周周练4 直线的方程(范围：2.1～2.2)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 周周练4聚焦直线的方程，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到问题解决的知识进阶，适配周测场景，培养数学运算与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|倾斜角、斜率等单一概念|单选1-3题直接考查定义与基本运算| |综合|平行垂直、截距等交汇应用|多选7-8题结合参数讨论直线位置关系| |拓展|欧拉线、面积分割等复杂情境|解答14题融入几何图形与动态问题分析|

周周练4　直线的方程(范围：2.1～2.2) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．直线x－y＋7＝0的倾斜角为(　　) A．0° B．30° C．45° D．60° 解析：选D.设直线的倾斜角为θ，根据直线方程x－y＋7＝0，可得其斜率为，所以tan θ＝，又0°≤θ＜180°，所以θ＝60°，即直线x－y＋7＝0的倾斜角为60°. 2．已知直线l经过点P(1，0)，且方向向量v＝(1，2)，则l的方程为(　　) A．x－2y－1＝0 B．2x－y＋2＝0 C．2x－y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：选C.由直线l的方向向量是v＝(1，2)，可得其斜率为2，所以直线l的方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 3．(2026·邵阳期中)已知直线ax＋by－1＝0过点(2，0)，且与直线x－3y＝0平行，则a＋b＝(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 解析：选D.由题意，直线ax＋by－1＝0经过点(2，0)，所以2a－1＝0，所以a＝， 又与直线x－3y＝0平行，所以＝， 即b＝－，所以a＋b＝－1. 4．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0和直线l2：bx－(b－1)y＋2＝0互相垂直，则ab的最小值为(　　) A．－1 B．－ C． D．1 解析：选B.因为直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0和直线l2：bx－(b－1)y＋2＝0互相垂直，所以ab＋(a＋2)[－(b－1)]＝0，化简得2b－a＝2，即2b－2＝a，所以ab＝(2b－2)b＝2b2－2b＝2(b－)2－， 当b＝时，ab取得最小值且ab的最小值为－. 5．把五个边长为3的正方形按如图的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线l将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析：选B.直线l将这五个正方形分成面积相等的两部分，在直线下方的是面积为＝的直角三角形，所以直线过点(6，)，所以直线l的斜率为k＝＝，所以直线l的方程为y＝x. 6．(2026·德阳期中)瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，－2)，C(0，4)，则△ABC的欧拉线方程为(　　) A．x＋2y＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x－2y＋2＝0 D．x－y＋2＝0 解析：选D.因为△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，－2)，C(0，4)，可得△ABC的重心的坐标为G(－，)，由A(－4，0)，B(0，－2)，可得kAB＝－，所以AB的垂直平分线所在直线的斜率为k1＝2，又AB的中点坐标为(－2，－1)，可得AB的垂直平分线所在直线的方程为y＝2x＋3， 又由A(－4，0)，C(0，4)，可得AC的垂直平分线所在直线的斜率为k2＝－1，AC的中点坐标为(－2，2)，故AC的垂直平分线所在直线的方程为y＝－x， 联立解得 即△ABC的外心的坐标为(－1，1)， 所以欧拉线的斜率为＝1，所以欧拉线的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0， 所以△ABC的欧拉线方程为x－y＋2＝0. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，l2：(a－1)x＋y＋a＝0，则下列说法正确的是(　　) A．当a＝1时，直线l1的倾斜角为45° B．若l1⊥l2，则a＝ C．若l1∥l2，则a＝－1 D．直线l2在y轴上的截距为－a 解析：选BD.对于A，当a＝1时，直线l1：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，则倾斜角为135°，故A错误； 对于B，l1⊥l2，等价于a－1＋a＝0，解得a＝，故B正确； 对于C，若l1∥l2，则故a＝，故C错误； 对于D，l2：(a－1)x＋y＋a＝0，当x＝0时，y＝－a，所以直线l2在y轴上的截距为－a，故D正确． 8．(2026·深圳月考)已知直线l：－kx＋y－1＋2k＝0(k∈R)过定点Q，则下列说法正确的是(　　) A．直线l过定点Q(2，1) B．若直线l在x轴上的截距为－3，则k＝ C．若直线l不经过第四象限，则k的取值范围为(0，] D．若直线l分别交x，y轴正半轴于点A，B，则当·取得最小值时，直线l的方程为x＋y－3＝0 解析：选ABD.对于A，因为直线l：－kx＋y－1＋2k＝0，化简得－k(x－2)＋y－1＝0. 所以该直线过定点Q(2，1)，所以A正确； 对于B，若直线l在x轴上的截距为－3，即该直线过点(－3，0)，则3k＋0－1＋2k＝0，解得k＝，所以B正确； 对于C，因为直线l的方程为y＝kx＋1－2k，要使得该直线不经过第四象限，则k≥0. 当k>0时，1－2k≥0，解得0<k≤. 当k＝0时，y＝1，符合题意． 所以k的取值范围为[0，]，所以C错误； 对于D，因为直线l分别交x，y轴正半轴于点A，B，所以k<0. 设A(x，0)，B(0，y)，因为Q(2，1)，所以＝(2－x，1)，＝(－2，y－1). 所以·＝－2(2－x)＋y－1＝2x＋y－5，其中x>0，y>0. 且满足－kx＋2k－1＝0，y－1＋2k＝0，即x＝＝2－，y＝1－2k. 所以·＝2x＋y－5＝4－＋1－2k－5＝－2k－. 根据基本不等式的性质可得－2k－≥2＝4，当且仅当－2k＝－时，即k＝－1时等号成立． 此时·取得最小值为4，此时直线l的方程为x＋y－3＝0，所以D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知直线l1：mx－y－3＝0与直线l2：2x＋(m＋3)y＋1＝0垂直，则实数m的值为________． 解析： 由题意得，2m＋(－1)·(m＋3)＝0，解得m＝3.　 答案：3 10．设M(x1，y1)，N(x2，y2)为不同的两点，直线l：Ax＋By＋C＝0，记λ＝，当λ＝ ________时，直线l经过MN的中点． 解析：线段MN的中点坐标为(，)，若直线l经过MN的中点， 则A·＋B·＋C＝0， 即Ax1＋By1＋C＋Ax2＋By2＋C＝0， 则＝－1，故λ＝－1. 答案：－1 11．直线2x＋y－4＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，则∠BAO(O为坐标原点)的平分线所在直线的一般式方程为___________________________________________． 解析：如图所示，设∠BAO的平分线与x轴负半轴的夹角为α， 将y＝0代入直线方程，可得x＝2，所以A(2，0)，将x＝0代入直线方程，可得y＝4， 所以B(0，4)，在Rt△ABO中，∠BAO的正切值为tan 2α＝|kAB|＝＝2， 也即tan 2α＝＝2，解得tanα＝(负值已舍去)，设∠BAO的平分线所在直线的斜率为k，则k＝tan (π－α)＝－tan α＝， 所以由点斜式可得所求直线的方程为y－0＝(x－2)，整理为一般式方程为(－1)x＋2y－2(－1)＝0. 答案：(－1)x＋2y－2(－1)＝0 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)(2026·榆林期中)已知直线l1经过P(1，0)，Q(5，－3)两点． (1)求直线l1的方程；(6分) (2)设直线l2：(a－1)x＋(a＋1)y＋3＝0，若l1⊥l2，求实数a的值．(7分) 解：(1)因为直线l1经过P(1，0)，Q(5，－3)两点， 所以直线l1的斜率为k＝＝－， 所以直线l1的方程为y＝－(x－1)， 即3x＋4y－3＝0. (2)由l1⊥l2，直线l2：(a－1)x＋(a＋1)y＋3＝0，直线l1：3x＋4y－3＝0， 得3(a－1)＋4(a＋1)＝0，解得a＝－， 即实数a的值为－. 13．(本小题满分15分)(2026·淮南月考)已知直线l经过点P(1，9). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(6分) (2)设O为坐标原点，若直线l与x轴正半轴交于点A、与y轴正半轴交于点B，求|OA|＋|OB|的最小值，并求此时直线l的方程．(9分) 解：(1)当直线l过坐标原点时，方程为y＝9x，即9x－y＝0，满足题意； 当直线l不过坐标原点时，可设其方程为x＋y＝a(a≠0)，所以a＝1＋9＝10， 所以直线l：x＋y－10＝0，综上，直线l的方程为9x－y＝0或x＋y－10＝0. (2)由题意可知，直线l的斜率k存在， 且k<0，可设l：y－9＝k(x－1)， 令x＝0，解得y＝9－k，所以B(0，9－k)， 令y＝0，解得x＝1－，所以A(1－，0)， 所以|OA|＋|OB|＝1－＋9－k＝10＋(－)＋(－k)≥10＋2＝16， 当且仅当－＝－k， 即k＝－3时等号成立， 所以直线l的方程为y－9＝－3(x－1)， 即3x＋y－12＝0， 所以|OA|＋|OB|的最小值为16， 此时直线l的方程为3x＋y－12＝0. 14．(本小题满分15分)(2026·大连期中)设m为实数，直线l：2x＋(m－3)y－2m＋6＝0恒过定点A，A为Rt△ABC的一个直角顶点，另两个顶点为B，C，其中点B在x轴上，点C(－3，－1).　 (1)求点A，B的坐标；(5分) (2)求△ABC斜边中线所在的直线方程；(5分)　 (3)设点P(x，y)，若P是线段BC上的动点，求的取值范围．(5分) 解：(1) 由l：2x＋(m－3)y－2m＋6＝0可得m(y－2)＋2x－3y＋6＝0， 联立解得 故直线l恒过定点A(0，2). 由题意得AB⊥AC，kAC＝1，故kAB＝－1， 所以直线AB的方程为y－2＝－x， 即y＝－x＋2. 将y＝0代入直线AB的方程， 解得x＝2，故B(2，0). (2)由于C(－3，－1)，B(2，0)， 故边BC的中点为M(－，－)，则kAM＝5， 故直线AM的方程为y－2＝5(x－0)，即y＝5x＋2. 所以△ABC斜边中线所在的直线方程为y＝5x＋2.　 (3)设＝k，则得y＝kx且x≠0，k可理解为与线段BC始终有公共点且过原点的直线的斜率，kOB＝0，kOC＝，动点P在线段BC上运动时，k∈(－∞，0]∪[，＋∞)， 所以的取值范围为(－∞，0]∪[，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $