门时的速度 （2）本实验是通过测量梯阶通过光电门的时间等数据来计算加速度，梯阶通过光电门时间极短，空气阻力影响极小，所以不需要考虑梯子下落所受的空气阻力。 （3）[1][2]设第一梯阶中心到光电门距离为，则有 因为 整理得 结合图像可知斜率为 解得 图像纵截距为 解得 则第一个梯阶通过光电门的速度 联立解得 24．(1) (2)若小球刚好到最高点时，小车由静止开始向右做匀加速直线运动，则小球下落至地面时，小车通过的位移大小为 由于，则小车会被小球砸到； 。 【详解】（1）设小球从最高点下落至地面所用的时间为t，最大高度为h，则有， 解得， 则小球抛出点离地面的高度为 （2）若小球刚好到最高点时，小车由静止开始向右做匀加速直线运动，则小球下落至地面时，小车通过的位移大小为 由于 则小车会被小球砸到；小球砸到小车上的位置到M点的距离为 25．(1) (2) (3)圆管长度大于或等于 【详解】（1）根据自由落体运动规律有 解得管第一次下落到地面所用时间 （2）管第一次碰地前与球的速度大小相同。碰地前的瞬间它们的速度大小均为 方向均向下。管弹起的瞬间，管的速度反向，球的速度方向依然向下。设自弹起时经过时间，管与小球的速度刚好相同。取向上为正方向，由运动学公式有 解得 设此时管下端的高度为，速度为v。由运动学公式有 由此判断此时v>0。此时，管与小球将以加速度g减速上升，到达最高点。由运动学公式有 设管第一次落地弹起后上升的最大高度为，则 联立以上各式可得 （3）由第(2)问可知第一次弹起上升至速度相等过程中管上升的高度为 此过程中小球的位移 联立解得 设第一次弹起上升至最大高度过程中，小球在管中下降的距离为，则 联立解得 同理可得第二次弹起上升至最大高度过程中，小球在管中下降的距离 设圆管长度为L，管第二次落地弹起后的上升至最大高度过程中，球不会滑出管外的条件是 联立以上各式解得 26．(1) (2) (3) 【详解】（1）小球做竖直上抛运动，上升到最高点时速度为0，根据竖直上抛运动速度—位移公式可知，解得 小球初始离地面高度为，故最大高度为 （2）以向上为正方向，地面为原点，分析小球和空管的位移，小球的位移（竖直上抛）为 空管的位移为 可见1s时，小球还未穿过空管，此时小球的速度为 空管长度，结合相对运动分析，后设穿过时间为，由 解得 总穿过时间为 （3）空管的加速度为 空管先匀加速，再匀速运动，则有，解得 空管落地时小球到达A端，由小球位移公式，解得 27．(1)，方向为竖直向下 (2) (3) 【详解】（1）以竖直向下为正方向，弹跳球从静止释放，下落过程，解得 弹跳球撞地面后竖直向上跳起 ，解得 弹跳球从静止释放至第一次反弹到最高处的时间 弹跳球从静止释放至第一次反弹到最高处的平均速度，方向为竖直向下。 （2）弹跳球与地面第一次碰撞前的速率 弹跳球与地面第一次碰撞后的速率，联立解得 （3）要想反弹至，设弹跳球反弹后的速度为，释放时的速度为，则 解得 要想反弹至，设弹跳球反弹后的速度为，则 设弹跳球释放时的速度为，则，解得 所以弹跳球释放时的速度范围为~ 28．(1)， (2)， (3) ✍高考真题练 29．A 30．B 31． 非线性 ✍新题追踪练 32．D 33．BC 34．D 35．(1)25m/s2，方向竖直向上 (2)8.1m/s 【详解】（1）入水前过程，做自由落体运动，则有 解得入水时的速度 取竖直向下为正方向 全红婵入水后匀减速到最低点的过程，可得 解得 可知加速度大小为，方向竖直向上 （2）从全红婵开始下落时计时，全红婵做自由落体运动所用时间为 匀减速运动时间为 此时离水面的深度为 她在前1.7s的平均速度 36．(1) (2) (3)，方向竖直向下 【详解】（1）设小球距点的高度为 解得 小球距地面的高度 解得 （2）方法一：设小球上升的时间为，下降的时间为，上升的最大高度为， 解得 解得 自由落体过程 解得 所以小球从抛出到落到地面的时间 方法二：取向上为正方向 对全程 解得 （3）设第1个小球抛出后经过时间后两球相遇 第1个小球位移 第2个小球位移 满足 解得 此时第1个小球的速度为 解得 所以第1个小球的速度大小为，方向竖直向下。 37．(1) (2) (3) 【详解】（1）设第一次碰撞前小球的速度大小为v，由自由落体运动公式可得 解得 （2）设小球与圆盘第一次碰撞与第二次碰撞的时间间隔为。此过程中小球与圆盘的位移相同，已知碰后瞬间小球与圆盘速度大小均为碰撞前瞬间小球速度大小的一半，小球的速度方向相反，取向下为正，对圆盘有 对小球有 联立解得 （3）小球与圆盘第二次碰撞前，当小球与圆盘速度相等时两者距离最远。设第一次碰撞后，经时间两者速度相等，则有 解得 则小球与圆盘间的最远距离为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 自由落体运动 ————————————⏩目录⏪———————————— 目录 ✍题型培优练 1 ✏题型01 自由落体运动的特征 1 ✏题型02 自由落体运动的规律及应用 1 ✏题型03 自由落体运动的图像问题 4 ✏题型04 竖直上抛运动的规律及其应用 5 ✍拓展综合练 7 ✍高考真题练 7 ✍新题追踪练 11 ✍题型培优练 ✏题型01 自由落体运动的特征 1．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．古希腊哲学家亚里士多德认为物体越重，下落得越快 B．笛卡尔认为如果没有空气阻力，重物与轻物应该下落得同样快 C．重力加速度的方向指向地心，地球表面不同的地方重力加速度一般不同 D．物体只在重力作用下的运动一定是自由落体运动 2．（24-25高一上·吉林·期中）关于自由落体运动，下列说法中正确的是（　　） A．做自由落体运动的物体不受任何外力作用 B．物体受到的重力越大，下落的速度就越快 C．加速度为自由落体加速度的运动就是自由落体运动 D．在空气中从静止释放物体，若阻力相比于重力可以忽略，可以视为自由落体运动 ✏题型02 自由落体运动的规律及应用 3．（25-26高一上·江苏·阶段检测）宇航员在某星球上完成自由落体运动实验：让一个质量为2kg的小球从一定的高度自由下落，测得在第内的位移是，则（     ） A．该星球表面的重力加速度为 B．物体在末的速度是 C．物体在第内的位移是 D．物体在内的位移是 4．（25-26高一上·浙江台州·阶段检测）某款“眼疾手快”玩具可用来锻炼人的反应能力与手眼协调能力。如图所示，该玩具的圆棒长度L=0.25m，游戏者将手放在圆棒的正下方，手（视为质点）离圆棒下端的距离h=1.0m。不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2。以圆棒由静止释放时为0时刻，则游戏者能抓住圆棒的时刻可能是（     ） A．0.35s B．0.45s C．0.55s D．0.65s 5．（25-26高一上·广东江门·期中）从距地面一定高度处自由释放一个小球（可视为质点），最后1s内位移是第1s内位移的7倍，重力加速度g取10m/s2，则小球释放点距地面的高度为（　　） A．25m B．30m C．45m D．80m 6．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）雨后，屋檐还在不断滴着水滴。如图所示，小红同学认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落，每隔相等时间滴下一水滴，水滴在空中的运动情况都相同，某时刻起，第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时，第5颗水滴恰欲滴下。她测得，屋檐到窗台下边沿的距离为H=3.2m，窗户的高度为h=1.4m。不计空气阻力的影响，重力加速度g=10m/s2。则下列结论正确的是（     ） A．每隔0.15s滴下一水滴 B．水滴经过窗户的时间0.8s C．水滴经过窗户的平均速度为7m/s D．水滴下落到达窗台下边沿时的速度大小6m/s 7．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，悬停在空中的无人机释放一重物，当重物下落的距离分别为、、时，下列判断正确的是（不计空气阻力）（     ） A．所用时间之比为 B．速度变化量大小之比为 C．末速度大小之比为 D．平均速度大小之比为 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）（多选）利用水滴下落可以粗略测量重力加速度 的大小。调节家中水龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方放一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水刚碰到盘子时，恰好有另一滴水开始下落，而空中还有一滴水正在下落。测出水龙头出水口到盘子的高度为，从第1滴水开始下落到第滴水开始下落，所用时间为 。下列说法正确的是（     ） A．一滴水在空中运动的时间为 B．相邻两滴水开始下落的时间间隔为 C．此地重力加速度的大小为 D．第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为 9．（24-25高一上·云南·期中）（多选）如图所示，有三架无人机静止在空中，离地面的高度分别为3h、2h、h。若同时由静止释放小球a、b、c，小球与地面碰撞后速度大小不变，方向反向，不计空气阻力，重力加速度为g。若不计小球与地面的碰撞时间，则下列说法正确的是（　　） A．a、b、c第一次与地面碰撞前下落时间之比为 B．a、b、c第一次落地时速度大小之比为3∶2∶1 C．a与b第一次落地的时间差等于b与c第一次落地的时间差 D．从开始下落开始计时，b、c经过时间第一次距地面高度相同 10．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）从离地面的空中自由落下一个小球，不计空气阻力，取。求： (1)小球经过多长时间落到地面； (2)小球下落2s时的速度； (3)自小球开始下落计时，求小球在最后2 s内的位移大小 11．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在某次极限运动表演时，某一极限跳伞运动员从悬停的飞机中跳下，做自由落体运动。6s后打开降落伞，打开伞后运动员做匀减速运动，加速度大小为。而此时飞机上不慎落下一个物体，物体也做自由落体运动。运动员最终落地，速度刚好为0，当地重力加速度，求： (1)运动员前6s下落的高度； (2)飞机离地的高度； (3)物体落地前和运动员间最远的距离。 ✏题型03 自由落体运动的图像问题 12．（24-25高一上·云南文山·开学考试）下列四幅图分别为速度v，下降高度h，以及加速度a随时间的变化关系，其中能反映自由落体运动规律图像的是（    ） A．B．C．D． 13．（23-24高一上·重庆南岸·期中）高一年级两位同学探究自由落体运动。他们让两个小球（半径很小，密度很大）从两个不同高度处自由下落，结果同时到达地面，如图所示四幅图中，能正确表示它们的运动的是（　　） A．B．C． D． 14．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）在地面上某处将一金属小球竖直向上抛出，上升一定高度后再落回原处，若不考虑空气阻力，则下列图像能正确反映小球的速度v、加速度a、位移x和速率v′随时间变化关系的是(取向上为正方向)（     ） A． B． C． D． 15．（24-25高三·河北·三轮复习）河北蔚县被誉为打铁花的发源地之一，在某次表演过程中，将部分铁花上升的过程简化为竖直上抛运动，不计空气阻力，每个铁花的质量大小都相同，则铁花竖直上抛运动过程中速度的变化量与到达楼层之间的关系满足下列哪幅图像（　　） A． B． C． D． ✏题型04 竖直上抛运动的规律及其应用 16．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图所示，两端点分别为A、B，长L=1m的金属细杆在距地面H=40m处以v0=10m/s竖直上抛，同时在AB上方略微错开的竖直线上处有一可视为质点的小球C由静止释放，不计空气阻力及落地后的运动，g取10m/s2，则可知（　　） A．杆能上升的最大位移为10m B．杆从抛出到落地共用时4s C．若h=15m，则C与A相遇时杆的速度方向向上，与杆相遇共用时0.1s D．稍降低BC之间距离h后，小球C从A端运动到B端的用时将增加 17．一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高点B的时间间隔是TB，则A、B两点之间的距离为（　　） A． g（TA2－TB2） B． g（TA2－TB2） C． g（TA2－TB2） D． g（TA－TB） 18．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）音乐喷泉随着音乐变换，竖直向上喷出的水柱可以高达几十米，现有一音乐喷泉，喷出的水经 2s 到达最高点，把水喷射的总高度分成四等份，水通过第一个等份高度用时记为 t₁，通过最后一个等份高度用时记为 t₂，不计空气阻力，则 满足（　　） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·四川成都·开学考试）如图所示，两根长度均为的细杆、，两杆不在同一竖直线上图中未体现 杆从高处自由下落，杆同时从地面以的初速度竖直上抛，两杆开始运动前杆的下端和杆的上端相距，在运动过程中两杆始终保持竖直。。则以下说法正确的是（     ） A．经过，两杆刚好相遇 B．经过，两杆恰好分离 C．两杆相遇但不相碰到分离的时间是 D．两杆相遇但不相碰时，杆已经开始下降 20．（25-26高一上·山东临沂·期中）在开展课外活动时，小李同学遥控一小型无人机匀速竖直上升，速度为2m/s，某时刻在无人机的正下方距无人机6m处有一小球以14m/s的初速度竖直上抛，g取，不计小球受到的空气阻力。 (1)若不考虑无人机对小球的影响，求小球抛出后上升的最大高度； (2)小球能否追上无人机?若追不上，说明理由；若能追上，求相遇的时间。 21．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）气球带一小钢球从地面由静止匀加速上升3s后离地面15m，此时钢球与气球发生分离，分离后气球的加速度变为原来的两倍；经过一段时间后钢球落地，不计空气阻力，g取10m/s2，求： (1)气球初始的加速度大小； (2)小钢球落地的速度； (3)钢球落地时距离气球多远？ 22．（25-26高二下·辽宁营口·阶段检测）某同学做弹力球实验，将小球A从距地面的高度处由静止释放，同时将小球B从另一高度h2处由静止释放，小球B与地面碰撞后不反弹，小球A与地面碰撞后反弹，反弹后上升的最大高度为。若不计空气阻力，小球A与地面碰撞时间忽略不计，重力加速度，求： (1)小球A落地前瞬间与落地后离开地面瞬间的速度大小之比； (2)若从小球A第一次落地后到第二次落地前，两球能同时到达距地面3.75 m的高度处，求小球B的释放高度h2。 ✍拓展综合练 23．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）为测量长春某一中学所在地自由落体运动的加速度，一同学将一纯铜材料制作梯阶等间距的梯子模型通过细线悬挂在铁架台上，如图甲、乙所示，在梯子下端梯阶（第一个梯阶）中心P点正下方固定一个光电门。实验步骤如下： ①测出梯阶（遮光条）的宽度d；用刻度尺量出相邻两个梯阶中心Q点到P点距离h； ②让梯子由静止开始自由下落，每个梯阶依次通过光电门时的遮光时间分别用t1、t2、t3tn，表示。回答下列问题： (1)若某个梯阶通过光电门时的遮光时间为t，则此梯阶通过光电门时的速度v=__________（用题中所给的字母表示）； (2)实验中___________（填“需要”或“不需要”）考虑梯子下落所受的空气阻力； (3)根据实验记录的多组数据tn，作出图像如图丙所示，则第一个梯阶通过光电门的速度v1=___________，重力加速度大小g=____________。（用a、b、c、d和h表示） 24．（24-25高一上·安徽合肥·期中）如图所示，在离地面高H处以的速度竖直向上抛出一个可视为质点的小球，距离小球抛出点的正下方处有一辆长的静止小车，已知小球落地前最后1s内下落的高度为25m，忽略空气阻力及小车的高度，重力加速度g取。 (1)求小球抛出点离地面的高度H； (2)若小球刚好到最高点时，小车由静止开始向右做匀加速直线运动，通过计算说明小车是否会被小球砸到。若能，求小球砸到小车上的位置到M点的距离。若不能，求小球落地点到M点的距离。 25．（25-26高一上·重庆万州·阶段检测）如图，竖直圆管，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一小球，现由静止释放，圆管与小球一起相对静止自由下落，后续圆管会与地面发生多次碰撞，每次圆管与地面碰撞前后速度大小不变、方向相反，且每次碰撞时间极短，在运动过程中，管始终保持竖直。由于管与球之间有摩擦，管每次与地面碰撞后，管的加速度大小为2g，方向竖直向下，球的加速度大小为3g，方向竖直向上，每次达到共速后管与球相对静止一起运动，加速度为重力加速度。已知重力加速度为，不计空气阻力。 (1)求管第一次下落到地面所用时间； (2)求管第一次落地弹起后，球没有从管中滑出，求管上升的最大高度； (3)若管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。 26．（25-26高一上·山西太原·期中）如图甲所示，长为的竖直空管下端离地面高，空管在外界控制下由静止开始竖直向下运动的图像如图乙。时，空管下端处一小球以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)若小球初速度为，小球上升过程中离地面的最大高度； (2)若小球初速度为，小球从空管内穿过的时间； (3)若空管落地时，小球恰好到达空管的端，小球初速度的大小。 27．（25-26高一上·浙江温州·期中）课外活动同学们玩起了抛球游戏。如图是游戏的示意图，其中弹跳球是一种高弹性橡胶制成的玩具小球。游戏规则如下：将弹跳球（可视为质点）从离地高为处竖直向下抛出，撞向地面后竖直向上跳起，如果弹跳球第一次跳起最高点在距离地面、高的中空塑料管内，则视为游戏成功。已知塑料管竖直放置，两边开口，中轴线在球运动轨迹方向，且球运动过程中不接触管壁。当弹跳球静止释放时，落地后与地面第一次碰撞时间为，与地面发生一次碰撞后反弹至离地的最高处。假设弹跳球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，弹跳球运动过程中所受空气阻力可忽略不计（重力加速度取，结果可用根式表示），试求： (1)弹跳球从静止释放至第一次反弹最高处的平均速度； (2)弹跳球与地面第一次碰撞前后的速率之比； (3)要使游戏成功，求释放时的弹跳球的速度范围。 28．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）如图所示，现用一个支架固定一小球释放器，每次从释放器底面释放的小球无初速度且可视为质点，在释放器上装有反射式位移传感器，可以测出并记录小球与释放器底面的距离。释放器底面距地面H，重力加速度为g，所有小球与地面的碰撞均为弹性碰撞，忽略碰撞时间，不计空气阻力。 (1)若某时刻释放小球A并开始计时，求小球A第一次与地面碰后，上升到最高点之前，经过多长时间小球的速度大小变为，以及此段时间内小球的位移大小； (2)若某时刻释放小球并开始计时，假设位移传感器每隔相等时间T记录一次数据，调节H，发现每次记录的数据都相同，设s为记录数据时小球离释放器底面的距离，求H和各H值相应的s的可能值； (3)先后释放、B、C三个小球，三小球释放位置很接近但不重合（运动过程中小球不会发生碰撞），相邻两球释放的时间间隔相同（未知，H已知），且，全程A、B之间的最远距离为，规定两小球相向运动到同一高度为“相遇”。求从C球释放后到、B两球第2027次相遇前，有多长的时间球在、C两球之间，且、C球之间的距离。 ✍高考真题练 29．（2026·四川·高考真题）小车在水平地面上做匀速直线运动。零时刻、站在小车上的甲沿与小车运动方向平行的方向抛出一个小球，乙站在小车侧方水平地面上观测到小球做直线运动直至落地。忽略空气阻力。则（     ） A．乙观测到小球的运动轨迹与地面垂直 B．乙观测到小球的加速度为零 C．甲抛球方向与小车前进方向相同 D．小球相对地面的初速度不为零 30．（2024·广西·高考真题）让质量为的石块从足够高处自由下落，在下落的第末速度大小为，再将和质量为的石块绑为一个整体，使从原高度自由下落，在下落的第末速度大小为，g取，则（　　） A． B． C． D． 31．（2024·贵州·高考真题）智能手机内置很多传感器，磁传感器是其中一种。现用智能手机内的磁传感器结合某应用软件，利用长直木条的自由落体运动测量重力加速度。主要步骤如下： （1）在长直木条内嵌入7片小磁铁，最下端小磁铁与其他小磁铁间的距离如图（a）所示。 （2）开启磁传感器，让木条最下端的小磁铁靠近该磁传感器，然后让木条从静止开始沿竖直方向自由下落。 （3）以木条释放瞬间为计时起点，记录下各小磁铁经过传感器的时刻，数据如下表所示： 0.00 0.05 0.15 0.30 0.50 0.75 1.05 0.000 0.101 0.175 0.247 0.319 0.391 0.462 （4）根据表中数据，在答题卡上补全图（b）中的数据点，并用平滑曲线绘制下落高度h随时间t变化的图线_____。 （5）由绘制的图线可知，下落高度随时间的变化是_____（填“线性”或“非线性”）关系。 （6）将表中数据利用计算机拟合出下落高度h与时间的平方的函数关系式为。据此函数可得重力加速度大小为_____。（结果保留3位有效数字） ✍新题追踪练 32．（25-26高一上·河南开封·期末）2024年1月19日，河南省境内迎来新年的第一场降雪，本次降雪范围广且降雪量大。假设一雪花从500m高空从静止下落，则该雪花下落的时间可能为（     ） A．8s B．10s C．12s D．400s 33．（25-26高一上·湖南长沙·期末）（多选）如图所示，在一个桌面上方有三个金属小球、、，离桌面高度分别为。若先后顺次静止释放、、，三球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则下列说法正确的是 A．三者到达桌面时的速度之比是 B．三者运动的平均速度之比是 C．三者运动的时间之比是 D．与开始下落的时间差大于与开始下落的时间差 34．（25-26高一上·河南安阳·期末）同学们制作的水火箭原理图如图所示，发射时利用压缩空气把水从火箭尾部的喷嘴向下高速喷出，火箭受到反冲作用而高速升空。假设水火箭以大小为的加速度从地面由静止开始竖直匀加速上升，上升8m后无动力上升到最大高度，重力加速度g取，忽略空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．水火箭上升的最大高度为14.4m B．水火箭上升的最大高度为16m C．水火箭上升过程所用总时间为3.6s D．水火箭上升过程所用总时间为2.8s 35．（25-26高一上·广东江门·期末）2025年11月2日晚，第十五届全运会跳水赛场，全红婵与队友王伟莹携手夺下女子双人10米台金牌，助广东队卫冕女团冠军（如图甲）。假设全红婵（可视为质点）起跳离开跳板后在一条直线上运动，某次从最高点到入水后匀减速到最低点的过程示意图如图乙所示，最高点至水面高度h1=11.25m，水面至最低点高度h2=4.5m，不计空气阻力，重力加速度为g=10m/s2，求： (1)全红婵入水后匀减速到最低点这个过程的加速度大小； (2)从全红婵开始下落时计时，求她在前1.7s的平均速度大小（保留两位有效数字）。 36．（25-26高一上·山东青岛·期末）某同学练习抛接球杂技。时，他将一小球从距地面处的O点以初速度竖直向上抛出。小球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度。 (1)时，求小球距地面的高度； (2)若该同学未能接住小球，求小球从抛出到落到地面的时间； (3)若该同学在时从O点以相同速度抛出第2个小球，求两球相遇时第1个小球的速度大小和方向。 37．（25-26高一上·四川绵阳·期末）如图所示，竖直固定的足够长直圆管内有一静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为0.8m。一个小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，碰撞时间极短，碰后瞬间小球与圆盘速度大小均为碰撞前瞬间小球速度大小的一半，小球的速度方向相反，碰后圆盘在管中向下匀速滑动。小球在管内运动时与管壁不接触，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求： (1)小球与圆盘第一次碰撞前瞬间的速度大小； (2)小球与圆盘第一次碰撞与第二次碰撞的时间间隔； (3)小球与圆盘第二次碰撞前，小球与圆盘间的最远距离。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 自由落体运动 ————————————⏩目录⏪———————————— 目录 ✍题型培优练 1 ✏题型01 自由落体运动的特征 1 ✏题型02 自由落体运动的规律及应用 2 ✏题型03 自由落体运动的图像问题 8 ✏题型04 竖直上抛运动的规律及其应用 10 ✍拓展综合练 15 ✍高考真题练 15 ✍新题追踪练 25 ✍题型培优练 ✏题型01 自由落体运动的特征 1．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．古希腊哲学家亚里士多德认为物体越重，下落得越快 B．笛卡尔认为如果没有空气阻力，重物与轻物应该下落得同样快 C．重力加速度的方向指向地心，地球表面不同的地方重力加速度一般不同 D．物体只在重力作用下的运动一定是自由落体运动 【答案】A 【详解】A．古希腊哲学家亚里士多德根据生活经验最早提出“物体越重，下落得越快”的观点，符合物理学史实，故A正确； B．提出“没有空气阻力时，重物与轻物下落得同样快”的科学家是伽利略，不是笛卡尔，故B错误； C．重力加速度的方向是竖直向下，仅在赤道和两极位置才指向地心，其余位置不指向地心，仅后半句“地球表面不同地方重力加速度一般不同”表述正确，整体选项错误，故C错误； D．自由落体运动的判定条件是：物体只受重力、且初速度为0。仅满足“只受重力”时，若初速度不为0（如竖直上抛运动），不属于自由落体运动，故D错误。 故选A。 2．（24-25高一上·吉林·期中）关于自由落体运动，下列说法中正确的是（　　） A．做自由落体运动的物体不受任何外力作用 B．物体受到的重力越大，下落的速度就越快 C．加速度为自由落体加速度的运动就是自由落体运动 D．在空气中从静止释放物体，若阻力相比于重力可以忽略，可以视为自由落体运动 【答案】D 【详解】A．做自由落体运动的物体只受重力作用，并非不受任何外力，故A错误； B．自由落体运动的加速度g是恒定的，与物体重力大小无关，轻、重物体下落一样快，故B错误； C．自由落体运动不仅要求加速度为自由落体加速度，还要求初速度为0且只受重力，故C错误； D．在空气中从静止释放物体，若阻力相比于重力可以忽略，物体就近似只受重力，初速度为0，可以视为自由落体运动，故D正确。 故选D。 ✏题型02 自由落体运动的规律及应用 3．（25-26高一上·江苏·阶段检测）宇航员在某星球上完成自由落体运动实验：让一个质量为2kg的小球从一定的高度自由下落，测得在第内的位移是，则（     ） A．该星球表面的重力加速度为 B．物体在末的速度是 C．物体在第内的位移是 D．物体在内的位移是 【答案】D 【详解】A．第内的位移是，根据自由落体运动规律有 其中， 代入数据解得，故A错误； B．物体在末的速度，故B错误； C．小球在第内的位移，故C错误； D．物体在内的位移是，故D正确； 故选D。 4．（25-26高一上·浙江台州·阶段检测）某款“眼疾手快”玩具可用来锻炼人的反应能力与手眼协调能力。如图所示，该玩具的圆棒长度L=0.25m，游戏者将手放在圆棒的正下方，手（视为质点）离圆棒下端的距离h=1.0m。不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2。以圆棒由静止释放时为0时刻，则游戏者能抓住圆棒的时刻可能是（     ） A．0.35s B．0.45s C．0.55s D．0.65s 【答案】B 【详解】圆棒由静止释放后做自由落体运动，设经过时间圆棒下落的距离为，当手所在位置处于圆棒的上、下端之间时能够抓住圆棒，因此有 根据自由落体运动规律有 联立解得 代入、、，解得 四个选项中只有在此时间范围内。 故选B。 5．（25-26高一上·广东江门·期中）从距地面一定高度处自由释放一个小球（可视为质点），最后1s内位移是第1s内位移的7倍，重力加速度g取10m/s2，则小球释放点距地面的高度为（　　） A．25m B．30m C．45m D．80m 【答案】D 【详解】小球第1s内的位移 因此最后1s内位移 设小球总下落时间为，则 化简解得 因此 故选D。 6．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）雨后，屋檐还在不断滴着水滴。如图所示，小红同学认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落，每隔相等时间滴下一水滴，水滴在空中的运动情况都相同，某时刻起，第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时，第5颗水滴恰欲滴下。她测得，屋檐到窗台下边沿的距离为H=3.2m，窗户的高度为h=1.4m。不计空气阻力的影响，重力加速度g=10m/s2。则下列结论正确的是（     ） A．每隔0.15s滴下一水滴 B．水滴经过窗户的时间0.8s C．水滴经过窗户的平均速度为7m/s D．水滴下落到达窗台下边沿时的速度大小6m/s 【答案】C 【详解】水滴做自由落体运动，设水滴从屋檐到窗台下边沿所用时间为，根据自由落体位移公式 代入，可得，总时间 解得 A．计算得滴水间隔为，不是，故A错误； B．屋檐到窗户上沿的距离为，由 解得水滴从屋檐下落到窗户上沿的时间 因此水滴经过窗户的时间为，不是，故B错误； C．根据平均速度定义，水滴经过窗户的平均速度，故C正确； D．水滴到达窗台下边沿的速度，故D错误。 故选 C。 7．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，悬停在空中的无人机释放一重物，当重物下落的距离分别为、、时，下列判断正确的是（不计空气阻力）（     ） A．所用时间之比为 B．速度变化量大小之比为 C．末速度大小之比为 D．平均速度大小之比为 【答案】C 【详解】A．根据自由落体运动规律 解得，即 因此，故A错误； B．根据，得速度变化量大小之比为，故B错误； C．根据，末速度大小之比为，故C正确； D．根据，得平均速度大小之比为，故D错误。 故选C。 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）（多选）利用水滴下落可以粗略测量重力加速度 的大小。调节家中水龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方放一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水刚碰到盘子时，恰好有另一滴水开始下落，而空中还有一滴水正在下落。测出水龙头出水口到盘子的高度为，从第1滴水开始下落到第滴水开始下落，所用时间为 。下列说法正确的是（     ） A．一滴水在空中运动的时间为 B．相邻两滴水开始下落的时间间隔为 C．此地重力加速度的大小为 D．第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为 【答案】AD 【详解】A．根据公式 可得一滴水在空中运动的时间为，故A正确； B．根据题意可知，第一滴水落至盘中时，第三滴水刚要落下，可知相邻两滴水开始下落的时间间隔为，故B错误； C．从第1滴水开始下落到第滴水开始下落，所用时间为 ，则 结合 可得，故C错误； D．根据初速度为零的匀加速直线运动的规律可知，一滴水落至盘中时，第二滴水下落的高度 则第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为，故D正确。 故选AD。 9．（24-25高一上·云南·期中）（多选）如图所示，有三架无人机静止在空中，离地面的高度分别为3h、2h、h。若同时由静止释放小球a、b、c，小球与地面碰撞后速度大小不变，方向反向，不计空气阻力，重力加速度为g。若不计小球与地面的碰撞时间，则下列说法正确的是（　　） A．a、b、c第一次与地面碰撞前下落时间之比为 B．a、b、c第一次落地时速度大小之比为3∶2∶1 C．a与b第一次落地的时间差等于b与c第一次落地的时间差 D．从开始下落开始计时，b、c经过时间第一次距地面高度相同 【答案】AD 【详解】A．根据，可得 可知a、b、c第一次与地面碰撞前下落时间之比为，故A正确； B．根据 可知a、b、c第一次落地时速度大小之比为，故B错误； C．a、b、c第一次与地面碰撞前下落时间之比为 则a与b第一次落地的时间差与b与c第一次落地的时间差之比为 可知a与b第一次落地的时间差小于b与c第一次落地的时间差，故C错误； D．小球c先落地，速度大小为v，此时小球b的速度也为v，小球b下落高度也为h，设经过两小球第一次距地面高度相同，则 结合 解得 小球c下落h所用时间为，故总时间为，故D正确。 故选AD。 10．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）从离地面的空中自由落下一个小球，不计空气阻力，取。求： (1)小球经过多长时间落到地面； (2)小球下落2s时的速度； (3)自小球开始下落计时，求小球在最后2 s内的位移大小 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球做自由落体运动，由      代入数据得 （2）由运动学公式得    代入数据得小球下落2s时的速度 （3）前10s内的位移大小为    代入数据得 故最后2s内的位移大小为     代入数据得 11．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在某次极限运动表演时，某一极限跳伞运动员从悬停的飞机中跳下，做自由落体运动。6s后打开降落伞，打开伞后运动员做匀减速运动，加速度大小为。而此时飞机上不慎落下一个物体，物体也做自由落体运动。运动员最终落地，速度刚好为0，当地重力加速度，求： (1)运动员前6s下落的高度； (2)飞机离地的高度； (3)物体落地前和运动员间最远的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）运动员前6s做自由落体运动，则有 代入数据可得 （2）运动员打开降落伞时的速度为 打开伞后运动员做匀减速运动，速度最终为零，则有 故飞机离地的高度为 （3）当物体速度和运动员速度相等时，两者相距最远，设物体经过，则有 解得 物体落地前和运动员间最远的距离为 代入数据解得 ✏题型03 自由落体运动的图像问题 12．（24-25高一上·云南文山·开学考试）下列四幅图分别为速度v，下降高度h，以及加速度a随时间的变化关系，其中能反映自由落体运动规律图像的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】AC.物体做自由落体运动，初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动，下落速度为 所以应该是过原点的倾斜直线，故A错误，C正确； B.下落高度 所以图线应该是曲线，故B错误； D.自由落体加速度为恒定值，所以图是一条平行时间轴的直线，故D错误。 故选C。 13．（23-24高一上·重庆南岸·期中）高一年级两位同学探究自由落体运动。他们让两个小球（半径很小，密度很大）从两个不同高度处自由下落，结果同时到达地面，如图所示四幅图中，能正确表示它们的运动的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】两球均做自由落体运动，根据 ， 可知，速度与时间成正比，由于高度不同，同时落地，则应先后释放，且落地速度不同。 故选C。 14．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）在地面上某处将一金属小球竖直向上抛出，上升一定高度后再落回原处，若不考虑空气阻力，则下列图像能正确反映小球的速度v、加速度a、位移x和速率v′随时间变化关系的是(取向上为正方向)（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．小球向上做竖直上抛，速度与时间的关系满足 根据公式可知图像应该是一条截距为正，斜率为负的直线，故A错误； B．竖直上抛运动中加速度不变，由于规定竖直向上为正方向，所以，故B错误； C．根据直线运动公式，位移与时间关系满足 图像应该是一条开口向下的抛物线，不是直线，故C错误； D．做竖直上抛的小球速率先均匀减小，上升到最高点时减小为0，再以相同大小的加速度随时间均匀增大，故D正确。 故选D。 15．（24-25高三·河北·三轮复习）河北蔚县被誉为打铁花的发源地之一，在某次表演过程中，将部分铁花上升的过程简化为竖直上抛运动，不计空气阻力，每个铁花的质量大小都相同，则铁花竖直上抛运动过程中速度的变化量与到达楼层之间的关系满足下列哪幅图像（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设每层楼高为，铁花初速度大小为，到达第层时速度大小为，上升高度为。根据匀变速直线运动规律有 解得 图中表示速度变化量的大小，则 解得 当时，。铁花从第层上升到第层时，速度变化量的增量为 由可得 随着增大，和均减小，因此逐渐增大，故图像从原点开始单调上升，且斜率逐渐增大。 A．图像为直线，表示铁花每上升一层楼速度变化量的增量相同，与实际增量逐渐增大不符，故A错误； B．图像为直线且存在负值分支，既不能表示增量逐渐增大的关系，又不符合速度变化量大小，故B错误； C．图像从原点开始上升，且斜率随增大而增大，符合的变化规律，故C正确； D．虽然正值分支斜率逐渐增大，但还存在负值分支，而同一楼层对应的速度变化量大小唯一且非负，故D错误。 故选C。 ✏题型04 竖直上抛运动的规律及其应用 16．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图所示，两端点分别为A、B，长L=1m的金属细杆在距地面H=40m处以v0=10m/s竖直上抛，同时在AB上方略微错开的竖直线上处有一可视为质点的小球C由静止释放，不计空气阻力及落地后的运动，g取10m/s2，则可知（　　） A．杆能上升的最大位移为10m B．杆从抛出到落地共用时4s C．若h=15m，则C与A相遇时杆的速度方向向上，与杆相遇共用时0.1s D．稍降低BC之间距离h后，小球C从A端运动到B端的用时将增加 【答案】B 【详解】A．金属杆竖直上抛，初速度上升到最高点时速度为0，相对于抛出点的最大位移满足 代入数据得 ，故A错误； B．取向上为正方向，杆下端B初始离地高度为，落地时总位移为，由匀变速公式 代入数据得 解得，故B正确； C．时，设时刻C与A相遇，由于两者加速度均为，重力加速度项抵消，得 解得 此时杆的速度，负号说明速度方向向下，故C错误； D．小球C和杆加速度均为，相对加速度为0，相对速度大小恒为，因此C从A端运动到B端的时间，与无关，只要C能在杆落地前完成从A端运动到B端，则用时不变，故D错误。 故选B。 17．一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高点B的时间间隔是TB，则A、B两点之间的距离为（　　） A． g（TA2－TB2） B． g（TA2－TB2） C． g（TA2－TB2） D． g（TA－TB） 【答案】A 【详解】竖直上抛运动具有对称性，物体从最高点落回某点的时间等于从该点上升到最高点的时间 两次经过A点的时间间隔为，故从最高点下落到A点的时间 两次经过B点的时间间隔为，故从最高点下落到B点的时间 根据自由落体位移公式，最高点到A的距离 最高点到B的距离 因此A、B两点的距离 故选A。 18．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）音乐喷泉随着音乐变换，竖直向上喷出的水柱可以高达几十米，现有一音乐喷泉，喷出的水经 2s 到达最高点，把水喷射的总高度分成四等份，水通过第一个等份高度用时记为 t₁，通过最后一个等份高度用时记为 t₂，不计空气阻力，则 满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】竖直上抛运动到最高点的逆过程为初速度为0的自由落体运动，二者时间、位移对称。 总上升时间 总高度 将总高度四等分后每份高度为 根据初速度为0的匀加速直线运动规律，通过连续相等位移的时间比为 逆过程下落第1份的时间对应原上抛通过最后1份高度的时间，对应比例项为1； 逆过程下落第4份的时间对应原上抛通过第1份高度的时间，对应比例项； 则有 满足；故选C。 19．（25-26高一下·四川成都·开学考试）如图所示，两根长度均为的细杆、，两杆不在同一竖直线上图中未体现 杆从高处自由下落，杆同时从地面以的初速度竖直上抛，两杆开始运动前杆的下端和杆的上端相距，在运动过程中两杆始终保持竖直。。则以下说法正确的是（     ） A．经过，两杆刚好相遇 B．经过，两杆恰好分离 C．两杆相遇但不相碰到分离的时间是 D．两杆相遇但不相碰时，杆已经开始下降 【答案】C 【详解】A．取开始时端的位置为坐标原点、竖直向上为正方向。刚开始相遇时端和端等高，由、 有，解得，故A错误； B．取开始时端的位置为坐标原点、竖直向上为正方向。恰好分离时端和端等高，由、 有，解得，故B错误； C．两杆各点的加速度相同，故端相对端向上做速度为的匀速直线运动。相遇的起止相对位移分别为、故起止时刻分别为、 相遇持续时间为，故C正确； D．刚开始相遇时 杆的速度为，仍向上运动，故D错误。 故选C。 20．（25-26高一上·山东临沂·期中）在开展课外活动时，小李同学遥控一小型无人机匀速竖直上升，速度为2m/s，某时刻在无人机的正下方距无人机6m处有一小球以14m/s的初速度竖直上抛，g取，不计小球受到的空气阻力。 (1)若不考虑无人机对小球的影响，求小球抛出后上升的最大高度； (2)小球能否追上无人机?若追不上，说明理由；若能追上，求相遇的时间。 【答案】(1)9.8m (2)能追上；时间 【详解】（1）若不考虑无人机对小球的影响，根据 代入数据，解得小球抛出后上升的最大高度为 （2）设经过时间，小球与无人机速度相同，则有 解得t=1.2s 在这段时间内小球上升的高度为，无人机上升的高度为，则有， 可知 所以小球能追上无人机。设小球与无人机相遇的时间为，则有 联立解得（舍去）或 21．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）气球带一小钢球从地面由静止匀加速上升3s后离地面15m，此时钢球与气球发生分离，分离后气球的加速度变为原来的两倍；经过一段时间后钢球落地，不计空气阻力，g取10m/s2，求： (1)气球初始的加速度大小； (2)小钢球落地的速度； (3)钢球落地时距离气球多远？ 【答案】(1) (2)20m/s，方向向下 (3)75m 【详解】（1）气球初始阶段做匀加速直线运动，由，解得 （2）分离时钢球的速度 分离后钢球做竖直上抛运动，取向上为正方向，分离后钢球的位移为，由 解得（舍去负根） 落地速度 即速度大小为20m/s，方向向下。 （3）分离后气球的加速度 3s内气球的位移 钢球落地时距离气球 22．（25-26高二下·辽宁营口·阶段检测）某同学做弹力球实验，将小球A从距地面的高度处由静止释放，同时将小球B从另一高度h2处由静止释放，小球B与地面碰撞后不反弹，小球A与地面碰撞后反弹，反弹后上升的最大高度为。若不计空气阻力，小球A与地面碰撞时间忽略不计，重力加速度，求： (1)小球A落地前瞬间与落地后离开地面瞬间的速度大小之比； (2)若从小球A第一次落地后到第二次落地前，两球能同时到达距地面3.75 m的高度处，求小球B的释放高度h2。 【答案】(1) (2)35m或65m 【详解】（1）根据速度位移关系可得， 解得，，则 （2）小球A第一次下落的时间，解得 设小球A反弹到距地面高度处时间为，则有 代入数据得（上升过程）或（下降过程） 若在小球A上升过程相遇，相遇时小球B下落的高度 若在小球A下降过程相遇，相遇时小球B下落的高度 故小球B的释放高度或 ✍拓展综合练 23．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）为测量长春某一中学所在地自由落体运动的加速度，一同学将一纯铜材料制作梯阶等间距的梯子模型通过细线悬挂在铁架台上，如图甲、乙所示，在梯子下端梯阶（第一个梯阶）中心P点正下方固定一个光电门。实验步骤如下： ①测出梯阶（遮光条）的宽度d；用刻度尺量出相邻两个梯阶中心Q点到P点距离h； ②让梯子由静止开始自由下落，每个梯阶依次通过光电门时的遮光时间分别用t1、t2、t3tn，表示。回答下列问题： (1)若某个梯阶通过光电门时的遮光时间为t，则此梯阶通过光电门时的速度v=__________（用题中所给的字母表示）； (2)实验中___________（填“需要”或“不需要”）考虑梯子下落所受的空气阻力； (3)根据实验记录的多组数据tn，作出图像如图丙所示，则第一个梯阶通过光电门的速度v1=___________，重力加速度大小g=____________。（用a、b、c、d和h表示） 【答案】(1) (2)不需要 (3) 【详解】（1）此梯阶通过光电门时的速度 （2）本实验是通过测量梯阶通过光电门的时间等数据来计算加速度，梯阶通过光电门时间极短，空气阻力影响极小，所以不需要考虑梯子下落所受的空气阻力。 （3）[1][2]设第一梯阶中心到光电门距离为，则有 因为 整理得 结合图像可知斜率为 解得 图像纵截距为 解得 则第一个梯阶通过光电门的速度 联立解得 24．（24-25高一上·安徽合肥·期中）如图所示，在离地面高H处以的速度竖直向上抛出一个可视为质点的小球，距离小球抛出点的正下方处有一辆长的静止小车，已知小球落地前最后1s内下落的高度为25m，忽略空气阻力及小车的高度，重力加速度g取。 (1)求小球抛出点离地面的高度H； (2)若小球刚好到最高点时，小车由静止开始向右做匀加速直线运动，通过计算说明小车是否会被小球砸到。若能，求小球砸到小车上的位置到M点的距离。若不能，求小球落地点到M点的距离。 【答案】(1) (2)若小球刚好到最高点时，小车由静止开始向右做匀加速直线运动，则小球下落至地面时，小车通过的位移大小为 由于，则小车会被小球砸到； 。 【详解】（1）设小球从最高点下落至地面所用的时间为t，最大高度为h，则有， 解得， 则小球抛出点离地面的高度为 （2）若小球刚好到最高点时，小车由静止开始向右做匀加速直线运动，则小球下落至地面时，小车通过的位移大小为 由于 则小车会被小球砸到；小球砸到小车上的位置到M点的距离为 25．（25-26高一上·重庆万州·阶段检测）如图，竖直圆管，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一小球，现由静止释放，圆管与小球一起相对静止自由下落，后续圆管会与地面发生多次碰撞，每次圆管与地面碰撞前后速度大小不变、方向相反，且每次碰撞时间极短，在运动过程中，管始终保持竖直。由于管与球之间有摩擦，管每次与地面碰撞后，管的加速度大小为2g，方向竖直向下，球的加速度大小为3g，方向竖直向上，每次达到共速后管与球相对静止一起运动，加速度为重力加速度。已知重力加速度为，不计空气阻力。 (1)求管第一次下落到地面所用时间； (2)求管第一次落地弹起后，球没有从管中滑出，求管上升的最大高度； (3)若管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。 【答案】(1) (2) (3)圆管长度大于或等于 【详解】（1）根据自由落体运动规律有 解得管第一次下落到地面所用时间 （2）管第一次碰地前与球的速度大小相同。碰地前的瞬间它们的速度大小均为 方向均向下。管弹起的瞬间，管的速度反向，球的速度方向依然向下。设自弹起时经过时间，管与小球的速度刚好相同。取向上为正方向，由运动学公式有 解得 设此时管下端的高度为，速度为v。由运动学公式有 由此判断此时v>0。此时，管与小球将以加速度g减速上升，到达最高点。由运动学公式有 设管第一次落地弹起后上升的最大高度为，则 联立以上各式可得 （3）由第(2)问可知第一次弹起上升至速度相等过程中管上升的高度为 此过程中小球的位移 联立解得 设第一次弹起上升至最大高度过程中，小球在管中下降的距离为，则 联立解得 同理可得第二次弹起上升至最大高度过程中，小球在管中下降的距离 设圆管长度为L，管第二次落地弹起后的上升至最大高度过程中，球不会滑出管外的条件是 联立以上各式解得 26．（25-26高一上·山西太原·期中）如图甲所示，长为的竖直空管下端离地面高，空管在外界控制下由静止开始竖直向下运动的图像如图乙。时，空管下端处一小球以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)若小球初速度为，小球上升过程中离地面的最大高度； (2)若小球初速度为，小球从空管内穿过的时间； (3)若空管落地时，小球恰好到达空管的端，小球初速度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球做竖直上抛运动，上升到最高点时速度为0，根据竖直上抛运动速度—位移公式可知，解得 小球初始离地面高度为，故最大高度为 （2）以向上为正方向，地面为原点，分析小球和空管的位移，小球的位移（竖直上抛）为 空管的位移为 可见1s时，小球还未穿过空管，此时小球的速度为 空管长度，结合相对运动分析，后设穿过时间为，由 解得 总穿过时间为 （3）空管的加速度为 空管先匀加速，再匀速运动，则有，解得 空管落地时小球到达A端，由小球位移公式，解得 27．（25-26高一上·浙江温州·期中）课外活动同学们玩起了抛球游戏。如图是游戏的示意图，其中弹跳球是一种高弹性橡胶制成的玩具小球。游戏规则如下：将弹跳球（可视为质点）从离地高为处竖直向下抛出，撞向地面后竖直向上跳起，如果弹跳球第一次跳起最高点在距离地面、高的中空塑料管内，则视为游戏成功。已知塑料管竖直放置，两边开口，中轴线在球运动轨迹方向，且球运动过程中不接触管壁。当弹跳球静止释放时，落地后与地面第一次碰撞时间为，与地面发生一次碰撞后反弹至离地的最高处。假设弹跳球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，弹跳球运动过程中所受空气阻力可忽略不计（重力加速度取，结果可用根式表示），试求： (1)弹跳球从静止释放至第一次反弹最高处的平均速度； (2)弹跳球与地面第一次碰撞前后的速率之比； (3)要使游戏成功，求释放时的弹跳球的速度范围。 【答案】(1)，方向为竖直向下 (2) (3) 【详解】（1）以竖直向下为正方向，弹跳球从静止释放，下落过程，解得 弹跳球撞地面后竖直向上跳起 ，解得 弹跳球从静止释放至第一次反弹到最高处的时间 弹跳球从静止释放至第一次反弹到最高处的平均速度，方向为竖直向下。 （2）弹跳球与地面第一次碰撞前的速率 弹跳球与地面第一次碰撞后的速率，联立解得 （3）要想反弹至，设弹跳球反弹后的速度为，释放时的速度为，则 解得 要想反弹至，设弹跳球反弹后的速度为，则 设弹跳球释放时的速度为，则，解得 所以弹跳球释放时的速度范围为~ 28．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）如图所示，现用一个支架固定一小球释放器，每次从释放器底面释放的小球无初速度且可视为质点，在释放器上装有反射式位移传感器，可以测出并记录小球与释放器底面的距离。释放器底面距地面H，重力加速度为g，所有小球与地面的碰撞均为弹性碰撞，忽略碰撞时间，不计空气阻力。 (1)若某时刻释放小球A并开始计时，求小球A第一次与地面碰后，上升到最高点之前，经过多长时间小球的速度大小变为，以及此段时间内小球的位移大小； (2)若某时刻释放小球并开始计时，假设位移传感器每隔相等时间T记录一次数据，调节H，发现每次记录的数据都相同，设s为记录数据时小球离释放器底面的距离，求H和各H值相应的s的可能值； (3)先后释放、B、C三个小球，三小球释放位置很接近但不重合（运动过程中小球不会发生碰撞），相邻两球释放的时间间隔相同（未知，H已知），且，全程A、B之间的最远距离为，规定两小球相向运动到同一高度为“相遇”。求从C球释放后到、B两球第2027次相遇前，有多长的时间球在、C两球之间，且、C球之间的距离。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）小球A释放后做自由落体运动 下落到地面的时间为 碰地前瞬间速度为 由于碰撞为弹性碰撞，小球反弹后的初速度竖直向上，大小保持不变，由竖直上抛运动的速度公式 解得 所以总时间为 在这段时间内，小球上升的高度 位移是指从初始位置到末位置的有向线段，小球起点在距离地面的释放器，末点在距离地面处，因此位移大小为 （2）小球在空中的运动是周期性运动，其完整周期为一次下落和一次上升的时间总和，即 传感器在等无数个时刻记录数据，并且每次记录的距离均相同，由于小球在除最高点外的任何一个位置，在一个周期内都只经过两次，且这两次的时间间隔并非相等的周期节律，要保证一个恒定的采样周期能永远采到同一个位置，唯一的数学解就是采样周期是小球运动周期的正整数倍，由于计时是从释放瞬间开始的，所以当时，小球恰好都回到最高点，相应的的可能值只能是。由 解得 （3）A、B两球在空中同时下落时，距离随时间变大。当A球即将落地时两者距离达到最大值 已知最远距离为，，解得 A、B、C的释放时刻分别为、、。因为小球到地面需要，所以当时，A球刚到地面，B球在下落途中，此后A球开始向上反弹，B球继续下落直到时到达地面，二者会在中间某一高度相遇，设第一次相遇时刻为，，由于竖直上抛运动和自由落体运动具有对称性，A球离释放器底面的距离 B球离释放器底面的距离， 解得 因此第1次相遇时刻为。第二次相遇在A刚落下、B刚反弹的时刻，即，A球离释放器底面的距离 B球离释放器底面的距离， 解得 因此第2次相遇时刻为，之后也一样，每隔相遇一次，所以第2027次相遇的时刻为 C球比A球晚释放，恰好为半个周期，两球运动完全反相，以任意整数半周期节点展开分析，此时A球在地面附近，C球在最高点附近，两者距离拉至最大。设距离节点的时间偏差为，，代入反相抛物线位移差公式并化简，可得两者距离随时间的变化规律为 令，解得 这说明在每一个时刻的前后时间内，A、C小球距离达标，即符合条件的有效时间区间为，每个有效区间长度均为，在所有的区间中心，B球正好处于其自身周期的四分之一处，距离两级为，由于A、C小球此时分别位于两极，故在整个有效区间内，B球必然严格夹在A、C小球之间。对于，其完整区间为，由于从开始，被截断为，贡献时间。 完整的区间包括，的右边界为，完全落在有效时间区间内，完整区间共2026个，所以累加有效时间 ✍高考真题练 29．（2026·四川·高考真题）小车在水平地面上做匀速直线运动。零时刻、站在小车上的甲沿与小车运动方向平行的方向抛出一个小球，乙站在小车侧方水平地面上观测到小球做直线运动直至落地。忽略空气阻力。则（     ） A．乙观测到小球的运动轨迹与地面垂直 B．乙观测到小球的加速度为零 C．甲抛球方向与小车前进方向相同 D．小球相对地面的初速度不为零 【答案】A 【详解】B．根据题意可知，小球抛出后受重力作用，加速度为重力加速度，方向竖直向下，故B错误； ACD．由于乙站在小车侧方水平地面上观测到小球做直线运动直至落地，可知，小球相对地面做自由落体运动，乙观测到小球的运动轨迹与地面垂直，则小球相对地面的初速度为零，即甲抛球方向与小车前进方向相反，相对小车的速度大小与小车运动的速度大小相等，故A正确，CD错误。 故选A。 30．（2024·广西·高考真题）让质量为的石块从足够高处自由下落，在下落的第末速度大小为，再将和质量为的石块绑为一个整体，使从原高度自由下落，在下落的第末速度大小为，g取，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，则下落1s后速度为 故选B。 31．（2024·贵州·高考真题）智能手机内置很多传感器，磁传感器是其中一种。现用智能手机内的磁传感器结合某应用软件，利用长直木条的自由落体运动测量重力加速度。主要步骤如下： （1）在长直木条内嵌入7片小磁铁，最下端小磁铁与其他小磁铁间的距离如图（a）所示。 （2）开启磁传感器，让木条最下端的小磁铁靠近该磁传感器，然后让木条从静止开始沿竖直方向自由下落。 （3）以木条释放瞬间为计时起点，记录下各小磁铁经过传感器的时刻，数据如下表所示： 0.00 0.05 0.15 0.30 0.50 0.75 1.05 0.000 0.101 0.175 0.247 0.319 0.391 0.462 （4）根据表中数据，在答题卡上补全图（b）中的数据点，并用平滑曲线绘制下落高度h随时间t变化的图线_____。 （5）由绘制的图线可知，下落高度随时间的变化是_____（填“线性”或“非线性”）关系。 （6）将表中数据利用计算机拟合出下落高度h与时间的平方的函数关系式为。据此函数可得重力加速度大小为_____。（结果保留3位有效数字） 【答案】 非线性 【详解】（4）[1]由表中数据在图（b）中描点画图，如图所示。 （5）[2]由绘制的图线可知，下落高度随时间的变化是非线性关系。 （6）[3]如果长直木条做自由落体运动，则满足 由 可得 解得 ✍新题追踪练 32．（25-26高一上·河南开封·期末）2024年1月19日，河南省境内迎来新年的第一场降雪，本次降雪范围广且降雪量大。假设一雪花从500m高空从静止下落，则该雪花下落的时间可能为（     ） A．8s B．10s C．12s D．400s 【答案】D 【详解】由自由落体位移公式 代入，取 解得 实际雪花受较大空气阻力作用，加速度，因此实际下落时间一定远大于10s。 故选D。 33．（25-26高一上·湖南长沙·期末）（多选）如图所示，在一个桌面上方有三个金属小球、、，离桌面高度分别为。若先后顺次静止释放、、，三球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则下列说法正确的是 A．三者到达桌面时的速度之比是 B．三者运动的平均速度之比是 C．三者运动的时间之比是 D．与开始下落的时间差大于与开始下落的时间差 【答案】BC 【详解】AC．下落过程中，根据，解得 所以三者到达桌面时的速度之比是，由于是匀加速运动，根据可知，时间之比也是；故A错误，C正确； B．三者都做匀变速直线运动，初速度为零，所以，故平均速度之比为，故B正确； D．根据可得运动的时间之差为 运动的时间之差为，所以，故D错误。 故选BC。 34．（25-26高一上·河南安阳·期末）同学们制作的水火箭原理图如图所示，发射时利用压缩空气把水从火箭尾部的喷嘴向下高速喷出，火箭受到反冲作用而高速升空。假设水火箭以大小为的加速度从地面由静止开始竖直匀加速上升，上升8m后无动力上升到最大高度，重力加速度g取，忽略空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．水火箭上升的最大高度为14.4m B．水火箭上升的最大高度为16m C．水火箭上升过程所用总时间为3.6s D．水火箭上升过程所用总时间为2.8s 【答案】D 【详解】AB．设上升8m时的速度为v，则有 代入数据，解得 此后匀减速上升，有 解得 因此，故AB错误； CD．水火箭加速上升时间 水火箭减速上升时间 水火箭上升过程所用总时间为，故C错误，D正确。 故选D。 35．（25-26高一上·广东江门·期末）2025年11月2日晚，第十五届全运会跳水赛场，全红婵与队友王伟莹携手夺下女子双人10米台金牌，助广东队卫冕女团冠军（如图甲）。假设全红婵（可视为质点）起跳离开跳板后在一条直线上运动，某次从最高点到入水后匀减速到最低点的过程示意图如图乙所示，最高点至水面高度h1=11.25m，水面至最低点高度h2=4.5m，不计空气阻力，重力加速度为g=10m/s2，求： (1)全红婵入水后匀减速到最低点这个过程的加速度大小； (2)从全红婵开始下落时计时，求她在前1.7s的平均速度大小（保留两位有效数字）。 【答案】(1)25m/s2，方向竖直向上 (2)8.1m/s 【详解】（1）入水前过程，做自由落体运动，则有 解得入水时的速度 取竖直向下为正方向 全红婵入水后匀减速到最低点的过程，可得 解得 可知加速度大小为，方向竖直向上 （2）从全红婵开始下落时计时，全红婵做自由落体运动所用时间为 匀减速运动时间为 此时离水面的深度为 她在前1.7s的平均速度 36．（25-26高一上·山东青岛·期末）某同学练习抛接球杂技。时，他将一小球从距地面处的O点以初速度竖直向上抛出。小球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度。 (1)时，求小球距地面的高度； (2)若该同学未能接住小球，求小球从抛出到落到地面的时间； (3)若该同学在时从O点以相同速度抛出第2个小球，求两球相遇时第1个小球的速度大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)，方向竖直向下 【详解】（1）设小球距点的高度为 解得 小球距地面的高度 解得 （2）方法一：设小球上升的时间为，下降的时间为，上升的最大高度为， 解得 解得 自由落体过程 解得 所以小球从抛出到落到地面的时间 方法二：取向上为正方向 对全程 解得 （3）设第1个小球抛出后经过时间后两球相遇 第1个小球位移 第2个小球位移 满足 解得 此时第1个小球的速度为 解得 所以第1个小球的速度大小为，方向竖直向下。 37．（25-26高一上·四川绵阳·期末）如图所示，竖直固定的足够长直圆管内有一静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为0.8m。一个小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，碰撞时间极短，碰后瞬间小球与圆盘速度大小均为碰撞前瞬间小球速度大小的一半，小球的速度方向相反，碰后圆盘在管中向下匀速滑动。小球在管内运动时与管壁不接触，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求： (1)小球与圆盘第一次碰撞前瞬间的速度大小； (2)小球与圆盘第一次碰撞与第二次碰撞的时间间隔； (3)小球与圆盘第二次碰撞前，小球与圆盘间的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设第一次碰撞前小球的速度大小为v，由自由落体运动公式可得 解得 （2）设小球与圆盘第一次碰撞与第二次碰撞的时间间隔为。此过程中小球与圆盘的位移相同，已知碰后瞬间小球与圆盘速度大小均为碰撞前瞬间小球速度大小的一半，小球的速度方向相反，取向下为正，对圆盘有 对小球有 联立解得 （3）小球与圆盘第二次碰撞前，当小球与圆盘速度相等时两者距离最远。设第一次碰撞后，经时间两者速度相等，则有 解得 则小球与圆盘间的最远距离为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $