第2章 2.3.4 两条平行直线间的距离-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学中两条平行直线间的距离这一核心知识点，以点到直线的距离公式为基础，通过思考“平行直线上任意点到另一直线距离相等”的逻辑推理，构建定义、图示及公式的知识支架，形成完整的距离计算体系。 该资料以立定跳远现实情境引入培养数学眼光，通过公式推导与例题解析提升逻辑推理和数学运算素养，设置参数问题、最值问题等应用点锻炼直观想象。课中助力教师引导学生探究，课后借助分层练习和应用点解析，帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2．3.4　两条平行直线间的距离 课标要求　1.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，提升数学运算、直观想象及逻辑推理素养．　2.掌握两条平行直线间的距离公式，并能灵活应用． 立定跳远是指不带助跑的原地跳远，是在两腿蹬伸、上体伸展、两臂用力摆动情况下，使身体腾起并获得远度的跳跃项目，是《国家体育锻炼标准》项目之一．立定跳远测量的是什么距离？ 思考1　点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式是什么？ 提示：d＝. 思考2　已知两条平行直线l1，l2，从l1上任取两点分别求到l2的距离，两个距离有什么关系？ 提示：相等． 知识点　两条平行直线间的距离 1．定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．图示： 3．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝． 　(1)(2026·天津期末)已知直线2x＋y－2＝0与直线2x－my＋3＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A． B． C． D． (2)(对接教材例7)两平行直线3x＋4y－1＝0和6x＋8y－11＝0的距离为________． 【解析】　(1)因为直线2x＋y－2＝0与直线2x－my＋3＝0平行， 所以＝≠，解得m＝－1， 则直线2x＋y－2＝0与直线2x＋y＋3＝0之间的距离是d＝＝＝. (2)将直线3x＋4y－1＝0化为6x＋8y－2＝0，根据两平行线间的距离公式得，d＝＝. 【答案】　(1)C　(2) 【感悟提升】　(1)利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)间的距离公式． 注意　使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般式，二是两直线方程中x，y的系数分别相同． 　1.已知直线l1：x－y－4＝0与l2：2x－2y－7＝0，则l1与l2之间的距离为(　　) A． B． C． D．3 解析：选A.由题意直线l1：2x－2y－8＝0与l2：2x－2y－7＝0平行，所以l1与l2之间的距离为d＝＝. 2．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________． 解析：两直线方程分别是x＝－2和x＝3，是两条平行直线，故两条直线间的距离为d＝|－2－3|＝5. 答案：5 应用点一　由平行直线间的距离求参数 　(1)(多选)已知两条平行直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y＋m＝0之间的距离小于，则实数m的值可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．－1 (2)(2026·榆林期中)已知平行直线l1：2x＋y＋n＝0与l2：4x＋my－4＝0之间的距离为，则实数m＋n＝________． 【解析】　(1)直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y＋m＝0平行，则m≠1，两条平行直线间距离<，解得－1<m<3且m≠1，故0和2符合要求. (2)因为l1与l2平行，所以2×m＝1×4，得m＝2，则l2：2x＋y－2＝0，所以＝，得n＝1或n＝－5，所以m＋n＝3或m＋n＝－3. 【答案】　(1)AC　(2)－3或3 【感悟提升】　平行直线间的参数问题，一类是利用平行直线的关系确定参数，另一类是利用距离确定参数，无论哪种情况，都要注意两条平行直线之间的距离公式的使用条件及参数的范围，有时巧用平行直线设方程会更简便． 　1.(多选)(2026·白银期末)已知直线l1：ax－y－1＝0，l2：x－ay＋2＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离可能为(　　) A．2 B． C． D． 解析：选BD.由l1∥l2，得＝≠，解得a＝－1或a＝1.当a＝－1时，l1的方程为－x－y－1＝0，即x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋2＝0，则l1与l2之间的距离为＝；当a＝1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋2＝0，则l1与l2之间的距离为＝. 2．(2026·济南期中)若两平行线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为，则实数a＝ ________． 解析：由题意知，直线2x－y－3＝0，可变形为4x－2y－6＝0，所以两平行线4x－2y－6＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为d＝＝，解得a＝－16或a＝4. 答案：－16或4 应用点二　与平行直线间的距离有关的最值问题 　已知两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B同时旋转(旋转过程两条直线保持平行)，设两条平行直线间的距离为d. (1)求d的取值范围； (2)当d取最大值时，求两条直线的方程． 【解】　(1)如图所示，显然有0＜d≤|AB|， 而|AB|＝＝3， 故d的取值范围为(0，3]. (2)当d取最大值时，两条平行直线都垂直于线段AB，设两平行直线的斜率为k， 所以k＝－＝－＝－3，故所求直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 【感悟提升】　(1)解决问题的关键是理解所求量表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形的元素运动变化时，我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 　1.(2026·泰州期中)直线l1：3x－4y＋2＝0与l2：3x－4y－5＝0上各有一动点P，Q，那么|PQ|的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由直线l1：3x－4y＋2＝0与l2：3x－4y－5＝0，＝≠，所以l1∥l2. 所以|PQ|的最小值就是两条平行线间的距离d＝＝. 2．设m∈R，已知直线l1：(m＋2)x＋2my＋2－m＝0，过点(3，4)作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是(　　) A．1 B．2 C．5 D．8 解析：选C.由直线l1：(m＋2)x＋2my＋2－m＝0，整理得(x＋2y－1)m＋2x＋2＝0， 令解得 即直线l1恒过点(－1，1). 因为直线l2过点(3，4)，且l1∥l2， 则直线l1与l2之间的最大距离为点(－1，1)与点(3，4)间的距离，记为d， 即d＝＝5. 1．(教材P79练习T1改编)两平行直线l1：3x＋4y－3＝0与l2：3x＋4y－1＝0之间的距离等于(　　) A． B． C． D． 解析：选B.两平行直线间的距离为＝. 2．(多选)下列直线与直线l：x－y＋1＝0平行，且与它的距离为2的是(　　) A．x－y＋5＝0 B．x－y－5＝0 C．x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：选AC.由题意，设与直线x－y＋1＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，m≠1，由两平行直线间的距离公式可得d＝＝2，解得m＝5或m＝－3，故所求直线方程为x－y＋5＝0或x－y－3＝0. 3．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则直线l的方程为 ________． 解析：设直线l的方程为2x－y＋c＝0(c≠3，c≠－1)，由两条平行线间的距离公式可得，＝，解得c＝1，所以直线l的方程为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 4．(教材P79练习T3改编)已知直线l1：2x＋3y＋18＝0，l2：2x＋3y－8＝0，在l1上任取一点A，在l2上任取一点B，过线段AB的靠近点B的三等分点作l2的平行线l3. (1)求直线l1与l2之间的距离； (2)求直线l3的方程． 解：(1)易知l1与l2平行，所以两平行直线l1与l2之间的距离d＝＝2. (2)由l3与l2平行，可设l3的方程为2x＋3y＋C＝0(－8<C<18). 由题意知l3与l1之间的距离为，所以有＝，解得C＝或C＝(舍去)， 所以直线l3的方程为6x＋9y＋2＝0. 1．已学习：两条平行直线间的距离公式的推导及应用． 2．须贯通：应用两条平行直线间的距离公式解决问题时，常利用数形结合思想． 3．应注意：在应用两条平行直线间的距离公式时，必须保证两条直线方程中x，y的系数分别相同． 学科网（北京）股份有限公司 $