专题05二次根式精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次根式核心知识，从定义及双重非负性入手，系统梳理两条核心性质（()²=a与√a²=|a|），进而讲解最简二次根式的识别与化简，构建乘除、加减及混合运算的完整知识体系，为学生搭建从概念理解到运算应用的学习支架。 资料通过24种分层题型（含基础到压轴难度）、重点辨析易混公式及常见陷阱提示，培养学生运算能力与推理意识。如“利用二次根式性质化简”题型强调符号处理，“分母有理化”注重恒等变形技巧，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

专题05二次根式精讲学案 核心立意： 理解二次根式定义以及有意义的条件；掌握二次根式两条核心性质；会识别最简二次根式；熟练完成二次根式乘、除、加、减及混合运算；掌握分母有理化；区分易混淆公式，规避做题常见陷阱。 二次根式的定义与双重非负性 ①形如（a0）的式子叫做二次根式，a称为被开方数； ②有意义条件：被开方数a0；若式子含有分母，同时分母不等于0； ③双重非负性：被开方数a0；二次根式计算结果0}。 二次根式两条核心性质 ①()2=a(a0)；先开方，再平方，a必须是非负数； ②=|a|；先平方，再开方，a可取全体实数，结果一定是非负数。 最简二次根式（运算最终结果必须化为最简） 同时满足两个条件： ①被开方数不含分母； ②被开方数不含能够开得尽方的因数或因式； 补充要求：运算结果分母不能含有根号。 二次根式乘法法则 ①=（a≥0，b≥0）； ②逆用：=，（a≥0，b≥0）用于根式化简。 二次根式除法法则与分母有理化 ①（a≥0,b>0）； ②逆用：=，（a≥0,b>0）； ③分母有理化：通过恒等变形消去分母中的根号，保证分母不含根号。 同类二次根式 ①定义：化简为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式； ②注意：判断是否为同类二次根式，必须先化成最简二次根式再判断，不能直接看原式。 二次根式的加减运算 ①运算步骤：第一步，把所有二次根式化为最简二次根式；第二步，找出其中的同类二次根式；第三步，合并同类二次根式； ②运算规则：只有同类二次根式才可以合并，不是同类二次根式不能进行合并。 二次根式混合运算 ①运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内部； ②可运用整式乘法公式（平方差、完全平方公式）简化根式计算。 重点辨析 ①成立前提：被开方数a0；当a<0时，该式子无意义； ②区分()2与，二者字母取值条件不一样，不可等同； ③乘除公式使用必须满足被开方数取值要求，不能对负数直接套用公式； ④同类二次根式判断前提：必须先化简，不能直接依据原式判断； ⑤加减运算只能合并同类二次根式，被开方数不同不可以直接相加减； ⑥所有计算最终结果，必须化为最简二次根式，分母不能留有根号。 ①求字母取值范围，只关注根号内部，忽略分母不等于0的隐藏条件； ②混淆()2=a和=|a|，化简直接写a，漏掉绝对值； ③在a<0、b<0的条件下，错误套用=； ④判断同类二次根式，不化简直接看原式，造成判断错误； ⑤加减运算未先化成最简二次根式，直接合并被开方数； ⑥强行合并不是同类的二次根式； ⑦分母有理化变形出错，分母依旧保留根号； ⑧混合运算使用平方差、完全平方公式时符号处理出错。 题型 考察方向 难度 题型一 二次根式的识别 ★ 题型二 求二次根式的值 ★ 题型三 求二次根式中的参数 ★★ 题型四 二次根式有意义的条件 ★★ 题型五 利用二次根式的性质化简 ★★ 题型六 复合二次根式的化简 ★★★★ 题型七 二次根式的乘法 ★★★ 题型八 二次根式的除法 ★★ 题型九 二次根式的乘除混合运算 ★★ 题型十 最简二次根式的判断 ★★ 题型十一 化为最简二次根式 ★★ 题型十二 已知最简二次根式求参数 ★★★ 题型十三 同类二次根式 ★★★ 题型十四 二次根式的加减运算 ★★ 题型十五 二次根式的混合运算 ★★★ 题型十六 分母有理化 ★★★ 题型十七 已知字母的值，化简求值 ★★★ 题型十八 已知条件式，化简求值 ★★★★ 题型十九 比较二次根式的大小 ★★★ 题型二十 二次根式的应用 ★★★ 题型二十一 实数的混合运算 ★★★ 题型二十二 新定义下的实数运算 ★★★★ 题型二十三 实数运算的实际应用 ★★★★ 提醒二十四 与实数运算相关的规律题 ★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★偏难★★★★★压轴 题型一：二次根式的识别 解题思路：①依据定义(a0)}判定；②式子必须含有二次根号；③被开方数为非负数；④被开方数可以是数字或代数式。 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 2．下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：求二次根式的值 解题思路：①把字母数值代入根式；②优先计算被开方数；③再进行开平方运算，求出结果。 4．当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 5．当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型三：求二次根式中的参数 解题思路：①利用被开方数a0列关系式；②含有分母时分母不能为0；③列出不等式(组)；④求解得到参数取值范围。 7．若是整数，则正整数n的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 8．已知是整数，则自然数x的所有取值为____________． 9．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 题型四：二次根式有意义的条件 解题思路：①令被开方数大于或等于0；②含分母时分母不等于0；③多个根式，每个被开方数都要≥0；④联立不等式组求解。 10．若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．若是最简二次根式，则可能是（     ） A． B． C． D． 12．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 13．为任何实数，下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 题型五：利用二次根式的性质化简 解题思路：①分清公式(）2=a(a0)、=|a|；②遇到先写成绝对值形式；③结合字母取值；④去掉绝对值完成化简。 14．计算：（     ） A． B．3 C． D．9 15．下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 16．把中根号外的移入根号内得________． 17．下列式子：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），化简正确的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 题型六：复合二次根式的化简 解题思路：①针对类型；②把被开方数凑成()2完全平方；③执行开方运算；④输出非负化简结果。 18．若，则的值为_______． 19．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 20．计算的结果为____________． 题型七：二次根式的乘法 解题思路：①套用公式=（a≥0，b≥0）；②完成根式相乘；③结果化为最简二次根式。 21．计算：______． 22．对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 23．设，用含的式子表示，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 24．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型八：二次根式的除法 解题思路：①套用公式（a≥0,b>0）；②完成除法运算；③化简，保证分母不含根号。 25．_________． 26．计算的结果是______． 27．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型九：二次根式的乘除混合运算 解题思路：①按从左到右依次运算；②也可将被开方数先整体乘除；③再统一开根号；④结果化为最简二次根式。 28．对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 29．计算：______． 30．下列各式正确的是 (    ) A． ×＝9 B．(4)2＝8 C．÷ D．＝7－4 题型十：最简二次根式的判断 解题思路：①被开方数不含分母；②没有能开得尽方的因数或因式；③两个条件同时满足才是最简二次根式。 31．下列式子中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 32．在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 33．在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型十一：化为最简二次根式 解题思路：①分解被开方数的因数、因式；②把可以开方的部分移出根号；③存在分母就做分母有理化；④满足最简二次根式两条条件。 34．化简：___________． 35．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 36．若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 37．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十二：已知最简二次根式求参数 解题思路：①依据最简二次根式条件列方程或不等式；②计算参数；③参数代回原式；④完成检验。 38．若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 39．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，则m，n的值分别为（   ）． A．， B．， C．， D．， 40．若最简二次方根式与可以合并，则____， ___，的值为___． 41．已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十三：同类二次根式 解题思路：①先全部化为最简二次根式；②被开方数相等即为同类二次根式；③已知同类根式则列方程求参数；④代回原式检验。 42．当______时，最简二次根式与是同类二次根式． 43．若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 44．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 45．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型十四：二次根式的加减运算 解题思路：①全部化为最简二次根式；②找出式子中的同类二次根式；③只合并系数，根号内部保持不变；④非同类二次根式不能合并。 46．________； 47．计算：________． 48．计算：_______． 49．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十五：二次根式的混合运算 解题思路：①运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；②有括号优先计算括号内；③可使用平方差、完全平方公式；④结果化为最简二次根式。 50．计算：____________． 51．已知，，，则________． 52．计算________． 53．小明的作业本上有以下四题，做错的题是（     ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 题型十六：分母有理化 解题思路：①找出分母对应的有理化因式；②分母为单项，分子分母同乘；③分母为，同乘\；④使分母不含根号。 54．计算：__________． 55．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 56．已知，，则与的关系为________． 57．化简的结果是（   ） A． B． C． D．3 题型十七：已知字母的值，化简求值 解题思路：①先化简代数式，不直接代入原始式子；②再代入字母数值；③遇到，结合正负去掉绝对值；④算出最终结果。 58．当时，的值为__________． 59．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ． 若，则的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 60．若，，则的值为______． 61．已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 题型十八：已知条件式，化简求值 解题思路：①从条件推出字母取值范围或整体代数式；②化简所求式子；③采用整体代入计算；④重点处理带绝对值的根式。 62．当时，二次根式的值为__________． 63．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 64．若，，则代数式的值等于____． 65．已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 题型十九：比较二次根式的大小 解题思路：①可选平方法、作差法、分母有理化；②正数优先选用平方法；③负数比较注意负号影响；④确定根式大小关系。 66．比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 67．比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 68．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二十：二次根式的应用 解题思路：①读懂题意，结合几何或实际情境；②列出含有二次根式的算式；③完成根式运算；④结合实际选取合理结果。 69．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 70．如图，长方形内两个正方形的面积分别是，．这个长方形的周长是____________． 71．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型二十一：实数的混合运算 解题思路：①运算顺序：先乘方、开方，再乘除，后加减；②先判断正负，去掉绝对值；③逐项完成计算；④化简得到最终答案。 72．____________． 73．计算：______． 74．计算：=________． 75．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 题型二十二：新定义下的实数运算 解题思路：①读懂题目给出的新运算法则；②把新运算转化为常规根式运算；③严格套用题目关系式列式；④计算并化简结果。 76．规定新运算：，则等于（     ） A． B． C． D． 77．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：（），如，则_________． 78．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 题型二十三：实数运算的实际应用 解题思路：①梳理题干中的数量关系；②列出含有二次根式的算式；③进行计算；④舍去不符合实际的结果。 79．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 80．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 81．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 题型二十四：与实数运算相关的规律题 解题思路：①观察给出的式子；②找出数字、根式的循环或递推特点；③归纳总结通用规律；④利用规律进行求解。 82．观察分析下列数据：0，，2，，，，，…，根据数据排列的规律得到的第10个数据的值是（   ） A．3 B． C． D． 83．学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 84．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戊 亥 如果年为己丑年，依据上述规律推断，年应为（     ） A．癸亥年 B．丙午年 C．癸酉年 D．甲子年 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)． 3．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 4．已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值． 5．根据已知条件化简并求值： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 6．【阅读材料】 对于正整数，定义代数式：． 小明发现：通过分母有理化，． 例如：，． 【问题解决】 (1)计算：； (2)猜想：_________（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)设，则_________． 7．拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 8．阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； (2)已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； (3)若，试求函数的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二次根式精讲学案 核心立意： 理解二次根式定义以及有意义的条件；掌握二次根式两条核心性质；会识别最简二次根式；熟练完成二次根式乘、除、加、减及混合运算；掌握分母有理化；区分易混淆公式，规避做题常见陷阱。 二次根式的定义与双重非负性 ①形如（a0）的式子叫做二次根式，a称为被开方数； ②有意义条件：被开方数a0；若式子含有分母，同时分母不等于0； ③双重非负性：被开方数a0；二次根式计算结果0}。 二次根式两条核心性质 ①()2=a(a0)；先开方，再平方，a必须是非负数； ②=|a|；先平方，再开方，a可取全体实数，结果一定是非负数。 最简二次根式（运算最终结果必须化为最简） 同时满足两个条件： ①被开方数不含分母； ②被开方数不含能够开得尽方的因数或因式； 补充要求：运算结果分母不能含有根号。 二次根式乘法法则 ①=（a≥0，b≥0）； ②逆用：=，（a≥0，b≥0）用于根式化简。 二次根式除法法则与分母有理化 ①（a≥0,b>0）； ②逆用：=，（a≥0,b>0）； ③分母有理化：通过恒等变形消去分母中的根号，保证分母不含根号。 同类二次根式 ①定义：化简为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式； ②注意：判断是否为同类二次根式，必须先化成最简二次根式再判断，不能直接看原式。 二次根式的加减运算 ①运算步骤：第一步，把所有二次根式化为最简二次根式；第二步，找出其中的同类二次根式；第三步，合并同类二次根式； ②运算规则：只有同类二次根式才可以合并，不是同类二次根式不能进行合并。 二次根式混合运算 ①运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内部； ②可运用整式乘法公式（平方差、完全平方公式）简化根式计算。 重点辨析 ①成立前提：被开方数a0；当a<0时，该式子无意义； ②区分()2与，二者字母取值条件不一样，不可等同； ③乘除公式使用必须满足被开方数取值要求，不能对负数直接套用公式； ④同类二次根式判断前提：必须先化简，不能直接依据原式判断； ⑤加减运算只能合并同类二次根式，被开方数不同不可以直接相加减； ⑥所有计算最终结果，必须化为最简二次根式，分母不能留有根号。 ①求字母取值范围，只关注根号内部，忽略分母不等于0的隐藏条件； ②混淆()2=a和=|a|，化简直接写a，漏掉绝对值； ③在a<0、b<0的条件下，错误套用=； ④判断同类二次根式，不化简直接看原式，造成判断错误； ⑤加减运算未先化成最简二次根式，直接合并被开方数； ⑥强行合并不是同类的二次根式； ⑦分母有理化变形出错，分母依旧保留根号； ⑧混合运算使用平方差、完全平方公式时符号处理出错。 题型 考察方向 难度 题型一 二次根式的识别 ★ 题型二 求二次根式的值 ★ 题型三 求二次根式中的参数 ★★ 题型四 二次根式有意义的条件 ★★ 题型五 利用二次根式的性质化简 ★★ 题型六 复合二次根式的化简 ★★★★ 题型七 二次根式的乘法 ★★★ 题型八 二次根式的除法 ★★ 题型九 二次根式的乘除混合运算 ★★ 题型十 最简二次根式的判断 ★★ 题型十一 化为最简二次根式 ★★ 题型十二 已知最简二次根式求参数 ★★★ 题型十三 同类二次根式 ★★★ 题型十四 二次根式的加减运算 ★★ 题型十五 二次根式的混合运算 ★★★ 题型十六 分母有理化 ★★★ 题型十七 已知字母的值，化简求值 ★★★ 题型十八 已知条件式，化简求值 ★★★★ 题型十九 比较二次根式的大小 ★★★ 题型二十 二次根式的应用 ★★★ 题型二十一 实数的混合运算 ★★★ 题型二十二 新定义下的实数运算 ★★★★ 题型二十三 实数运算的实际应用 ★★★★ 提醒二十四 与实数运算相关的规律题 ★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★偏难★★★★★压轴 题型一：二次根式的识别 解题思路：①依据定义(a0)}判定；②式子必须含有二次根号；③被开方数为非负数；④被开方数可以是数字或代数式。 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】二次根式需满足根指数为2，且被开方数大于等于0．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 2．下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式．需满足根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，当时，，无意义，不是二次根式，∴A错误； ∵选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，∴B错误； ∵选项C中，被开方数，满足二次根式定义，∴C正确； ∵选项D中，当时，无意义，不是二次根式，∴D错误． 3．下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 题型二：求二次根式的值 解题思路：①把字母数值代入根式；②优先计算被开方数；③再进行开平方运算，求出结果。 4．当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的值代入二次根式，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将代入二次根式可得． 5．当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型三：求二次根式中的参数 解题思路：①利用被开方数a0列关系式；②含有分母时分母不能为0；③列出不等式(组)；④求解得到参数取值范围。 7．若是整数，则正整数n的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【分析】先对72分解因数，将根号内整理为平方数与剩余因数乘积的形式，根据二次根式结果为整数的要求，即可求出最小正整数n． 【详解】解：∵ ∴ ∵是整数，且n为正整数 ∴是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为． 8．已知是整数，则自然数x的所有取值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 9．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 题型四：二次根式有意义的条件 解题思路：①令被开方数大于或等于0；②含分母时分母不等于0；③多个根式，每个被开方数都要≥0；④联立不等式组求解。 10．若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到x的取值范围 【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数 ∴， 解不等式得 11．若是最简二次根式，则可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次根式有意义需满足．最简二次根式的要求为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数． 【详解】解：选项A中，满足，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，因此是最简二次根式，符合要求． 选项B中，无意义，因此排除B； 选项C中，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，排除C； 选项D中，是能开得尽方的因数，，因此不是最简二次根式，排除D． 12．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质与算术平方根的非负性判断各选项正误． 【详解】解：∵，仅当时结果为，∴A选项运算错误； ∵表示25的算术平方根，结果为，∴B选项运算错误； ∵，∴C选项运算正确； ∵有意义的条件为，即，此时，∴D选项运算错误． 13．为任何实数，下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用特殊值法逐项判断即可． 【详解】解：A、取，，则，故A错误； B、取，，则，但、无意义，等式不成立，故B错误； C、，且，，故C正确； D、取，，则，故D错误． 题型五：利用二次根式的性质化简 解题思路：①分清公式(）2=a(a0)、=|a|；②遇到先写成绝对值形式；③结合字母取值；④去掉绝对值完成化简。 14．计算：（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【详解】解：． 15．下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用算术平方根的非负性快速排除部分错误选项，再验证剩余选项的运算结果． 【详解】解：A、C选项：，，选项均错误． B选项：，选项错误． D选项：，选项正确． 故答案为D． 16．把中根号外的移入根号内得________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的符号，再将根号外的因式移入根号化简，注意保留符号． 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 17．下列式子：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），化简正确的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】结合同类二次根式的合并规则与运算法则，逐一验证等式，即可作答． 【详解】解：（1）与不是同类二次根式，不能直接合并，原式错误； （2），原式正确； （3），则，，原式错误； （4），原式正确； （5），，，原式错误； 综上，化简正确的有2个， 题型六：复合二次根式的化简 解题思路：①针对类型；②把被开方数凑成()2完全平方；③执行开方运算；④输出非负化简结果。 18．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据给出的二次根式乘法法则，将被开方数分解为完全平方数与非负因数的乘积，再进行化简即可得到结果． 【详解】解：． 19．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2,2 20．计算的结果为____________． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合运算顺序进行即可． 【详解】解：原式． 题型七：二次根式的乘法 解题思路：①套用公式=（a≥0，b≥0）；②完成根式相乘；③结果化为最简二次根式。 21．计算：______． 【答案】 【详解】 22．对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 【答案】 【详解】解：∵新运算定义为，本题中，， ∴． 23．设，用含的式子表示，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分解变形为含有和的形式，再代入已知条件即可得到结果． 【详解】解：， 又， ， ． 24．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意． 题型八：二次根式的除法 解题思路：①套用公式（a≥0,b>0）；②完成除法运算；③化简，保证分母不含根号。 25．_________． 【答案】 【详解】解：． 26．计算的结果是______． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的除法法则化简计算即可． 【详解】解： ． 27．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的除法法则以及相关运算逐项判断即可． 【详解】解：A．，即选项A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D正确． 题型九：二次根式的乘除混合运算 解题思路：①按从左到右依次运算；②也可将被开方数先整体乘除；③再统一开根号；④结果化为最简二次根式。 28．对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 29．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了负指数幂，二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，负指数幂的计算得到结果，再根据实数的混合运算计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 30．下列各式正确的是 (    ) A． ×＝9 B．(4)2＝8 C．÷ D．＝7－4 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则分别对各项进行计算然后判断即可． 【详解】A．×＝3，故该选项错误； B．(4)2＝32，故该选项错误； C．÷＝=3，故该选项错误； D．∵4＝，7＝， <，即4<7， ∴＝7－4， 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的运算和求算术平方根，熟悉相关性质是解题的关键 题型十：最简二次根式的判断 解题思路：①被开方数不含分母；②没有能开得尽方的因数或因式；③两个条件同时满足才是最简二次根式。 31．下列式子中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B.，被开方数含分母，不是最简二次根式； C.的被开方数为整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式. 32．在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 【答案】 【分析】满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对所给二次根式逐个判断即可得到答案． 【详解】解：，原被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ∴最简二次根式只有，共1个． 33．在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：，，，中， ，是最简二次根式， 的被开方数含有分母，的被开方数含有能开得尽的因式，都不是最简二次根式， 故最简二次根式的个数是2. 题型十一：化为最简二次根式 解题思路：①分解被开方数的因数、因式；②把可以开方的部分移出根号；③存在分母就做分母有理化；④满足最简二次根式两条条件。 34．化简：___________． 【答案】 【详解】． 35．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，比较化简后的被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】选项A：，被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，被开方数为，与不是同类二次根式． 36．若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． 37．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可解题． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并， ∴， 解得， 故选：D． 题型十二：已知最简二次根式求参数 解题思路：①依据最简二次根式条件列方程或不等式；②计算参数；③参数代回原式；④完成检验。 38．若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意符合条件的整数均可） 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需不含能开得尽方的因数，被开方数不含有分母，且被开方数非负，据此找出符合要求的整数即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，为整数， ∴，且不含能开得尽方的因数， 当时，，满足条件，因此符合题意． 39．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，则m，n的值分别为（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】因为给定的根式是二次根式，所以它们的根指数必须为2；又因为它们是可以合并的最简二次根式，所以它们的被开方数相等，据此列方程组求解即可． 【详解】解：∵两个根式均为最简二次根式，且可以合并， ∴根指数都为2，且被开方数相等， ∴ 解第二个方程，移项合并同类项，得， 即， 把代入， 得． 40．若最简二次方根式与可以合并，则____， ___，的值为___． 【答案】 4 76 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据可以合并的最简二次根式是同类二次根式，列方程求出a、b，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次方根式与可以合并， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，4，76． 41．已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是最简二次根式且与可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可． 【详解】解：∵是最简二次根式且与可以合并， ∴，解得：， 故选：． 题型十三：同类二次根式 解题思路：①先全部化为最简二次根式；②被开方数相等即为同类二次根式；③已知同类根式则列方程求参数；④代回原式检验。 42．当______时，最简二次根式与是同类二次根式． 【答案】1 【分析】根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式是同类二次根式，则被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可. 【详解】解：根据题意，得， 移项得：， 解得． 43．若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，先确定根指数得到n的值，再由被开方数相等求出m的值，最后计算． 【详解】解：∵ 最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得 ， ∴ ． 44．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 45．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 题型十四：二次根式的加减运算 解题思路：①全部化为最简二次根式；②找出式子中的同类二次根式；③只合并系数，根号内部保持不变；④非同类二次根式不能合并。 46．________； 【答案】 【详解】解：． 47．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式． 48．计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 49．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 题型十五：二次根式的混合运算 解题思路：①运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；②有括号优先计算括号内；③可使用平方差、完全平方公式；④结果化为最简二次根式。 50．计算：____________． 【答案】1 【详解】解：． 51．已知，，，则________． 【答案】 【分析】根据题意将，，代入计算即可． 【详解】解：将，，代入得， 故答案为：． 52．计算________． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 53．小明的作业本上有以下四题，做错的题是（     ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质和混合运算法则计算即可． 【详解】解：①，计算正确； ②，计算正确； ③，计算错误； ④，计算正确． 题型十六：分母有理化 解题思路：①找出分母对应的有理化因式；②分母为单项，分子分母同乘；③分母为，同乘\；④使分母不含根号。 54．计算：__________． 【答案】/ 【详解】解：． 55．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式将分母有理化，化简后即可得到结果． 【详解】解：原式． 56．已知，，则与的关系为________． 【答案】 【分析】将进行化简得，可判断． 【详解】解：， 又， ∴． 57．化简的结果是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题利用分母有理化化简每一项，再通过裂项相消消去中间项得到结果，用到平方差公式进行分母有理化． 【详解】解： ． 题型十七：已知字母的值，化简求值 解题思路：①先化简代数式，不直接代入原始式子；②再代入字母数值；③遇到，结合正负去掉绝对值；④算出最终结果。 58．当时，的值为__________． 【答案】 【分析】将已知的值代入待求的二次根式，计算得到结果即可. 【详解】解：把代入得 . 59．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ． 若，则的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；将分母有理化，化简为，仿照例题进行计算得出，代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 故选：A． 60．若，，则的值为______． 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴. 61．已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 题型十八：已知条件式，化简求值 解题思路：①从条件推出字母取值范围或整体代数式；②化简所求式子；③采用整体代入计算；④重点处理带绝对值的根式。 62．当时，二次根式的值为__________． 【答案】4 【分析】把代入二次根式求值即可得结果．本题主要考查代数式求值，算术平方根，解答本题的关键要注意二次根式的符号． 【详解】解：根据题意，把代入得： ． 故答案为：4． 63．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 64．若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则将所求代数式展开，再整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 即代数式的值等于． 65．已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 题型十九：比较二次根式的大小 解题思路：①可选平方法、作差法、分母有理化；②正数优先选用平方法；③负数比较注意负号影响；④确定根式大小关系。 66．比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【答案】> 【分析】可先计算两个数的平方，通过比较平方的大小判断原数的大小，平方更大的原数更大，据此即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 67．比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【答案】 < 【分析】两个数均为负数，先对两个数做分子有理化变形，再比较绝对值的大小，根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， 对两个数变形得：， ， ， ， ， ． 68．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 题型二十：二次根式的应用 解题思路：①读懂题意，结合几何或实际情境；②列出含有二次根式的算式；③完成根式运算；④结合实际选取合理结果。 69．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积是75， ∴， ∵， ∴， ∴空白小正方形的边长， ∴这个小正方形的面积为． 70．如图，长方形内两个正方形的面积分别是，．这个长方形的周长是____________． 【答案】 【分析】先求出长方形内小正方形的边长为，长方形内大正方形的边长为，从而可得这个长方形的长为，宽为，最后由长方形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵长方形内两个正方形的面积分别是，． ∴长方形内小正方形的边长为，长方形内大正方形的边长为， ∴这个长方形的长为，宽为， ∴这个长方形的周长是． 71．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给出的公式求出三角形的面积，等积法求出的长即可. 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴. 题型二十一：实数的混合运算 解题思路：①运算顺序：先乘方、开方，再乘除，后加减；②先判断正负，去掉绝对值；③逐项完成计算；④化简得到最终答案。 72．____________． 【答案】 【详解】解：． 73．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 74．计算：=________． 【答案】1 【详解】解： ． 75．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案． 【详解】解∵ = = ∴ ∴ 整理得 ∴ ∵ ∴ 整理得 ∴ ∴ ∴ = = = = = 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运算法则和整体代入的方法． 题型二十二：新定义下的实数运算 解题思路：①读懂题目给出的新运算法则；②把新运算转化为常规根式运算；③严格套用题目关系式列式；④计算并化简结果。 76．规定新运算：，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把写出整数的混合运算，然后再运用整数混合运算法则计算即可． 【详解】解：由新运算规则得，． 77．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：（），如，则_________． 【答案】/ 【详解】解：由题意可得，． 78．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据给定的运算规则分别计算，，然后得出，再通过二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 题型二十三：实数运算的实际应用 解题思路：①梳理题干中的数量关系；②列出含有二次根式的算式；③进行计算；④舍去不符合实际的结果。 79．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 80．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 81．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 题型二十四：与实数运算相关的规律题 解题思路：①观察给出的式子；②找出数字、根式的循环或递推特点；③归纳总结通用规律；④利用规律进行求解。 82．观察分析下列数据：0，，2，，，，，…，根据数据排列的规律得到的第10个数据的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的化简．由已知数据得出第n个数为，据此得出第10个数据． 【详解】解：∵0，，，，，，，…， ∴第n个数为， ∴第10个数据应该是：， 故选：B． 83．学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 【答案】 【分析】（1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可． 【详解】解：（1） 可得规律：，其中为大于的正整数． ； （2）由（1）得：， ∵， ， 解得：， ． 84．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戊 亥 如果年为己丑年，依据上述规律推断，年应为（     ） A．癸亥年 B．丙午年 C．癸酉年 D．甲子年 【答案】B 【分析】在干支纪年法中，天干周期为，地支周期为，已知年为己丑年，只需计算与的年数差，根据余数确定对应天干和地支即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 从年向后推年得到年， 年的天干己对应序号，地支丑对应序号， ∵ 天干周期为，余， ∴己向后推位可得天干为丙， ∵ 地支周期为，余，丑向后推位可得地支为午， ∴ 年为丙午年． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)30 (4)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号后合并同类二次根式即可得到结果； （2）先计算平方，化简绝对值，再去括号合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 4．已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】4 【分析】根据题意，两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，则它们的根指数都为2，且被开方数相等，据此列出关于的方程组求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴． 5．根据已知条件化简并求值： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果； （2）设，，则，，，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，，则，，， ∵， ∴， ∴． 6．【阅读材料】 对于正整数，定义代数式：． 小明发现：通过分母有理化，． 例如：，． 【问题解决】 (1)计算：； (2)猜想：_________（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)设，则_________． 【答案】(1) (2)      证明：        ， ∴猜想成立； (3)2027 【分析】（1）根据阅读材料发现的规律，依次代入数据化简合并即可； （2）根据阅读材料发现的规律，依次代入数据化简合并即可得到猜想，然后，再进行证明即可； （3）根据阅读材料发现的规律，通过分母有理化先化简，得到的值，再将的值代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：，             ；     （2）略 （3）解：根据阅读材料规律，得 ， ∴． 7．拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据阅读材料，即可解决； （2）先确定循环周期为4，将指数2027除以4求得余数为3，可知，即可求解； （3）先算一个周期的和为0，再用总项数2027除以4得到506个周期余3项，可知剩余项为，根据总和＝周期和×周期数＋剩余项和，即可求解； （4）先确定总项数为12，再用总项数12除以4得到3个完整周期，根据每个周期的和为0 ，即可求解． 【详解】（1）解：，则的平方根为； （2）解：∵，，，，，，… ∴循环周期为4， ∴， ∴， （3）解：∵一个周期内4项和为：，且从到共2027项， ∴， ∴， ， ， ， ； （4）解：∵从到共项， ∴， ∴． 8．阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； (2)已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； (3)若，试求函数的最小值． 【答案】(1)完全平方公式 (2)， (3) 【分析】本题考查了求最值的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）识别运算步骤②所运用的公式． （2）把原函数化成，即可得到解答； （3）对函数进行变形，得到时，的最小值为 ． 【详解】（1）解：步骤②中运用的是完全平方公式，即（这里）， 故答案为：完全平方公式； （2）解： ， ． ． 当且仅当时取等号，解方程，得，即． 函数的最小值为，此时的值为， 故答案为：，； （3）解：， ， 将函数变形为． ， 当且仅当时取等号，解方程，得，即，， 函数的最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $