专题14角的精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“角”的核心知识，系统梳理角的静态与动态定义、四种规范表示方法、度分秒60进制换算、比较运算、角平分线及余角补角性质，构建从概念理解到实际应用的学习支架。 该资料通过重点辨析平角与直线等易混概念，设计19类分层题型（含钟面角、方向角等实际问题），培养学生几何直观与推理能力，解题思路清晰且例题典型，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺。

专题14角的精讲学案 核心立意： 理解角的静态、动态双重定义；掌握角的四种规范表示方法；会使用量角器度量角，熟练度、分、秒之间60进制换算；掌握角的比较运算、角平分线；理解余角、补角定义及其性质；区分平角、周角，会计算图形中角的数量，落实文字、图形、符号三种几何语言转化。 角的定义 ①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点为角的顶点，两条射线为角的两边； ②动态定义：一条射线绕它的端点旋转形成的图形； ③角的大小仅与两边张开幅度有关，与边的长短无关。 角的四种表示方法 ①三个大写字母表示，顶点字母书写在中间； ②一个大写字母表示，仅适用于顶点处只有一个角；③阿拉伯数字标注表示；④小写希腊字母、、表示。 平角、周角 ①平角：射线旋转至终边与始边成一条直线，1平角=180； ②周角：射线绕端点旋转一周，终边与始边重合，1周角=360。 角的度量 ①量角器度量角：顶点对准量角器中心，一边对齐零刻度线，读取另一边对应刻度； ②单位：度、分、秒；换算关系：1=60'，1'=60''；高级转低级乘60，低级转高级除以60。 角的比较与运算 ①比较方法：度量法、叠合法； ②角的和差：结合图形完成角的加减运算； ③角平分线：从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线，角平分线不是直线，也不是线段；若OC平分AOB，则AOC=COB= AOB，AOB=2 AOC=2 COB。 余角、补角 ①余角定义：两个角的和等于90，称这两个角互为余角； ②补角定义：两个角的和等于180，称这两个角互为补角； ③性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。 角的计数 同一顶点引出n条射线，角的总个数公式：；按次序计数，避免重数、漏数。 重点辨析 1. 单个大写字母表示角，前提是顶点处仅有一个角；同一顶点存在多个角时，禁止使用该表示法。 2. 平角不等同于直线，周角不等同于射线；平角、周角均具备角的顶点与两条边。 3. 度、分、秒为60进制，不可按照十进制直接移位换算。 4. 互余、互补只看两角数量和，与角所在位置无关，不能称某一个角为余角或补角，只能表述两个角互为余角、互为补角。 5. 角平分线必须在角的内部，角外部的射线不能作为角平分线。 1. 三个大写字母表示角时，顶点字母未置于中间。 2. 顶点处存在多个角，误用单个大写字母表示角。 3. 将平角等同于直线、周角等同于射线，概念混淆。 4. 度分秒换算误按十进制运算，计算出错。 5. 误将角平分线理解为直线或者线段。 6. 数图形中角的个数，出现重复计数或者漏计。 7. 混淆余角、补角的度数，遗漏“同角”，记错余角、补角性质。 8. 无图角的计算，忽略多解情况，造成漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的分类 ★ 题型四 钟面角 ★★ 题型五 方向角的表示 ★★ 题型六 与方向角有关的计算题 ★★★ 题型七 角的单位与角度制 ★ 题型八 角的度数大小比较 ★ 题型九 角的比较 ★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★★ 题型十二 角度的四则运算 ★★ 题型十三 实际问题中角度计算问题 ★★★★ 题型十四 角平分线的有关计算 ★★★★ 题型十五 角 n 等分线的有关计算 ★★★★ 题型十六 求一个角的余角 ★ 题型十七 求一个角的补角 ★ 题型十八 与余角、补角有关的计算 ★★★ 题型十九 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★偏难★★★★★压轴 题型一：角的概念理解 解题思路：①依据角的两种定义，把握核心要素：公共端点、两条射线；②辨析概念：角的大小仅与两边张开程度有关，与边的长度无关；③区分易混淆概念：平角不是直线，周角不是射线。 1．在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查角的定义，根据角的定义，进行判断即可． 【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；故①错误； 角的大小与边的长短无关；故②错误； 角的两边是两条射线，无法比较长短；故③错误； 角的两边是两条射线．故④正确； 故选：D． 2．用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的性质，熟练掌握角的性质是解题的关键．根据角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，解答即可． 【详解】解：角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，因此用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数仍然是． 故选：A． 3．如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 题型二：角的表示方法 解题思路：①三个大写字母表示：顶点字母必须写在中间；②单个大写字母表示：仅当该顶点处只有唯一角时才可使用；③数字、希腊字母表示：需在图形角的内部做好标注；④结合图形，甄别顶点，避免表示出错。 4．如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 【答案】 ， ，， ，， 【分析】本题主要考查角的表示方法，需要根据角的顶点处角的数量情况，选择合适的表示方法； 本题考查了角的表示方法，掌握当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示；当顶点处有多个角时，需用三个大写字母或数字、希腊字母表示角，根据这些规则确定符合条件的角是解题的关键． 【详解】解：（1）能用一个大写字母表示的角：当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示。图中顶点处各只有一个角，所以能用一个大写字母表示的角有，故①处填； （2）以为顶点的角：以为顶点的角有，所以②处填； （3）以为边的角：以为边的角有，所以③处填． 故答案为：，；，，；，，． 5．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 根据图形数出即可得出前三个的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 6．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 题型三：角的分类 解题思路：①熟记各类角度数范围：锐角0<<90，直角=90，钝角90<<180，平角=180，周角=360；②根据已知角度完成类别判定，留意边界取值。 7．如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有_____________个锐角． 【答案】10/十 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角的定义是解题关键．根据锐角的定义求解即可． 【详解】解：图中的锐角有、、、、、、、、、，共10个， 故答案为：10． 8．下列各角中，是钝角的是（  ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于90度小于180度的角．由钝角的概念，即可选择． 【详解】A、周角，故A不符合题意； B、平角，故B符合题意； C、周角，故C不符合题意； D、平角，故D不符合题意． 故选：B． 9．在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【答案】A 【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 题型四：钟面角 解题思路：①钟面一周为360，每大格30；分针每分钟转动6，时针每分钟转动0.5；②分别计算时针、分针转过的角度；③计算角度差，若差值大于180，用360减去差值得到最小夹角。 10．时针指向5点整时，时针与分针的夹角为________． 【答案】/150度 【详解】解：钟面为一个周角，即，被平均分为个大格，因此每个大格对应的角度为：， 因为5点整时，时针指向数字5，分针指向数字12，时针与分针间隔个大格，因此所成的较小夹角为：． 11．北京时间2023年9月21日15时45分，《天宫课堂》第四课正式开讲．在时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是_________． 【答案】 【分析】根据时钟上每一大格对应度数为，时针每分钟转动，分针每分钟转动，计算时针与分针的位置角度差即可． 【详解】解：由题意得：时，分针对应的角度为， 时针对应的角度为， 因此时针与分针的夹角为 ． 12．为了贯彻落实阳光体育大课间活动，某校从开始进行课间操练习，此时钟表上时针与分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，根据1分钟时针转0.5°，1大格是30°进行计算即可． 【详解】解：∵1分钟时针针转0.5°，1大格是30°， 根据题意： 故选：B． 13．3时整时针与分针成直角，当下一次时针与分针成直角时，经过了（   ）分钟 A．30 B．36 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握钟面角的计算是解题关键．先求出时针每分钟转动的角度为，分针每分钟转动的角度为，再利用除以即可得． 【详解】解：时针每分钟转动的角度为， 分针每分钟转动的角度为， 所以， 即3时整时针与分针成直角，当下一次时针与分针成直角时，经过了分钟， 故选：C． 题型五：方向角的表示 解题思路：①以正南、正北作为基准方向；②规范格式：北（南）偏东（西）××°；③规避“东偏北、西偏南”这类错误表述；④结合图形读取标注角度。 14．港口A在灯塔B的北偏西方向，灯塔B在港口A的（     ） A．北偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．南偏东 【答案】D 【分析】根据方位角的相对性求解即可 ． 【详解】解：∵港口A在灯塔B的北偏西方向， ∴灯塔B在港口A的南偏东 ． 15．如图，点A在点O的______方向，点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数是______ 【答案】 北偏东28° 107° 【分析】根据方向角的定义，再求出28°的余角，然后再加上45°，进行计算即可解答． 【详解】解：已知，点A在点O的北偏东28°方向， 由题意得： 90°-28°=62°， ∴∠AOB=62°+45°=107°， ∴点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数是107°， 故答案为：北偏东28°，107°． 【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 16．指南针是中国古代四大发明之一．如图，某手机上的指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西；当指南针显示的方位角为东南时，对应的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查方位角的表示，根据四个方位将四等分，根据进而得出对应的方向角，即可求解． 【详解】解：∵指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西； ∴当指南针显示的方位角为东南时， 即对应的方向角为南偏东 故选：C． 题型六：与方向角有关的计算题 解题思路：①根据题意绘制方位几何示意图；②利用正南正北互相平行，推导已知角和待求角的数量关系；③借助角的和差运算求解；④遇到多个观测点，不可混淆基准方向。 17．如图，一艘货轮从点出发沿北偏西方向航行经过点，另一艘客轮从点出发沿南偏东方向航行经过点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∵， ∴． 18．如图，甲从A点出发向北偏东方向走到点B，乙从A点出发向南偏西方向走到点C，则的度数是_________（用度、分、秒表示） 【答案】 【分析】本题考查了方位角的有关计算，根据方位角的定义，列算式求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，， ∴， ∴， 故答案为：． 19．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，根据方向角，可得，，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：如图， 由题意，得，，， 由余角的性质，得， 由角的和差，得， 故选：D． 题型七：角的单位与角度制 解题思路：①牢记角度60进制换算：1=60'，1'=60''；②度换算分秒：小数部分乘以60逐级换算；③分秒换算度：从低位除以60向上逐级换算。 20．将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角度间的换算．先把乘以得27，再加上整数部分即可． 【详解】解：， ∴用度、分、秒表示为， 故选：D． 21．已知，，，，则最小的角为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的转换，将所有的角转换为以度为单位，然后比较数值大小即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴最小的角为． 故选：B． 题型八：角的度数大小比较 解题思路：①统一单位，全部转化为度或者分‑秒形式；②对比数值大小完成判断；③角度大小对应角两边张开程度。 22．将转化为度的形式，即：_____． 【答案】 【分析】此题考查了角度间的换算，先把分除以，再加上整数部分即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 23．若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　） A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C 【答案】D 【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再进行比较，即可得到答案． 【详解】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25° 0.25°＝0.25×60′＝15′， ∴∠C＝30°15′， ∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″， ∴∠A＞∠B＞∠C 故选：D． 【点睛】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，解题的关键是正确进行度分秒之间的换算，从而完成求解． 题型九：角的比较 解题思路：①度量法：量角器测量两角度数，再比较大小；②叠合法：顶点重合，其中一条边重合，依据另一条边的位置判断两角大小。 24．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据量角器上各射线对应的刻度，利用角的和差关系分别计算出 、、、 的度数，比较大小即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，射线、、、、对应量角器外圈的刻度分别为、、、、， ，，，， ， 最大． 25．如果，，，那么，，的大小关系是_____________． 【答案】 【分析】将三个角统一换算为以度为单位，再进行大小比较． 【详解】解： 因为 ，所以 ． 26．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需将三个角统一单位后比较大小，利用角度单位换算：，，把的度数换算成度分秒形式，再与、比较． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ 即 故选：B． 题型十：三角板中角度计算问题 解题思路：①熟记三角板固有角度：30、60、90与45、45、90；②观察图形，梳理角的和、差关系；③重点关注重叠角、公共角。 27．在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查两个角的大小的比较，根据射线在的内部，可知在的内部，且有一条公共边，进而即可判断求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴在的内部，且有一条公共边， ∴， 故选：． 28．如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则______．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点和角的大小比较是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格可知，，，， 则， 故答案为：． 29．如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图中射线经过角的一边，图中射线经过角的一边，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是结合图形，利用已知角作为中间量． 根据两个图得到角在内，角在外，即可比较大小． 【详解】解：由图1可知：角在内，即， 由图2可知：角在外，即 ∴， ∴， 故选A． 题型十一：几何图形中角度计算问题 解题思路：①从图形中提取已知角、未知角之间的和差关系；②直接利用几何关系列式计算；③条件复杂时，设未知角，建立方程求解。 30．将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知 ，利用角的和差关系 即可求解． 【详解】解： 该图中一副三角尺的直角顶点重合， ． 31．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是____． 【答案】/124度 【分析】本题考查了角的基本计算，先计算，再根据，计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 故， 故答案为：． 32．如图，将一块三角板角的顶点与另一块三角板角的顶点重合.若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板角度的计算及角的和差关系，解题的关键是明确两块三角板的已知角度，利用和的度数，结合的度数，通过角的和差运算求出； 先确定，，再由算出，最后用得到的度数． 【详解】解：由题意可知，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 题型十二：角度的四则运算 解题思路：①加减运算：度、分、秒分别对应运算；加法满60向高位进1；减法不够减时，向高位借1当作60；②乘法：度、分、秒分别相乘，满60向高位进位；③除法：由高位向低位依次计算，余数向下一级单位转化。 33．常言道：无规矩，不成方圆．这里的“矩”指的是矩尺，它的起源可追溯至先秦时期，主体为直角曲尺，是中国古代绘图测量使用的工具．在同一平面内，将直尺和矩尺按如图方式摆放，若，则（   ） A．60° B．70° C．50° D．80° 【答案】A 【详解】， ， ， ， ． 34．已知平面内， ， 则的度数为_______________ 【答案】 或 【分析】分在内部和外部两种情况，利用角的和差关系计算即可 【详解】解：分两种情况讨论：当在内部时，； 当在外部时，， ∴的度数为或. 35．如图，，，则图中所有角的度数之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和与差的计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先找到图中所有的角，再利用角的和与差的计算即可求解． 【详解】解：图中所有的角有，，，，，， ∵，， ∴，， ∴图中所有角的度数之和为， 故选C． 题型十二：角度的四则运算 解题思路：①加减运算：度、分、秒分别对应运算；加法满60向高位进1；减法不够减时，向高位借1当作60；②乘法：度、分、秒分别相乘，满60向高位进位；③除法：由高位向低位依次计算，余数向下一级单位转化。 36．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度分秒的换算与角度运算，依据的换算关系，对每个选项逐一计算验证即可． 【详解】解：A选项：，故A错误； B选项：，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：，故D正确； 故选：D． 37．（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 38．如图，将长方形纸片沿和折叠成图示的平面图形，折叠后点B落在点处，点C落在点处，且P，，在同一条直线上．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折变换以及角的计算等知识，由折叠的性质得，，先求出，再求出，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型十三：实际问题中角度计算问题 解题思路：①将实际场景抽象转化为几何图形；②提取题目给出的已知角度；③运用角的和差或者方程思想计算；④结合实际情境验证结果合理性。 39．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 40．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 41．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 题型十四：角平分线的有关计算 解题思路：①角平分线把一个角分成两个相等的角；②写出关系式AOC=COB= AOB；③结合图形角的和差，可设未知数建立等式求解。 42．已知，若点是平面内的一点，则下列式子中，能表示“是的平分线”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义． 当且仅当，是的平分线，选项C直接给出此条件，其他选项均不能保证平分． 【详解】解：对于A，仅不能保证，不能表示“是的平分线”； 对于B，推出，但未保证且点C在角内，不能表示“是的平分线”； 对于C，，则是的平分线； 对于D，无法推导的值，不能表示“是的平分线”； 故选：C． 43．如图，在三角形中，，垂足为点，，点为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点、，若，则________． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据及进行等量代换即可求解． 【详解】解：平分， ， 平分， ， ， ， ． 44．如图，，是的角平分线，，，绕O点以每秒的速度逆时针方向旋转t秒（），t为何值时，．（   ） A．10秒 B．11秒 C．12秒 D．13秒 【答案】B 【分析】此题考查的是角的和与差和一元一次方程的应用．先分别求出与重合时、与重合时和与重合时运动时间，再根据t的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，根据等量关系列出方程求出t即可； 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， 由原图可知：， 故与重合时运动时间为； 与重合时运动时间为； 与重合时运动时间为； ①当时，如下图所示 ∵，， ∴， ∴， ∴此时； ②当时，如下图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴此时； ③当时，如下图所示： 和旋转的角度均为， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述：当时，． 故选：B． 题型十五：角 n 等分线的有关计算 解题思路：①角的n等分线将原角分为n个相等角，每一份角度为原角的；②存在多条等分线时，理清每一份对应的度数；③复杂图形可标记每份角度，再开展运算。 45．如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（    ） A．22° B．42° C．72° D．44° 【答案】D 【分析】根据，分析出∠AOC与∠AOB的倍分关系即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角的倍分关系，正确得到∠AOC与∠AOB 的关系是解题的关键． 46．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】本题考查角的三等分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先求出，根据图中所有的锐角之和为，得到，则，求出，即可解答． 【详解】解：∵射线是的三等分线， ∴， ∴， ∵图中所有的锐角之和为， ∴， 即 ， 解得． 故答案为：． 47．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 题型十六：求一个角的余角 解题思路：①互余定义：两角之和等于90；②计算公式：余角=90-已知角；③注意：只有锐角存在余角。 48．若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：若，则的余角为． 49．一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 【答案】/35度 【分析】先根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角的度数. 【详解】解：∵ 互为补角的两个角的和为，这个角的补角是， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互为余角的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为 . 50．若一个角的补角是这个角的两倍，则这个角的余角的度数为______． 【答案】 /度 【分析】设这个角为未知数，根据补角定义和题目条件列方程求出这个角的度数，再根据余角定义计算余角度数． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵ 互为补角的两个角和为，且该角的补角是这个角的两倍， ∴ 可得方程 ， 整理得 ， 解得 ， ∵ 互为余角的两个角和为， ∴ 这个角的余角为 ． 51．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，由此逐一判断即可． 【详解】解：A、图中，但不一定互余，不符合题意； B、图中，不互余，不符合题意； C、图中，不互余，不符合题意； D、图中，互余，符合题意； 题型十七：求一个角的补角 解题思路：①互补定义：两角之和等于180；②计算公式：补角=180-已知角；③钝角只有补角，不存在余角。 52．若，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ 的补角为． 53．已知与互补，若，则___________． 【答案】 【分析】先根据互补角的定义列出的表达式，再通过度分秒的借位换算完成减法计算． 【详解】解：∵与互补， ∴， 又∵， ∴ ． 54．如图，直线上有一点O，作射线，使得，则______；在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，由补角的定义得，由角的和差得，由补角的定义得，即可求解． 【详解】解： ； 因为 ， ， 所以 ； 故答案为：，． 55．如图，条形彩带的边上有一点，边上有两点、．将彩带沿、同时向中间翻折，点落在处，点落在处，设，，则、满足的关系式为_____． 【答案】 【分析】本题结合翻折变换考查平角的性质以及角的和差计算，关键是利用翻折前后对应角相等的性质，结合平角的度数建立角之间的等量关系． 【详解】解：根据翻折的性质，得，； ， ， ； 又， ，整理得． 故答案为：． 题型十八：与余角、补角有关的计算 解题思路：①依据题意，用已知量或者未知数表示余角、补角；②根据题干等量关系列方程；③求解角度后，检验角度是否满足互余、互补的条件。 56．如图所示，，垂足为O，是过点O的一条直线，则下列关于与的关系一定成立的是（　　） A．不相等 B．相等 C．互补 D．互余 【答案】D 【分析】本题考查了角度的运算，余角和补角的定义，掌握余角的定义是解题关键． 计算与的和，根据定义判断即可． 【详解】解：由题意，可知， ∴， 由余角的定义，可知与互余， 故选： D． 57．如图，利用量角器测量角的度数，根据结果，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算，角的度量，解题的关键是根据图形得出角度的关系和度数，逐项进行判断即可． 【详解】解：  A.∵， ∴，故A正确，不符合题意； B.∵，， ∴，故B正确，不符合题意； C.∵， ∴，故C正确，不符合题意； D.∵，， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D. 58．如图，O是直线上的一点，平分，，有以下结论：①与互余；②；③；④若，则．其中正确的是（     ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据余角和补角的定义，角平分线的定义，角的计算，逐一判断各选项，可得到结果． 【详解】解：， ， 与互余，故结论①正确； 设，则， ， 平分， ， ，故结论②错误； 由②知，设， ，， ， ， ，故结论③正确； ， ， 平分， ，故结论④正确， 综上所述，结论①③④正确． 题型十九：同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 解题思路：①识别图形中的公共角或者相等角；②直接应用性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等；③无需计算具体角度，直接推导两角相等，多用于几何推理。 59．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，可以推导出，最合理的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的知识，根据“同角的余角相等”，即可获得答案． 【详解】解：由题意得， 所以， 所以（同角的余角相等）． 故选A． 60．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，以下结论：①；②；③；④，正确的序号是___________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了角平分线的定义，同角的余角相等； ①由角平分线定义可得，，即可求出；②根据和不一定相等可知不成立；③求出，可得，再根据可得；④根据，两式相减可得． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴，故①正确； ∵，而和不一定相等， ∴不成立，故②错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ， ，故④正确． 故答案为：①③④． 61．如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C．与互为余角 D．与互为补角 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键． 根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴, ∴， ∴选项正确； B、∵， ∴， ∴选项不正确； C、∵， ∴选项正确； D、∵, ∴选项正确． 故选：B． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据度分秒的减法法则计算即可求解； （）根据度分秒的加法法则计算即可求解； （）先算乘法，再算加法； （）先算乘除法，再算加法； 本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)___________°． (2)若的补角比的2倍多，求的度数． 【答案】(1)90 (2) 【分析】（1）根据三角板的性质得，再根据平角定义得出答案； （2）设，则，根据题意列出方程求出解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴； （2）解：设，则， 根据题意，得， 解得， ． 3．已知点O是直线上的点，，是的平分线， (1)当点C、E、F在直线的同侧（如图1）时，试说明 (2)当点C与点E、F在直线的异侧（如图2）时，（1）中结论是否仍然成立？ 【答案】(1)解：∵，平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； (2)结论成立． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，根据平角的定义求出，根据计算即可； （2）根据角平分线的定义求出，根据计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：结论成立．理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【答案】(1)度 (2)如图，在长方形的台球桌面上，，如果，那么等于多少度？ 解：∵， ∴， ∴， 答等于度． 【分析】根据题目所给的求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答等于度． （2）略 5．如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处．回答下面的问题： (1)飞机在机场的______方向上，距离是______千米； (2)飞机在机场的南偏东方向，距离是50千米，请在图中标出的位置． 【答案】(1)南偏西， (2) 如图，点即为所求： 【分析】（1）根据飞机的位置用方位角和距离表示即可得到答案； （2）根据飞机的位置在图上标出点C的位置即可． 本题考查了用方位角和距离表示位置，理解方位角是解题关键． 【详解】（1）由题可知，飞机在北偏东方向20千米处， 则每相邻两个圆之间的距离相等为10千米， 则飞机在机场的南偏西方向上，距离是千米． 故答案为：南偏西，30 （2）略 6．已知m，n为常数，且满足两个单项式与合并得．其中m，n分别为点A，点B在数轴上表示的数，如图所示． (1)在数轴上，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若动点P，Q分别从A，B同时开始运动，点P以每秒2个单位向左运动，点Q以每秒4个单位向右运动，设运动时间为t秒． ①求经过几秒，点P与点Q第一次相遇； ②当P，Q相遇后，点Q继续保持向右运动，点P在原地停留4秒后向右运动且速度变为原来的3倍，在整个运动过程中，当P，Q之间的距离为2个单位时，直接写出运动时间t的值（不必写过程） (3)我们知道，2025年秋季学期数学期末考试在今天上午9：00正式开考．此时，模拟钟面上的指针如上图所示，O为钟面圆心，时针和分针分别指向9和12，、分别从，同时出发，绕点O按顺时针方向转动，时针运动速度为每分钟，分针运动速度为每分钟，从这场数学考试开考多少分钟，时针与分针的夹角第一次等于？ 【答案】(1)12， (2)①P，Q第一次相遇时t的值是3；②t的值是或14或 (3)从这场数学考试开考10分钟时，时针与分针的夹角第一次等于 【分析】本题主要考查了列代数式，数轴上两点距离计算，非负性的性质及一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据题意可知与是同类项，由此求出m，n的值； （2）①点P表示的数为：，点Q表示的数为：，当它们重合时，有：，解方程即可． ②分当点P在原地停留时，点P在4秒向右运动后，用表示点所对应得数，再根据数轴上两点距离计算公式列方程求解即可； （3）时针与分针的夹角第一次等于等于分针走过的度数减去时针走过的度数，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵两个单项式与合并得， ∴，， ∴； 故在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为； （2）①点P表示的数为：，点Q表示的数为： 由题意可得： 解得： 答：P，Q第一次相遇时t的值是3． ②当时，点P表示的数为：，点Q表示的数为：，此时点在点右侧， 依题意得：，解得：， 当时，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 若点在点右侧，则，解得：， 若点在点左侧，则，解得：， 综上所述：t的值是或14或． （3）转动的角度，转动的角度，由题意可得： 解得：． 答：从这场数学考试开考10分钟时，时针与分针的夹角第一次等于． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14角的精讲学案 核心立意： 理解角的静态、动态双重定义；掌握角的四种规范表示方法；会使用量角器度量角，熟练度、分、秒之间60进制换算；掌握角的比较运算、角平分线；理解余角、补角定义及其性质；区分平角、周角，会计算图形中角的数量，落实文字、图形、符号三种几何语言转化。 角的定义 ①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点为角的顶点，两条射线为角的两边； ②动态定义：一条射线绕它的端点旋转形成的图形； ③角的大小仅与两边张开幅度有关，与边的长短无关。 角的四种表示方法 ①三个大写字母表示，顶点字母书写在中间； ②一个大写字母表示，仅适用于顶点处只有一个角；③阿拉伯数字标注表示；④小写希腊字母、、表示。 平角、周角 ①平角：射线旋转至终边与始边成一条直线，1平角=180； ②周角：射线绕端点旋转一周，终边与始边重合，1周角=360。 角的度量 ①量角器度量角：顶点对准量角器中心，一边对齐零刻度线，读取另一边对应刻度； ②单位：度、分、秒；换算关系：1=60'，1'=60''；高级转低级乘60，低级转高级除以60。 角的比较与运算 ①比较方法：度量法、叠合法； ②角的和差：结合图形完成角的加减运算； ③角平分线：从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线，角平分线不是直线，也不是线段；若OC平分AOB，则AOC=COB= AOB，AOB=2 AOC=2 COB。 余角、补角 ①余角定义：两个角的和等于90，称这两个角互为余角； ②补角定义：两个角的和等于180，称这两个角互为补角； ③性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。 角的计数 同一顶点引出n条射线，角的总个数公式：；按次序计数，避免重数、漏数。 重点辨析 1. 单个大写字母表示角，前提是顶点处仅有一个角；同一顶点存在多个角时，禁止使用该表示法。 2. 平角不等同于直线，周角不等同于射线；平角、周角均具备角的顶点与两条边。 3. 度、分、秒为60进制，不可按照十进制直接移位换算。 4. 互余、互补只看两角数量和，与角所在位置无关，不能称某一个角为余角或补角，只能表述两个角互为余角、互为补角。 5. 角平分线必须在角的内部，角外部的射线不能作为角平分线。 1. 三个大写字母表示角时，顶点字母未置于中间。 2. 顶点处存在多个角，误用单个大写字母表示角。 3. 将平角等同于直线、周角等同于射线，概念混淆。 4. 度分秒换算误按十进制运算，计算出错。 5. 误将角平分线理解为直线或者线段。 6. 数图形中角的个数，出现重复计数或者漏计。 7. 混淆余角、补角的度数，遗漏“同角”，记错余角、补角性质。 8. 无图角的计算，忽略多解情况，造成漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的分类 ★ 题型四 钟面角 ★★ 题型五 方向角的表示 ★★ 题型六 与方向角有关的计算题 ★★★ 题型七 角的单位与角度制 ★ 题型八 角的度数大小比较 ★ 题型九 角的比较 ★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★★ 题型十二 角度的四则运算 ★★ 题型十三 实际问题中角度计算问题 ★★★★ 题型十四 角平分线的有关计算 ★★★★ 题型十五 角 n 等分线的有关计算 ★★★★ 题型十六 求一个角的余角 ★ 题型十七 求一个角的补角 ★ 题型十八 与余角、补角有关的计算 ★★★ 题型十九 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★偏难★★★★★压轴 题型一：角的概念理解 解题思路：①依据角的两种定义，把握核心要素：公共端点、两条射线；②辨析概念：角的大小仅与两边张开程度有关，与边的长度无关；③区分易混淆概念：平角不是直线，周角不是射线。 1．在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 2．用一个能放大100倍的放大镜看一个的角，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 题型二：角的表示方法 解题思路：①三个大写字母表示：顶点字母必须写在中间；②单个大写字母表示：仅当该顶点处只有唯一角时才可使用；③数字、希腊字母表示：需在图形角的内部做好标注；④结合图形，甄别顶点，避免表示出错。 4．如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 5．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 6．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 题型三：角的分类 解题思路：①熟记各类角度数范围：锐角0<<90，直角=90，钝角90<<180，平角=180，周角=360；②根据已知角度完成类别判定，留意边界取值。 7．如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有_____________个锐角． 8．下列各角中，是钝角的是（  ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 9．在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 题型四：钟面角 解题思路：①钟面一周为360，每大格30；分针每分钟转动6，时针每分钟转动0.5；②分别计算时针、分针转过的角度；③计算角度差，若差值大于180，用360减去差值得到最小夹角。 10．时针指向5点整时，时针与分针的夹角为________． 11．北京时间2023年9月21日15时45分，《天宫课堂》第四课正式开讲．在时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是_________． 12．为了贯彻落实阳光体育大课间活动，某校从开始进行课间操练习，此时钟表上时针与分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 13．3时整时针与分针成直角，当下一次时针与分针成直角时，经过了（   ）分钟 A．30 B．36 C． D． 题型五：方向角的表示 解题思路：①以正南、正北作为基准方向；②规范格式：北（南）偏东（西）××°；③规避“东偏北、西偏南”这类错误表述；④结合图形读取标注角度。 14．港口A在灯塔B的北偏西方向，灯塔B在港口A的（     ） A．北偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．南偏东 15．如图，点A在点O的______方向，点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数是______ 16．指南针是中国古代四大发明之一．如图，某手机上的指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西；当指南针显示的方位角为东南时，对应的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏东 题型六：与方向角有关的计算题 解题思路：①根据题意绘制方位几何示意图；②利用正南正北互相平行，推导已知角和待求角的数量关系；③借助角的和差运算求解；④遇到多个观测点，不可混淆基准方向。 17．如图，一艘货轮从点出发沿北偏西方向航行经过点，另一艘客轮从点出发沿南偏东方向航行经过点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 18．如图，甲从A点出发向北偏东方向走到点B，乙从A点出发向南偏西方向走到点C，则的度数是_________（用度、分、秒表示） 19．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 题型七：角的单位与角度制 解题思路：①牢记角度60进制换算：1=60'，1'=60''；②度换算分秒：小数部分乘以60逐级换算；③分秒换算度：从低位除以60向上逐级换算。 20．将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 21．已知，，，，则最小的角为（  ） A． B． C． D． 题型八：角的度数大小比较 解题思路：①统一单位，全部转化为度或者分‑秒形式；②对比数值大小完成判断；③角度大小对应角两边张开程度。 22．将转化为度的形式，即：_____． 23．若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　） A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C 题型九：角的比较 解题思路：①度量法：量角器测量两角度数，再比较大小；②叠合法：顶点重合，其中一条边重合，依据另一条边的位置判断两角大小。 24．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 25．如果，，，那么，，的大小关系是_____________． 26．若，，，则（     ） A． B． C． D． 题型十：三角板中角度计算问题 解题思路：①熟记三角板固有角度：30、60、90与45、45、90；②观察图形，梳理角的和、差关系；③重点关注重叠角、公共角。 27．在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 28．如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则______．（填“”，“”或“”） 29．如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图中射线经过角的一边，图中射线经过角的一边，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 题型十一：几何图形中角度计算问题 解题思路：①从图形中提取已知角、未知角之间的和差关系；②直接利用几何关系列式计算；③条件复杂时，设未知角，建立方程求解。 30．将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 31．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是____． 32．如图，将一块三角板角的顶点与另一块三角板角的顶点重合.若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型十二：角度的四则运算 解题思路：①加减运算：度、分、秒分别对应运算；加法满60向高位进1；减法不够减时，向高位借1当作60；②乘法：度、分、秒分别相乘，满60向高位进位；③除法：由高位向低位依次计算，余数向下一级单位转化。 33．常言道：无规矩，不成方圆．这里的“矩”指的是矩尺，它的起源可追溯至先秦时期，主体为直角曲尺，是中国古代绘图测量使用的工具．在同一平面内，将直尺和矩尺按如图方式摆放，若，则（   ） A．60° B．70° C．50° D．80° 34．已知平面内， ， 则的度数为_______________ 35．如图，，，则图中所有角的度数之和为（   ） A． B． C． D． 题型十二：角度的四则运算 解题思路：①加减运算：度、分、秒分别对应运算；加法满60向高位进1；减法不够减时，向高位借1当作60；②乘法：度、分、秒分别相乘，满60向高位进位；③除法：由高位向低位依次计算，余数向下一级单位转化。 36．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 38．如图，将长方形纸片沿和折叠成图示的平面图形，折叠后点B落在点处，点C落在点处，且P，，在同一条直线上．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型十三：实际问题中角度计算问题 解题思路：①将实际场景抽象转化为几何图形；②提取题目给出的已知角度；③运用角的和差或者方程思想计算；④结合实际情境验证结果合理性。 39．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 40．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 41．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 题型十四：角平分线的有关计算 解题思路：①角平分线把一个角分成两个相等的角；②写出关系式AOC=COB= AOB；③结合图形角的和差，可设未知数建立等式求解。 42．已知，若点是平面内的一点，则下列式子中，能表示“是的平分线”的是（   ） A． B． C． D． 43．如图，在三角形中，，垂足为点，，点为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点、，若，则________． 44．如图，，是的角平分线，，，绕O点以每秒的速度逆时针方向旋转t秒（），t为何值时，．（   ） A．10秒 B．11秒 C．12秒 D．13秒 题型十五：角 n 等分线的有关计算 解题思路：①角的n等分线将原角分为n个相等角，每一份角度为原角的；②存在多条等分线时，理清每一份对应的度数；③复杂图形可标记每份角度，再开展运算。 45．如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（    ） A．22° B．42° C．72° D．44° 46．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 47．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 题型十六：求一个角的余角 解题思路：①互余定义：两角之和等于90；②计算公式：余角=90-已知角；③注意：只有锐角存在余角。 48．若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 49．一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 50．若一个角的补角是这个角的两倍，则这个角的余角的度数为______． 51．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 题型十七：求一个角的补角 解题思路：①互补定义：两角之和等于180；②计算公式：补角=180-已知角；③钝角只有补角，不存在余角。 52．若，则的补角为（   ） A． B． C． D． 53．已知与互补，若，则___________． 54．如图，直线上有一点O，作射线，使得，则______；在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 55．如图，条形彩带的边上有一点，边上有两点、．将彩带沿、同时向中间翻折，点落在处，点落在处，设，，则、满足的关系式为_____． 题型十八：与余角、补角有关的计算 解题思路：①依据题意，用已知量或者未知数表示余角、补角；②根据题干等量关系列方程；③求解角度后，检验角度是否满足互余、互补的条件。 56．如图所示，，垂足为O，是过点O的一条直线，则下列关于与的关系一定成立的是（　　） A．不相等 B．相等 C．互补 D．互余 57．如图，利用量角器测量角的度数，根据结果，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 58．如图，O是直线上的一点，平分，，有以下结论：①与互余；②；③；④若，则．其中正确的是（     ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 题型十九：同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 解题思路：①识别图形中的公共角或者相等角；②直接应用性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等；③无需计算具体角度，直接推导两角相等，多用于几何推理。 59．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，可以推导出，最合理的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 60．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，以下结论：①；②；③；④，正确的序号是___________． 61．如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C．与互为余角 D．与互为补角 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)___________°． (2)若的补角比的2倍多，求的度数． 3．已知点O是直线上的点，，是的平分线， (1)当点C、E、F在直线的同侧（如图1）时，试说明 (2)当点C与点E、F在直线的异侧（如图2）时，（1）中结论是否仍然成立？ 4．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 5．如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处．回答下面的问题： (1)飞机在机场的______方向上，距离是______千米； (2)飞机在机场的南偏东方向，距离是50千米，请在图中标出的位置． 6．已知m，n为常数，且满足两个单项式与合并得．其中m，n分别为点A，点B在数轴上表示的数，如图所示． (1)在数轴上，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若动点P，Q分别从A，B同时开始运动，点P以每秒2个单位向左运动，点Q以每秒4个单位向右运动，设运动时间为t秒． ①求经过几秒，点P与点Q第一次相遇； ②当P，Q相遇后，点Q继续保持向右运动，点P在原地停留4秒后向右运动且速度变为原来的3倍，在整个运动过程中，当P，Q之间的距离为2个单位时，直接写出运动时间t的值（不必写过程） (3)我们知道，2025年秋季学期数学期末考试在今天上午9：00正式开考．此时，模拟钟面上的指针如上图所示，O为钟面圆心，时针和分针分别指向9和12，、分别从，同时出发，绕点O按顺时针方向转动，时针运动速度为每分钟，分针运动速度为每分钟，从这场数学考试开考多少分钟，时针与分针的夹角第一次等于？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $