周周练1 空间向量(范围：1.1～1.3)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 高中数学周测作业，聚焦空间向量（1.1-1.3），通过基础巩固、概念深化、综合应用三层设计，实现从单一运算到几何建模的知识进阶，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量坐标运算、数量积、模|如选择1（垂直求模）、填空9（数量积计算），直接考查定义与基本运算，夯实基础| |提升层|向量线性表示、共面条件、投影|如选择2（三棱柱向量表示）、填空10（基底转换），需理解概念并进行逻辑推理| |综合层|几何图形向量应用、最值问题|如选择6（折叠后距离最小值）、解答14（折叠问题证明与最值），结合空间建模与综合运算|

周周练1　空间向量(范围：1.1～1.3) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，1，x)，若a⊥b，则|b|＝(　　) A．2 B． C．5 D．2 解析：选B.依题意得，a·b＝－8－1＋3x＝0，解得x＝3，则b＝(－4，1，3)， 所以|b|＝＝. 2．(2026·北大附中期中)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M为AA1的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A.a＋b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b＋c 解析：选A.＝＋＝－＋，又因为M为AA1的中点，得＝，所以＝－＋＝－＋＝a－c＋b. 3．(2026·遵义月考)已知空间向量a＝(2，－2，－1)，b＝(3，0，1)，则向量b在向量a上的投影向量是(　　) A．(，－，－) B．(，－，－) C． D． 解析：选A.因为空间向量a＝(2，－2，－1)，b＝(3，0，1)，所以a·b＝2×3＋(－2)×0＋(－1)×1＝5， a2＝22＋(－2)2＋(－1)2＝9，所以向量b在向量a上的投影向量是()a＝(2，－2，－1)＝(，－，－). 4．(2026·广东月考)已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足＝4－2＋λ，则λ＝(　　) A．5 B．2 C．－1 D．－2 解析：选D.＝4－2＋λ， 即－＝4－2＋λ， 即＝5－2＋λ，因为A，B，C，D四点共面且任意三点不共线， 所以5－2＋λ＝1，所以λ＝－2. 5．(2026·邢台月考)如图，△SAB是圆锥SO的轴截面，SA＝AB，C是半圆弧的中点，D是线段OB的中点，则异面直线SA与CD所成角的余弦值是(　　) A． B． C． D． 解析：选B. 如图，连接OC，因为C是半圆弧的中点，所以OC⊥OB，又SO⊥平面ABC，所以OC，OB，OS两两垂直，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 设AB＝4，所以SA＝AB＝4，SO＝2，则A(0，－2，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，S(0，0，2)，则＝(0，－2，－2)，＝(－2，1，0)， 设异面直线SA与CD所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝. 6．(2026·浙江期中) 如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，＝λ(0≤λ≤1)，＝μ(0≤μ≤1)，AB＝2，则MN的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析： 选B.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，2)，F(2，0，0)， 即＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)， 则＝λ＝(0，2λ，2λ)，＝μ＝(－2μ，2μ，0)， 可得M(0，2λ，2λ)，N(2－2μ，2μ，0)， 则＝(2－2μ，2μ－2λ，－2λ)，即|| ＝ ＝， 所以当λ＝，且μ＝时，||取得最小值，即MN的最小值为. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知空间向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－1，1)，c＝(2，m，6)，且a∥c，则下列说法正确的有(　　) A．a－b＝(3，3，2) B．m＝4 C．(2b＋c)⊥a D．cos 〈b，c〉＝－ 解析：选ABD.对于A，a－b＝(1，2，3)－(－2，－1，1)＝(3，3，2)，故A正确； 对于B，由于a∥c，则c＝2a，故m＝4，故B正确； 对于C，(2b＋c)·a＝2b·a＋c·a＝2(－2－2＋3)＋2＋8＋18＝26≠0，故2b＋c与a不垂直，故C错误； 对于D，cos 〈b，c〉＝＝＝－，D正确． 8．(2026·惠州月考)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ(0<θ<π，且θ≠).若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk，其中x，y，z∈R，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列说法正确的有(　　) A．已知a＝(2，1，1)θ，b＝(4，2，2)θ，则a∥b B．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0 C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ D．已知＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，则三棱锥O-ABC的表面积S＝ 解析：选AC.对于A，a＝(2，1，1)θ，b＝(4，2，2)θ，则a＝2i＋j＋k，b＝4i＋2j＋2k， 可知b＝2a，则a∥b，故A正确； 对于B，a·b＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4i2＋12i·j－6i·k＋6j·k－4k2 ＝4＋12×1×1×cos θ－6×1×1×cos θ＋6×1×1×cos θ－4＝12cos θ，因为0<θ<π，且θ≠，则cos θ≠0，所以a·b≠0，故B错误； 对于C，根据“仿射”坐标的定义可得， a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k) ＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确； 对于D，||＝|i|＝1，||＝|j|＝1，||＝|k|＝1，||＝|－|＝|j－i|＝＝＝＝1， ||＝|－|＝|k－j| ＝＝ ＝＝1， ||＝|－|＝|k－i|＝ ＝ ＝＝1， 可得三棱锥O-ABC是棱长为1的正四面体，其表面积S＝4××12×＝，故D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是________． 解析：由a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，得(－3，2，5)·(1，x，－1)＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5. 答案：5 10．若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐标．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一个向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是________． 解析：设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，① 因为p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，所以p＝4a＋2b＋3c，② 由①②得解得即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3，1，3). 答案：(3，1，3) 11．已知空间向量，，两两垂直，空间中点A满足||＝||＝||＝1，记＝＋＋，则||的取值范围为________． 解析：不妨设O为坐标原点，B1(a，0，0)，B2(0，b，0)，B3(0，0，c)，则P(a，b，c). 设A(x，y，z)，则有(x－a)2＋y2＋z2＝x2＋(y－b)2＋z2＝x2＋y2＋(z－c)2＝1，所以(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＋2(x2＋y2＋z2)＝3， 由||2＝(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2， 及||2＝x2＋y2＋z2， 得||2＝3－2||2∈[0，3]， 所以||∈[0，]. 答案：[0，] 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，m). (1)若a·(b＋c)＝9，求m的值；(6分) (2)若(ka＋b)⊥(a－b)，求k的值．(7分) 解：(1)由a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，m)， 得a·(b＋c)＝(2，－3，1)·(2，0，3＋m)＝4＋3＋m＝9，可得m＝2. (2)因为(ka＋b)⊥(a－b)， 所以(ka＋b)·(a－b)＝0. 即(2k＋2，－3k，k＋3)·(0，－3，－2)＝9k－2k－6＝0，解得k＝. 13．(本小题满分15分)已知空间三点A(1，2，3)，B(2，2，3)，C(1＋，2，4). (1)求向量与的夹角；(6分) (2)若m＝－t，n＝＋t，求m与n的夹角为锐角时，实数t的取值范围．(9分) 解：(1)由已知得＝(1，0，0)，＝(，0，1)， 则cos 〈，〉＝＝， 因为〈，〉∈[0，π]，所以向量与的夹角为. (2)m＝－t＝(1－t，0，－t)，n＝＋t＝(1＋t，0，t). 因为m与n的夹角为锐角， 所以m·n>0且m与n不共线． 由m·n>0，可得(1－t)(1＋t)－t2>0， 解得t∈.① 当m与n共线时，存在实数λ，使得m＝λn. 即解得t＝0， 因为m与n不共线，所以t≠0，② 由①②得t∈∪. 14．(本小题满分15分)如图1，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB＝2，AD＝8，DC＝5，E，F分别是AD，BC的中点，将四边形ABFE沿EF折起，如图2，连接AD，BC，BE. (1)求证：EF⊥AD；(7分) (2)若Q为线段BE上一动点，BF⊥DE，求CQ的最小值．(8分) 解：(1)证明：因为E，F分别是AD，BC的中点，AB∥DC，所以EF∥AB.因为在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，所以EF⊥AE，EF⊥DE. 因为AE∩DE＝E，AE⊂平面AED，DE⊂平面AED，所以EF⊥平面AED. 因为AD⊂平面AED，所以EF⊥AD. (2)因为EF⊥DE，BF⊥DE，EF∩BF＝F，且EF⊂平面ABFE，BF⊂平面ABFE，所以DE⊥平面ABFE. 因为AE⊂平面ABFE，所以DE⊥AE. 以E为原点，ED，EF，EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则E(0，0，0)，B(0，2，4)，C(4，5，0).　 设＝t＝t(0，2，4)，t∈[0，1]， 则Q(0，2t，4t)， ||2＝16＋(2t－5)2＋16t2＝20(t－)2＋36≥36，当且仅当t＝时取等号． 所以CQ的最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $