1.1 探索勾股定理 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，课堂导入先呈现定理内容及几何语言，通过计算正方形面积、分割图形等探究活动引导学生发现面积关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于注重数学眼光中的几何直观和创新意识，通过拼图验证（如“无字证明”）和分割图形活动帮助学生理解；结合数学思维的推理意识，通过欧几里得证明和数据表格培养逻辑推理；运用数学语言的模型意识，以实际问题（如敌方汽车速度计算）强化应用。学生能直观掌握定理，教师可高效开展探究教学。

第一章　1　探索勾股定理 1.利用拼图的方法验证勾股定理.(重点) 2.掌握勾股定理和它的简单应用.(难点) 学习目标 勾股定理的内容： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2. 几何语言： 因为在Rt△ABC中，∠C=90°， 所以a2+b2=c2(勾股定理). 为什么叫勾股定理这个名称呢？ 课堂引入 探究 活动：计算正方形的面积 （1）观察下面两幅图：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？ A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1-1 图1-2 分割成两个直角三角形 （单位面积） 在图1-1中 www.czsx.com.cn A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1-1 图1-2 （1）观察图1-1 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积。 正方形B的面积是 个单位面积。 正方形C的面积是 个单位面积。 9 9 9 18 你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。 （2）（3） 探究新知 A B C A B C =18(单位面积) S正方形c 左图 右图 =8(单位面积) S正方形c 将正方形 C 分“割”成若干个直角边为整数的三角形. 7 探究新知 你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ A B C A B C A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 4 9 9 18 8 SA + SB = SC 8 如图，过A点画一直线AL使其垂直 于DE，并交DE于L，交BC于M. 通过证明△BCF≌△BDA，利用三角 形面积与长方形面积的关系，得到 正方形ABFG与矩形BDLM等积，同 理正方形ACKH与矩形MLEC也等积， 于是推得 欧几里得证明勾股定理： 讲授新课 观察下图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2. 讲授新课 400 m 500 m C B 公路 A 解：根据题意，可以画出右图，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点 C、点 B 表示两个时刻蓝方汽车的位置.由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C 是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题. 11 解：由勾股定理，可以得到 AB2 = BC2 + AC2， 也就是 5002 = BC2 + 4002， 所以 BC = 300 m. 蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m， 那么它平均每秒行驶 300÷10 = 30 (m)， 因此，蓝方汽车这 10 s 的平均速度为 30 m/s. 400 m 500 m C B 公路 A 12 分析填表数据 图4 图3 探究新知 A的面积 B的面积 C的面积 图3 图4 4 9 16 9 13 25 13 结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积. 问题 通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ SA + SB = SC 14 新知初探 求出下列直角三角形中未知边的长度。 解：x2=152+202=625，x=25； y2=132-52=144，y=12。 探索新知 例3： 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,求斜边AB的长度. a b c A C B 解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5 所以12²+5²=AB²， 所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米. 例4：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？ 解:由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m，那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m），即它行驶的速度为108km/h 公路 C B 400m 500m A 探索新知 上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。在下图中，分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流。 为了计算上图大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下图。 （1）将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来。 尝试•思考 b2 a2 c2 b2 a2 大正方形 c2 小正方形(b-a)2 大正方形 (a+b)2 我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理 验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证 明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理.下面 是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无 字证明”图形.此图可以用来证明你学过的勾股定理. 若已知直角三角形两直角 边长分别为a，b，斜边 长为c，图①、图②的面 积相等，请你根据下面两 个图来验证勾股定理. 解：图①的面积为S1＝ ab×3＋a2＋b2， 图②的面积为S2＝ ab×3＋c2. ∵图①、图②的面积相等， ∴ ab×3＋a2＋b2＝ ab×3＋c2. ∴a2＋b2＝c2. 解：图①的面积为S1＝ ab×3＋a2＋b2， 图②的面积为S2＝ ab×3＋c2. ∵图①、图②的面积相等， ∴ ab×3＋a2＋b2＝ ab×3＋c2. ∴a2＋b2＝c2. 当堂检测 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=2.4，BC=1.8． (1)求AB的长； (2)求AB边上高线h的长 (1)3 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法求高，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据勾股定理求解，即可解题； （2）由三角形面积公式建立等式求解，即可解题． 当堂检测 解（1）解：在中，由 （2）解：由面积得，， 即：， 解得，． 反思：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边. $