专题12 相似三角形（5年汇编）（陕西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦相似三角形核心考点，整合2022-2026年陕西中考真题及模拟题，突出判定性质综合应用与实际测量情境，适配中考备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约10题|相似三角形判定（A字型/8字型）、性质（面积比）、实际测量（影子/标杆模型）|真题结合农田分割、旗杆测量等真实情境，模拟题强化几何动态与最值问题|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题12相似三角形 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01相似三角形的判定与性质综合 1.喝 (2)50° (3)155077m 2.(1)4:(2) 12V13 139 (3)NP+MQ的最小值为240√17m,此时BQ的长为630m 3. (1)口BDEF如图所示： (2)6V2+6 (3)AP=8 3如 4.C 5.D 6.B 7.C 考点02相似三角形的实际应用 8.这段河道的宽度为80m 115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.28.2m 10.4.8m 11.旗杆的高AB为3米. 一年模孤练测品 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.A 9.5 10. 80 64 12.2V2 A号 14.65 15.10 16.4 17.3V5 1爱 19.16+2RV2 20.36米 21.雕塑最高点到地面的距离AB为6.5米. 22.纪念碑的高度AB为32m 215 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.AB=29米 24.59m 25.245米 26.1)证明：连接OD, D E B .DE是⊙O的切线， .OD⊥DE ,H是BC的中点，O是AB的中点， .OH是△ABC的中位线， ∴.OH‖AC且OH=号AC, AB是直径， .∠ACB=90°， ∴.∠OHB=∠C=90° .OD⊥DE,DE⊥CE, .四边形ODEH是矩形， ..OH=DE, DE=AC,即AC=2DB, (2)5 27.1)90 (2)3 ⑧①y=d0×+径x+60,2176m 100 5 28.桥塔的高度AB为88米 29.(1) 证明：，ABCD是平行四边形， 3/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AD‖BC, .∠ADB=∠DBC, :DB平分∠ADC, ∴.∠ADB=∠CDB .∠DBC=∠CDB. ..BC=CD. 又∠CDE=135°， 则∠CDB=180°-135°=45°， ∴.∠ADC=2×∠CDB=90° ∴四边形ABCD是正方形. 282 5 30.(1)3 (2)见解析 (3)200m 31.图腾柱AB的高度为9m 32.48米 33.(1)见解析 (2)2 34.1)9 (2)30° 6)40000/2-40000m2 35.1)①90°：②3V5-3 2)最小值为103-10，S40=1003+5039 13 36.1)3 (2)证明：.'∠ABC=∠DBE=90, .∴.∠EBA=∠CBD=90°-∠ABD, AB=BC=4, SaA=4×4×号-8. 2 415 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .SABDE=8, :.1BE·DB=ABBC .2 ·股8 ∴.△ABE一△DBC: 6)1005+100m 37.(1) ①证明：，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O, :.∠BAC=∠DAC,BA=BC, ∴∠BAC=∠BCA, ,将线段AC绕点C顺时针旋转得到线段CE, ..CA=CE, ∴.∠CAE=∠CEA, .∠BAC=∠CAE,∠BCA=∠CEA, ∴.△ABC一△ACE: ②AE=100 13 ②)当休闲步道CG取得最小值时，草坪△CNG的面积为3O0-1503平方米 5/5 专题12 相似三角形 5年真题1年模拟 考点分类 陕西考情（2022-2026） 命题规律 考点01相似三角形的判定与性质综合 高频重难点，圆综合、几何压轴大题高频出现；填空选择偶尔考简单线段计算；解答大题常结合圆、四边形、旋转，利用相似求线段长、比例、面积；属于试卷区分度核心考点 常考 A 字型、8 字型、母子相似模型；判定多借助平行线、等角条件；性质重点使用对应边成比例、面积比等于相似比平方；大多作为大题中间步骤，为求解线段服务，难度中等偏上 考点02 相似三角形的实际应用 考查频次中等，以解答小问、填空题为主；常考测高、测距，结合影子、标杆模型；部分年份融入解直角三角形大题中 以现实生活情境出题，构建相似模型解决高度、距离测量；重点考查从实际场景抽象出几何图形；计算量不大，审题提取条件是关键，难度中等 考点01 相似三角形的判定与性质综合 1．（2026·陕西·中考真题）问题探究 (1)如图①，是的角平分线，若，则的值为_________； (2)如图②，在中，，，点，在边上．若，求的度数； 问题解决 (3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道．根据种植需求，区域与区域的面积之比为，为了节约成本，还需使地下输水管道最短． 已知，，，，，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道最短时，四边形区域的面积．（结果精确到．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，垂足为点，根据角平分线性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可； （2）证明，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先证明，得到，取的中点，连接，则，则点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，，故当点三点共线时，取得最小值，过点作交于点，然后由，求出，，再证明四边形是平行四边形，最后由求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∴点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，， ∵， ∴， ∴当点三点共线时（在线段上），取得最小值，如图： 过点作交于点， ∵， ∴， ∴此时， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， 答：当地下输水管道最短时，四边形区域的面积为． 2．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）4；（2）；（3）的最小值为，此时的长为 【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半解答即可； （2）根据矩形的判定和性质，结合垂线段最短解答即可； （3）根据矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形三边关系定理应用，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，，为边上的中线， ∴, 故答案为：4； （2）如解图①， 四边形为矩形， 连接，则， 过点作于点， ． 在中，， 故， 根据三角形面积性质，得， 的最小值为； （3）如解图②，连接，则， ，当三点共线时最小， 在上顺次截取， 作，则四边形为矩形， 则， ， 解得，． 如解图③，作点关于的对称点，作， 连接， 与的交点即为所确定的位置． 作交于点，得矩形． 在中， ， ， ， 由， ， ，， 当最小时，的最小值为，此时的长为． 3．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【答案】 （1）如图所示： （2） （3） 【分析】（1）先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，故四边形是平行四边形，即可作答． （2）过点作于点，解得，故在线段上运动的，整理，经过分析当有最小值时，则的周长有最小值，即作点关于的对称点，当三点共线时，有最小值，即的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得，即可作答． （3）取的中点，取的中点，连接，得是的中位线，再过点作，证明，整理，故，再证明四边形是平行四边形，因为是的中点，得，11 、证明，，理解题意，得为定值，则点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，先得出，，运用三角函数得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点作且分别与，交于， 即在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作点关于的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取的中点，取的中点，连接， ∴是的中位线， 过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵是的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中点 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点在的中位线上运动， 作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 5．（2024·陕西·中考真题）如图，直线经过正方形的中心，分别与和相交于点和点，并与的延长线相交于点若，，则的长为(　　) A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；根据正方形的性质，结合三角形全等，得到，证明，得到，从而得到结果． 【详解】解：连接， 是正方形的中心， 在上，且，, , ，， ， 在和中， ， ， 四边形是正方形对边平行，则， ， ， 解得：， 故选：D． 6．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 7．（2023·陕西·中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 考点02 相似三角形的实际应用 8．（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 【答案】这段河道的宽度为 【分析】方案一：过点作于点，解和求解即可；方案二：过点作于点，交于点，可得，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解即可． 【详解】解：方案一：过点作于点， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵，， ∴，解得， ∴这段河道的宽度为； 方案二：过点作于点，交于点， ∵ ∴，， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 答：这段河道的宽度为． 9．（2024·陕西·中考真题）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 10．（2023·陕西·中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，      由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 11．（2022·陕西·中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 【答案】旗杆的高AB为3米． 【分析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵AD∥EG， ∴∠ADO=∠EGF． 又∵∠AOD=∠EFG=90°， ∴△AOD∽△EFG． ∴． ∴． 同理，△BOC∽△AOD． ∴． ∴． ∴AB=OA−OB=3（米）． ∴旗杆的高AB为3米． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． 一、单选题 1．（2026·陕西咸阳·一模）如图，菱形的对角线交于点O，点E在边上，且，过点E作交于点F．若，，则的面积为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得，，再证明，然后根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，过点作于点.利用菱形对角线互相垂直平分求出和的长，再利用相似三角形求出和的长，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点，过点作于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ∵， ， ， 是的中点， ， ，， ，， ， 在中，． 3．（2026·陕西榆林·一模）如图，在矩形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，若的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可以求出，根据三角形中位线定理可得：，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，再根据四边形的面积求出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 的面积为， ， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， ， 四边形的面积． 4．（2026·陕西汉中·二模）如图，在矩形中，延长至点，连接，与相交于点，则图中的相似三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴； ∵是公共角，， ∴； ∴． 故有3对． 5．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】延长交于点，利用等腰三角形“三线合一”性质证明且为中点，求出的长；再根据三角形中位线定理证明，进而推出为中点，最后利用的中位线性质求出的长． 【详解】解：如图，延长交于点   平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为的中点 ，， 为的中点，为的中点， 是的中位线 ， ，即 ， 为的中点， ， ∴，即， 为的中点 ， 在中，为的中点，为的中点 ， 是的中位线 ． 6．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，．点D是的中点，，过点D作交于点E，则的长度为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出和的长，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出 的长 ． 【详解】解： 在 中，，， 是 的中点 ， ，， ， ， ， 又 ， ， ， ∵， ∴， ． 故选： D． 7．（2026·陕西咸阳·二模）在中，，E是上的一点，连接，交于点F．过点F作交于点G．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质，证明，，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵中，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 8．（2026·陕西西安·二模）正方形和正方形的位置如图所示，点、分别在边、上，连接并延长交于点．若正方形和正方形的边长分别为4和1，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 二、填空题 9．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点，平分，且点在边上，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，得出，过点G作于点H，证明，再推出，可得，解得即可解答． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， ，即， ， ， ， E为的中点， ， ， 如图，过点G作于点H． ， ，则， ，， ， ． ，平分， ， ， ，即， 解得， ． 10．（2026·陕西渭南·一模）如图，在菱形中，连接交于点O，点F在上，且，点E在边上，且，连接、．若的面积为10，则四边形的面积为______． 【答案】 80 【分析】根据菱形的性质，得到，作于点，证明，得到， 根据的面积为10，求出菱形的面积，进而求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，再利用分割法进行求解即可. 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， 点在上，， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 点在边上，， ， . 11．（2026·陕西咸阳·一模）如图，是的角平分线，，点E、F在边上，且，连接与交于点M．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，得到，，过点作于点G，过点作于点H，利用解直角三角形求出 ，，则，证明，则，解得，即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴ 过点作于点G，过点作于点H， ∴ ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 12．（2026·陕西西安·一模）如图正方形中，E为边上任意一点（不与点A、D重合），将绕点C逆时针旋转至F，连接，取的中点P，若，则的长为______． 【答案】 【分析】根据题意，证明，得点共线，再证明，得到，则，证明，得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转至F， ∴， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴点共线， ∵点P是中点， ∴在中，，在中，， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 13．（2026·陕西西安·一模）如图，在正方形中，为对角线上一点，与交于点，当时，则的值为__________． 【答案】 【分析】过点作，垂足分别为G、H，可证明四边形是正方形，得到，；再证明，得到，则可证明，进而可推出 ，证明，则． 【详解】解：如图，过点作，垂足分别为G、H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， ∵， ∴， ∴． 14．（2026·陕西榆林·二模）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形，点在边上，交于点．如果与的面积比为，，则正方形的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意可知，则，进而得到，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由题可知， ， 又与的面积比为， ， 又四边形是正方形， ， ， 又， ，， ， 则正方形的面积为． 15．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在矩形中，，，点、是对角线上的动点，点在点的下方，，连接、，当最小时，的长为________． 【答案】10 【分析】连接交于点，过点F作，过点A作，且与交于点G，连接，交于点，证明四边形是平行四边形，则，当G、、C三点共线时，有最小值，证明，则，进而求出是的中位线，则，根据勾股定理求出长，利用求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点F作，过点A作，且与交于点G，连接，交于点， 、， 四边形是平行四边形， 、， ， 当G、、C三点共线时，有最小值，最小值为，此时点运动到点，即， 四边形是矩形， 、、、， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， 即当最小时，的长为10． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 16．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，是菱形的对角线，点、在上，点是的中点，连接、，．若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形，相似三角形的知识，解题的关键是根据菱形的性质，得到，根据相似三角形的判定，可得，可以得到，求出，即可， 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，，D、E分别为上两动点，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在上截取，连接，证明，得到，则，作点关于的对称点，连接，，当且仅当三点共线时，取得最小值，即为，进一步求出即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接， ∴，， ∴ 当且仅当三点共线时，取得最小值，即为， 在中， ， ∴， 即的最小值为． 18．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，，，于点D，点E是边上的动点，连接，作，点F在下方，连接，，若，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】连接，证明，可得，再证明，可得，即可证明，可得的度数固定，则点在直线上运动，根据垂线段最短，确定的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ，，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ∴的度数固定，则点在直线上运动， 如图，作， 根据垂线段最短，当点运动到处，最小， ， ， ，， ， 即的最小值为． 19．（2026·陕西西安·一模）如图，已知在中，，是的中点，是平面内一点，且，连接、．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．当取得最大值时，四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】先证明，可得，当取最大值时，最大，结合点P在以点D为圆心，以长为半径的上，当点C､D､P在同一直线上时，取得最大值，此时，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，∵在中，， ∴，，， ∵线段绕点P顺时针旋转得到线段， ∴，则，， ∴，， ∴， 则，即， ∴当取最大值时，最大， 又∵， ∴点P在以点D为圆心，以长为半径的上，当点C､D､P在同一直线上时，取得最大值，此时， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 如图，连接，过作于， ∵，， ∴， ∴在上， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 三、解答题 20．（2026·陕西宝鸡·一模）西安鼓楼是中国古代遗留下来的众多鼓楼中形制最大、保存最完整的鼓楼之一．某数学小组成员想利用所学知识测量鼓楼的高度（如图）．该小组成员在点C处测得鼓楼的顶端A的仰角，从点C处移动31米到达点E处（米），在点E处竖立一根高为2米的标杆，此时，鼓楼在太阳光下的影子末端与标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点D处．经测量知米，已知，，点C，D，E，B在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组成员求出西安鼓楼的高度．（参考数据：，，） 【答案】36米 【分析】根据相似三角形的判定得出，可得，确定，再由，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，即 ∴ ∵， ∴，即 ∴，解得， ∴ ∴西安鼓楼的高度约为36米． 21．（2026·陕西西安·一模）《金戈》是以紫铜锻造而成，突出表现了秦国在统一历程中推行“耕战”国策的雄略主题，周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量这座雕塑最高点到地面的距离．如图，小华在点D处竖立一根标杆，小亮站在斜坡的点F处，调整自己眼睛的高度，当眼睛在E处时，他的视线从E点通过标杆顶端C点正好落在雕塑顶端A点处．已知、、均与地面垂直，测得米，米，点F到地面的距离米，米，米，，点B、D、G、M、H在一条水平线上，图中所有点均在同一平面内，求雕塑最高点到地面的距离． 【答案】雕塑最高点到地面的距离为米． 【分析】过点E作于点N，交于点O，则四边形是矩形，证明，求解即可； 【详解】解：如图，过点E作于点N，交于点O， 则四边形是矩形， 故米， 与地面垂直，， 点F在上． ， ， 米， 米，米， 由四边形是矩形， 得米，米，米， ， ， ， ， 解得米， 米， 雕塑最高点到地面的距离为米． 22．（2026·陕西渭南·二模）陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 【答案】纪念碑的高度为 【分析】设，可得和，证明，根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 由题意知，，， ， ，即， 解得， ∴纪念碑的高度为． 23．（2026·陕西渭南·二模）古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重要标志物．小君利用假期测量了被列为全国仅存的5株5000岁古柏之一的老君柏（如图1）的高度．如图2，小君在地面上的点C处测得老君柏顶端A的仰角；小君在地面上的点D处竖立一根高为2米的标杆（即米），在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为、，米，米．已知，，点B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出老君柏的高度． 【答案】米． 【分析】设米，根据等角对等边得到米，则米，证明，得到，求解即可． 【详解】解：设米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∵同一时刻的阳光下， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即米． 24．（2026·陕西榆林·二模）文元塔位于府谷香炉山森林公园内，登塔可观赏香炉山景点及府谷、保德两县景观．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量文元塔的高度，活动报告如下： 活动主题 测量文元塔的高度 测量过程及示意图 如图，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上． 测量数据 图形说明 ，点在同一水平线上，图中所有点在同一平面内 请你根据以上活动报告，求出文元塔的高度． 【答案】 【分析】先根据已知条件得出，根据相似三角形的性质可得，再由，可求出，最后根据可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 解得， 文元塔的高度为． 25．（2026·陕西安康·一模）陕西广播电视塔，又称西安电视塔，塔楼上建有观光厅、旋转厅．登塔遥望，古城风貌尽收眼底，成为西安市一大观光景点．某数学兴趣小组要完成一个项目，测量电视塔的高度．如图，电视塔前有一棵高米的树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花园，由于障碍物的遮挡导致距离无法测量，所以在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上，请你求出陕西广播电视塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【答案】245米 【分析】先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ． 米，米，米， ， 解得米， 米， 米 ，， ． ， ， ， 即， 解得米， 答：陕西广播电视塔的高度为245米． 26．（2026·陕西商洛·一模）如图，内接于，为的直径，为的弦，点为的中点，连接，过点作的切线交的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，的半径． 【答案】(1)证明： 连接OD， ∵是的切线， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵是直径， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即； (2)5 【分析】（1）连接，证明是的中位线，得到且，证明四边形是矩形，得到，即可得证； （2）连接，证明，得到，设，则，进而求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 设的半径为，则． 由（1）知． ∵是直径， ∴． 连接，则， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴，解得， ∴． 在中，由勾股定理：， ∴． 27．（2026·陕西西安·一模）问题提出 (1)如图①，为上一点，连接、，当时，__________． 问题探究 (2)如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值． 问题解决 (3)如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演． 方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设． （i）求与之间的函数关系式． （ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积． 【答案】(1)90 (2)3 (3)（i）；（ii） 【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余即可求解； （2）证明，设，利用相似三角形对应边成比例可得，整理得，利用二次函数的性质求最值即可； （3）（i）延长至点，使得，连接，过点作， 根据题意可知，，利用直角三角形的性质得出，进而证明，设，利用相似三角形对应边成比例求解即可． （ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知，当时，有最大值为，根据的正切值，设，，结合勾股定理得出的长，从而得出和的长，进而求出、、、，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ． （2）解：是等边三角形，， ，．     ， ， ， ． 设，则， 为的中点， ， ，整理得， 当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3． （3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作， 根据题意可知，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 设． ， ， 整理得． （ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点． 由（i）可知，， 当时，取得最大值为， 即当时，有最大值为， ， 设，， ， ， ， ． ， ， ，，，， ， ∴当最大时，的面积为． 28．（2026·陕西咸阳·二模）咸阳二号桥是咸阳市标志性建筑之一．晓华和小敏利用无人机和所学过的相似的知识测量咸阳二号桥桥塔的高度．如图，晓华从点竖直升起一架无人机到处在空中悬停，米，小敏从点竖直升起一架无人机，当该无人机在处时，发现处的无人机、处的无人机和桥塔底端恰好在一条直线上，小敏继续控制无人机垂直上升到处，发现处的无人机、处的无人机和桥塔顶端恰好在一条直线上，米，米．，，，点、、在一条直线上，点、、在一条水平直线上，图中所有点都在同一平面内．请你求出桥塔的高度． 【答案】桥塔的高度为88米 【分析】先证明得，则，再证明，得，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ， ，     ，即， ． ∴桥塔的高度为88米． 29．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，连接并延长至点E，连接，，点F在线段上，连接，平分，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， 又， 则， ∴ ∴四边形是正方形． (2) 【分析】本题主要考查特殊四边形，涉及平行四边形的性质、正方形的判定和性质、勾股定理的应用和相似三角形的判定和性质等知识点， （1）由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得出，则，再求出，即可证明． （2）根据正方形得和，进一步求得和，证明，即有，求得即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 则，即， ∴． 30．（2026·陕西宝鸡·二模）结合图形解答下列各题： (1)【问题提出】如图1，在中，，，点D是边上的动点，连接，则的最小值为______； (2)如图2，在四边形中，，与互补，延长CD至点E，使得，连接，求证：平分； (3)【问题解决】如图3，是某农场的一块育苗基地示意图（周围空地可利用），的中点E处有一口灌溉水井，射线是一条小路，现要将育苗基地进行扩建，在上找一点D，沿修一条小路，并在小路右侧修一小路，使得，且，与关于所在直线对称，四边形是水培植物区，再沿修一条水渠，为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短．已知m，，平分，求水渠的最短长度．（灌溉水井的大小、小路和水渠的宽度均忽略不计） 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，根据垂线段最短可得当点与重合时，取得最小值，再解即可； （2）证明即可； （3）以点C为圆心，长为半径作圆弧，交于点G，连接，作点P关于的对称点Q，连接，可证明，则点Q在边上，由对称性可得，故当最小时，最小，过点C作于点H，过点E作于点N，则，那么，可得，由三线合一得到，则，故，当点重合时，最小，此时． 【详解】（1）解：过点作于点， ∴， ∴当点与重合时，取得最小值为3； （2）证明：∵与互补，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴平分； （3）解：以点C为圆心，长为半径作圆弧，交于点G，连接， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， 作点P关于的对称点Q，连接，而 ∴， ∴，即 在和中， ∴， ∴， ∴点Q在边上 ∵与关于所在直线对称， ∴点E、F关于所在直线对称， 又∵点P关于的对称点Q， ∴ ∴当最小时，最小， 过点C作于点H，过点E作于点N， 则， ∴ ∴ ∵的中点E ∴ ∴ ∵于点H， ∴， ∴ ∴， ∴当点重合时，最小，此时 ∴水渠的最短长度为． 31．（2026·陕西商洛·一模）如图，小琪想测量广场边的图腾柱的高度，图腾柱外围有栅栏无法直接到达底部处进行测量．在对周边进行测量时，小琪发现图腾柱所在的广场比广场外的路面高，身高的小琪（）站在广场上图腾柱的另一侧，且距离点远的处，在处的灯光的照射下，小琪留在地面上的影长为，广场边沿留在路面上的影长为，已知点，，，，在同一条直线上，，，，广场与路面平行，求图腾柱的高度． 【答案】图腾柱的高度为 【分析】运用两次相似三角形的性质，先利用求出与的比例关系，将用表示出来，再通过列出将都用表示再计算出的值即可求出的值． 【详解】解：， ． ，， ， ， ，即， ． ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 答：图腾柱的高度为． 32．（2026·陕西渭南·二模）作为西安市文化新地标，长安书院（如图1）主体建筑以“翻开的书”为造型，展现出“写意长安”的韵味．小美和小艺同学某次去长安书院读书时，设计了如下测量方案，以测量檐口某处距离地面的高度；如图2，小美在地面上的点处测得檐口的仰角，小艺在点处放置一面平面镜（大小不计），站在点处，眼睛位于点处时，恰好从平面镜中看到檐口的像，已知米，米，米，，，、、、在一条水平直线上，图中所有的点都在同一平面内．请你计算檐口距离地面的高度． 【答案】48米 【分析】根据题意得到为等腰直角三角形，证明，再根据相似三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． ， ， ， 即， 解得米， 檐口距离地面的高度为48米． 33．（2026·陕西商洛·二模）如图，已知内接于，且．连接并延长，交于点，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由为的直径可得，再证明，再由，可得，从而得出，最后可得结果； （2）连接，过点作于点，先求得，可得，设，则，由中位线性质可得，，由勾股定理可列方程，解得，求得，，，再证明，可求得，最后求得结果． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，过点作于点， 为的直径， ， ， ， ， 设，则， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，， 在中，， 即，解得（负值已舍去）， ，，， 由（1）知， ， ， 又， ， ， ， ． 34．（2026·陕西西安·一模）解决下列问题： 问题探究 (1)如图，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，则面积的最大值________； (2)如图，与都为等边三角形，当时，求的度数； 问题解决： (3)如图，市政部门准备在一块空地上修建一个四边形的便民休闲区，其中米，，且，和是两条小路，和的交点为点，其中区域为健身区，为响应“全民健身”的号召，现要使点围成的三角形面积最大，求面积的最大值．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）连接，过点作于点，可得，即得当点与点重合时，点到距离的最大值是，再根据三角形面积公式解答即可求解； （）证明，可得，进而由即可求解； （）过点作交于点，连接，先证明，得，可得，再根据“定弦定角”模型，作的外接圆，记为，连接，过点作于，交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，根据，可得，可知当点重合时，取最大值，最大值即为的长，此时的面积最大，进而解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， 则， ∴， ∴当点与点重合时，点到距离的最大值是，此时的面积最大， ∴面积的最大值为 故答案为：； （2）解：∵与都为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作交于点，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴作的外接圆，记为，连接，过点作于，交于点，过点作于点，过点作交延长线于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 当点重合时，取最大值，最大值即为的长，此时的面积最大， ∴， 即面积的最大值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 35．（2026·陕西西安·二模）探究解题 (1)如图1，在正方形中，E、F分别为上两动点，且满足，连接交于点P． ①的度数为______；②连接，若，则的最小值为______； (2)如图2，在长方形中，，，E为中点，Q为上一动点，F为上一点，P为上一点，且满足，，连接，求的最小值，及此时的面积． 【答案】(1)①；② (2)最小值为， 【分析】（1）①证明，则，根据角之间的关系的，即可得到结论；②求出点在以为直径的圆上运动，取的中点，则，根据圆外一点到圆上的点的距离的最值求出答案即可； （2）连接，证明为等边三角形．延长交于G，证明，求出．在上取点O，且使得，连接，得到点P在以O为圆心，10为半径的圆上，连接，求出．则（当且仅当B、O、P三点共线时等号成立），求出的最小值为－10．过点P作于H，延长交于K，证明，求出，得到，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ②∵ ∴点在以为直径的圆上运动， 取的中点，则， ∴， ∴的最小值为 （2）解：如图2，连接， ∵，E为中点， ∴， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 延长交于G， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 在上取点O，且使得，连接， ∵， ∴． 又∵， ∴点P在以O为圆心，10为半径的圆上，连接， ∴． ∴（当且仅当B、O、P三点共线时等号成立）， ∴的最小值为． 如备用图，过点P作于H，延长交于K， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 36．（2026·陕西渭南·二模）探究及解决问题 (1)如图1，在中，，，点是平面内一动点，连接、，若，则的最大值为________； 【问题探究】 (2)如图2，在和中，，，，连接、，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，某体育馆计划修建一个四边形运动场，沿对角线铺设一条小路，沿对角线修一条健身跑道，并对区域进行绿化，为了容纳更多的市民锻炼，要求健身跑道要尽可能的长，且保证绿化部分面积不变（即区域面积不变）．已知，，的面积为．求健身跑道长度的最大值．（小路和健身跑道的宽度忽略不计） 【答案】(1) (2)证明： ， , ， , ， ,     , ； (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据题意得到点在以为圆心，为半径的圆上，且当三点共线，且点在的右侧时，有最大值，进而求出最大值即可； （2）根据同角的余角相等推出，再根据三角形面积推出，进而变形得到，即可证明； （3）过点作，取，连接、，由（2）同理可证，结合相似三角形性质推出，取的中点为，以为圆心，长为半径作，则在的弧上运动，当运动到时，最大，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）解： ，， ， 点是平面内一动点，， 点在以为圆心，为半径的圆上， 当三点共线，且点在的右侧时，有最大值， 的最大值为； （2）略 （3）解：过点作，取，连接、， ，， ， ， 的面积为． 由（2）同理可证， ， 取的中点为，以为圆心，长为半径作，则在的弧上运动， 当运动到时，最大， ， ， ， ， 即的最大值为． 37．（2026·陕西咸阳·一模）【问题探究】 (1)如图1，在菱形中，对角线、交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在边上． ①求证：； ②若，，求线段的长． (2)【问题解决】如图2，某街道要在一块形状为四边形的口袋公园建设休闲设施（周围空地可利用）．边的中点是公园的入口，点是边上的可移动景观灯（不与、重合）．设计师将线段绕点顺时针旋转得到，连接，并将设置为休闲步道．同时，将绕点顺时针旋转得到，点为休息亭．连接交边于点，将设置为草坪，已知米，．请帮助工作人员计算出当休闲步道取得最小值时，草坪的面积．（入口、休息亭、景观灯的大小以及步道的宽度均忽略不计） 【答案】(1) ①证明：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴，， ∴； ② (2)当休闲步道取得最小值时，草坪的面积为平方米 【分析】（1）①根据菱形的性质得出，，则，根据旋转的性质可得则，进而得出，，即可得证； ②根据菱形的性质以及勾股定理求得，结合①的结论，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，过点作于点，证明得出，当时，取得最小值时，此时是等腰直角三角形，进而解得出的长，再求得的长，即可求解． 【详解】（1）①略 ②解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，过点作于点， ∵线段绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形，则，， 当时，取得最小值， 此时是等腰直角三角形， ∵，是边的中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴草坪的面积为（平方米）． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题12相似三角形 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 陕西考情(2022-2026) 命题规律 高频重难点，圆综 合、几何压轴大题高频出 考点01相似三角 现；填空选择偶尔考简单 常考A字型、8字型、母子相似模型；判定多借 形的判定与性质综 线段计算；解答大题常结 助平行线、等角条件；性质重点使用对应边成比例、 合圆、四边形、旋转，利 面积比等于相似比平方：大多作为大题中间步骤，为 合 用相似求线段长、比例、 求解线段服务，难度中等偏上 面积；属于试卷区分度核 心考点 考查频次中等，以解 考点02相似三角 答小问、填空题为主；常 以现实生活情境出题，构建相似模型解决高度、 考测高、测距，结合影 距离测量；重点考查从实际场景抽象出几何图形：计 形的实际应用 子、标杆模型；部分年份 算量不大，审题提取条件是关键，难度中等 融入解直角三角形大题中 五年真题分类园 品 考点01相似三角形的判定与性质综合 1. (2026陕西·中考真题)问题探究 图① 图② 图③ (1)如图①，AD是△ABC的角平分线，若SAABD:SAACD=3:2,则AB:AC的值为 1/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图②，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，点D,E在边BC上.若BE·CD=AB,求 ∠DAE的度数； 问题解决 (3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路 将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄 水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道. 如图③所示，四边形ABCD区域为农田，AQ,DP为小路，小路的出口P,Q分别在农田边界AB,BC上， AQ与DP相交于点M,点M为蓄水池，点B为水源接入口，BM为地下输水管道.根据种植需求， △ADP区域与△ABQ区域的面积之比为25：36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM最短. 已知AD‖BC,AB⊥BC,AD=400m,AB=480m,BC=720m,请你帮助该村计算在满足种植需 求的情况下，当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积.（结果精确到1m2.小路的宽， 蓄水池的大小均忽略不计) 2.（2025陕西中考真题)问题探究 (1)在△ABC中，∠BAC=90°，BC=8,AD为BC边上的中线，则AD的长为； (2)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=4,AB=6,P为边BC上一点，PM⊥AC,PN⊥AB, 垂足分别为M,N,连接MN,求MN的最小值： 问题解决 (3)如图②，四边形ABCD是一个游乐场的平面示意图，出入口在点B处.已知∠DAB=∠ADC=90°， AB=800m,AD=CD=600m.为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由 MN,NP,PQ,QM四条直步道连接而成的观景环道及服务中心O,其中，点M在边CD上，点N在边AD 上，点P,Q在边AB上，点O为MN的中点. 按照设计要求，MN的长为4O0m,PQ的长为80m,在点B与点O之间距离最短的情况下，使所修建的观 景环道最短.请你帮助管理部门计算，当BO最小时NP+MQ的最小值及此时BQ的长.（步道宽度及出 入口，服务中心的大小均忽略不计) 2/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M M N B P 9 图① 图② 备用图 3.(2025陕西·中考真题)问题探究 (1)如图①，在△ABC中，请画出一个口BDEF,使得点D,E,F分别在边AB,AC,BC上； (2)如图②，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,P为矩形ABCD内一点，且满足SABc=9,△BPC周 长的最小值： 问题解决 (3)为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址 修建一条笔直的步道及一个观景台.如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客 服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台.按照设计要求，点P,Q分别在边AB, AC上，且满足BP:AQ=2:3,O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大.己知 AB=120m,AC=BC=180m,请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点）， 并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA.(步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大 小均忽略不计) D B B B B 图① 图② 图③ 备用图 4.(2025陕西·中考真题)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上， EF⊥EC,则△CEF的面积为() 3/19 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.10 B.8 C.5 D.4 5.(2024陕西·中考真题)如图，直线l经过正方形ABCD的中心O,分别与BC和AD相交于点E和点F, 并与CD的延长线相交于点G,若AB=4,AF=3,则DG的长为() A.1 a g 2 D.2 6.(2024陕西中考真题)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点 H,若AB=6,CE=2,则DH的长为() A D H G C E A.2 B.3 c月 D.3 7.(2023陕西中考真题)如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长， 与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为() D M 4/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、号 C. 15 B.7 2 D.8 考点02相似三角形的实际应用 8. (2026陕西·中考真题)渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达502km.某数学兴趣小组开展测 量渭河河道宽度的实践活动.他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 4 测量示意图 1.在河道一侧的岸边选取两个观 1.在河道一侧的岸边选取两个 测点B,C,分别在AB,AC的 观测点B,C; 延长线上选取点D,E,使得 测量过程 2.测量∠ABC,∠ACB的度 DE‖BC: 数； 2.测量B,C两点之间的距离， 3.测量B,C两点之间的距离。 D,E两点之间的距离，BC与 DE之间的距离h. ∠ABC=45°， BC=120m,DE=150m, 测量数据 ∠ACB=63.4°，BC=120m」 h=20m 1.点A是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照 点： 备注 2.图中所有点均在同一平面内： 3.参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点A到BC的距离）· 5/19 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2024陕西中考真题)如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度AB.小明先在竖起 的标杆CD上的点N处，测得A点的仰角a为45°；然后，小华适当调整位置，竖起标杆EF,使点E,C, A在同一直线上，并测得ND=1m,FD=1.7m.已知CD=2.6m,EF=1m,F,D,B三点在同一水 平直线上，AB,CD,EF均垂直于FB,求避雷针顶端A的高度AB. e- 77777 7777777777777777 777 B 10.(2023·陕西·中考真题)一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不 可到达)的高AB.如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF,测得 DF=2.4m;当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角a为26.6°.已知爸爸的身高CD=1.8m, 小明眼睛到地面的距离EF=1.6m,点F、D、B在同一条直线上，EF⊥FB,CD⊥FB,AB⊥FB, 求该景观灯的高AB.(参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50) SA E-2g t D B 11.(2022·陕西·中考真题)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在 某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影 长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD, EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB. 6/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B G D 一 年模拟练测园 一、单选题 1.(2026陕西咸阳一模)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,点E在AB边上，且 AB=3BE,过点E作EF‖BC交AC于点F.若AC=6,BD=12,则△AEF的面积为() D O E F B A.10 B.8 C.6 D.5 2.(2026陕西宝鸡一模)如图，在菱形ABCD中，AB=4/5,对角线BD的长为16，E是AD的中点， F是BD上一点，连接EF.若BF=3,则EF的长为() E A.63 B.10 c.V85 D.V/77 3.(2026陕西榆林.一模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点M,N分别为OB, OC的中点，连接MN,若△ABD的面积为8，则四边形MBCN的面积为() M 7/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.3 C.2 D.1 4.(2026陕西汉中·二模)如图，在矩形ABCD中，延长DC至点M,连接AM,与BC相交于点N,则 图中的相似三角形共有() B M A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 5.(2026陕西咸阳一模)如图，在△ABC中，AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,D为AB的中点， 连接DE并延长，交BC于点F.若AB=20,AC=28,则EF的长为() D A.4 B.5 C.6 D.7 6.(2026陕西西安三模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=4.点D是BC的中点， AD=V7,过点D作DE⊥BC交AC于点E,则CE的长度为() E B D A.2 B.7 5 c. D.2 7.(2026陕西咸阳·二模)在口ABCD中，BC=9,E是AD上的一点，连接BE,AC交于点F.过点F 作FG‖AD交AB于点G.若BG=2AG,则DE的长为() 8/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C A.2 B.3 c子 D. 9-2 8.(2026陕西西安·二模)正方形ABCD和正方形BEFG的位置如图所示，点E、G分别在边AB、BC上， 连接AF并延长交BC于点H.若正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为4和1，则BH的长为() A D F C GH A.3 B.3 c 65 D. 二、填空题 9.(2026陕西咸阳一模)如图，在矩形ABCD中，AD=3,AB=2,E为CD的中点，连接AE,过点A 作AF⊥AE,与CB的延长线交于点F,AG平分∠AE,且点G在BC边上，则AG的长为一 D E B G 10.(2026陕西渭南一模)如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD交于点O,点F在OA上，且 OF=OA,点B在BC边上，且BC=3CE,连接EF、DE.若△CEF的面积为1O,则四边形ABED的 4 面积为 11. (2026陕西咸阳一模)如图，AD是△ABC的角平分线，∠ADB=60°，点E、F在AC边上，且 9/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE=AB,连接DE、BF,BF与AD交于点M.若BF=CF,DM=5,BD=8,则CD的长为 M D 12.(2026陕西西安·一模)如图正方形ABCD中，E为AD边上任意一点（不与点A、D重合），将CE 绕点C逆时针旋转90°至F,连接EF,取EF的中点P,若BP=2,则AE的长为 E 13.(2026陕西西安：一模)如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，EF⊥BE与CD交于点F, 当S四边形BEFC S正方整ABcn时，则 C 3 的值为 D E B 14. (2026陕西榆林·二模)魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其 中四边形ABCD、四边形EFGD和四边形EAIH都是正方形，点I在AD边上，ED交HI于点M.如果 △EMH与△DMI的面积比为16：9，AD=7,则正方形EDGF的面积为 G 15.(2026陕西宝鸡二模)如图，在矩形ABCD中，AB=18,AD=24,点E、F是对角线BD上的动 点，点E在点F的下方，EF=10,连接AE、CF,当AE+CF最小时，BE的长为 10119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O E 16.(2026陕西宝鸡二模)如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、G在BD上，点F是BC的中点，连 接AE、FG,∠AEB=∠BGF.若AE=8,则GF的长为 G E 17.(2026陕西西安·二模)如图，在△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=45°，D、E分别为AB、AC 上两动点，且AE=2AD,连接CD、BE,则CD+号BE的最小值为 A D E 18.(2026陕西宝鸡一模)如图，在△ABC中，AB=8,BC=6,AC=10,BD⊥AC于点D,点E 是BD边上的动点，连接AE,作EF⊥AE,点F在AE下方，连接AF,DF,若∠BAE=∠CAF,则 DF的最小值为 B 19.(2026陕西西安.一模)如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,D是AB的中点，P 是平面内一点，且DP=1,连接BP、CP.将线段BP绕点P顺时针旋转90°得到线段BP,连接AB.当 AB取得最大值时，四边形ABBC的面积为 11/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B P B 三、解答题 20.(2026陕西宝鸡·一模)西安鼓楼是中国古代遗留下来的众多鼓楼中形制最大、保存最完整的鼓楼之 一，某数学小组成员想利用所学知识测量鼓楼的高度AB(如图)·该小组成员在点C处测得鼓楼的顶端 A的仰角∠ACB=37°，从点C处移动31米到达点E处(CE=31米)，在点E处竖立一根高为2米的标 杆EF,此时，鼓楼在太阳光下的影子末端与标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点D处，经 测量知DE=1米，已知EF⊥BC,AB⊥BC,点C,D,E,B在同一直线上，图中所有点均在同一平面 内，请你帮助该数学小组成员求出西安鼓楼的高度AB.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°N0.80, tan37°≈0.75) LC000000081 37° C DE B 21.(2026陕西西安.一模)《金戈》是以紫铜锻造而成，突出表现了秦国在统一历程中推行“耕战”国 策的雄略主题，周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量这座雕塑最高点到地面的距离.如图，小华在 点D处竖立一根标杆CD,小亮站在斜坡GF的点F处，调整自己眼睛的高度，当眼睛在E处时，他的视线 从E点通过标杆顶端C点正好落在雕塑顶端A点处.已知AB、CD、EF均与地面BH垂直，测得 BD=7.2米，DG=0.3米，点F到地面的距离FM=0.5米，EF=1米，CD=2米，∠FGM=45°，点 B、D、G、MH在一条水平线上，图中所有点均在同一平面内，求雕塑最高点到地面的距离AB H DGM 22.（2026陕西渭南·二模)陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物一一 渭华起义纪念碑.某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑AB的顶端B在阳光下的 12/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 影子落在点C处，同一时刻，竖直放置的标杆CD的顶端D在阳光下的影子落在点E处，在纪念碑另一侧点 F处测出纪念碑AB的顶端B的仰角∠BFA=45°，测得CD=2m,CE=3m,EF=83m,已知 CD⊥EF,AB⊥EF,点E、C、A、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内.请你帮助该实践 小组求纪念碑的高度AB, D E C A 23.(2026陕西渭南·二模)古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重 要标志物.小君利用假期测量了被列为全国仅存的5株5000岁古柏之一的老君柏（如图1）的高度.如图 2,小君在地面上的点C处测得老君柏顶端A的仰角∠ACB=45°；小君在地面上的点D处竖立一根高为 2米的标杆（即DE=2米），在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为BD、DF, CD=14.5米，DF=4米.已知AB⊥BF,DE⊥BF,点B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在 同一平面内.请你求出老君柏的高度AB. B 图1 图2 24.（2026陕西榆林·二模)文元塔位于府谷香炉山森林公园内，登塔可观赏香炉山景点及府谷、保德两 县景观.某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量文元塔的高度MN,活动报告如下： 活动主题 测量文元塔的高度MN 如图，在点B处竖立一根高 为2m的标杆AB,文元塔顶 M 端M点、标杆的顶端A点与 测量过程及示意图 地面上的C点在同一条直线 A D 上，在点E处竖立一根高为 CB E 2m的标杆DE,文元塔顶端 M点、标杆的顶端D点与地 13119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 面上的F点在同一条直线 上. 测量数据 BC=2EF=2m,BE=85.5m MN⊥CF,AB⊥CF,DE⊥CF,点 图形说明 C、B、N、E、F在同一水平线上，图中所有点在 同一平面内 请你根据以上活动报告，求出文元塔的高度MN. 25.(2026陕西安康·一模)陕西广播电视塔，又称西安电视塔，塔楼上建有观光厅、旋转厅.登塔遥望， 古城风貌尽收眼底，成为西安市一大观光景点.某数学兴趣小组要完成一个项目，测量电视塔的高度AB. 如图，电视塔AB前有一棵高12.5米的树CD,发现水平地面上点E,树顶C和塔顶A恰好在一条直线上， 测得BD=372米，D,E之间有一个花园，由于障碍物的遮挡导致距离无法测量，所以在E处放置一平面 镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG=2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为 1.5米.己知AB⊥BG,CD⊥BG,FG⊥BG,点B,D,E,G在同一水平线上，请你求出陕西广播 电视塔的高度AB.(平面镜的大小厚度忽略不计) B 26.(2026陕西商洛.一模)如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，AD为⊙O的弦，点H为BC 的中点，连接OH,过点D作⊙O的切线DE交CB的延长线于点E,DE⊥CE. D E 1)求证：AC=2DE: (2)若DE=3BE=3,⊙O的半径. 27.（2026陕西西安.一模)问题提出 14119 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E BM BM 图① 图② 图③ 备用图 (1)如图①，AB⊥BC,CD⊥BC,E为BC上一点，连接AE、DE,当∠AED=90时，∠A+∠D= 问题探究 (2)如图②，在边长为6的等边△ABC中，D为AB的中点，E为BC边上任意一点，连接DE,并作 ∠=60°，使得∠乙的一边与AC交于点F,试求出CF的最大值. 问题解决 (3)如图③，四边形ABCD为某美食商业区的平面示意图，其中AD‖BC,∠B=90°，AB=80m, BC=CD=100m.经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格.市场管理 者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演. 方案：在BC上选取一点M,CD上选取一点N,连接AM、AN、MN,构造△AMN.已知点A为美食商 业区的出入，an∠AMN=号设BM=xm,NC=ym. (i)求y与x之间的函数关系式. (ⅱ)为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点N与点C的距离足够远，请你根据 需求计算出当NC最大时△AMN的面积. 28.(2026陕西咸阳·二模)咸阳二号桥是咸阳市标志性建筑之一.晓华和小敏利用无人机和所学过的相 似的知识测量咸阳二号桥桥塔的高度.如图，晓华从D点竖直升起一架无人机到C处在空中悬停， CD=30米，小敏从G点竖直升起一架无人机，当该无人机在F处时，发现C处的无人机、F处的无人机和 桥塔底端B恰好在一条直线上，小敏继续控制无人机垂直上升到E处，发现C处的无人机、E处的无人机和 桥塔顶端A恰好在一条直线上，GF=15米，EF=44米.AB⊥BD,EG⊥BD,CD⊥BD,点E、F、 G在一条直线上，点B、G、D在一条水平直线上，图中所有点都在同一平面内.请你求出桥塔的高度AB 15119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F B G 29.(2026陕西咸阳一模)如图，在口ABCD中，连接BD并延长至点E,连接CE,∠CDE=135°， 点F在线段BD上，连接CF,DB平分∠ADC,∠FCD=∠E. (I)求证：四边形ABCD是正方形： 2)若AB=4,DE=BD,求DF的长， 4 30.(2026陕西宝鸡·二模)结合图形解答下列各题： 图1 图2 图3 (1)【问题提出】如图1，在△ABC中，AB=9,sinB= 3,点D是BC边上的动点，连接AD,则AD的 最小值为 (②)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B与∠ADC互补，延长CD至点E,使得DE=BC,连接 AC、AE,求证：CA平分∠BCE; 3)【问题解决】如图3，△ABC是某农场的一块育苗基地示意图（周围空地可利用），AC的中点E处有 一口灌溉水井，射线AM是一条小路，现要将育苗基地进行扩建，在AM上找一点D,沿CD修一条小路， 并在小路CD右侧修一小路CP,使得CP=CD,且∠DCP=∠ACB,△CDF与△CDE关于CD所在直 线对称，四边形DECF是水培植物区，再沿PF修一条水渠，为节约成本，要求水渠PF的长度尽可能的短. 已知AB=600m,AC=BC=500m,AC平分∠BAM,求水渠PF的最短长度.（灌溉水井的大小、小 路和水渠的宽度均忽略不计) 31.(2026陕西商洛一模)如图，小琪想测量广场边的图腾柱AB的高度，图腾柱外围有栅栏无法直接到 16119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 达底部B处进行测量.在对周边进行测量时，小琪发现图腾柱AB所在的广场CD比广场外的路面PQ高 1.5m,身高1.6m的小琪(MN)站在广场上图腾柱的另一侧，且距离C点17.8m远的N处，在A处的灯 光的照射下，小琪留在地面上的影长NF为3.2m,广场边沿C留在路面PQ上的影长PE为0.5m,己知点 C,B,N,F,D在同一条直线上，AB⊥CD,MN⊥CD,CP⊥PQ,广场CD与路面PQ平行，求 图腾柱AB的高度。 宋F D 32.(2026陕西渭南·二模)作为西安市文化新地标，长安书院（如图1)主体建筑以“翻开的书”为造型， 展现出“写意长安”的韵味.小美和小艺同学某次去长安书院读书时，设计了如下测量方案，以测量檐口 某处距离地面的高度：如图2，小美在地面上的点C处测得檐口A的仰角∠ACB=45°，小艺在点H处放 置一面平面镜（大小不计），站在点D处，眼睛位于点E处时，恰好从平面镜中看到檐口A的像，已知 DE=1.8米，DH=2.1米，CH=8米，AB⊥BD,ED⊥BD,B、C、H、D在一条水平直线上，图中 所有的点都在同一平面内.请你计算檐口A距离地面的高度AB. 图1 图2 33.(2026陕西商洛·二模)如图，已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC.连接CO并延长，交⊙O于点 E,连接AE,过点B作BD⊥AC于点D,交CE于点F. (I)求证：∠ACE=∠DBC: 2)若an<BAC=2 0C=10,求OF的长. 34. (2026陕西西安·一模)解决下列问题： 17119 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图1 图2 图3 问题探究 1)如图1，半圆O的直径AB=6,点P是半圆O上的一个动点，则△ABP面积的最大值 (②)如图2，△ABC与△BDE都为等边三角形，当CE⊥BD时，求∠ADB的度数： 问题解决： 3)如图3，市政部门准备在一块空地上修建一个四边形的便民休闲区ABCD,其中BC=400米， ∠DCB=45°，AB⊥BC且V2DC+AB=BC,AC和BD是两条小路，AC和BD的交点为点E,其中 △BCE区域为健身区，为响应“全民健身”的号召，现要使点B、C、E围成的三角形面积最大，求 △BCE面积的最大值.（结果保留根号） 35.（2026陕西西安·二模)探究解题 4 A E D B E B B 图1 图2 备用图 (I)如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两动点，且满足BF=CE,连接CF、DE交于 点P. ①∠DPC的度数为：②连接BP,若BC=6,则BP的最小值为； 2)如图2，在长方形ABCD中，AB=30,AD=203,E为AD中点，Q为CB上一动点，F为BE上一点， P为CF上一点，且满足BF=2CQ,∠CPQ=60°，连接BP,求BP的最小值，及此时△EPD的面积. 36.(2026陕西渭南·二模)探究及解决问题 图1 图2 图3 18119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 I)如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=V2,点D是平面内一动点，连接AD、BD,若AD=1, 则BD的最大值为 【问题探究】 (2)如图2，在△ABC和△BDE中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=4,S△BDE=8,连接CD、AE, 求证：△ABE一△DBC; 【问题解决】 3)如图3，某体育馆计划修建一个四边形运动场ABCD,沿对角线AC铺设一条小路，沿对角线BD修一条 健身跑道，并对△ACD区域进行绿化，为了容纳更多的市民锻炼，要求健身跑道BD要尽可能的长，且保 证绿化部分面积不变（即△ACD区域面积不变）.已知∠ABC=∠DAC=90°，AB=200m,△ACD 的面积为20000m2.求健身跑道长度BD的最大值，（小路和健身跑道的宽度忽略不计） 37.(2026陕西咸阳一模)【问题探究】 D 图1 图2 (I)如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,将线段AC绕点C顺时针旋转得到线段CE,点A 的对应点E恰好落在AD边上. ①求证：△ABC一△ACE: ②若AB=13,BD=24,求线段AE的长， (2)【问题解决】如图2，某街道要在一块形状为四边形ABCD的口袋公园建设休闲设施（周围空地可利 用)，AB边的中点E是公园的入口，点F是BC边上的可移动景观灯（不与B、C重合），设计师将线段 EF绕点F顺时针旋转90°得到FG,连接CG,并将CG设置为休闲步道.同时，将BE绕点B顺时针旋转 90°得到BM,点M为休息亭.连接GM交BC边于点N,将△CNG设置为草坪，已知AB=BC=40米， ∠ABC=60°.请帮助工作人员计算出当休闲步道CG取得最小值时，草坪△CNG的面积.（入口、休 息亭、景观灯的大小以及步道的宽度均忽略不计) 19119