5.6 函数y=Asin(ωx+φ)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的参数几何意义、图象变换及性质，从三角函数分类入手，通过知识梳理、例题讲解搭建学习支架，衔接图象变换与性质应用，形成完整知识脉络。 其亮点在于分基础、中档、拔高分层训练，结合高考真题与数学建模实例（如水车、摩天轮问题），运用思维导图整合知识，培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（模型观念），助力学生提升数形结合能力，方便教师一体化教学。

高一数学●2024人教A版必修一 第五章 三角函数 5.6 函数𝒚=𝑨𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒙+𝝋) 本节理解参数𝑨，𝝎，𝝋的几何意义，掌握图象变换方法，会由解析式求周期、最值，能根据图象求函数解析式，提升数形结合与逻辑推理能力。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括90张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 , ,对函数 的图象的影响 1 对 的图象的影响（左右平移.） 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有 的点向左（当时）或向右（当时）平移 个单位长度而得到的 （可简记为“左加右减”）， 即的图象 的图象. 4 2 对 的图象的影响（横向伸缩.） 函数的图象，可以看作是把 的图象上所有点的横坐标 缩短（当时）或伸长（当时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的， 即的图象, 的图象. 5 3 对 的图象的影响（纵向伸缩.） 函数的图象，可以看作是把 图象上所有点的纵坐 标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到 的，即的图象 的图象. 6 4 由函数的图象得到函数 的图象 知识剖析 （1）， 决定“形变”，其中影响了函数最值及值域， 影响了函数周 期； 决定“位变”，影响了函数零点及函数图象对称轴. （2）以上两种方法平移的单位长度是不同的，但最后得到的结果是相同的,其原因 是函数图象的平移变换和伸缩变换都是针对 本身而言的.#1.2 7 例1 ［教材改编P239 T2,多选题］(2026·江西省九江第一中学月考)有以下四种变换 方式，其中能将的图象变换成函数 的图象的是( ) AD A.先向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的 B.先向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的 C.先将图象上每个点的横坐标变为原来的，再向右平移 个单位长度 D.先将图象上每个点的横坐标变为原来的，再向左平移 个单位长度 8 【解析】将的图象先向左平移 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变 为原来的，可得函数的图象，故A满足要求；将 的图象先 向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的 ，可得函数 的图象，故B不满足要求； 先将的图象上每个点的横坐标变为原来的，再向右平移 个单位长度,可得 函数 的图象，故C不满足要求； 先将的图象上每个点的横坐标变为原来的，再向左平移 个单位长度,可得 函数 的图象，故D满足要求. 9 知识点2 函数 的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数 的图象的画法有以下两种. （1）“五点（画图）法”： 令,, ,, ,求出相应的值及 值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸， 即得 的图象. 10 （2）“变换作图法”： 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由 的图象通过变换作图法得到 的图象. 二是先由诱导公式将余弦型函数 转化为正弦型函数，即 ,再由 的图象通过变换作图法得到 的图象即可. 11 例2 由的图象怎样得到 的图象? 【解析】将函数 的图象依次进行如下变换： ①把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象； ②把得到的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象； ③把得到的图象上各点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），得到函数 的图象． 经过上述变换，就得到函数 的图象. 12 方法帮丨解题突破 题型1 “五点法”作函数 的图象 例3 ［教材改编P239 T1］用“五点法”作出函数 的图象，并指出 它的最小正周期、最值及单调区间． 【解析】①列表如下： 0 3 5 3 1 3 ②描点． 13 图5.6-1 ③连线成图，将这个函数在一个周期内的图象向左、右 两边扩展即得 的图象．如图5.6-1所 示． 函数的最小正周期 ，最大值为5，最小值为1， 函数的单调递减区间为， ， 单调递增区间为， ． 利用“五点法”作出函数在一个周期内的图象之后，只需把函数的图 象向左、右两边分别扩展出一部分即可.如果要作出函数在指定区间内的图象，则要 注意对函数图象端点的处理. 14 解题通法 “五点法”作图的关键点 用“五点法”画函数的简图，先作变量代换，令 ， 再用方程思想由取0，， ， ， 来确定对应的值，最后根据， 的值描 点、连线、扩展，画出函数的图象. 15 题型2 三角函数图象间的变换 类型1 同名三角函数图象之间的变换 例4 (2026·贵州省铜仁第一中学月考)把函数的图象先向右平移 个单 位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），所得到的 图象对应的函数解析式为( ) D A. B. C. D. 【解析】将原函数图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象,再把所得图象上所有点的横坐标缩短为 原来的（纵坐标不变），得 的图象. 16 在函数图象的左右平移中，平移的单位长度是相对自变量 而言的， 在函数中，,所以由函数 的图象得 到函数的图象时，平移的单位长度不是，而是 ，这点很容 易出错. 17 解题通法 图象变换法的基本途径 由函数的图象得到函数 的 图象，基本变换有： ①纵向伸缩变换.是由引起的，时伸长， 时缩短. ②横向伸缩变换.是由 引起的，时缩短， 时伸长. ③横向平移变换.是由 引起的，时左移， 时右移. ④纵向平移变换.是由引起的，时上移， 时下移. 可以使用“先伸缩后平移”和“先平移后伸缩”两种方法来进行变换. 18 练变式1 (2026·上海市格致中学月考)将函数 图象上的所有点的横 坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数 的 图象，则 ( ) B A. B. C. D.1 【解析】 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不 变）得到 的图象， 则 ， 则 ． 19 类型2 异名三角函数图象之间的变换 例5 (2026·四川省仁寿一中开学考试)为了得到函数 的图象，可以将 函数 的图象( ) B A.向右平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移 个单位长度 【解析】因为 （利用诱导公式将异名化同名）,而 ， 所以将的图象向右平移个单位长度可得到 的图象. 20 类型3 逆向变换 例6 把函数,的图象向左平移 个单位长度，再将图象 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为 ，则( ) B A., B., C., D., 21 【解析】方法1：（逆向变换） 将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）,所得图象的函数解析式为，再将此函数图象向右平移 个 单位长度可得的图象，即的图象，所以 , . 方法2：（正向变换） 将的图象向左平移 个单位长度后，得到 （【易错点】“左加右减”是针对自变量而 言的）的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即得 函数的图象，又 , , ,所以解得 22 类型4 与三角恒等变换有关的图象变换问题 例7 为了得到函数的图象，可以将函数 的图象 ( ) D A.先向右平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度 B.先向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.先向右平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.先向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度 23 【解析】 （辅助角公式）, 将函数的图象向左平移个单位长度，得到 ]的图象， 再向上平移1个单位长度，得到 的图象. 类型5 三角函数性质与图象变换的综合 例8 (2026·湖南省永州市宁远县第二中学开学考试)已知函数 的最小正周期为 ． （1）求 的值及函数 的单调递减区间； 【解析】 （运用倍角公式和辅助角公式）. 由最小正周期为，得 ， 所以 . 令， ， 解得， ， 所以函数的单调递减区间是， ． 25 （2）将函数的图象先向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函 数的图象．若在上至少含有10个零点，求 的最小值． 【解析】将函数的图象先向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得 到的图象，所以，所以的周期为 ． 令，得或 ， 所以在，上恰好有两个零点.和 若在 上至少有10个零点， 则 不小于第10个零点的横坐标即可， 即的最小值为 ． （在, ]上有8个零点） 26 题型3 由部分图象求函数的解析式 例9 ［教材改编P241 T4］已知函数 在一个周期内 的图象如图5.6-2所示，求该函数的一个解析式． 图5.6-2 ;;将点,（最高点）或点,, （函数零点）代入求 . 27 【解析】方法1：（取点代入法） 由图象知函数的最大值为，最小值为 ，又 ， ． 由图象知,， ． 又, 图象上的最高点为，， ， 即，可取 . 故函数的一个解析式为 ． 方法2：（五点对应法） 由图象知.又图象过点， ， 28 （这两点可判断为“五点法”中的第一点与第三点.一般来说，第一点的横坐标对应图 象上升时的零点，第三点的横坐标对应图象下降时的零点） 根据“五点法”原理得解得 故函数的一个解析式为 ． 方法3：（图象变换法） 由方法1知， . 该函数的图象可由的图象向右平移 个单位长度得到. 故所求函数的一个解析式为 ， 即 . 由图象求得的 的解析式一般不唯 一，需要限定 的取值范围，才能得到唯一的函数解析式 . 30 例10 ［多选题］已知函数， 的部分图象如图 5.6-3所示，点， ，则下列说法中正确的是( ) ACD 图5.6-3 A.直线是 图象的一条对称轴 B.的图象可由的图象向左平移 个单位长度得 到 C.的最小正周期为 D.在区间， 上单调递增 31 【解析】由题意得（代入点）, . 又,, . 根据“五点法”可得（代入点） ，解得 ， 故 . 令，得,为最大值，故直线是 图象的一条对称轴，故A正确； 把的图象向左平移个单位长度，可得 的图象，故B 不正确； 的最小正周期为 ，故C正确； 当,时，,故此时 单调递增，故D正确. 32 解题通法 由部分图象确定函数解析式 的“两法” 方法一 （1）一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定, . （2）可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定， . （3）因为，所以往往通过求周期来确定 ，可通过函数零点或最值点 来确定，注意图象中相邻的最高点与最低点之间的水平距离为 ，相邻的两个最高 点（最低点）之间的水平距离为 . 33 （4） 以“五点法”中的第二个点为突破口，即当 时， 有最大值，或者以“五点法”中 的第一个点 为突破口，从图象的升降情况找准 “第一点”的位置. 34 方法二（五点对应法） ①“第一点”：.②“第二点”：“第三点”： . ④“第四点”：“第五点”： . 在用以上方法确定 的取值时，还要注意题目中给出的 的范围，通过周期性转化， 将不在要求范围内的值转化到要求的范围内. 35 图5.6-4 练变式2 (2026·河南省郑州市期中)若函数 , 的部分图象如图5.6-4所示. 求: （1） 和 ; 【答案】由图象可知，,又， . ,的图象过点 （最低点）, ,即 ， ,, , , 又, . 36 （2）在区间, 上的取值范围. 【答案】由（1）可知， , , , . 即在区间,上的取值范围为 . 37 题型4 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用 例11 ［多选题，新考法·数学建模］(2026·湖南省长沙市月考)水车在古代是进行灌 溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象 征．如图5.6-5是一个半径为的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周图5.6- 5按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点 ，设点 的坐标为，其纵坐标满足，，． 则下列叙述正确的是( ) ABD A.,, B.当时，点到 轴的距离的最大值为6 C.当时，函数 单调递减 D.当时， 38 【解析】，, . 由题意得,当时，（水斗的初始位置在点），即 ， ., ，故A正确. ，当时，, 当时，点 到 轴的距离最大，为6，故B正确. 当时，，由正弦函数的单调性可知，函数 在 上不单调，故C不正确.（函数在, 上不单调） 当时，，点的坐标为 ， ，故D正确. 39 高考帮丨考向追踪 考向1 由函数解析式确定函数图象 例12 (2024· 新课标Ⅰ卷)当时，曲线与 的交点个 数为( ) C A.3 B.4 C.6 D.8 40 图5.6-6 【解析】因为函数 的最小正周期 ，所以函数在 上的图 象恰好是三个周期的图象，所以作出函数 与在 上的图象，如 图5.6-6所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C. 41 命题 探源 本题取材于教材第237页例1，主要考查简单的图象变换以及数形结合等 思想方法. 42 例13 (2023·全国甲卷)函数的图象由函数的图象向左平移 个单位长度得到，则的图象与直线 的交点个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 图5.6-7 【解析】把函数 的图象向 左平移 个单位长度后得到函数 ，如图5.6-7所示.观察图象知，共有3个交点. 的图象.作出函数 的部分图象和直线 43 考向2 图象变换与函数性质的综合问题 例14 (2022·全国甲卷)将函数的图象向左平移 个单位长 度后得到曲线，若关于轴对称，则 的最小值是( ) C A. B. C. D. 【解析】记曲线的函数解析式为 ，则 .因为函数的图象关于 轴对称， 所以（此时,其图象关于 轴对称），得 .因为，所以 . 44 考向3 由部分图象确定函数解析式 例15 (2023· 新课标Ⅱ卷)已知函数,如图5.6-8，，是直线 与曲线的两个交点，若，则 _ ____. 图5.6-8 45 给什 么得 什么 给零点，对应“五点法”中第五点的横坐标 ，即 ①. 给直线被曲线截得的线段长度，再结合线段长度与周期的关系可得周期 . 46 差什 么找 什么 ____________________________________________________________________________________ 如图5.6-9，基本函数的图象与直线的两个相邻交点为, ， ，则 ， 图5.6-9 续表 47 差什 么找 什么 即的长度为的最小正周期的，而，且 的周期 ，因此有（的长度为 的最小正周期的 ），解得 . 不妨令,代入①得，所以 ，则 . 续表 48 例16 (全国甲卷)已知函数的部分图象如图5.6-10所示,则 ______. 图5.6-10 49 【解析】方法1：（五点法） 由题图可知（为 的最小正周 期），即 ，所以 ，即 ，（由题图中已知零点和相邻最高点的 横坐标得到的最小正周期，进而得到 的值） 不妨设,故 . 点, 可看作“五点法”中的第二个点， （本题没有给出 的取值范围，需要结合图象确定 的值） 故,得 ， 即 ， 所以 . 50 方法2:（代点法） 由题意知，，所以 ，所以 ,即 ．不妨设,所以 . 又点,在函数的图象上，所以 ，所以 ，则，所以 ，所 以 ． 51 方法3:（平移法） 由题意知，，所以 ，所以 ,即 ． 不妨设,函数的图象与轴的一个交点是 ,0），对应函数 的图象与轴的一个交点是,0），所以 的 图象是由的图象向右平移 个单位长度得到的，所以 ，所以 ． 52 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：40分钟 1.(2026·江苏省扬州大学附属中学阶段练习)将函数 的图象上所有点的横坐标 缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 个单位长度，得到的图 象对应的函数解析式为( ) A A. B. C. D. 【解析】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）， 可得的图象，再将得到的图象向右平移 个单位长度，得到的图象对应的 函数解析式为 ，故选A． 53 2.［教材改编P240 T1］ (2026·河南省周口市月考)已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数 的图象， 只要将 的图象( ) A A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度 【解析】函数的最小正周期为 ，则 , 所以 .下面用诱导公式化同名, ]= . 要想得到函数的图象，只需把函数的图象向左平移 个单位长度. 故选A. 54 3.(2026·陕西师范大学附属中学月考)将函数 的图象向右平 移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间(,)上单调递减，则 的最大值为( ) D A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】由题意得,因为 ,所以 , 因为函数在区间(,)上单调递减，所以 ，所以，所以 的最大值为5. 55 图5.6-1 4.［多选题］(2026·江苏省盐城市五校联考)函数 在一个周期 内的图象如图5.6-1所示，则( ) ACD A.该函数的解析式为 B.该函数图象的对称中心为， C.该函数的单调递增区间是， D.把函数 的图象上所有点的横坐标变为 原来的 ，纵坐标不变，可得到该函数图象 56 【解析】根据图象易知,且 , .由“五点法”可得（第二点）,, 该函数的解析式为 , 选项A正确. 时，,, 选项B错误. 令 得，,, 该函数的单 调递增区间是,, 选项C正确. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，可得到 的图象, 选项D正确. 57 5.(2026·湖北省黄冈市黄梅县月考)将函数的图象向右平移 个单位长 度，则平移后的图象中与 轴最近的对称轴的方程是_ ________. 【解析】将函数的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象， 由 ,，得对称轴方程为（将和 代入， 再进行比较选择）,，其中与轴最近的对称轴的方程为 . 58 6.(2026·福建省龙岩市第二中学月考)将函数的图象向右平移 个单位长度后， 再将所得图象各点的横坐标伸长为原来的，纵坐标不变，得到函数 的 图象，若在区间( ,)内没有零点，则 的取值范围是______________． 59 【解析】由题意知，，由 ，得 , 若在区间( , )内没有零点, 则 , , （结合正弦函数的图象与性质建立关于 的不等式组） 解得, , 因为将所得图象各点的横坐标伸长为原来的 , 所以，所以当时， ; 当时，；当 时，不符合. 所以 的取值范围为 . 60 7.［教材改编P238例2，新考法·数学建模］ (2026·江苏省高邮市三垛中学周练)如图 5.6-2，游乐场中的摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心 距离地 面40.5米，摩天轮的半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离 将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： 图5.6-2 61 （1）求出你与地面的距离（单位：米）与时间 （单位：分）的函数关系式； 【答案】由已知可设,（【理由】以地面为基准作 轴，过中心 点且垂直于地面的直线为轴，游客的“最低点”为 ，“最高点” 为） ， 由周期为12分钟可知,,则 . 故所求的函数关系式为 . 62 （2）当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 【答案】设转第1圈、第 分钟时距离地面60.5米， 由，得 ， 所以或，解得或 . 所以时，第2次距离地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了 （分）.（每转一圈，将有两次机会距离地面60.5米） 63 图5.6-3 8.(2026·江苏省南通市通州区实验中学质量监测)函数 的部分图象如图 5.6-3所示． （1）求函数 的解析式； 【答案】由题图可知， ， ， ， ， 又， ， ， 解得 ，，由可得 ， ． 64 （2）将函数的图象先向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来 的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在[-, 上 有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求 的值． 65 【答案】将函数的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到 的图象. 令， , 则当,时，, . 关于的方程在,上有两个不等实根,,即函数 的图象与直 线在,上有两个不同的交点，即函数的图象与直线在[-, 上 有两个不同的交点，设交点的横坐标分别为, . 66 易知函数在[-,上单调递减，在[-, 上单调递增， 又，，， , 由函数图象（图略）得， . 由对称性可知 ， ， , . 故实数的取值范围为(,的值为 . B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 68 图5.6-4 9.［教材改编P241 T7，新考法·数学建模］ (2026·河北省石家庄市期末)筒车是我国古代 发明的一种水利灌溉工具，如图5.6-4（1）， 因其经济又环保，至今还在农业生产中使用. 假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一 D A. B. C. D. 个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形，如图5.6-4（2） 所示，圆的半径为，在水平面上，盛水筒从点处开始运动， 与水平 面所成的角为 ，且盛水筒恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度 （单位：）与时间（单位： ）之间的函数关系式是( ) 69 【解析】设盛水筒距离水面的高度与时间 之间的函数关系式为 . 由题意知，周期为，所以 . 又最高高度为，最低高度为 , 所以,，即, . 因为当时，，所以,即 , 所以，所以 ．故选D. 70 10.(2026·河北省保定市第三中学月考)将函数的图象向右平移 个单位长度， 再将横坐标变为原来的,得到函数的图象．若在, 上的 最大值为,则 的取值个数为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 71 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，可得 的图象． 再将横坐标变为原来的，得到函数 的图象， 由，得， ， 当，即时，则，求得 ；（此时1为最大值） 当，即时，由题意可得，（函数 在[- ，]上单调递增，此时 为最大值） 72 图D 5.6-1 作出函数与 的图象如图D 5.6-1， 由图可知，函数与的图象在 上有唯一交点，则 有唯一解. 综上， 的取值个数为2． 73 11.［多选题］已知函数 的部分图象如图 5.6-5所示，则下列结论正确的是( ) ABD 图5.6-5 A. B.当时，的取值范围为, } C.函数的图象向右平移个单位长度后的一条对称轴方程为 D.函数与的图象关于直线 对称 74 【解析】根据函数,, )的部分图象，可得 ,,．再根据“五点法”，可得 （“第一点”）,, ,故A正确. ，即，，,可得 的取值 范围为， ，故B正确. 函数的图象向右平移个单位长度后，可得 的图 75 象，令，，求得， ,可得平移后，所得函数的图象的 对称轴方程为， ，故C错误. ，先由 的图 象关于轴对称翻折得到的图象，此时与函数图象关于 轴对称，再 由的图象向右平移个单位长度，得到的图象，此时 与 的函数图象关于直线对称，故函数与 的图象关于直线 对称，故D正确．故选 ． 12.［多选题］已知函数的最小正周期为 ,则 ( ) ACD A.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于 轴对称 B.函数图象的对称中心为, C.函数在区间, 上有2个零点 D.方程在区间,上的解之和为 77 【解析】 , 因为函数的最小正周期为 , 所以 ,解得,所以 . 把的图象向左平移个单位长度，得到函数 + 的图象, 78 设函数 , 因为 , 所以为偶函数，图象关于 轴对称，故A正确. 由 ,，得, , 所以图象的对称中心为, ，故B错误. 令，解得 , 又,所以 , 所以或，解得或 , 所以在区间, 上有2个零点，故C正确. 由，可得 , 所以,（无法解出 的值，借助数形结合来破解） 作出函数与 的图象，如图D 5.6-2所示，可得 在区间, 上有四个根, 图D 5.6-2 80 记四个根分别为,,,,且 , 令 （与,与分别关于对称轴对称） , ,则 , , 当时，;当时， , 所以, , 所以，故D正确.故选 . 81 13.［新考法·结构不良］ (2026·江西省新余市期末)现给出以下三个条件：① 的 图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为；② 的图象上的一个最低点 为；③ . 请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题. 已知函数 ，满足____，____. 82 （1）根据你所选的条件，求 的解析式； 【答案】选择①②.由的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，知 函数的最小正周期 ，则 . 又由的图象上的一个最低点为 , 得，即，解得 , ， 所以 ,，又，所以，则 . 选择①③.由的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，知函数的最 小正周期 ，则 . 又由，得，即 . 83 因为，所以，所以 . 选择②③.由，得，即 , 又，所以，所以 . 又由的图象上的一个最低点为 , 得，即 , 解得 ,，即, , 又，令，得，所以 . （2）将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求 的单调递增区间. 【答案】将的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象. 令 , , 解得 , . 所以函数的单调递增区间为, . 85 C 培优练丨能力提升 14.(2026·江苏省徐州市第一中学期末)已知函数 的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，若 将的图象上每个点先向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函 数 为偶函数． （1）求 的解析式； 【答案】由，得，则 , 则为偶函数，所以 ， 即,所以 , , 又 ，所以，故 . 86 （2）若对任意,恒成立，求实数 的取 值范围； 【答案】因为，所以，， ，故 ， . 若 恒成立， 即 , 87 整理可得 ，（分离参数法） 令， ， 设,，（恒成立问题：即证 ） 设，且 ， 则 ， 由于，，则，所以 , 即在区间 上单调递增， 故 ， 故，即实数的取值范围是( . 88 （3）若函数的图象在区间,且 )上至少含有30个 零点，在所有满足条件的区间上，求 的最小值． 【答案】由题意知 , 由得 , 故 或， , 解得或， , 故的零点为或， , 89 所以相邻两个零点之间的距离为或.（不妨令和,得零点为,,, ） 若最小，则和都是零点，且, , 此时在区间，， ，， , 分别恰有3，5， ， 个零点, 所以在区间 上恰有29个零点, 从而在区间 上至少有一个零点, 所以，（ 是第29个零点，其与相邻的下一个零点间的距离 为，故该区间长度至少要大于等于 ） 所以的最小值为 ． 90 $